むらかみ
今回もまた名前が載らないので、うまく答えが送れていないようです。
答えを送るのが早いときだけそうなるようです。
残念ながら（笑）
　　 4月23日（木） 0:09:41　　 　　48977
みかん
正方形ＡＢＤＣの内部に正三角形ＢＤＰを埋め込む。
この時の正方形を半分にした直角二等辺三角形ＡＢＣが与えられた図になる。
　　 4月23日（木） 0:13:40　　 　　48978
algebra
AB＝a，BP＝x とおくと，正弦定理より，x/sin30°＝√2a/sin135°
これより，x＝a　よって，∠APB＝(180−30)/2＝75°
　　 4月23日（木） 0:21:20　　 　　48980
ゴンとも
座標でA(0,0),B(1,0),C(0,1)とすると
直線CA:-(2+sqrt(3))*x+1
直線BP:y=-sqrt(3)*(x-1)/3　で
この2直線の交点Pを求めて
tan(∠PAB)=Pのy座標/Pのx座標
をXMaxima で求めると

part(solve([y=-sqrt(3)*(x-1)/3,y=-(2+sqrt(3))*x+1],[x,y]),1)$
rat(factor(rhs(part(%o1,2))/rhs(part(%o1,1)))),algebraic;
2+sqrt(3)
tan(∠PAB)=2+sqrt(3)より∠PAB=75°より
∠APB=180°-75°-30°=75°・・・・・・(答え)
豊川市　　 4月23日（木） 0:23:40　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　48981
ベルク・カッツェ
AB=AP、AP=PCとすると確かにこの形になり、75度なのは間違いないのですが、ちゃんとした解法はまだ思いつきません。

＞おすまんさん
とりあえずクッキーを使わなければいいということだけは分かりました。
私の知識ではそれ以上は全く分かりません。
環境はWIN10、算チャレ用にはまだIEを使っています。
　　 4月23日（木） 0:38:36　　 　　48982
スモークマン
BC=2 を直径とする円とCPとの交点をQとすると...
QBPは小さい直角二等辺三角形ができて、
AP=√2
AB=2/√2=√2
so...AB=AP
so...(180-30)/2=75°♪

前回は...8/5では入れないままでも送ってみたら名前が載りました..^^; Orz
　　 4月23日（木） 0:42:56　　 　　48983
となかい
メールで送る場合、解答形式などは決まっているんでしょうか？
答えは合ってるはずなのに順位表に載りませんでした、、
　　 4月23日（木） 0:53:48　　 　　48984
今年から高齢者
#48978みかんさんと同じでした。
この形にフィットして、解は1つしかないことも判るのですが、
当て嵌めでなく、二等辺三角形、30°15°から求める方法は？
　　 4月23日（木） 2:48:06　　 　　48985
「数学」小旅行
とりあえず、直感で。。。
　　 4月23日（木） 6:47:18　　 　　48986
巷の夢
BPの延長線とACの交点をDとすると、��ABDは∠Aが直角であるので、
直径をBDとする円に内接する。線分BCの円との交点をEとすると、
円周角∠DBEと∠DAEは等しく、各々15°であるから∠BAPは75°となる。
因って、∠APBは75°となる。
真白き富士の嶺　　 4月23日（木） 7:27:36　　 　　48987
「数学」小旅行
算数のレベルではないのですが、点Ｐから辺ＢＣに垂線ＰＨをひきます。
ＰＨ＝１とします。△ＰＣＨで辺の比から、ＣＨ＝√３です。
また、△ＰＢＨで、ＢＨ＝２+√３、ＰＢ＝√６＋√２…�，任后�
よって、辺ＢＣ＝ＢＨ＋ＨＣ＝２＋２√３ですから、
辺ＡＢ＝ＢＣ÷√２＝√２＋√６となり、�，裡丕造醗戝廚靴泙后�
よって、ＢＰ＝ＢＡがいえました。
　　 4月23日（木） 7:36:46　　 　　48988
「数学」小旅行
#48987　巷の夢　さま

