Sueh
点P中心、半径PBの円をかくと、円周上にB, C, そしてAがある（円周角の定理の逆は適当に算数で導ける）。
半直線PD, PEとの交点をそれぞれD', E'とすれば△PD'B, △PCE'はともに正三角形。
∠D'BD=∠D'BP-∠DBP=60°-∠DBP=∠BPC-∠BAC-∠DBP=∠PCEなどから△D'BD≡△PCE
ここから半径=PD'=��+��=��, DB=ECなどとわかる。
相似（方べきの定理）からAD*DB=D'D*DC=��*��, AE*EC=E'E*EB=��*��
したがってAD:AE=��*��/DB:��*��/EC=(3*5):(1*7)=15:7, AE=7/3cm

かなり大変でした。遠回りかと思いますが。
　　 12月7日（木） 1:07:24　　 　　46815
baLLjugglermoka
算数解△BDPと△PECをBDとECを合わせると正三角形になるので、それを利用すればDP:PC=1:4,BP:PE=4:3、
BAE∽BPDより、あとは比の計算で
　　 12月7日（木） 2:56:17　　 　　46816
にこたん
P中心の円としました。どうでもいいけど、寒いです。(T_T)
超ど田舎　　 12月7日（木） 3:49:26　　 　　46817
ゴンとも
座標で点P(0,0),B(-sqrt(3)*a,-a),C(sqrt(3)*a,-a)
とすると円周角の定理より点Pを中心とする
半径2*aの円:x^2+y^2=4*a^2上にあるのでA(b,sqrt(4*a^2-b^2))より
直線AB:y=(sqrt(4*a^2-b^2)+a)*(x+sqrt(3)*a)/(b+sqrt(3)*a)-a
直線CD:y=-sqrt(3)*x/3
直線AC:y=-(sqrt(4*a^2-b^2)+a)*(x-sqrt(3)*a)/(sqrt(3)*a-b)-a
直線BE:y=sqrt(3)*x/3
直線AB,CDの交点D,直線AC,BEの交点Eを求め5cmと比の条件より2式がでる
XMaxima で

part(solve([y=-sqrt(3)*x/3,y=(sqrt(4*a^2-b^2)+a)*(x+sqrt(3)*a)/(b+sqrt(3)*a)-a],[x,y]),1)$
part(solve([y=sqrt(3)*x/3,y=-(sqrt(4*a^2-b^2)+a)*(x-sqrt(3)*a)/(sqrt(3)*a-b)-a],[x,y]),1)$
num(factor((b-rhs(part(%o1,1)))^2+(sqrt(4*a^2-b^2)-rhs(part(%o1,2)))^2-25))$
part(factor(-expand((part(%,1)+part(%,2)+part(%,3))^2-(%-(part(%,1)+part(%,2)+part(%,3)))^2)),2)$
factor(rhs(part(%o2,1))^2+rhs(part(%o2,2))^2-9*(rhs(part(%o1,1))^2+rhs(part(%o1,2))^2))$
part(-num(%),3)$
part(factor(-expand((part(%,1)+part(%,2))^2-(%-(part(%,1)+part(%,2)))^2)),2)$
%th(4);%th(2);

16*a^2*b^4-100*sqrt(3)*a*b^3-96*a^4*b^2+200*a^2*b^2+625*b^2+400*sqrt(3)*a^3*b+144*a^6-1200*a^4・・・・・・(1)
91*b^2-160*sqrt(3)*a*b+192*a^2・・・・・・(2)

