kyorofumi
6+2 = 8

F->F' BDで対称移動、また、FEを一つの辺とする正三角形を描けば相似が見えてくるでしょう
　　 3月15日（木） 0:44:54　　 　　47070
スモークマン
なんとか見えました ^^;v
角の二等分線で折り返したら...
正三角形が現れ... ^^
(6-2)+2*2=8
♪
　　 3月15日（木） 0:50:53　　 　　47071
ゴンとも
座標でB(0,0),C(7,0),D(0,a),E(6,0)として
△BDEで余弦定理で49+a^2=1^2+a^2+36-2*sqrt(1+a^2)*6*-1/2 変形して
6*sqrt(1+a^2)=12 sqrt(1+a^2)=2 辺々2乗して1+a^2=4 aは正よりa=sqrt(3)
ここでtanの2倍角で直線ABの傾きが直線BDの傾き(=sqrt(3)/7)で
2*tan(a)/(1-tan(a)^2)=(2*sqrt(3)/7)/(1-3/49)=7*sqrt(3)/23となり
直線BA:y=7*sqrt(3)*x/23となり直線EF:y=-sqrt(3)*(x-6)との交点は
7*sqrt(3)*x/23=-sqrt(3)*(x-6)=-sqrt(3)*x+6*sqrt(3)
30*sqrt(3)*x/23=6*sqrt(3) 5*x/23=1 x=23/5 より y=7*sqrt(3)/5
よりF(23/5,7*sqrt(3)/5)で三平方で
FB=sqrt((23/5)^2+(7*sqrt(3)/5)^2)=sqrt(529/25+147/25)=sqrt(676/25)=26/5
FE=sqrt((6-23/5)^2+(7*sqrt(3)/5)^2)=sqrt(49/25+147/25)=sqrt(196/25)=14/5 より
FB+FE=26/5+14/5=40/5=8・・・・・・(答え)
豊川市　　 3月15日（木） 1:21:12　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　47072
baLLjugglermoka
明日は8時起きで良い事に気づいて算チャレにアクセスしつみたら皆様フライングですよ〜(^-^)ノーカウントで僕を一位にして下さい(笑)
　　 3月15日（木） 1:21:45　　 　　47073
にこたん
相似とか角の二等分とか使って適当に計算しました(*_*)
折り返すといいのねorz
超ど田舎　　 3月15日（木） 1:38:42　　 　　47074
紫の薔薇の人
∠CED＝60°だから、DE＝CE*2＝2
BDとEFの交点をGとすると、EG＝BE*DE/(BE+DE)＝3/2
∠DBC＝θとおくと、DC＝√3から、BD＝2√13で、sinθ＝√3/2√13
よって、sin2θ＝7√3/26
△BFEに正弦定理を用いると、BF:FE＝sin60°：sin2θ＝13:7
BF:FG＝BE:EG＝6:1.5=4:1だから、
BF+FE：EG＝(1+7/13)：7/13-1/4＝20/13:15/52＝16:3
よって、BF+FE＝3/2*16/3＝8
//
　　 3月15日（木） 2:28:06　　 　　47075
紫の薔薇の人
折り返し法で現れる正三角形の説明がよくわかりません。
BDとEFの交点をG、Fの対象移動先をF’としても、△GF'Eは正三角形でないので。
　　 3月15日（木） 3:17:57　　 　　47076
「数学」小旅行
寝過ごしました。
自転車イベントで、物理の実験クイズをしている夢を見ていまして…？？
　　 3月15日（木） 7:44:27　　 　　47077
Sueh
朝になって気がつきました。悔しい。

算数の範囲外な気がしますが、傍心を利用したらきれいに解けました（と思います）！
半直線FA上に∠FE'D=60°となる点E'を、半直線EC上に∠DE"C=60°となる点E"をとると、
点Dは△BEFの∠B内の傍心だから、∠EFD=∠E'FD．
△EFD≡△E'FDよりFE=FE'となります。
同じく三角形の合同からE"C=EC=1cm、
△BE'D≡△BE"DからBE'=BE"=8cmが言えます。
　　 3月15日（木） 8:08:09　　 　　47078
ハラギャーテイ
おはようございます

久しぶりです
山口　　 3月15日（木） 8:43:59　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　47080
次郎長
暗算ですぐに8と出てきて、認証したら入れたけど、どうも違うみたい。ま結果同じだからいいか。
　　 3月15日（木） 9:55:33　　 　　47081
nobu
Suehさんの説明と新たにとる点は同じのようですが...

