ベルク・カッツェ
角の取り方0、1、2（隣）、2（対角）、3、4で分ける。
0、4のとき辺の取り方は1+1+2+1+1＝6
1、2（隣）、3のとき辺の取り方は1+4+6+4+1＝16
2（対角）のとき1+2+4+2+1＝10
6×2+16×3+10＝70
最後に真ん中があるので70×2＝140
答えは140通りになりました。

ただ、「いくつか塗って」なので、何も塗っていない場合を除いた139通りが真の正解だと思います。
　　 5月3日（木） 0:14:56　　 　　47217
鯨鯢(Keigei)
「いくつか塗って」というのは、０個を塗る場合を含めれば１４０通りですが、
普通は１個以上と考えて１３９通りと思います。
　　 5月3日（木） 0:24:58　　 　　47218
!!!
2^3+(2^5-2^3)/2+(2^9-2^5)/4=140
三か所塗るものだとばかり
宝塚　　 5月3日（木） 0:51:46　　 　　47219
マサル
すみません、ご指摘の通り、139通りのほうが正解に相応しいと思います。（気づいていませんでした）今回は、139通り、140通り、どちらも正解と扱うことにいたしました。m(_ _)m
iMac　　 5月3日（木） 0:56:06　　 HomePage:算チャレ　　47220
今年から高齢者
３つを塗るものとばかり考えていました。次は、塗り分けを考えて、０個と９個は考えなかった。
塗るマスの個数で場合分け
（回転対称のものを補正）:(9Cn-対称な配置の全個数)/4＋対称なパターンの数
0、9個＿＿各、1
1、8個＿＿各、(9C1-1)/4+1=3
2、7個＿＿各、(9C2-4)/4+2=10
3、6個＿＿各、(9C3-4)/4+2=22
4、5個＿＿各、(9C4-6)/4+4=34　
全部で、(1+3+10+22+34)*2=140
n=1（パターン数1、配置の全個数1）
×××
×○×
×××
n=2（パターン数2、配置の全個数4）
○××　××○　　　　×××　×○×
×××　×××　　　　○×○　×××
××○　○××　　　　×××　×○×
n=3（パターン数2、配置の全個数4）
○××　××○　　　　×××　×○×
×○×　×○×　　　　○○○　×○×
××○　○××　　　　×××　×○×
n=4（パターン数4、配置の全個数6）
○×○　　　　×○×　　　　○○×　××○　　　　×○○　○××
×××　　　　○×○　　　　×××　○×○　　　　×××　○×○
○×○　　　　×○×　　　　×○○　○××　　　　○○×　××○
　　 5月3日（木） 9:41:42　　 　　47221
Jママ

こんばんは
https://i.imgur.com/28MyExk.jpg
９つのマスを図のように分けア〜エがそれぞれ
時計回りにA〜Dのパターンになる場合を数えました
(4パターン)ア≠イ≠ウ≠エ≠ア (4-1)！=6
(3パターン)ア=イ≠ウ≠エ≠ア 4×3×2=24
ア=ウ≠イ≠エ≠ア 4×3=12
(2パターン)ア=イ=ウ≠エ 4×3=12
ア=イ≠ウ=エ 4×3÷2=6
ア=ウ≠イ=エ 4×3÷2=6
(1パターン)ア=イ=ウ=エ 4通り
以上全ての場合について、オが2通りあるので
(6+24+12+12+6+6+4)×2=140
正確には140-1=139通りでしょうかね

スマホの機種を変えてから書き込みが難しくなりました
(何故か書き込みボタンが消えてしまう…)
　　 5月3日（木） 2:01:15　　 　　47222
紫の薔薇の人
中心を除いた８マスをn色で塗る配置がA(n)通りあるとする。0≦n≦8
塗る/塗らないを逆転することを考えると、A(8-n)＝A(n)
だから、本質的には、A(0)〜A(4)を求めればよい。
A(0)＝1
A(1)＝2
は直ぐにわかる。

