茖絞��

ベルク・カッツェ

一人がＮ試合するとして、参加者数は3Ｎ+1。
試合は4人ずつで行うので、総試合数はＮ×参加者数÷4。
参加者数と試合数はどちらかが奇数ならもう一方は奇数なので、参加者数またはＮが4の倍数になるときを考えると、Ｎ＝1、4、5、8、9、12・・・となり、3×12+1＝37となりました。最初はＮが4の倍数の場合を見落としていました。
しかし実際に組み合わせ的に可能かどうかまではまだ検証していないという適当な解答です。

　　 10月20日（木） 0:20:26　　　　45386

物理好き

総当り表を考えて全てのマスの数を考えるとn(n-1)マスになる※自分vs自分除く
そこから1回の対局で12マス埋まることを発見、即ちn(n-1)は12の倍数
さらに1回で同卓できるのは3人なので(n-1)は3の倍数
これ以上条件はないのでこれを満足するnを求めて、n=37が6番目に小さい。
[↑まだこの解法、証明してないので確証が持てません^^;]

因みに3人打ち麻雀(3人で競うもの)なるものがあって、それと4人1組で行う麻雀を混在させるなら、この問題どうなるんでしょうか…

大阪　　 10月20日（木） 0:24:02　　 HomePage:Twitter　　45387

顰蹙

私も同じく、十分条件であることを判定できていません。

　　 10月20日（木） 0:24:11　　　　45388

葦

今回難しかったですorz
色々試しましたが、ある一人がほかの全ての参加者と対戦できることから「全体人数が3n+1である」こと、グループ数がn(n-1)/12となることから「n(n-1)/12は整数である」ことの2つの必要条件を満たす整数のうち6番目に小さい数を求めました。
正直十分条件を検証しておらず偶然合ってしまったような形なので…皆様の解法を参考にしたいです。

　　 10月20日（木） 0:25:50　　　　45389

物理好き

夜通しで証明考えてみます←^^;

大阪　　 10月20日（木） 0:29:12　　 HomePage:Twitter　　45390

通りすがりの中1

マージャンのルールをよく見たらわかりました。
今回難しかったですねー。

算数王国　　 10月20日（木） 0:30:46　　 HomePage:僕の人生奮闘記　　45391

ベルク・カッツェ

一人の試合数が4、参加者数が13人の場合で組み合わせを作ってみようとしましたが予想通り困難で、これで6番目まですべて可能であることを示すのは現実的ではなさそうです。ほかの人の解法に期待。

　　 10月20日（木） 0:32:04　　　　45392

通りすがりの中1

うーん…
僕も考えてみます。

算数王国　　 10月20日（木） 0:33:23　　 HomePage:僕の人生奮闘記　　45393

通りすがりの中1

参加者人数13人の時。
それぞれX,X1.......X13とします。
(まずX1を基準に考えると)X1はX2～X4、X5～X7、X8～X10、X11～X13と打ち合うことになります。
同じことをX2.......X13でもする(できる)。(馬鹿なので実際に書きました)
これで全員打ち合えます。

算数王国　　 10月20日（木） 0:49:04　　 HomePage:僕の人生奮闘記　　45394

円周率大好き人間

大学1年です。7年ぶりに覗いてみましたがまだ続いてたことにびっくりしました。
難しいですね、十分性示せてないので解けた気がしません。

　　 10月20日（木） 1:15:04　　　　45395

円周率大好き人間

大学1年です。7年ぶりに覗いてみましたがまだ続いてたことにびっくりしました。
難しいですね、十分性示せてないので解けた気がしません。

　　 10月20日（木） 1:16:35　　　　45396

今年から高齢者

#45387、#45389と同じでした。
n*(n-1)/2（n人を結んだ線の数）が6（4人を結んだ線の数）の倍数で、n-1が3（1試合の対戦相手数）の倍数。n-1が3の倍数であることに気付くのに時間がかかって．．．。
4, 13, 16, 25, 28, 37, 40, ....
とりあえずということで、この数で入れた。
1あるいは4に12ずつ加えていった数ですね。2系列になるというのが判らん！両系列とも成立するのかなア？