∠ＤＡＰ＝∠ＤＡＥはどうしてですか？
　　 4月23日（木） 7:46:05　　 　　48989
ばち丸
芸がないからドンくさくやらざるを得なかった
（昔作った問題を参考にした）
∠BPC＝135度だからPBのP側の延長上にQを取り∠PQC＝90度
とすると△PQCはPQ＝QCの直角2等辺三角形になる。
PQ=QC=1とするとBQ＝cot15°＝2+√3よってPB＝1+√3
ここで△BPC∽△AQCだからAQ＝(1+√3)/√2
PからAQに下した垂線の足をRとするとAR＝(√6)/2、RP＝√2/2だから
∠APR＝60°よって∠APQ＝60+45＝105°
だから求める角度は75°
　　 4月23日（木） 8:52:20　　 MAIL:hbmath1965@yahoo.co.jp 　　48990
巷の夢
#48989 「数学」小旅行様

　Pが直線AE上にあることの証明ですね。今考えているのですが、
中々難しく・・・・。
　証明を以下の様に変えました円周角は等しいので、∠AEB＝∠ADB
＝60°因って、∠BAE＝75°　これより∠APB＝75°
真白き富士の嶺　　 4月23日（木） 10:29:09　　 　　48991
さんさんさんさんさん
むっちゃ簡単やん
　　 4月23日（木） 10:45:02　　 　　48992
蜻蛉
CPのP側の延長線上に∠QBC=30°となる点Qをとると△QBCは二等辺三角形になる
点A、点QはともにBCの垂直二等分線上にある
△ABQと△PBQはBQとその両端の角（15°と120°）が等しいので合同でありAQ=PQ
△APQは頂角が120°の二等辺三角形であるので底角はそれぞれ30°
∠BPQは△BCPの外角であることから45°
求める角は30°+45°=75°

正方形に正三角形を埋め込むのは気づかなかったけど言われてみればよく見る図の一部でした

　　 4月23日（木） 11:15:01　　 　　48993
蜻蛉
CPのP側の延長線上に∠QBC=30°となる点Qをとると△QBCは二等辺三角形になる
点A、点QはともにBCの垂直二等分線上にある
△ABQと△PBQはBQとその両端の角（15°と120°）が等しいので合同でありAQ=PQ
△APQは頂角が120°の二等辺三角形であるので底角はそれぞれ30°
∠BPQは△BCPの外角であることから45°
求める角は30°+45°=75°

正方形に正三角形を埋め込むのは気づかなかったけど言われてみればよく見る図の一部でした

　　 4月23日（木） 12:30:54　　 　　48994
蜻蛉
すみません
うっかりリロードしてしまい再度送信してしまいました
　　 4月23日（木） 12:35:46　　 　　48995
「数学」小旅行
#48991　巷の夢　さま
ありがとうございます。
でも、やっぱり３点Ａ，Ｐ，Ｅが一直線上にあるかが
係わってくるように思うのですが。。。
　　 4月23日（木） 12:40:25　　 　　48996
なかくん
正三角形ABDとなる点DをBCの外側にとるとスムーズに解けますね。
の
　　 4月23日（木） 14:08:32　　 MAIL:junsan23@ezweb.ne.jp 　　48997
なかくん
個人的には正方形への埋め込み、感心しました。素敵だと思います。
　　 4月23日（木） 14:12:35　　 MAIL:junsan23@ezweb.ne.jp 　　48998
量子論
時々出くわす、埋め込みで解けました。

因みに、大当たりの部屋の書き込みも
文字化けしました。
　　 4月23日（木） 14:39:29　　 　　48999
紫の薔薇の人
＃48978
正方形埋め込みについては、
正方形埋め込みならば、条件を満たすから、それが答えの一つとは言っても良いのだが、
それだけだと、正方形の埋め込みにならない答えが他にないことを示していないので
不完全だと思います。
つまり、与えられた条件だけから、必ず、正方形埋め込みを構成できることを示す必要
があります。

#48980
正弦定理でシンプルな解です。

正弦定理で解けるならば、外接円を考えればよいわけで、以下は両者を折衷した解です。

APCの外接円の中心をDとすると、
BD=PD=CDであり、
∠BDC＝∠BDP+∠CDP＝2*∠BCP+2*∠CBP＝2*(30+15)＝90°
これより、△BDCは直角二等辺三角形となり、△BACと合同で、BA=BD。
また、∠PBD＝60°となるので、△PBDは正三角形となり、BP=BD。
よって、BA＝BD＝BPから、△BAPは二等辺三角形。
よって、∠APB＝(180-30)/2＝75°
//
　　 4月23日（木） 18:00:58　　 　　49000
ナカジョウジュンイチ
正方形の中での点Pの位置は必ず１つしかありませんね。
　　 4月23日（木） 18:56:59　　 MAIL:junsan23@ezweb.ne.jp 　　49001
紫の薔薇の人
#49000