下の式をbについて解いてb=8*sqrt(3)*a/13,b=8*sqrt(3)*a/7
これを上の式に代入して整理すると
1200*a^2*(9*a^2-52)*(147*a^2-325)/28561,1200*a^2*(3*a^2-28)*(9*a^2-175)/2401
前の式よりa=-5*sqrt(13)/(7*sqrt(3)),a=5*sqrt(13)/(7*sqrt(3)),a=-2*sqrt(13)/3,a=2*sqrt(13)/3,a=0
後の式よりa=-5*sqrt(7)/3,a=5*sqrt(7)/3,a= -2*sqrt(7)/sqrt(3),a=2*sqrt(7)/sqrt(3),a=0
これを対応するbの式に代入すれば(1),(2)を満たすすべての解がでるのだがaは長さなので正 より
(a,b)=
(5*sqrt(13)/(7*sqrt(3)),40*sqrt(13)/91)・・・・・・(3)
(2*sqrt(13)/3,16*sqrt(39)/39)・・・・・・(4)
(5*sqrt(7)/3,40*sqrt(21)/21)・・・・・・(5)
(2*sqrt(21)/3,16*sqrt(7)/7)・・・・・・(6)
(3),(5)は
2*a*b^2*sqrt(4*a^2-b^2)+4*sqrt(3)*a^2*b*sqrt(4*a^2-b^2)-12*a^3*sqrt(4*a^2-b^2)+2*sqrt(3)*a*b^3-4*a^2*b^2-25*b^2-8*sqrt(3)*a^3*b+24*a^4
を満たさず不可
(6)はDのx座標がsqrt(7)/2で正で不可,((5)はx座標が5*sqrt(21)/12で正でも不可)
(4)はsqrt((sqrt(39)/2-16/sqrt(39))^2+(sqrt(13)/2-44/(3*sqrt(13)))^2)=sqrt(49/9)=7/3・・・・・・(答え)
豊川市　　 12月7日（木） 5:34:21　　 　　46818
今年から高齢者
最初は、製図で求めて、7/3。
考え直して、
角の関係より、��AEB∽��PDB。・・・・・・・・・・・・(1)
　　　　　　　��ADC∽��PEC。・・・・・・・・・・・・(2)
PD=PQとなる点QをPE上に取れば、��PDB≡��PQCである。
また∠AEB=∠PDB=∠PQCより、∠QEC=∠EQCとなり、
故に、��EQCは二等辺三角形となるので、DB=QC=ECであり、・・・・・・・・・(3)
CからQEに垂線CRを下ろせばQR=ER。即ち、Q,RはPEの3等分点になる。
∠PRC=90°、∠RPC=60°より、��PCRは正三角形の半分。
ここから、PC:PR=4:2。あるいは、PC:PE=4:3。・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)
(2)(4)より、PE:PC=��:��=5:AC。AC=AE+EC=20/3・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)
(1)より、BP:PD=��:��=AB:AE=5+DB:AE=5+EC:AEなので、5+EC=4*AE・・(6)
あとはやや数学的に(5)(6)より、5*AE=5+20/3=35/3。故に、AE=7/3
PE:PCの比は推定は容易でも実際に求めるところで苦労しましたが、#46816　baLLjugglermokaさんのはうまいですね
【追記】(6)以下を次のように解けば連立方程式は必要なかった。
��ABCの面積で、∠BDC=∠CEBなので、ABを底辺と考えた場合の高さとACを底辺とした場合の高さを考えると、その比は、DC:BE=��:�А� ・・・(6)
ここから、AB=AC*��/��=(20/3)*(7/5)。よって、AB（=5+BD）=28/3。BD=13/3。
(5)より、AE=20/3-13/3=7/3。
　　 12月8日（金） 17:32:15　　 　　46819
Sueh
なるほど。 #46816 様、 #46819 様の解答をを見て勉強になりました。
まとめると、
△PBDと△PCEを合わせて正三角形にあたる合同を示してから、
AB+AE=AD+AC =AD+AD*4/3 (∵△CAD∽△CPE)
AB:AE=PB:PD (∵△BAE∽△BPD) =4:1
とすると楽に求められるのですね。

A, D, P, Eが共円点までは気づいていたのに方べきの方しか考えていませんでした
（上記の相似△CAD∽△CPEでCA/CP=CD/CEにしか注目できず"=AD/PE"の方を使えませんでした、
△BAE∽△BPDの方も）。
　　 12月7日（木） 11:27:18　　 　　46820
吉川　マサル
実は、第552回問題の使い回しです。m(__)m
MacBook Pro　　 12月7日（木） 13:10:34　　 HomePage:算チャレ　　46821
ゴンとも
552回の問題見ました。正解掲示板を読んだところ
自分の解法がかいてなかったのでやってみました。

座標でP(0,0),B(-2*a,0),C(a,-sqrt(3)*a),R(b,0)とすると
直線CR:y=sqrt(3)*a*(x-b)/(b-a)
これと面積3よりy=6/bでxの値が出て
この点Aがx^2+y^2=4*a^2上にあることと面積が1/8で
(b+2*a)*(6/b+sqrt(3)*a)/2-8*a*6/bとで
2式でてそれと答えをx=6*a/bとして3連立方程式で答え　XMaxima では

rhs(part(solve(6/b=sqrt(3)*a*(x-b)/(b-a),x),1))$
num(factor(%^2+(6/b)^2-4*a^2))$
num(factor((b+2*a)*(6/b+sqrt(3)*a)/2-8*a*6/b))$
part(part(solve([%o2,%o3,x=6*a/b],[a,b,x]),2),3);x=7/2・・・・・・(答え)
豊川市　　 12月8日（金） 3:04:21　　 　　46822
「数学」小旅行
xserver レンタル、とりあえず一年間だけ（　＾ω＾）・・・
使ってみたいので、・・・（嬉しい顔）見てあげてくださいね。
図をアップしました!!　ドメイン名は、「チャリ（自転車）」「フィッシング（釣り）」「math（数学）」の融合から来ています。