　　 10月20日（木） 14:17:44　　　　45397

ハラギャーテイ

１３が答えと思っていました。

山口　　 10月20日（木） 5:53:09　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　45398

おーちゃん

16人20試合の十分条件は以下のとおり：
(1,2,3,4)
(1,5,6,7)
(1,8,9,10)
(1,11,12,13)
(1,14,15,16)
(2,5,9,13)
(2,6,12,16)
(2,7,10,15)
(2,8,11,14)
(3,5,8,16)
(3,6,10,11)
(3,7,13,14)
(3,9,12,15)
(4,5,11,15)
(4,6,9,14)
(4,7,8,12)
(4,10,13,16)
(5,10,12,14)
(6,8,13,15)
(7,9,11,16)

25人50試合より大きい場合について一般化できるような方法はわかりません。

　　 10月20日（木） 14:27:31　　　　45399

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うーむ，具体的に試合のパターンを調べ規則性を見つけようとしたのですが，
うまくいかずはまってしまいました。
仕方がないので，必要条件を調べ，それが可能かプログラムを組みました。

まず，必要条件。数学ぽいですがごめんなさい。
１人が n 試合するとすると，条件より，参加者数は 3n+1 人，のはずです。
そこで，麻雀は４人で行うので，総試合数は，n(3n+1)/4 試合，のはずです。
これが整数になるはずなので，n は，4 の倍数又は 4 で割って 1 余る数，です。
つまり，n = 1, 4, 5, 8, 9, 12, ...，なので，
参加者数，3n+1 = 4, 13, 16, 25, 28, 37, ...，より，６番目は 37 人になります。
どうやら，この 37 人が答え，となっているようです。

ところが，問題はこの後。実際に実現できるかです。
よく分からなかったので，n 人の場合，参加者に 1 ～ n と番号を付け，
十進ベーシックで次のようなプログラムを組みました。

LET m = 40
DIM p(m,m), s(10000,4)

FOR n = 4 TO m
MAT p = ZER
LET cnt = 0
FOR a = 1 TO n-3
FOR b = a+1 TO n-2
LET f = 0
FOR c = b+1 TO n-1
FOR d = c+1 TO n
IF (p(a,b) + 1 <= 1) AND (p(a,c) + 1 <= 1) AND (p(a,d) + 1 <= 1) AND (p(b,c) + 1 <= 1) AND (p(b,d) + 1 <= 1) AND (p(c,d) + 1 <= 1) THEN
LET p(a,b) = p(a,b) + 1
LET p(a,c) = p(a,c) + 1
LET p(a,d) = p(a,d) + 1
LET p(b,c) = p(b,c) + 1
LET p(b,d) = p(b,d) + 1
LET p(c,d) = p(c,d) + 1
LET f = 1
LET cnt = cnt + 1
LET s(cnt,1) = a
LET s(cnt,2) = b
LET s(cnt,3) = c
LET s(cnt,4) = d
EXIT FOR
END IF
NEXT d
IF f = 1 THEN
EXIT FOR
END IF
NEXT c
NEXT b
NEXT a
LET f = 0
FOR i = 1 TO n-1
FOR j = i+1 TO n
IF p(i,j) < 1 THEN
LET f = 1
END IF
NEXT j
IF f = 1 THEN
EXIT FOR
END IF
NEXT i
IF f = 0 THEN
PRINT n
FOR i = 1 TO cnt
PRINT i; ":"; s(i,1); s(i,2); s(i,3); s(i,4)
NEXT i
REM FOR i = 1 TO n
REM FOR j = 1 TO n
REM PRINT p(i,j);
REM NEXT j
REM PRINT
REM NEXT i
END IF
NEXT n

