kyorofumi
should be "ER is perpendicular to the plane PQG" I suppose.
　　 2月2日（木） 0:10:12　　 　　45929
ベルク・カッツェ
今回もやらかしました。答え6でなぜ正解でないのかと思っていたら、問題文をよく読むと、三角錐を切り落とした立体の体積だったという。
　　 2月2日（木） 0:10:20　　 　　45930
ベルク・カッツェ
長方形ＡＥＧＣについて相似を利用。三角形ＥＧＲが直角二等辺三角形なので、底辺ＥＧが2ｃｍで高さが1ｃｍ、直方体の高さが3ｃｍとなり直方体の体積は6、切り取った三角錐は直方体の六分の一なので答えは5になります。
　　 2月2日（木） 0:15:30　　 　　45931
baLLjugglermoka
#45930
僕もやらかし仲間です。
　　 2月2日（木） 0:16:17　　 　　45932
ヤッコチャ
#45929
私もそうかと思います。あまり問題文がよくないかと・・・
　　 2月2日（木） 0:22:24　　 　　45933
今年から高齢者
問題がよく解りませんでした。悩みましたが、問題として成立しそうな条件として
「ＰＱとＥＲ」は垂直というのではなく「ＥＲは切断面と垂直」として計算しました。
ＱＦ＝ＢＦ／３で、ＱＦ＝ＥＧ／２＝１なので高さは３。３＊２＊５／６＝５

　　 2月2日（木） 0:27:37　　 　　45934
☆.。.：*・　ザ・キャロビー　☆.。.：*・゜
私も　ＧＲとＥＲが垂直　と解釈しました
　　 2月2日（木） 0:26:42　　 　　45935
ベルク・カッツェ
みなさんの指摘通り問題文にミスがあるようですね。そもそもよく読んでいない私はぜんぜん気づきませんでした。
　　 2月2日（木） 0:29:21　　 　　45936
紫の薔薇の人
Eを原点として、直交座標を入れる。

a=√2とする。

F(a,0,0)
H(0,a,0)
A(0,0,h)

B(a,0,h)、D(0,a,h)
M(0,a/2,h/2)、N(a/2,0,h/2)
G(a,a,0)

MNの中点をSとすると、S(a/4,a/4,h/2)
Rは、GS上にあり、SGを1:2に内分するから、
R(a/2,a/2,h/3)

ここで、
GS⊥PQ、PQ⊥ERから、三垂線の定理より、GS⊥ER

GS//((3/4)a,(3/4)a,(-1/2)h)//(3a,3a,-2h)
ER//(3a,3a,2h)

内積＝0
だから、9a^2+9a^2-4h^2＝0
h＝(3/√2)a＝3

よって、直方体ABCD-EFGHの体積は、2*3＝6
DBC-EFGHは、その5/6だから、6*5/6＝5
//

　　 2月2日（木） 0:45:11　　 　　45937
紫の薔薇の人
#45937は、部分的に説明おかしい感じだが、平面MNGとERが垂直と問題訂正入れば、式は正しくなるはず。
　　 2月2日（木） 0:58:11　　 　　45938
みかん
三角形ＰＱＥは二等辺三角形なのだから、ＰＱとＲＥが垂直なのは当たり前。
「底面の対角線が２ｃｍ」という条件だけでは解けないのでは？
→問題の修正が来ましたね。

（解法）
元の直方体をＦ側から見た図の長方形ＡＥＧＣに切断面を記入すると、三角形ＥＱＧが
直角二等辺三角形になる。従ってＱＦは１ｃｍ。
あとは相似比を考えれば直方体の高さは３ｃｍになるので、求める立体の体積は
２×３×（５／６）＝５　が答え。
　　 2月2日（木） 1:59:03　　 　　45939
スモークマン
忘れてましたぁ…^^;
平面に垂直なので高さが1
so…半分足した3/2が直方体の高さの半分
so…2*3-1*3/3=5
^^
　　 2月2日（木） 1:12:48　　 　　45940
こばとん
もとの問題文の条件は常に成立するので条件足りないじゃないかってずっとブーブー怒ってたら訂正来ましたね(苦笑)

訂正後はすぐ解けました．直方体の高さをaとして直交座標系導入してERとPGの内積が0となることからa=3，求める体積は2a-a/3=5．
　　 2月2日（木） 1:23:39　　 　　45941
にゃもー君
こんばんわ。

ちょっとインチキだけど、
ＰＱとＥＲは垂直という条件を、
面ＰＱＧとＥＲが垂直と読み替えて解きました。

底面の中心をＯとして、
△ＯＲＥ≡△ＯＲＧ　ＯＥ＝ＯＧ＝１　ＥＲ⊥ＧＲであることから
ＯＲ＝１
ＯＲは、直方体ＡＢＣＤの1/3であることから、直方体ＡＢＣＤの高さは２。
よって、直方体ＡＢＣＤの体積は２×３＝６