補足ですが、ある埋め込みを一つ見つけて解いたと思っても不十分な例。

平面上にOA=OB＝1の二等辺三角形OABがある。△OABの面積が√3/4の時、
ABの長さを求めよ。

△OABが正三角形になる埋め込みを見つけて、AB=1と思っても、
実は問題の条件だけからは、△OABが鈍角三角形になる埋め込みも
あり、AB=√3も答えなわけです。

だから埋め込みを使って解く場合は、自明なようであっても、
元の問題と等価であることを、何らかの方法で一言添える必要
があるわけです。
　　 4月23日（木） 20:39:08　　 　　49002
ベルク・カッツェ
三角形PBCはBCを一辺としてその両端の角が与えられているので、点Pの位置は確定です。
正方形の内部に一辺を共有する正三角形の形は一般的なので、これを用いて解くのが想定された解法、ということはなさそうですよね。
いい解き方を思いついたらまた書き込みます。
　　 4月23日（木） 21:26:48　　 　　49003
蜻蛉
正方形ABDCを作る
BDを底辺とする正三角形で頂点が正方形内部にあるものの頂点をP'とする
∠PBD=15°+45°=60°、∠P'BD=60°なのでP'は直線P上にある
∠DCP=30°+45°=75°、∠DCP'=75°（△DCP'が頂角30°の二等辺三角形であることより）なのでP'は直線CP上にある
従ってBPとCPの交点であるPはP'と一致する
よって△ABPは頂角が30°の二等辺三角形であるので求める角は75°

これならいいかな？
　　 4月24日（金） 11:36:39　　 　　49004
だいすけ
#49002
どうでもいいですが、、、
問題の与えられた条件で明らかに形が1つに定まるので、埋め込みを1つ見つければOKと思います。
京都　　 4月24日（金） 14:20:40　　 　　49005
SECOND
#49002
蛇足ですが、OA を原点〜ｘ軸に重ねると、OB は、ｙ軸を挿んで対称に見える為、
２つ有る方が自明、ｙ軸上の１つが特別と、、入替る・・考え込む、確認の方法？
　　 4月25日（土） 13:59:39　　 　　49006
ハラギャーテイ
Mathematicaによる数式計算です

なぜか昨日は出来ませんでした
山口市　　 4月25日（土） 17:44:51　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　49007
紫の薔薇の人
#49004

その通りです。
自明に見えて、埋め込みで解く場合は、P´とPが一致することの説明をつけないと不完全なのです。作図方法が違うのですから。
　　 4月25日（土） 17:47:28　　 　　49008
みかん
四角形ＡＢＣＤがあり、
・ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ
・角Ｂ＝１０８度、角Ｃ＝４８度
の時、角Ｄの大きさは？

正多角形の埋め込みで解く有名問題（算チャレでも類題はあったと思う）ですが、
こういう解法は中学入試算数では常道ではないのでしょうか？　
　　 4月25日（土） 18:30:12　　 　　49009
Bamboo
埋め込みになっていることを示さなきゃダメってことなんじゃないのかな
みかんさんの示した問題では出題の図に順に正三角形、正五角形を書き加えるのでその過程で埋め込みであることが示されるけど、今回の算チャレの問題ではそうなっていないんじゃないでしょうか。
正方形を描いたあと、Pと新しく出来た正方形の頂点を結ぶと出来る三角形が正三角形であることを示さずに正三角形であるものとして解を導くのはダメでしょう。
　　 4月25日（土） 23:59:41　　 　　49010
みかん
正方形と正三角形の組み合わせたよくある図になりそう
→お、やっぱり思った通りだ。ラッキー！
…というのはダメだよ、きちんと解いたとは認めないよ、ということですよね。

数学ならその通りなんだけど、算数ならそこまで要求しないんじゃないかなぁ。過去問などでどう扱われているか気になります。
図形問題で細かい長さや角度などの条件がないのをいいことに、都合よく
特殊化して解くのも算数ならアリだと思っていますが。このあたり、
「特殊な場合以外でも成立するのをきちんと証明すべき」という数学派と
「とりあえず答えは出たからいいだろう」という算数派の考えの違いなのでしょうか。
　　 4月26日（日） 0:47:17　　 　　49011
ばち丸
コロナだし暇そうな人が多いので、こんなのはいかが？