END

結果は，

4
1 : 1 2 3 4
13
1 : 1 2 3 4
2 : 1 5 6 7
3 : 1 8 9 10
4 : 1 11 12 13
5 : 2 5 8 11
6 : 2 6 9 12
7 : 2 7 10 13
8 : 3 5 9 13
9 : 3 6 10 11
10 : 3 7 8 12
11 : 4 5 10 12
12 : 4 6 8 13
13 : 4 7 9 11

参加者数が，4 人と 13 人，の場合は問題なく解が得られたのですが，
16 人～ 37 人の場合は解が得られません！

プログラムが間違っているのでしょうか？
訳が分からず悩んでおりました。

ごめんなさい。上記プログラムには誤り，というかチェック不足，がありました。
すべての可能な４人のパターンをチェックはしているのですが，
チェックの順番が単純すぎて一度失敗するとあきらめてしまうというミスを犯しました。
実際には，一度の失敗であきらめずにバックトラックして再度挑戦，のロジックが必要ですね。
大恥をかいてしまいましたが，自分への戒めのために，敢えて残しておきます。

　　 10月20日（木） 15:41:34　　　　45400

uchinyan

あれれ，16 人の場合の具体例が出ましたね。
やはりプログラムが間違っていたようです。ごめんなさい。

　　 10月20日（木） 15:00:43　　　　45401

uchinyan

掲示板を読みました。

注意
以下の記述は，そもそもは私自身の勉強のメモに過ぎないのですが，
折角なのでご参考までにと思って公開するものです。
そういうこともあって，解法の分類は算チャレの F.A.Q. の「算数の範囲」の記述を参考に，
私個人が独断と偏見で主観的に行っているものであって，客観的なものではありません。
あくまでもご参考です。悪しからず。

今回は，必要条件を詰めるまで，という解法が多いようです。
実際に可能かの十分条件は，試行錯誤又はプログラム，ということになりそうです。

必要条件を調べる方法で分類。

#45386，#45400
１人の試合数を n 試合とすると，参加者数は 3n+1 人，総試合数は，n(3n+1)/4 試合，求める解法。

#45387，#45389，#45397
n 人の場合，総試合数が n(n-1)/12 試合，１試合４人より n-1 が 3 の倍数より，求める解法。

　　 10月20日（木） 16:21:06　　　　45402

にこたん

とりあえず。
nを３個ずつふやして。
n×(n-1)が12で割れるのが必要条件なので
37がでました。
十分であるかは、まだ考えていません。Org

　　 10月20日（木） 17:19:57　　 MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 　　45403

通りすがりの中1

また挑戦者の数異常じゃないですか？
イタズラですかね？

算数王国　　 10月20日（木） 18:30:58　　 HomePage:僕の人生奮闘記　　45404

吉川　マサル

いつは、十分性についての検証をせずに出題してしまっていました。申し訳ありません...。昨晩、掲示板で見てはじめて「あっ」と思った次第で、検証を試みたのですが、なかなか厳しく...m(__)m

MacBook Pro　　 10月20日（木） 19:38:23　　 HomePage:算チャレ　　45405

通りすがりの中1

うーん…
表を書いていけば…
なんて考えた馬鹿がここにいます。

算数王国　　 10月20日（木） 23:39:24　　 HomePage:僕の人生奮闘記　　45406

baLLjugglermoka

やはり十分性については皆様示していませんね。僕は、13を速攻で見つけてからは、具体例を考えて、一般化に成功したものの、デカい数になり..,

　　 10月20日（木） 23:42:53　　　　45407

スモークマン

よくわかりませんでした ^^;
素数角形で考えたりしてましたが…偶々入室できました^^;;
#45400 uchinyanさんのわかりやすいです♪

整数列大辞典で…
A228137 Numbers that are congruent to {1, 4} mod 12.
に、a(n) = a(n-1) +a(n-2) -a(n-3)
という漸化式が載ってましたが…
その意味の解釈わからず…