求める立体の体積は直方体ＡＢＣＤ×5/6＝５
さいたま市　　 2月2日（木） 1:26:22　　 　　45942
ゴンとも
座標に直方体の高さをeとして
E(0,0,0),B(sqrt(2),0,e),D(0,sqrt(2),e)とおくとED,EBの中点で
M(sqrt(2)/2,0,e/2),N(0,sqrt(2)/2,e/2) また　
G(sqrt(2),sqrt(2),0) より　この3点を通る平面の方程式は XMaxima で
solve([a*sqrt(2)+b*sqrt(2)+c*0=d,a*0+b*sqrt(2)/2+c*e/2=d,a*sqrt(2)/2+b*0+c*e/2=d],[a,b,c,d]);
a=%r1*e/(3*sqrt(2)),b=%r1*e/(3*sqrt(2)),c=%r1,d=2*%r1*e/3 より
e*x/(3*sqrt(2))+e*y/(3*sqrt(2))+z=2*e/3 変形して
sqrt(2)*e*x/6+sqrt(2)*e*y/6+z=2*e/3 変形して
sqrt(2)*e*x+sqrt(2)*e*y+6*z=4*e・・・・・・(1)
ここでx=0,y=sqrt(2)でP(0,sqrt(2),e/3)
ここでx=sqrt(2),y=0でQ(sqrt(2),0,e/3) PQの中点で R(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2,e/3)
これが直線ERの方向ベクトルで(1)の平面と垂直なので
その法線ベクトル(sqrt(2)*e,sqrt(2)*e,6)のt(実数)倍　より
(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2,e/3)=t*(sqrt(2)*e,sqrt(2)*e,6) より
t=1/(2*e),t=e/18 より　1/(2*e)=e/18 より e^2=9 より e=3
2*3-3/3=5・・・・・・(答え)
豊川市　　 2月2日（木） 2:34:56　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　45943
Jママ
おはようございます
https://www.fastpic.jp/images.php?file=3927333942.jpg

AEの中点をA'とする
AEと平面MNQGPとの交点をSとすると
SQGPはひし形でありEA':A'S=3:1
△SEGは図のように直角二等辺三角形になるので
直方体の高さは2×3/4×2=3
よって求める体積は2×3×(1-1/6)=5

既出でしたらすみません(^_^;)
　　 2月2日（木） 7:59:13　　 　　45944
あめい
線の多いものは、ほとんどいっぱいいっぱいになってしまいます。
何人かの方と同じように平面ＡＥＧＣ上に投影させて、Ｒの高さ１とＭ（Ｎ）がＡＲの中点になることからＭ（Ｎ）の高さ３／２、ＡＥ＝３を導きました。
　　 2月2日（木） 8:29:22　　 　　45945
「数学」小旅行
またまた更新日を失念しておりました。orz
今回は立面図と三平方の定理を活用しました。
　　 2月2日（木） 8:32:51　　 　　45946
谷九松颯
邪道なんだけれども、、、、、、、
切り口を考えると3対1対2とわかる‼
なのでそこからは勘の領域に入ってしまった
最後に 灘がダメで東大寺に入学するけれども灘に行く2人
また会おう‼
　　 2月2日（木） 8:44:47　　 　　45948
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．
最初に図を見たときには「うへ面倒そうだな」と思ったのですが，
「まぁこの手は断面図かな」と思ってやってみたら見た目より簡単でした。
なかなかいい問題だと思います。算チャレとしては標準的かやや易かな。こんな感じで。

立体は 平面AEGC に関して対称なのでこの平面による断面を考えます。
AC と BD の交点を S，EG と FH の交点を T，MN と 平面AEGC との交点を U，U から EG に下ろした垂線の足を V，とします。
平面AEGC において，
□ABCD = □EFGH = 2 cm^2，AC = BD = EG = FH = 2 cm，AS = CS = ET = GT = 1 cm，
ER⊥平面MNQGP，ER⊥UG，∠ERG = 90°，△REG は直角二等辺三角形，RT = ET = GT = 1 cm，
UV//ST，EV：VT = EU：US = EM：MD = EN：NB = 1：1，UV：ST = EV：ET = 1：2，GT：TV = ET：EV = 2：1，
RT：UV = GT：GV = 2：(2+1) = 2：3，1：UV = 2：3，UV = 3/2 cm，UV：ST = 1：2，(3/2)：ST = 1：2，ST = 3 cm，
そこで，直方体ABCD-EFGH の底面は 2 cm^2 で高さは 3 cm，と分かり，
求める体積 = 直方体ABCD-EFGH - 三角すいE-ABD = 2 * 3 - (2 * 1/2) * 3 * 1/3 = 6 - 1 = 5 cm^3，
になります。
　　 2月2日（木） 12:30:40　　 　　45949
uchinyan
掲示板を読みました。