A(2)について
８マスのうち塗る２マスの選び方は8C2＝28通り。
このうち、90°ずつ回転したとき、
180°回転で初めて、自身と同じ配置となるのは4通り。
他は、360°回転で初めて自身とと同じ配置となる。
よって、A(2)＝4/2+(28-4)/4＝8

A(3)について
８マスのうち塗る3マスの選び方は8C3＝56通り。
このうち、90°ずつ回転したとき、全て360°回転で初めて自身とと同じ配置となる。
よって、A(3)＝56/4＝14

A(4)について
８マスのうち塗る4マスの選び方は8C4＝70通り。
このうち、90°ずつ回転したとき、
90°回転で自身とと同じ配置となるのは2通り。
180°回転で自身とと同じ配置となるのは4通り。
他は、360°回転で初めて自身とと同じ配置となる。
よって、A(4)＝2+4/2+(70-2-4)/4＝20

従って、A(0)+A(1)+・・・+A(8)＝1+2+8+14+20+14+8+2+1＝70

元の問題の場合の数は、中心を塗る/塗らないで70*2＝140通り。

数学的には、全く塗らない場合も含めるのが自然なので、
問題文に、「ただし、全く塗らない配置も含める」と注意書きするのがベストだと思います。
　　 5月3日（木） 2:02:30　　 　　47223
にこたん
回転で変わらないものが８個、１８０度回転で同じになるものが１０個。
全部数えると2^9
よって(2^9-8-10*2)÷4+8+10=139
でした。
超ど田舎　　 5月3日（木） 4:16:33　　 　　47224
「数学」小旅行
真ん中、角の数で分けて書き出しました。
数えもれが多発。うまいやり方はないものか。。。
　　 5月3日（木） 7:21:19　　 　　47225
巷の夢
#47217 ベルク・カッツェ様

　何時もの様にエレガントな解法感心致しました。角の数で分類、
この様な発想が羨ましい。数学のセンスの違いに脱帽です。しかも、
真ん中を外しておいて、最後に２倍とは、うーんー・・・・。
因みに小職は場合分けでやっとこさ・・・、正解へ
真白き富士の嶺　　 5月3日（木） 9:26:20　　 　　47226
baLLjugglermoka
算チャレンはGW休暇だと勝手に解釈していたら更新されている事に今気付きました。計算ミスやらかして2度も誤送信して3度目の正直で正解。
　　 5月3日（木） 19:16:54　　 　　47227
今年から高齢者
!!!様、#47219の 2^3 や 2^5 はどのような考え方で得られたのか教えていただけないでしょうか
2^3は他に同じものがない配置、2^5は回転すると同じものが2つある配置＋他に同じものがない配置　ということは予想できるのですが．．．。

　　 5月3日（木） 23:33:06　　 　　47228
CRYING DOLPHIN
旅先のお疲れモードでの頭でリアルタイムでは無理でした。
旅から帰還してじっくりと自室の机の上で考えました。

#47228
#47219の解き方の推測です。私の解き方をアレンジして表記します。

9箇所のマス目を適当に塗る方法は2^9＝512通り
X…90・180・270度回転するといずれも一致する塗り方
Y…180度回転したときのみ一致する塗り方
Z…どう回転させても一致しない塗り方

回転させて重なるものも異なる方法はX＋Y＋Z＝2^9通り。(※)
回転させて重なるものは同一の方法とするとき、求めるのはX＋Y÷2＋Z÷4。(＊)

(甲)Xの塗り方
「90・180・270度回転するといずれも一致する塗り方」のイメージは以下の通り。
　アイア
　イウイ
　アイア
同じカタカナは同じ色になるときなので2^3通り。(★)

(乙)Yの塗り方
「180度回転したときのみ一致する塗り方」のイメージは以下の通り。
　アイウ
　エオエ
　ウイア
同じカタカナは同じ色になる2^5通りのうち、(甲)の2^3は取り除く必要があるので、2^5−2^3通り。(★)