ＦＧ＝ＦＥとなる点Ｇを半直線ＦＡ上にとります。
∠ＦＢＤ＝θとおくと∠ＥＦＧ＝６０°＋２θ
△ＦＥＧは二等三角形だから
∠ＦＥＧ＝∠ＦＧＥ＝（１８０°−（６０°＋２θ））÷２＝６０°−θ
よって
∠ＧＢＤ＝∠ＧＥＤ＝θとなり四角形ＢＥＤＧは円に内接することが分かります。
円周角は等しいから
∠ＥＧＤ＝∠ＥＢＤ＝θ
よって∠ＧＥＤ＝∠ＥＧＤ＝θ
よってＤＥ＝ＤＧ
３辺の長さがそれぞれ等しくなるから△ＦＥＤ≡△ＦＧＤ
よって∠ＦＧＤ＝６０°
ＤＥ＝ＤＨとなる点Ｈを半直線ＥＣ上にとると△ＤＥＨは正三角形となりＥＨ＝２
∠ＢＧＤ＝∠ＢＨＤ、ＤＧ＝ＤＨより∠ＢＧＨ＝∠ＢＨＧ
したがってＡＦ＋ＦＥ＝ＢＧ＝ＢＨ＝６＋２＝８
　　 3月15日（木） 13:41:49　　 　　47082
今年から高齢者
数学でした。角の二等分定理と三平方の定理からＡＤの長さを計算し、
ＡＢとＥＦの直線の交点からＦの座標を求めて、
ＢＦとＦＥの長さ（２６／５と１４／５）から８。
算数ではこれからです
　　 3月17日（土） 8:28:17　　 　　47083
Mr.ダンディ
BCのC側の延長線上に　CG=1となる点Gを取り、BDに関して対称な点Hを直線BA上にとると
∠DHF=∠DGE=∠DEF=60°
DH=DG=DE　より
∠DHE=∠DEH
よって
FHE=∠FEH　　→　FE=FH
∴　BF+FE＝BF+FH＝＝BG＝8
以上のようにしました。
　　 3月15日（木） 15:34:38　　 　　47084
スモークマン
#47071 のわたしのはおかしかったですわ ^^;
わたしゃ何を見てたんだろ...Orz

#47084 のMr.ダンディさまのように△DFH≡△DFEから考えればよかったのね☆
　　 3月15日（木） 16:00:10　　 　　47085
にこたん
#47084 Mr.ダンディさま
勉強になりましたm(__)m
超ど田舎　　 3月15日（木） 16:20:24　　 　　47086
kyorofumi
Dから水平に線を引いて正三角形DEHを作る。
Fを線対称移動させた点をF'とする。

そうすればDFHとDF'Eは合同です。
　　 3月15日（木） 19:17:49　　 　　47087
ベルク・カッツェ
ＢＤを対象の軸としてＣ、Ｅ，Ｆに対称な点Ｃ’、Ｅ’、Ｆ’をとる。ＢＣの延長上に三角形ＤＥＧが正三角形になるよう点Ｇをとる。
三角形Ｅ’Ｆ’ＧとＧＦ’Ｄは二辺とひとつの角が同じであり、どちらも鋭角三角形なので合同になる。よってＥ’Ｆ’＝Ｆ’Ｇ、求める長さはＢＧに等しいので8になります。
かなり苦しい説明になってしまいました。
　　 3月15日（木） 22:56:00　　 　　47088
ベルク・カッツェ
ＤＦ’＞2なので合同、のほうがよかったかな。
詳しく書くと、二辺とひとつの角が等しい条件だけでは二通りの三角形ができてしまう可能性がありますが、これは等しい二辺のうち、等しい角の対辺のほうが短い場合で、少なくとも一方は必ず鈍角三角形になります。なのでＤＦ’＞ＥＤ＝Ｅ’Ｄ＝ＧＤの場合合同といえます。