　　 10月20日（木） 23:59:07　　　　45408

おーちゃん

25人50試合の十分条件は以下のとおり：

(1,2,3,4)
(1,5,6,7)
(1,8,9,10)
(1,11,12,13)
(1,14,15,16)
(1,17,18,19)
(1,20,21,22)
(1,23,24,25)
(2,5,8,11)
(2,6,14,18)
(2,7,20,25)
(2,9,19,23)
(2,10,15,22)
(2,12,16,24)
(2,13,17,21)
(3,5,21,23)
(3,6,9,12)
(3,7,15,19)
(3,8,16,20)
(3,10,17,24)
(3,11,18,22)
(3,13,14,25)
(4,5,16,17)
(4,6,22,24)
(4,7,10,13)
(4,8,18,25)
(4,9,14,21)
(4,11,15,23)
(4,12,19,20)
(5,9,15,25)
(5,10,18,20)
(5,12,14,22)
(5,13,19,24)
(6,8,19,21)
(6,10,16,23)
(6,11,17,25)
(6,13,15,20)
(7,8,14,24)
(7,9,17,22)
(7,11,16,21)
(7,12,18,23)
(8,12,15,17)
(8,13,22,23)
(9,11,20,24)
(9,13,16,18)
(10,11,14,19)
(10,12,21,25)
(14,17,20,23)
(15,18,21,24)
(16,19,22,25)

まず 1番と (2,3,4),(5,6,7),……,(23,24,25) で 8組とします。
そして残りの42組については、1番を除いた24人を
　　A:(2,3,4) (5,6,7)
　　B:(8,9,10) (11,12,13)
　　C:(14,15,16) (17,18,19)
　　D:(20,21,22) (23,24,25)
の4グループに分けて、4人組が A～Dグループのそれぞれに分かれるパターンが
　　2人＋2人：18組
　　1人＋1人+1人+1人：24組
となるところまで絞り込んで、あとは勘でパターンを作りました。

次は28人63試合ですが、一般的な方法はまだよくわかりません。

　　 10月21日（金） 18:44:27　　　　45409

にゃもー君

こんばんわ。鳥取で地震があり、お住まいの方がが心配です。
今回は、あてずっぽうで４の累乗で考えたら、
4096とか狂った数字が出てしまい、当然誤答。苦戦しました。
人数と試合数で式を立てて考えましたが、ちょっと数学に入っちゃった。

「この人数で本当に被らずに全員対戦できる」という十分性は
検証しなかったのですが、以下のように考えました。

まず、ある人に焦点を当てると（Aとする）
試合の数をｎ試合として、Aが対戦する人数は３ｎ人。
よって、総人数は、３ｎ＋１人・・・①

その人数がそれぞれｎ試合をやるのだから、
試合×人数は、（３ｎ＋１）ｎ・・・②

１試合あたり４人でやるから、
人数は②／４＝（３ｎ＋１）ｎ／４　・・・③　これが整数になるｎを探す。

（３ｎ＋１）ｎが４で割れればよい。
その条件はｎ≡０、１（mod４）　３ｎ＋１≡０

ｎ≡０、１（mod４）は、小さいほうから、１、４、５、８、９、１２
下から６番目がｎ＝１２となるから、人数は①にあてはめ、３７人

以上

さいたま市浦和区（自称）　　 10月21日（金） 20:00:34　　　　45410

kyorofumi

case of 28 people:

1 2 3 4
1 5 6 7
1 8 9 10
1 11 12 13
1 14 15 16
1 17 18 19
1 20 21 22
1 23 24 25
1 26 27 28
2 5 6 7
2 8 9 10
2 11 12 13
2 14 15 16
2 17 18 19
2 20 21 22
2 23 24 25
2 26 27 28
3 5 6 7
3 8 9 10
3 11 12 13
3 14 15 16
3 17 18 19
3 20 21 22
3 23 24 25
3 26 27 28
4 5 6 7
4 8 9 10
4 11 12 13
4 14 15 16
4 17 18 19
4 20 21 22
4 23 24 25
4 26 27 28
5 8 9 10
5 11 12 13
5 14 15 16
5 17 18 19
5 20 21 22
5 23 24 25
5 26 27 28
6 8 9 10
6 11 12 13
6 14 15 16
6 17 18 19
6 20 21 22
6 23 24 25
6 26 27 28
7 8 9 10
7 11 12 13
7 14 15 16
7 17 18 19
7 20 21 22
7 23 24 25
7 26 27 28
8 11 12 13
8 14 15 16
8 17 18 19
8 20 21 22
8 23 24 25
8 26 27 28
9 11 12 13
9 14 15 16
9 17 18 19
9 20 21 22
9 23 24 25
9 26 27 28
10 11 12 13
10 14 15 16
10 17 18 19
10 20 21 22
10 23 24 25
10 26 27 28
11 14 15 16
11 17 18 19
11 20 21 22
11 23 24 25
11 26 27 28
12 14 15 16
12 17 18 19
12 20 21 22
12 23 24 25
12 26 27 28
13 14 15 16
13 17 18 19
13 20 21 22
13 23 24 25
13 26 27 28
14 17 18 19
14 20 21 22
14 23 24 25
14 26 27 28
15 17 18 19
15 20 21 22
15 23 24 25
15 26 27 28
16 17 18 19
16 20 21 22
16 23 24 25
16 26 27 28
17 20 21 22
17 23 24 25
17 26 27 28
18 20 21 22
18 23 24 25
18 26 27 28
19 20 21 22
19 23 24 25
19 26 27 28
20 23 24 25
20 26 27 28
21 23 24 25
21 26 27 28
22 23 24 25
22 26 27 28
23 26 27 28
24 26 27 28
25 26 27 28

　　 10月21日（金） 20:06:54　　　　45411

kyorofumi

the solution was wrong... sorry

　　 10月21日（金） 20:27:16　　　　45412

Halt0

37 が答えで間違いないようです. というのも, いろいろと調べたところ, 参加者数が mod 12 で 1 または 4 に等しいことが, 問題の条件を満たすような試合の組み合わせが存在するための必要十分条件である, と証明したらしき論文を見つけたためです. もっとも, 証明を追うのは私の手に余るので, 興味のある方は読んでみてください.

まず,

https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_system
"A Steiner system with parameters t, k, n, written S(t,k,n), is an n-element set S together with a set of k-element subsets of S (called blocks) with the property that each t-element subset of S is contained in exactly one block. In an alternate notation for block designs, an S(t,k,n) would be a t-(n,k,1) design."

本問はこの t=2, k=4 の場合にあたります. つまり, Steiner system S(2,4,n), あるいは block design の言葉でいえば 2-(n,4,1) design が存在するような n の条件を求めることになります.
そして, これについて書かれているのが次の論文です.

https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177705047

記法が少し違いますが, こちらの論文の balanced incomplete block design (BIBD) B[k,λ,v] というのは, 先程の言葉でいえば block design 2-(v,k,λ) のことです. われわれが知りたいのは k=4, λ=1 の場合, すなわち BIBD B[4,1,v] が存在するかどうかでしたが, 6 章のはじめに定理として
"A necessary and sufficient condition for the existence of BIBD of v elements, with k=4 and any λ is that
λ(v-1)≡0 (mod 3) and λv(v-1)≡0 (mod 12)"
とあります. ここから v (今回の問題の「参加者数」にあたる) が v≡1,4 (mod 12) を満たすことが BIBD B[2,1,v] が存在することの必要十分条件であることがわかります.

　　 10月22日（土） 4:33:07　　　　45413

顰蹙

#45413
論文見つけてくださってありがとうございます。組合せデザイン理論ですね（何年か前にこの分野の専門家の講演を聞いたことがあるのですがさっぱりわからなかったのを覚えています）。

　　 10月22日（土） 11:28:58　　　　45414

uchinyan

#45413
Halt0さん，情報をありがとうございます。

なるほど，論文があるのですか。なかなか深遠のようですね。
時間を見つけて少し見てみたい気もしますが，
こういう分野は全くの素人ですし，最近は大学の教養レベルの数学も怪しくなっており，
到底分かりそうにない感じ (^^;

でも，取り敢えず，今回の答えで大丈夫そう，と分かってよかったです。

　　 10月22日（土） 15:11:18　　　　45415

Halt0

こんにちは.
もう日曜なのでご覧になっている方も少ないかもしれませんが,
結局気になったので, 別の資料を参考にして, 人数 n が n=25,28,37 の場合の解を構成してみました.

