にゃもー君
75度で入れちゃいました。正解なのか不安ですが。
　　 9月20日（木） 0:21:14　　 　　47563
ベルク・カッツェ
ＡＤをＡ方向に延長してｓの先にＰ’をとると角ＡＰＢ＝角ＡＰ’Ｂ＝角ＡＢＣ＝（180-30）÷2＝75度、三角形ＤＢＣは正三角形なので角ＡＢＤ＝75-60＝15度。ＡＰとＢＤは垂直になり、その交点をＱとすると、一辺とその両端の書くが等しいので三角形ＡＤＱと三角形ＰＤＱは合同、そして三角形ＡＱＢ三角形ＰＱＢも合同なので角ＡＰＢ＝角ＰＡＢ＝75度になります。
　　 9月20日（木） 0:16:03　　 　　47564
紫の薔薇の人
△DBCは正三角形になるから、∠DBC＝60°
AD//BCから、∠ABC=∠BAP＝(180-30)/2=75°
よって、∠ABD＝15°
よって、AP⊥BD
よって、∠BDC＝60°より、∠DPA＝30°＝DAP
よって、BDは、△ADPの線対称軸。
よって、∠APB＝∠PAB＝75°

　　 9月20日（木） 0:22:17　　 　　47565
kyuuhunn
要は、四角形ABCDは「正三角形を２つ組み合わせた平行四辺形」の折り返し図。
よくできた問題です。
それに気づかなくても、三角形ABD≡三角形PBD がわかれば瞬殺！
　　 9月20日（木） 0:31:05　　 　　47566
ベルク・カッツェ
#47566
台形Ｐ’ＢＣＤの折り返しですね。向かい合う角が等しくないので平行四辺形ではありません。
　　 9月20日（木） 0:52:43　　 　　47567
ゴンとも
座標でB(1,0),C(0,0),D(1/2,sqrt(3)/2),P(a,sqrt(3)*a)とすると
直線AP:y=sqrt(3)*(x-a)/3+sqrt(3)*a・・・・・・(1)
これと直線BCとの交点をQとして
(1)でy=0として点Qのx座標が求まり
(1)でy=sqrt(3)/2として点Aのx座標が求まり
∠PAB=∠ABCより△AQBは二等辺三角形でAQ=BQで
三平方からaが求まり
△PQBで錯角で∠DAP=∠BQP=30°
これと∠PBQとの和が∠QPBの補角(=∠APB)で答えとなる
ここでtan(∠PBQ)=sqrt(3)*a/(1-a)より先のaよりこれが求まり
以上の計算は　XMaxima で

rhs(part(solve(0=sqrt(3)*(x-a)/3+sqrt(3)*a,x),1))$
rhs(part(solve(sqrt(3)/2=sqrt(3)*(x-a)/3+sqrt(3)*a,x),1))$
rat(factor(ev(sqrt(3)*a/(1-a),part(solve((%o2-%o1)^2+3/4-(1-%o1)^2,a),2)))),algebraic;1　より

tan(∠PBQ)=1より∠PBQ=45°これと∠BQP(=30°)との和=∠APB=75°・・・・・・(答え)　
豊川市　　 9月20日（木） 1:23:45　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　47568
とまぴょん
DABPがタコ型であることから出しました。暗算です。
　　 9月20日（木） 5:42:15　　 　　47569
「数学」小旅行
ＡＰ⊥ＢＤになっていることから・・・
　　 9月20日（木） 6:05:38　　 　　47570
今年から高齢者
ＡＰとＢＣの交点をＥとすれば��ＥＡＢは二等辺三角形なので、∠ＢＡＰ＝７５度。��ＤＡＰは二等辺三角形。
��ＢＣＤは正三角形であり、ＢＤはＡＰを垂直二等分するので、∠ＢＡＰ＝∠ＢＰＡ＝７５度
　　 9月20日（木） 8:43:04　　 　　47571
kyuuhunn
平行四辺形ではありませんでした
正しくは,台形です　(前の私のコメントに対し)
ご指摘ありがとうございます。
　　 9月20日（木） 17:09:42　　 　　47572
cocogoo
今年から高齢者さんと同じ方法でときました。特別な考えを使わず、閃きも不要で素直に補助線2本引くだけで初等幾何で解ける久しぶりの問題です。
　　 9月20日（木） 19:59:17　　 　　47573