茖永��

algebra

SQ＝x，∠CQS＝θとおくと，3cosθ＋3＋5sinθ＝3sinθ＋5＋2cosθ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝5cosθ＋2＋xsinθ
これより，sinθ＝3/5，cosθ＝4/5，x＝4(cm)

　　 11月21日（木） 0:35:40　　　　48551

紫の薔薇の人

まずは、力技。

∠APR＝θ、SQ=xとおく。

すると、各線分の長さがｘとθで表され、
正方形の四辺の長さが等しいことから立式して整理すると、

cosθ+2sinθ＝１・・・・・①
x=(2+5cosθ-2sinθ)/(1+cosθ-sinθ)・・・②

①を解くと、cosθ＝4/5、sinθ＝3/5
②に代入して、x=4
//

　　 11月21日（木） 0:40:25　　　　48552

ゴンとも

AP=aとしてAR=sqrt(9-a^2)
ここで△ARP∽△BRT より
3:5=AR(=sqrt(9-a^2)):BR より BR=5*sqrt(9-a^2)/3
3:5=AP(=a):BT より BT=5*a/3
また△BTR∽△DTS より
5:2=BR(=5*sqrt(9-a^2)/3):DS より DS=2*sqrt(9-a^2)/3・・・・・・(1)
5:2=BT(=5*a/3):DS より DT=2*a/3
正方形の一辺=AP(=a)+PR(=3)+BR(=5*sqrt(9-a^2)/3)=AR(=sqrt(9-a^2))+RT(=5)+TD(=2*a/3)
a+3+5*sqrt(9-a^2)/3=sqrt(9-a^2)+5+2*a/3
a/3+2*sqrt(9-a^2)=2
a+2*sqrt(9-a^2)=6
2*sqrt(9-a^2)=6-a 両辺正だから辺々2乗して
4*(9-a^2)=(6-a)^2
36-4*a^2=36-12*a+a^2
5*a^2-12*a=0
a*(5*a-12)=0
a=12/5 より
正方形の一辺=42/5 より
BT(=5*a/3=4)+TS(=2)+SC=42/5 より
SC=42/5-2-4=12/5
ここで(1)とよりDS=2*sqrt(9-a^2)/3=6/5 このSC,DSと
△DST∽△CSQ より
TS(=2):SQ(=?)=DS(=6/5):SC(=12/5) より
SQ=?=24*5/(5*6)=4・・・・・・(答え)

豊川市　　 11月21日（木） 1:54:23　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　48553

紫の薔薇の人

4つの三角形は、相似だから、
もし、(★)△BRTの全周＋△TSDの全周＝△ARPの全周＋△SCQの全周
が言えれば、RT+TS＝RP+SQが言えて、
SQ＝5+2-3=4と出せることになるのだが、(★)がうまく導けない。

　　 11月21日（木） 2:33:52　　　　48554

ゴンとも

座標でR(0,0),T(5,0)として
点R,Tを中心にそれぞれ長さa,sqrt(25-a^2)の円の交点として点Bを求め
直線BR,BTの方程式が求まり
それぞれx^2+y^2=9,(x-5)^2+y^2=4との交点で点P,Sが求まり
点A,Dも求まりDA=BR+RP-Pのy座標でaが求められ
正方形の一辺が求まり
点Bを中心に長さが正方形の一辺の円との交点で点Cが求まり
点Cを通り直線BCに直交する直線でx=Dのx座標としてQのy座標が求まり
先のSのy座標-Qのy座標=SQが求まり答えがでる　XMaxima で

part(solve([x^2+y^2=a^2,(x-5)^2+y^2=25-a^2],[x,y]),2)$
part(solve([x^2+y^2=9,y=rhs(part(%o1,2))*x/rhs(part(%o1,1))],[x,y]),2)$
part(solve([(x-5)^2+y^2=4,y=-rhs(part(%o1,2))*(x-5)/(5-rhs(part(%o1,1)))],[x,y]),2)$
factor(rhs(part(%o3,1))-rhs(part(%o2,1))-rhs(part(%o2,2))-3-a)$
part(solve(expand((factor(part(num(%),1)-sqrt(expand(part(num(%),2)^2))))^2-(num(%)-part(num(%),1)-part(num(%),2))^2),a),1)$
ev(%o1,a=3)$ev(%o2,a=3)$ev(%o3,a=3)$
part(solve([(x-rhs(part(%o6,1)))^2+(y-rhs(part(%o6,2)))^2=(rhs(part(%o8,1))-rhs(part(%o7,1)))^2,y=-rhs(part(%o6,2))*(x-5)/(5-rhs(part(%o6,1)))],[x,y]),1)$
rhs(part(%o8,2))-rhs(y=(5-rhs(part(%o6,1)))*(rhs(part(%o8,1))-rhs(part(%o9,1)))/rhs(part(%o6,2))+rhs(part(%o9,2)));
4・・・・・・(答え)

豊川市　　 11月21日（木） 13:02:45　　　　48555

「数学」小旅行

３：４：５の直角三角形では！？とアタリを付けて正解！！ですが、・・・

　　 11月21日（木） 6:27:28　　　　48556

ベルク・カッツェ

考えてたらいつの間にか寝てました。
ＡＲを○3、ＡＰを□3とすると、ＡＤ+ＢＣ＝○3+○？+7ｃｍ+□7、ＡＢ+ＣＤ＝○7+3ｃｍ+？ｃｍ+□3+□？で、正方形なのでＡＤ+ＢＣ＝ＡＢ+ＣＤで○？+4ｃｍ+□4＝○4+？ｃｍ+□？になります。
xとyが変化してもax+4y＝4x+ayが成り立つのはa＝4のときなので答えは4ｃｍ。
最後が数学のような気が……とりあえず布団に入って寝ます。