　　 3月15日（木） 23:18:23　　 　　47089
ベルク・カッツェ
そもそもひっくり返して’を多用することなかったような気がしてきました。図形は苦手です。
　　 3月15日（木） 23:23:13　　 　　47090
巷の夢
#47084 Mr.ダンディ様
　ずっともやもや感が残り、きちんと説明がつかなかったのですが、
本朝、拝読し、すっきり致しました。感謝々でございます。
真白き富士の嶺　　 3月16日（金） 7:09:50　　 　　47091
Mr.ダンディ
スモークマン様、にこたんた様、巷の夢様　評価していただき有難うございます。
ここだけの内緒の話ですが、実は三角関数を使って近似値を求めたところ
ほぼ 8 であることが分かったので、８が正解ならばと考え付いたのが　#47084の解法でした。
（どちらかといえば　Mr.ダーティといえるもので恐縮致しております）
　　 3月16日（金） 8:58:27　　 　　47092
Sueh
#47085 様、おそらく間違ってはいないと思います。

BDに対してFと対称な点F'をとると、確かに正三角形DFF'が現れます。
適当にFE=F'E+EDを示し
（△FEGが正三角形になるようED上にGをとり△FF'E≡△FDGなり、◻︎FF'EDでパップスなり）、
BF=BF'と合わせれば求めたい結果が導けます。

ただ、△DFF'が正三角形になることを私には示せませんでした。
後半の主流である皆様の解法で答えを導いてから遡るとかは なしで。
#47070 様も同じ解法かと思われます。
　　 3月16日（金） 12:07:43　　 　　47093
スモークマン
#47093 Sueh様
正三角形2個からの流れ☆
but...わたしも...△DFF'が正三角形になることをどう言えばいいのかわかりませんです^^;
ちなみに、わたしゃ、頭の中でいい加減な図を描いておりましたぁ...^^;;...Orz

#47087 kyorofumi様
EF上の点H !!
簡明ですわね♪
　　 3月16日（金） 22:58:53　　 　　47094
ベルク・カッツェ
ちょっと整理して修正してみました。
直線ＡＢ上に角ＢＥ’Ｄ＝120度、ＢＧＤ＝60度となるようにＥ’とＧをとると三角形ＤＥ’Ｇは一辺2ｃｍの正三角形に。三角形ＤＥＧは角Ｅ＝角Ｇの二等辺三角形、よって三角形ＦＥＧも角Ｅ＝角Ｇ（＝60-α）の二等辺三角形になり、ＦＥ＝ＦＧになります。もしＥＤＧが一直線上であっても三角形ＦＥＧが正三角形になるのでやはりＦＥ＝ＦＧ。ＢＥ＝ＢＥ’＝6、Ｅ’Ｇ＝2なので求める長さは6+2＝8となります。

追記
よく考えたらＥＤＧが一直線だとＢＡとＢＣが平行になってしまいますね。この部分は不要でした。

　　 3月17日（土） 0:39:25　　 　　47095
今年から高齢者
#47084 Mr.ダンディさん、いつもながら見事な解き方と感心しました。
「あーでもないこーでもない」と色々と考えていたのですが、結局算数的な解き方には至りませんでした。
BDを中心とした三角形と、G、Hを考えるところまでは行ったのですが、HとAが一致しないのでそこでやめてしまいました。
三角形FEHが二等辺三角形になるとは気づけませんでした。
　　 3月17日（土） 8:36:11　　 　　47096
ベルク・カッツェ
やっと納得できる解答ができたので他の人の解答も見てみたら、既にMr.ダンディさんがほぼ同じことを書いていたんですね。さすがです。
　　 3月17日（土） 10:37:32　　 　　47097
さいと散
皆様の書き込みを見て考えてみたのですが、∠DEF=∠DECであれば６０度でなくても成立しますよね。
(例えば∠DEB=150度、∠DEF=30度としても成立する)
　　 3月17日（土） 20:07:00　　 　　47098
おすまん
補助の点の置き方がいろいろとあるのですね！

本質は同じかもしれませんが、
「曲がっているものは伸ばせ」で、EFをF側に延長してFB=FGとなる点Gを取る。
△BDGが正三角形。
△DEGを点Gを中心として時計回りに60°回転させ、点Eの移動先を点E'とすると、
△GE'Eも正三角形。
BF+FE=GE=E'E=6+2=8
somewhere in the world　　 3月18日（日） 12:03:05　　 　　47099