ベルク・カッツェ
縦交互に4ライン、横交互に4ラインで完了、8回です。
　　 5月31日（木） 0:03:32　　 　　47307
今年から高齢者
一列や一行を長方形とみるのがなかなか難しいかも...
二列ずつ4回、二行ずつ4回、でもできますね。（列12，67，23，56。行34，78，23，67）
これなら明らかに長方形です。
　　 5月31日（木） 0:53:21　　 　　47308
みかん
縦１列を１列おきにひっくり返すのが４回。
その後、横１行を１行おきにひっくり返すのが４回。
つまり４＋４＝８回。

８回ひっくり返せば全部１色になるのは分かったけれど、これが最少と
言えるのかなぁ？
　　 5月31日（木） 0:12:04　　 　　47309
baLLjugglermoka
目で解いたら一回間違えた。余裕かましすぎました
　　 5月31日（木） 0:15:37　　 　　47310
おすまん
自分史上最速・最高順位＋一発で正解でした v(^^
#47309 みかんさま おっしゃるとおり、8回が最少回数なのかな？と
思いつつ、送信しました。

somewhere in the world　　 5月31日（木） 0:16:11　　 　　47311
にこたん
とりあえず８で。
超ど田舎　　 5月31日（木） 0:20:05　　 　　47312
ベルク・カッツェ
2、4、6、8とするところを2-8、3-7、4-6、5のようにしてもいけますが、黒と白が交互になっている以上4回×2は必須な気がしますね。
　　 5月31日（木） 0:39:53　　 　　47313
Jママ
規則を探そうとしましたがよくわからず…
2n×2n→2n回
奇数はどうですか？3→2回、5→3回、7→6回、？？
あ、
間違えてました5→4回で
2n+1→2n回ですね。
　　 5月31日（木） 1:22:56　　 　　47314
ひろちゃん
1 2 3 4 5 6 7 8
A
B
C
D
E
F
G
H
だとすると　2の列　4の列　6の列　8の列　Bの列　Dの列　Fの列　Hの列の8回が最小回数だと思うのですが、それが最小かどうかは証明されてませんね
　　 5月31日（木） 3:02:34　　 　　47315
「数学」小旅行
一行おきに、次に一列おきに操作するといいかな？？
　　 5月31日（木） 6:06:45　　 　　47316
ベルク・カッツェ
8列÷2辺＝4回なので4回×2＝8回が最小なのは明らかだと思うのですが。
　　 5月31日（木） 8:38:05　　 　　47317
ベルク・カッツェ
正確には8列-1＝7、7÷2＝3余り1なので3+1＝4、4×2＝8ですかね。
8個の白黒が交互になっているので境目は7箇所、そこでひっくり返す回数の偶数奇数を変えないといけないので、長方形の2辺が長方形4個分必要、縦横あるので×2です。
ちなみに長方形を小さく（8×□でなく5×□とかに）すると、無駄に回数が増えるだけなので、最後の4×2
も減らせないと思います。
　　 5月31日（木） 8:49:15　　 　　47318
tamachan
1列または1行を反転させると隣と同じになるので、これを繰り返すのか。
　　 5月31日（木） 12:13:57　　 　　47319
しおぱぱ
ひらめきました。１列ずつ反転させればＯＫですね。でもこのやり方が最小かどうか自信はありませんでした。
　　 5月31日（木） 13:13:50　　 　　47320
スモークマン
2*2以上の長方形...個数の変化なし
奇数*奇数...1個だけ減る
1*偶数...偶数/2個減る・・・[[減り方最大]]
8x8...4+4=8回
8x7...4+3=7
7x7...3+3=6
...
2x2...1+1=2
1x1=1 0
so...
2mx2n...m+n 回
2m+(2n-1)...m+(n-1) 回
(2m-1)x(2n-1)...(m-1)+(n-1) 回
のようになるのでは...？
　　 5月31日（木） 21:14:11　　 　　47321
スモークマン
失礼しました...^^;;
1*偶数...は減ってはないなぁ Orz...
↓
　　 5月31日（木） 21:16:50　　 　　47323
にゃもー君
�‘韻故鵑�同じ色で揃うように、隔行の長方形（１×８）を選択する
　隔行なので、４回操作。

●○●○●○●○
○●○●○●○●
●○●○●○●○
○●○●○●○●
●○●○●○●○
○●○●○●○●
●○●○●○●○
○●○●○●○●
　↓　２・４・６・８行目の長方形を選択
●○●○●○●○
●○●○●○●○
●○●○●○●○
●○●○●○●○
下は略

��以下、１つの列について表示　列単位で操作
●○●○●○●○
↓　操作５回目　　　　　　　　　
●●○○●○●○
↓　操作６回目
●●○○●●○○
↓　操作７回目
●●●●●●○○
↓　操作８回目
●●●●●●●●

大阪オフミに合わせて京都も観光予定。
撤去問題に揺れる京大周辺の立て看板観るのが密かな楽しみ。
　　 5月31日（木） 21:28:30　　 　　47324
Jママ
皆様のを参考に最低数である説明を考えました。