丙)Zの塗り方
(甲)と(乙)、および(※)より、2^9−2^3−(2^5−2^3)＝2^9−2^5通り。

以上より答えは(＊)より、2^3＋(2^5−2^3)÷2＋(2^9−2^5)÷4＝140通り。

【注】(★)の部分は、私自身の解き方としては地道に数え上げました。
誰もいない市街地　　 5月4日（金） 0:12:06　　 HomePage:ブログもある。　　47229
!!!
#47228
CRYING DOLPHINさんの#47229がそのまんま私の式の意味です。
この手の問題だと割と定跡的な解き方で過去問だと465回や995回も同じような方針で解けます
宝塚　　 5月4日（金） 6:22:21　　 　　47230
今年から高齢者
#47229, #47230
ありがとうございました。よく解りました。非常にうまい方法ですね！
　　 5月4日（金） 19:26:11　　 　　47231
kyorofumi
Burnside theorem
(2^9+2^3+2^5+2^3)/4 = 140
　　 5月4日（金） 20:36:09　　 　　47232
にゃもー君
塗りつぶす色の数を０色から４色までのパターンを数え２倍しました。
真ん中の色を塗るか塗らないかで場合分け、さらに４角のうち塗られた角の数で
細かく場合分けしました。けっこうメンドイ。
９９５回がこれより難しい問題でしたが、重複度の考えを用いた解き方がありました。斬新な解き方で、「これマスターしたいな」と思いました。
　　 5月4日（金） 20:41:08　　 　　47233
!!!
バーンサイドの補題は対称性からの群論入門で読んだような記憶がちょっとだけある
宝塚　　 5月4日（金） 22:06:41　　 　　47234
TT
お、暗算でいけました。
　　 5月5日（土） 7:05:30　　 　　47235
TT
解き方はベルク・カッツェさんと全く同じでした。
　　 5月5日（土） 7:07:44　　 　　47236
しんちゃん
プログラムです。
模様を数字Aに変換し、模様を90度、180度、270度回転してできる数字をB,C,Dとして1います。

OPTION BASE 0
DIM P(511)

FOR i=0 TO 511
LET P(i)=1
NEXT I

LET n=0

FOR a1=0 TO 1
FOR a2=0 TO 1
FOR a3=0 TO 1
FOR a4=0 TO 1
FOR a5=0 TO 1
FOR a6=0 TO 1
FOR a7=0 TO 1
FOR a8=0 TO 1
FOR a9=0 TO 1
LET A=2^8*a1+2^7*a2+2^6*a3+2^5*a4+2^4*a5+2^3*a6+2^2*a7+2*a8+a9

IF P(A)=0 THEN GOTO 100
LET B=2^8*a7+2^7*a4+2^6*a1+2^5*a8+2^4*a5+2^3*a2+2^2*a9+2*a6+a3
LET C=2^8*a9+2^7*a8+2^6*a7+2^5*a6+2^4*a5+2^3*a4+2^2*a3+2*a2+a1
LET D=2^8*a3+2^7*a6+2^6*a9+2^5*a2+2^4*a5+2^3*a8+2^2*a1+2*a4+a7

LET n=N+1

IF P(B)>0 THEN LET P(B)=P(B)-1
IF P(C)>0 THEN LET P(C)=P(C)-1
IF P(D)>0 THEN LET P(D)=P(D)-1

100 !'
NEXT A9
NEXT A8
NEXT A7
NEXT A6
NEXT A5
NEXT A4
NEXT A3
NEXT A2
NEXT A1

PRINT n

END
長崎　　 5月5日（土） 9:34:43　　 　　47237
ヤッコチャ
どこかで見た問いだなと思ったら、第4回の算トラに同じ出題がありましたね
　　 5月5日（土） 10:55:08　　 　　47238