四角形ＡＢＣＤがあり、∠Ａ＝４０°、∠Ｄ＝５０°、ＡＢ＝１、ＢＣ＝２、
ＣＤ＝√３のとき∠Ｃの大きさを求めなさい
　　 4月26日（日） 16:06:36　　 　　49012
ゴンとも
#49012

すみません今答えだけで70°
解答は今まとめるところですが・・・
豊川市　　 4月26日（日） 23:16:45　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　49013
ゴンとも
#49012

すみません今答えだけで70°
解答は今まとめるところですが・・・
豊川市　　 4月26日（日） 23:20:43　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　49014
ゴンとも
#49012

すみません110°でした。リロードで同じ書き込みが・・・
豊川市　　 4月26日（日） 23:26:44　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　49015
ゴンとも
#49012

解答まとめました。
なかなか大変な問題だったような気がします!!

AB,DCの交点Eとすると
∠AED=180-40-50=90で直角で
□ABCD=△AED-△BEC=△BCD+△ABD
ここで△AED,△BECは直角三角形より
BE=a,EC=sqrt(4-a^2)より
△BEC=a*sqrt(4-a^2)/2
△AED=(a+1)*(sqrt(4-a^2)+sqrt(3))/2 より
△AED-△BEC=(sqrt(4-a^2)+sqrt(3)*a+sqrt(3))/2・・・・・・(1)
また
△BCD=2*sqrt(3)*sin(∠BCD)/2=2*sqrt(3)*(a/2)/2=sqrt(3)*a/2
△ABD=sin(2*%pi/9)*sqrt(2*sqrt(3)*sqrt(4-a^2)+2*a+8)/2 より
△BCD+△ABD=
(sqrt(2)*sin(2*%pi/9)*sqrt(sqrt(3)*sqrt(4-a^2)+a+4)+sqrt(3)*a)/2
これと(1)が等しいから
sqrt(2)*sin(2*%pi/9)*sqrt(sqrt(3)*sqrt(4-a^2)+a+4)-sqrt(4-a^2)-sqrt(3)
変形して
2*sqrt(3)*sin(2*%pi/9)^2*sqrt(4-a^2)-2*sqrt(3)*sqrt(4-a^2)+a^2+2*sin(2*%pi/9)^2*a+8*sin(2*%pi/9)^2-7
変形して
a^4+4*sin(2*%pi/9)^2*a^3-(-16*sin(2*%pi/9)^4+8*sin(2*%pi/9)^2+2)*a^2
-(28*sin(2*%pi/9)**2-32*sin(2*%pi/9)^4)*a+16*sin(2*%pi/9)^4-16*sin(2*%pi/9)^2+1
これをaについて解くと
a=2*sqrt(3)*sin(2*%pi/9)*sqrt(1-sin(2*%pi/9)^2)-2*sin(2*%pi/9)^2+1
変形して
a=2*sqrt(3)*cos(2*%pi/9)*sin(2*%pi/9)+2*cos(2*%pi/9)^2-1
ここでsin(∠BCE)=a/2　より
sin(3*a)=3*sin(a)-4*sin(a)^3=-1/2にXMaxima で代入して
factor(ev(3*sin(a)-4*sin(a)^3+1/2,sin(a)=(2*sqrt(3)*cos(2*%pi/9)*sin(2*%pi/9)+2*cos(2*%pi/9)^2-1)/2))$
trigreduce(%);0 より3*sin(a)-4*sin(a)^3=-1/2を満たし∠BCE=70°より
∠C=∠BCD=180°-∠BCE(=70°)=110°・・・・・・(答え)
豊川市　　 4月27日（月） 0:47:20　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　49016
「数学」小旅行
#49012　三角関数を使いました。
ABの延長とDCの延長との交点をEとします。角Eは直角です。
sinC=BE/CB
また、ＣＢ^2=ＢＥ^2+ＥＣ^2　だからADについての方程式が
2^2=(ＡDcos40-1)^2+(ADsin40-root3)^2　で
AD=4sin70　(合成しました)
よって、BE=4sin70cos40-1=2(sin110+sin30)-1=2sin110（積を和に）
よって、sinC=BE/CB=2sin110/2=sin110

コロナで時間をもてあましますね！
　　 4月27日（月） 5:23:04　　 　　49017
ばち丸
皆様、いろいろ考えて頂きありがとうございます。
ゴンともさん：ソフトのことはよくわかりません。すみません
数学小旅行さん：三角関数で行けたのにはちょっと驚きました。汚い式になりそうだから
非力な私はちょっと尻込みしたのであるが。
はめこみって三角関数を上手に使うと多くは解けるんでしょうかね。
（これは考え事をする面白いヒントだ）