例えば横にn列、並んでいるとき、隣の石との境界は(n-1)個、
裏返す範囲を選択すると、その両側にある境界を同じ色にすることができるので
同じ境界を再び選ばなければ1回に2つずつ境界を同じ色にできる。
nが偶数のとき最後に一つだけ残るので、それは最後に一回とする。

よってn行×m列のとき、最短で
[n/2]+[m/2]　回　([]はその値の整数部分を表す)
で全てを同じ色にできる。

ダメかな(^^;

追記、#47318のベルク・カッツェさんのご説明はこのことだと後から気づくなど…(^^;
　　 6月1日（金） 0:17:28　　 　　47325
みかん
上の行から白・黒・白…（逆でも可）と並ぶように、まずは縦列の方向にひっくり返す
その後、横の行方向にひっくり返してどちらかの色に統一する

という手順をとるのであれば、#47325（Jママさん）の通りなのですが、
これ以外の画期的な方法はないと考えてよいのでしょうか？
　　 6月1日（金） 22:41:11　　 　　47326
Jママ
みかんさん、その点は厳密に言えてないですね…
どうしたらよいのやら…
　　 6月1日（金） 23:52:05　　 　　47327
ベルク・カッツェ
下の説明をもう少し分かりやすく。
8×□を使うなら、縦7本横7本なので最低4×2＝8で確定。
縦横7以下の長方形を使うと4辺ともに長さ不足でラインが残ってしまうので、結局余計に長方形が必要。
よって8が最低です。
多分これで完璧だと思いますが、どこか不備があるでしょうか。
　　 6月3日（日） 8:34:41　　 　　47328
Jママ
#47328　ベルク・カッツェさん　
わざわざありがとうございます。
初めは奇蹟のパズルのように7つ以下で絶対できないのかとか、
どうも私の鈍い頭では「完璧」と言い切る自信が持てなかったのですが
結局、一行目や一列目の境界を同じにするのにそれぞれ4つの長方形が必要で
角を使うものを同じ一つとしても七つは必要だが不完全
ということでなんとか落ち着きました。
画像を上げられないので口頭になりますが、
8つの長方形のうち2つが例えば
(0,0)-(7,0)-(7,8)-(0,8)
(0,0)-(8,0)-(8,5)-(0,5)
のとき、これらを
(0,0)-(7,0)-(7,5)-(0,5)
(7,5)-(8,5)-(8,8)-(7,8)
としてもいいのですね。(←ホントか？(^o^ゞ)
ともかくご丁寧にありがとうございました。m(__)m
　　 6月3日（日） 23:16:31　　 　　47329
Sueh
正直自分も、7回以下が不可能な説明にしっくりきておりません。

縦7本（56個の辺）を4回、横7本（56個の辺）を4回で
4+4=8回という計算が納得いきません。
#47329 Jママ様の挙げられた例の場合だと、
横を5回、縦も5回かかって境界を消しているのに
5+5=10回ではなく8回で済んでいるからです。

このように、縦と横を独立に考えることがダメな状況下では、
#47328　ベルク・カッツェ様の
＞縦横7以下の長方形を使うと4辺ともに長さ不足でラインが残ってしまうので、結局余計に長方形が必要。
という説明もうまく消化できません。
#47329 以外の場合とでむりやり場合分けしたところでどんどん複雑になってしまい、
長方形を多く使わざるを得ない論理的な説明には至りませんでした。
もっとも、場合分けは極力避けてエレガントに説明したいのですが。

うーーーん。
　　 6月7日（木） 0:35:42　　 　　47331
ベルク・カッツェ
#47331Suehさん
今回の問題は長さ8の境界線を縦に7本、横に7本用意すればよいので、□×8の長方形が縦に4つあれば長さ8の縦ライン8本、横に4つで横ライン8本できて充分となります。
この次が分かりにくかったところだと思うので、説明し直してみます。
長方形には縦横の辺があるので、長方形を小さくすればひとつの長方形で縦2本、横2本、合計4本までの境界線を引くことができますが、この場合長さ8のうち一部しか引くことができず、残りについてさらに小さな長方形が余分に必要になります。つまり、長方形を小さくすると、ひとつの長方形で作れる境界線の本数は最大で2倍になりますが、長さが不足するため、1本の境界線に対して必要な長方形が複数となり、必要数が1個から2個以上、2倍以上となります。x≦2、y≧2のときｙ/x≧1なので、増えることはあっても減ることはありません。
こんな感じでいかがでしょうか。
　　 6月7日（木） 12:49:09　　 　　47332
u
縦横一列沖に返せば順序関係なく完成
4列×2回＝8回
縦1.3.5.7横1.3.5.7(2.4.6.8)がわかりやすい
　　 6月9日（土） 3:15:11　　 　　47333
水田X
高度な数学に繋がる問題でしようか。
　　 6月13日（水） 19:21:09　　 　　47334