http://chafima.org/sansu/s1040/sansu1040r.html

メネラウスの定理により、x/y*4/1*y/(y+5)=1, 5/y*4/3*y/(x+y)=1 で、
連立方程式を解きました。

　　 12月8日（金） 15:32:58　　 　　46823
にゃもー君
こんばんにゃ
寒いです。
風邪でダウン中。休暇取得中。
体調が上向いたので解いてみたが苦労しました。
△PECと△PDBを合わせて正三角形にするのに気づくのに時間がかかった。

��
△PECと△PDBをECとDBで合わせて正三角形にする。
DP+PE=�　椨�＝�い�ら、PC=PB=��

��
△BPD∽△BAEとBP:PD=4:1から、AE=Xとすると AB=4X DB=4X-5
DB=EC=4X-5 AC=X+4X-5=5X-5

��
△CEP∽CDAとPE:PC=4:3から　AC:AD=4:3=5X-5:5
X=35/15=7/3　

以上

#46767 で触れた勤務先の昇格試験、筆記試験通過。
あとは年末仕事納め前に面接。
埼玉県猫　　 12月8日（金） 19:24:41　　 　　46824
Nの悲劇 家庭教師編
外接円とベンツ切りで。睡眠不足でいまいち頭が冴えてません。
　　 12月10日（日） 0:10:45　　 　　46825
cocogoo
正弦定理、余弦定理を使い、腕力で解きました。
　　 12月10日（日） 1:36:25　　 　　46826
ベルク・カッツェ
恒例の週末麻雀が終わったところで投稿。
ＰＥを延長して正三角形ＦＰＣを作るとＢＰＤとＣＦＥが相似になってＰＥ：ＥＦ＝3：1、するとＤＰ：ＰＣ＝1：4、ＢＰ：ＰＥ＝4：3になり、ベンツ切りでＡＤ：ＤＰ＝15：13、ＡＥ：ＥＣ＝7：13、ＢＰＤとＣＦＥの相似からＤＢ＝ＥＣなので、ＡＤ＝5ｃｍから計算してＡＥ＝7/3ｃｍになりました。
　　 12月10日（日） 2:41:30　　 　　46827
今年から高齢者
#46825, #46827. 「ベンツ切り」そういう言葉は始めて知りました。
切り方がベンツのエンブレムを連想させるところからということも。
私が小・中学校の頃は、ベンツなんて見たことないですもん．．．
　　 12月10日（日） 20:28:13　　 　　46828
ベルク・カッツェ
私も知りませんでしたが、少し前にここでその言葉を見て、便利なので使ってみました。＜ベンツ切り
　　 12月10日（日） 21:41:44　　 　　46829
KKK
ベンツ切りって昔浜学園で習った気がするなぁ
宝塚　　 12月13日（水） 15:20:09　　 　　46830
「数学」小旅行
「ベンツ切り」ずいぶんと以前から言われているのですね。知りませんでした。ネーミングがいいですね。
三角形の面積比と線分の長さの比の関係を端的にいうのに最適ですね。これから使いたいと思います。
　　 12月13日（水） 16:19:44　　 　　46831
吉川　マサル
えと、12/22（金）に恵比寿にて、算チャレ系（パズル系の人たちもいます）の忘年会をやります。かなり、ゆるーい会です。19:00開始で、たぶんずーっと同じ店にいます。ご興味ある方は、

masaru-y@sansu.org

まで、ご連絡くださいませ。m(__)m
MacBook Pro　　 12月13日（水） 22:55:05　　 HomePage:算チャレ　　46832
紫の薔薇の人
４点A,D,P,Eは同一円周上にあるから、
その円は、△ADP、△APE共通の外接円である。
だから、△ADP、△APEの、それぞれの正弦定理における等式は
連結できてしまい、
∠DAP＝α、∠PAE＝βとおくと、
DP:PE=1:3は、sinα：sinβ＝1:3・・・��
と翻訳できる。
α＋β＝60°と、sinの加法定理・・・��
を連立すると、
sinα＝√3/2√13
cosα＝7/2√13
sinβ＝3√3/2√13
cosβ＝5/2√13

また、∠APE=∠BAP+∠PBA＝2α
同様にして、∠APD＝2β
だから、
AE=xとおくと、
AD：AE＝sin2β：sin2α＝5:x
x=5*(sin2α/sin2β)・・・・��

2倍角の公式に代入して、x=7/3
//

　　 12月13日（水） 23:15:22　　 　　46833