　　 11月21日（木） 6:38:30　　　　48557

にゃもー君

△ＡＰＲ∽△ＢＴＲ∽△ＤＴＳ∽△ＣＱＳなので
ＳＱ＝ｘ　ＡＰ＝３ｂ　ＡＲ＝３ａなどとして、正方形の１辺の長さを元に立式して
ａとＸの関係式を２つ導き、Ｘを４と算出しました。
Ｘに関する２次方程式を使用。

浦和　　 11月21日（木） 20:54:42　　 HomePage:アニメネタで入試問題を作って放置中のページ　　48559

今年から高齢者

連立方程式でしか解けなかった
AP=3a, AR=3bして、SQ=x、正方形の一辺Lとすると
AP+PB=3a+3+5b=L……..①
AD=3b+5+2a=L………….②
BC=5a+2+bx=L………….③
DQ+QC=2b+x+ax=L……④
①-②=a-2+2b=0
∴a=2-2b
③④に入れて
(3-3b)x=12-12b
x=4（cm）

　　 11月22日（金） 13:35:24　　　　48560

紫の薔薇の人

#48552訂正

まずは、力技。

∠APR＝θ、SQ=xとおく。

すると、各線分の長さがｘとθで表され、
正方形の四辺の長さが等しいことから立式して整理すると、

cosθ+2sinθ＝2・・・・・①
x=(2+5cosθ-2sinθ)/(1+cosθ-sinθ)・・・②

①を解くと、cosθ＝4/5、sinθ＝3/5
②に代入して、x=4
//

　　 11月23日（土） 0:24:33　　　　48561

Jママ

https://f.uploader.xzy.pw/eu-prd/upload/20191123035447_41475a3870.jpg
(二つあるD'のうち、右側はC'の誤りです)
PQについて線対称になるよう図形を書き足すと、θ=∠APRとすると
∠BPQ=(π-θ)/2
∠ATT'=2π-(π/2+θ+π/2+(π-θ)/2)=(π-θ)/2=1/2*∠ATC
よって∠BPQ=∠A'T'T
TからA'D'、QからBA'に下ろした垂線の足をそれぞれE,Fとすると
△TET'≡△QFP となるので　T'E=PF
A'D'-T'E=A'B-PF　なので
BT+D'T'=A'P+CQ
すなわち　BT+DT=AP+CQ
△APR∽△BTR∽△DTS∽△CQSなので
RT+ST=RP+SQ
SQ=5+2-3=4

図が見えるでしょうか、雑な解答ですみません。
算数解法探しましたが、合っているでしょうか？
#48554 紫の薔薇の人さんの書き込みも参考にさせていただきました。

　　 11月25日（月） 0:14:21　　　　48562

にこたん

地道に計算しました。

超ど田舎　　 11月23日（土） 14:40:05　　 HomePage:きままに　　48563

紫の薔薇の人

#48552

合っているように思います。
折れ線の長さの和を、直線上の線分の和に帰着させたのは、見事な収束でした。

　　 11月24日（日） 18:00:26　　　　48564

Jママ

#48564 紫の薔薇の人さま解法チェックいただきありがとうございました。
誤字脱字があったので気がついた所はなおしました。
正方形を問題のように折れば、角度によらず長さの和が一定なのは私には新発見でした。

　　 11月25日（月） 0:20:29　　　　48565

紫の薔薇の人

#48555
高校への数学　目で解く幾何　円・三平方編の問題編16の□６の問題が
本問の類題で、本問の図でDがBC上に来てSとTが一致している場合でした。
その問題では、PR=2、TQ(=SQと一致)=5がgivenで、RT(=RSと一致)を求めるものでしたが、
同じようにして、PR+RT＝TQを導いて、RT=3と解いています。

この問題の記憶が、どこかに残っていたのかと思います。

　　 11月26日（火） 0:13:33　　　　48566

ボンクレ（オカマ）

掲示板に載せるの初めてなので間違っていたら申し訳ありません
まず△APR △BTR △DTS △CQSは全て相似形なので
AP＝3a AR＝3b RB＝5b BT＝5a
TD＝2a DS＝2b SC＝xb CQ＝xa とします
折る前の形は正方形なので四辺は全てイコールになります
よって
AB＝3a＋5b＋3 BC＝5a＋xb＋2
CD＝xa＋2b＋x DA＝2a＋3b＋5 となります
AB＋CD＝BC＋DAとすると
（3＋x）a＋（7）b＋（3＋x）＝（7）a＋（x＋3）b＋（7）
よりx＝4
あまり得意なのではないのですがやってみました。おかしいところあったら訂正お願いします

　　 11月26日（火） 22:03:17　　　　48567

紫の薔薇の人

#48567

（3＋x）a＋（7）b＋（3＋x）＝（7）a＋（x＋3）b＋（7）
⇔(x-4)(a-b+1)=0
⇔x=4または、a-b+1=0

つまり、x=4と言うためには、a-b+1≠0を示さないといけません。

そこで、a-b+1＝0とすると、
a^2+b^2=1なので、
これを連立すると、(a,b)=(-1,0)、(0,1)
a>0、b>0なので矛盾。
よって、a-b+1≠0が示せたので、x=4
//

実際には、a=4/5、b=3/5。

　　 11月26日（火） 23:22:38　　　　48568

ボンクレ（オカマ)

#48568
手直しありがとうございます。因数分解してa －b＋1≠0を示さないとなんですね。
確かにそうですね。
紫の薔薇の人さん手直しありがとうございます。

　　 11月27日（水） 0:23:39　　　　48569

kyorofumi

#48550
おすまんさん、ありがとうございます。何か関連する数学的背景があればお伝えいただけると大変ありがたいです。

　　 11月27日（水） 0:38:13　　　　48570