注意
以下の記述は，そもそもは私自身の勉強のメモに過ぎないのですが，
折角なのでご参考までにと思って公開するものです。
そういうこともあって，解法の分類は算チャレの F.A.Q. の「算数の範囲」の記述を参考に，
私個人が独断と偏見で主観的に行っているものであって，客観的なものではありません。
あくまでもご参考です。悪しからず。

問題文のミスで若干の混乱があったようですね。
詳細のよく分からない解法もあるのですが，平面AEGC に射影又はそれに等価な考え方が多いようです。

#45931，#45939，(多分)#45940，#45942，#45944，#45945，#45949
平面AEGC に射影又はそれに等価な考え方をし相似を使って解く解法。
いくつかのバリエーションがあります。

#45934
＞ＱＦ＝ＢＦ／３で、ＱＦ＝ＥＧ／２＝１なので高さは３。３＊２＊５／６＝５
という解法。詳細は不明ですが，平面AEGC に射影に等価なことをしているのかな？

#45948
＞切り口を考えると3対1対2とわかる‼
＞なのでそこからは勘の領域に入ってしまった
という解法？ (^^;

#45937，#45941，#45943，#45946
数学による解法。
　　 2月2日（木） 13:44:23　　 　　45950
にこたん
工夫なしで、普通に数学で計算しました。
わりと楽でした。^^
超ど田舎　　 2月2日（木） 16:02:11　　 　　45951
新中2N.K.
間違えて、切断面(五角形)の下の体積を求めてましたorz
新世界　　 2月2日（木） 20:21:00　　 　　45952
谷９ボキャ貧ズのキリ
１瞬正八面体か、と疑った。谷九松颯お前はいつも邪道だろ！
　　 2月2日（木） 21:28:56　　 MAIL:hideyo3939@gmail.com 　　45953
谷九なんちゃって書記　田二Qセブン
#45984、
　　 2月3日（金） 17:01:48　　 　　45955
谷九なんちゃって書記　田二Qセブン
#45948さん。「勘の領域」、これは何だ!?　
また会おう。　　　　　　　　　　　
　　 2月3日（金） 17:32:32　　 　　45956
谷九なんちゃって書記　田二Qセブン
#45948さん。「勘の領域」、これは何だ!?　
また会おう。　　　　　　　　　　　
　　 2月3日（金） 19:46:27　　 　　45957
谷九なんちゃって書記　田二Qセブン
#45948さん。「勘の領域」、これは何だ!?　
また会おう。　　　　　　　　　　　
　　 2月3日（金） 19:46:54　　 　　45958
谷九なんちゃって書記　田二Qセブン
すみません。間違って同じメッセージが３回入ってしまいました。後の2つはできれば削除お願いします。
　　 2月3日（金） 21:04:28　　 　　45959
fumio
こんばんは、今日は外はずーーっと雨でした。
ではでは、またね。
　　 2月5日（日） 17:37:20　　 　　45960
新中2N.K.
インフルかかって暇です
新世界　　 2月6日（月） 13:06:05　　 　　45961
らすく
私は、なんとか小学校の範囲で解ききれた...と思います...。(正方形の対角線×対角線÷2=面積は小学校の範囲に含まれるならセーフ...)

まず底面の対角線EFを出します。数学を使えば三角比などですぐ出ますが算数だとどうでしょう？一応EF×EF÷2=2を使えば出来ないことも無いとは思いますが... そのようにして底面の対角線が2cmと出ます。
次に直線QNと直線AEとの交点に点Iを置き、点Iを通り底面に平行な面を考え、その面と直線CGとの交点をJと置きました。
ここで四角形IEGJと条件より、四角形IEGJの対角線が垂直に交わる正方形と分かります。さらにEGは先に出したように長さは2cmなのでIE=2cmとなります。また面AEFBにおいて、台形AIQBと台形FQIEは点Nにおいて点対称なので、IE=BQ=2cmです。
点Rは面IEFJにおいて中心なので、高さは1cm。つまりQF=1cm
よってBF=BQ+QF=3cmと高さが出ます。
あとは直方体の体積と三角錐の体積を出すだけなので省きます。

数学的な説明に慣れておらずぐちゃぐちゃかもしれないのでご了承ください(´・ω・` )
　　 2月6日（月） 18:38:07　　 　　45962
baLLjugglermoka
あれ(^^;
今週は休み？
　　 2月9日（木） 0:02:46　　 　　45963