想定解を書きます。はめこみが流行っているから、はめこむのは正三角形だけじゃないんだよ。
1:2:√3の三角形だってはめこめるんだよと主張したつもりでした。下の方の私の解
#48990　でもそうしたつもりだったのでよろしければ追っかけてみてください。（こちらは直角2等辺3角形）

∠A＋∠D＝90度で１、2、√３という有名数が並んでいるので1:2:√3の三角形が書きたくなります。
Eを四角形ABCDの外側にとり、BE=1、CE=√3となるように取ります。
一方、ABとCDの延長線の交点をFとします。すると△CDEは2等辺三角形だから
２∠CDE＝∠ECF…（1）
同様にして２∠EAB＝∠EBF…（2）、BCFEは同一円周上にあるから∠FCE＝∠EBF…（3）
（1）（2）（3）により∠EAB=∠CDE。従って∠AEB＝∠CED。だから∠AED=90度。
一方、△EAB∽△EDC（2角が等しい）で相似比が1:√3だからAE:ED＝1:√3。
まとめると△AEDはAE:ED＝1:√3で∠E＝90度だから∠EAD＝60度である。∴∠EAB＝∠EDC＝20度、∴∠ECD＝140度、∴∠BCD＝∠ECD−∠ECB＝140-30＝110度

　　 4月27日（月） 21:13:30　　 MAIL:hbmath1965@yahoo.co.jp 　　49018
紫の薔薇の人
#49012

不完全ですが、解答もどき。

ABとCDの交点をEとすると、AE⊥ED
(☆)△AED内にFD＝2、FC=1となる点Fをとると、
∠FDC＝30°、FC⊥ED
ここで、AB＝FC、AB//FCより、□ABCFは平行四辺形。
だから、AF＝BC=2＝FD
より、△AFDは二等辺三角形。
よって、∠DAF＝∠ADF＝50°-30°＝20°
∠BCF＝∠BAF=∠BAD−∠DAF＝40°-20°＝20°
∠C＝∠BCF+∠FCD＝20°+90°＝110°

この回答の不完全なところ。
(☆)でFが△AEDの内側にとれる保証がないこと。

　　 4月27日（月） 23:15:59　　 　　49019
SECOND
!#49012
!数学でなく機械計算だけど、答が 10^-15 以下の端数を持たない条件があれば、
!同精度の近似値に、一瞬で収束。十進BASICで実行。結果∠DCB= 110 °

OPTION ARITHMETIC COMPLEX
LET A=COMPLEX(0, 2)
LET B=EXP(COMPLEX(0,-40*PI/180))+A
LET D=A+5
DO
LET C=SQR(3)*EXP(COMPLEX(0, PI+50*PI/180))+D
LET BC=ABS(B-C)
LET D=D-(BC-2)
LOOP UNTIL BC=2
PRINT "∠DCB=";arg((B-C)/(D-C))*180/PI;"°"
　　 4月27日（月） 23:22:07　　 　　49020
紫の薔薇の人
#49019

☆
FはADに関してEの側にあり、AEに関してDの側にあり、EDに関しAの側にあることが、それぞれ示せるから、問題なしでした。
　　 4月27日（月） 23:23:30　　 　　49021
ベルク・カッツェ
照明であれば「一辺とその両端の核が等しいので三角形PBCとP'BCは合同」の一文がないと、テストだと減点されそうですね。
算数なら、あるいは数学でも証明でなく単に説明するだけなら自明なので書いていなくても問題ないと思います。
　　 4月29日（水） 20:49:38　　 　　49022
ベルク・カッツェ
証明が照明になっていました。
　　 4月29日（水） 20:50:02　　 　　49023
紫の薔薇の人
#49022

正確には、△PBCと△P'BCが合同なだけでは駄目で、
△ABCと△PBCの相対位置関係と、△ABCと△△P'BCの相対位置関係が同じまで言わないとダメ。
また、埋め込み解法は、元の問題に複数解があるような問題の場合、他の埋め込み方法で別の解が出ないことを保証しない。

だから、ひらめきで埋め込みが見つかったら、逆に元の条件だけからDを作図した方が早い。
　　 4月29日（水） 23:29:26　　 　　49024