茖永��

紫の薔薇の人

図の寸法、方べきの定理が成り立たないような気がする。

　　 7月25日（木） 0:09:53　　　　48267

algebra

直感で回答して一瞬正解したと思ったあと、よく考えたら方べきの定理が成り立ちません。

　　 7月25日（木） 0:14:40　　　　48268

今年から高齢者

対辺の弦の中心を垂線で結んだ線上に円の中心がある。
なのに、弦の長さが下が長い．．．
弦の中心と、辺の長さを用いて試行錯誤で図面を描いたら、3.5±0.1になったが、円にならない。

　　 7月25日（木） 0:41:28　　　　48269

2709

適当に認証でこじ開けたけど
EF=LKだから円の中心(Oとする)からAB,ADに下ろした垂線(下ろした点をM,Nとする)の長さが等しく(OM=ON)
OAが共通なのでAM=ANよりAL=1がわかって
AD=BCよりKD=4でなんであわんの？と思ったけど図形が多分成り立たないですね

　　 7月25日（木） 0:44:42　　　　48270

kazsyun

中心が決まらないようです

　　 7月25日（木） 7:51:27　　　　48271

マサル

いま、状況を確認いたしました。授業までの間に検証しますが、どうやら思いっきりミスをしてしまったようです。大変、申し訳ございません。少々お待ちを...

iMac　　 7月25日（木） 8:14:48　　 HomePage:算チャレ　　48272

巷の夢

方べきの定理が成り立たない図形なのに・・・・？でも、正解者がいる
それでは一番最初に勘で出した7/2で行こうと・・・、入れました。

真白き富士の嶺　　 7月25日（木） 14:57:30　　　　48273

スモークマン

想定解が知りたいので適当に入りましたが...^^
最初...
左上が1-2.1-2だから、7-(1+2)=4
だと思うも入れず...
よく見たら...右下が1-4,1-3となってる ^^;
1-4なら、1-4
1-3なら、1-3
になるはずですよね？

元々の問題の狙いどころはどうでしたんでしょうかしらん...^^

　　 7月25日（木） 15:21:13　　　　48274

せいちゃん

7／2で正解なの？

竜田川の辺り　　 7月25日（木） 22:29:54　　　　48275

マサル

授業を終え、帰宅しました。

想定していたのは、AE+BG+CI+DK = FB+HC+JD+LA を利用するもの、でした。（これは、平行四辺形がこのように円と交わるとき、一般に成り立つものと考えていますが、いかがでしょうか）

なお、元ネタは、数オリの（どこかの国の予選の）過去問です。

（言い訳を含んだ言い方になりますが）夏期講習中で検証の時間もほとんど取れない状況の中で出題して良いレベルの問題ではありませんでした。大変、申し訳ございませんでした。m(_ _)m

iMac　　 7月25日（木） 23:32:25　　 HomePage:算チャレ　　48276

ベルク・カッツェ

想定解の3.5で設定したとのことですが入れません、7/2で入れました。

　　 7月26日（金） 1:00:14　　　　48277

ベルク・カッツェ

私の解答は4ｃｍになりました。
円の中心をＯとすると、三角形ＯＥＦとＯＬＫは合同な二等辺三角形なので、それぞれの角Ｅと角Ｌの外角は等しい鈍角となる。三角形ＡＥＯとＡＬＯは二辺とその間でない対応する鈍角がそれぞれ等しいので合同、よってＡＬ＝ＡＥ＝1。ＡＤ＝ＢＣ＝2+4+1＝7なので、ＫＤ＝7-（1+2）＝4。

念のため追記。
三角形の合同条件ですが、二辺夾角相等の夾角である理由は、二辺の間でない角が等しい場合は三角形が二通りできてしまう場合があるから合同とは言えないため。具体的に図形を書いてみると分かりますがこれは等しい角が鋭角の場合です。等しい角が直角や鈍角である場合はちゃんと合同になります。直角のほうは直角三角形の合同条件に普通にありますね。

　　 7月26日（金） 1:32:07　　　　48278

ベルク・カッツェ

違う長さであるはずのＨＣとＣＩが等しくなっているなどおかしい点がありますね。もっと長いはずのＡＥも同じく1とか。
ちょっと図形を複雑にし過ぎたのではないでしょうか。

想定解の解法については、なぜそうなるのか検討してみます。

　　 7月26日（金） 1:33:50　　　　48279

量子論

円周角、平行、相似を使うと、矛盾が生じたのでおかしいなと
思いつつも、正解者いるしなあ、と考えに考えて、
とりあえずだしたのが、23/7
平行四辺形の各辺で円の内部にある各線分の垂直２等分線上に
円の中心があるはずで、交点が円の中心。垂直２等分線を延長し、
底辺を右側に延長した線との交点を使って、直角３角形を作り、
直角３角形の相似から出した。でも3.5にはならないんで、
何かおかしいということか。

　　 7月26日（金） 1:35:08　　　　48280

スモークマン

>AE+BG+CI+DK = FB+HC+JD+LA(円と平行四辺形との交わりの関係)

自分なりに考えてみました...

円と正方形とのとき...中心を一致させて状態から...左右、上下に動かせば、右上＋左下=左上+右下...で当たり前のように成り立ちますね ^^
平行四辺形のときも...最初の位置をそれぞれの中心を一致させたところから、左右、上下に動かせば同様に成立しますね ^^

　　 7月26日（金） 14:36:14　　　　48281

おすまん

>ミスへのご批判や今回の問題の検証、修正可能性など、
>忌憚のない意見をお聞かせくださればと思います。
>本当に申し訳ございませんでした。

批判などあろうはずもなく…
お気になされずに♪

somewhere in the world　　 7月27日（土） 23:29:03　　　　48282

ベルク・カッツェ

平行四辺形を辺ＡＤに平行に移動させた場合、ＡＤとＢＣで右上、右下、左上、左下の増減は一致しますが、ＡＢとＤＣについては変化がよく分かりません。
仮に一致するとしても小学生の範囲で分かるのでしょうか。

追記
やっと理解。実はＡＢに対して垂直水平各方向に分けて考えれば簡単でしたね。

　　 7月29日（月） 6:00:37　　　　48283

いしましゃ

平行四辺形の中にいろいろ補助線を引いて、相似比などを活用すると７７／２３となりましたが、そのような解になった方はいらっしゃいませんか。

　　 7月29日（月） 15:58:53　　　　48284

ベルク・カッツェ

移動に関しては納得できましたが、前提となる、ひし形でない平行四辺形の対角線の交点を円の中心に一致させたときのAE+BG+CI+DK = FB+HC+JD+LAはどのように証明すればよいのでしょうか。

　　 7月29日（月） 22:44:05　　　　48285

算チャレファン

次回の出題は、８月７日(木)と書かれていますが、日付と曜日が合っていません。

　　 7月31日（水） 7:42:22　　　　48286

のぶじい

頂点Ｂで方べきの定理が成り立ちません。

　　 7月31日（水） 10:04:53　　　　48287

スモークマン

再考してみました...^^;
平行四辺形で、各辺と円が交わってるとすれば、平行四辺形の対角線の交点と円の交点が一致してる場合から考えてみると...円の中心を対角線に沿って移動したとき...右上の2線分と左下の2線分の増減は相殺
右下の2線分と左上の2線分の増減は相殺...
それぞれの対角線の移動で常に言えるので...円の中心の移動はそれらの合成の移動として考えられるので...
言えるのではないのかいなぁ...アバウトなことで...^^; Orz～

　　 8月1日（木） 0:25:05　　　　48288

ベルク・カッツェ

やっぱりAE+BG+CI+DK = FB+HC+JD+LAは成り立たない気がするのですが。
円の中心とひし形ＡＢＣＤの対角線の交点を一致させた状態からＡＢをＤＣのほうに動かしてみると、合わなくなりませんか？
私の勘違いかも知れませんが。
とりあえずここまで、成り立つという証明は出ていませんよね。

　　 8月2日（金） 23:33:44　　　　48289

ベルク・カッツェ

ＡＢをＤＣ方向に動かした場合、ＬＡとＢＧは同じだけ短くなります。ＡＥとＦＢについては、ＡＢの移動をＡＢに垂直な移動と平行な移動に分けて考えると、垂直な移動では同じだけ短くなりますが、平行な移動についてはＡＥが長くなる分ＦＢは短くなってしまいます。

　　 8月2日（金） 23:44:26　　　　48290

紫の薔薇の人

□ABCDが菱形ならば、AE+BG+CI+DK = FB+HC+JD+LAは成立するようです。

FB=a,BG=b,HC=c,CI=d,JD=e,DK=f,LA=g,AE=h
AD=BC=x,AB=CD=y
とおくと、
方べきの定理から
b(x-c)=a(y-h)・・・①
c(x-b)=d(y-e)・・・②
f(x-g)=e(y-d)・・・③
g(x-f)=h(y-a)・・・④

①-②+③-④を計算すると、

(b-g-c+f)x=(a-h-d+e)y・・・・⑤

ここで、ABCDが菱形ならば、x=yとなり、

b-g-c+f=a-h-d+e・・・・⑥

よって、a+c+e+g=b+d+f+h
//

しかし、x=yでなければ、一般的には、⑥は言えないのでないかと。

原題を改題するならば、
□ABCDを菱形として、
FB=a,BG=b,HC=c,CI=d,JD=e,LA=g,AE=h
だけを与えて、EF、GH、IJ、KLは与えないで、
DK=fを答えさせるようにすればよかったのでないかと。

ただし、算数で解けるかは、わかりませんが。

　　 8月3日（土） 4:53:28　　　　48291

tomh

気になったので確認してみました。
とはいえ、図形的にはさっぱり閃かないので、座標置きで計算してみました。

平行四辺形の対角線の交点と円の中心が一致していて、
円が平行四辺形と各辺で二か所ずつ交わる状況において、
ゴリゴリと計算したところ、当該公式が成り立つのは、
ひし形か長方形のときであるという結果になりました。
一般の平行四辺形では成立しないようです。

新潟市　　 8月3日（土） 5:21:55　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp 　　48292

紫の薔薇の人

b(x-c)=a(y-h)・・・①
c(x-b)=d(y-e)・・・②
f(x-g)=e(y-d)・・・③
g(x-f)=h(y-a)・・・④
(b-g-c+f)x=(a-h-d+e)y・・・・⑤

b-g-c+f=a-h-d+e・・・・⑥
a+c+e+g=b+d+f+h・・・・⑦

x=y・・・・・⑧

問題文⇒①∧②∧③∧④⇒⑤

ここで、
⑦⇔⑥
⑤∧⑥=>⑧

なので、

問題文∧⑥=>⑧

つまり、□ABCDは菱形でないといけない。

　　 8月3日（土） 10:26:12　　　　48293

スモークマン

再考 ^2
紫の薔薇の人のご考察からも明らかですが☆
どうも...ひし形(正方形を含む)の場合だけですね ^^;
最初それぞれの中心を一致させた後、平行移動させても...(水平移動で言えることは上下移動でも言えるので)
AE+CI=一定
FB+JD=一定
BG+DK=一定
HC+AL=一定
が言えるだけで...

最初、AE=AL,BF=BGのときでないと...
AE+BG+CI+DK = FB+HC+JD+LA になれませんね ^^;; Orz～

　　 8月3日（土） 21:12:07　　　　48294