D. Stinson. Combinatorial Designs: Constructions and Analysis
http://mathscinet.ru/files/StinsonD.pdf

を参照しました.
直接今回の問題とかかわりがあるのは p.167~ です.
上記 pdf を読んでいただいたほうが早いかもしれませんが, せっかくなのでここに構成およびその証明を書いてみます.
群論の初歩的な知識があれば理解することが可能です.

(#45413 に書いたとおり, 人数 n が n≡1,4 (mod 12) を満たすことが必要十分らしく,
上記 pdf もこのことを証明しているみたいなのですが, 私はそこまではフォローできていません.
ですが, 上記資料ではそのことを証明するためのステップとして, n=13,16,25,28,37 で個別に具体例を構成しています.
結局, このあたりは統一的なアルゴリズムでは取り扱えないということなのでしょう.
なので, n=25,28,37 の構成のみ読んでみました.
(n=25 の解は既に掲示板に提示されていますが, n=37 と構成の仕方が同様なので, 読みました)
なお, 斜め読みなので, 証明には私の手が入っており, したがって元の資料にはない誤りがある可能性があります.)

----------------------------------------
[記法]
・集合 S の元の数を |S| と書く.
・整数群 Z の n を法とした剰余類群を Z/nZ と書く.
・群 G_1 と G_2 の直積を G_1 × G_2 と書く.

[定義]
有限集合の組 (X,β) が 2-(n,4,1) design であるとは,
・《条件0》 |X|=n
・《条件1》各 B∈β に対し B⊂X, |B|=4
・《条件2》任意の x,y∈X, x≠y に対し, {x,y}⊂B なる B∈β がただ 1 つ存在する
を満たすことをいう.

2-(n,4,1) design を n=25,28,37 のときに構成しよう.
(X が参加者の集合, n がその人数, 各B∈β が行われた試合の組にあたる.)

【n=25 のとき】
G = (Z/5Z) × (Z/5Z) とし,
a[1,1]=(0,0), a[1,2]=(0,1), a[1,3]=(1,0), a[1,4]=(2,2)
a[2,1]=(0,0), a[2,2]=(0,2), a[2,3]=(2,0), a[1,4]=(4,4)
を G の元とする.

[補題1]
任意の g∈G, g≠0 に対し
ただ 1 つの i∈{1,2} と j,k∈{1,2,3,4}, j≠k があって
g=a[i,j]-a[i,k] である.
[証明]
2×4×3=24 通りの i,j,k の組について実際に計算して確かめるだけなので略. □

i=1,2, g∈G に対し,
B[i,g] = {a[i,1]+g, a[i,2]+g, a[i,3]+g, a[i,4]+g}
と定める.
X = G,
β = {B[i,g] |i∈{1,2}, g∈G}
とする.

このとき《条件0》《条件1》は明らか.
《条件2》を示そう. x,y∈X, x≠y とする.
補題1より, ただ 1 つの i,j,k (j≠k) があって
x-y=a[i,j]-a[i,k] である.
そこで g=x-a[i,j] とおけば, x=a[i,j]+g, y=a[i,k]+g より {x,y}⊂β[i,g] であり,
また構成の仕方から, このような β[i,g] はただ 1 つに決まる.
よって (X,β) は 2-(25,4,1) design である.

【n=37 のとき】
G=Z/37Z とし,
a[1,1]=0, a[1,2]=1, a[1,3]=3, a[1,4]=24
a[2,1]=0, a[2,2]=10, a[2,3]=18, a[2,4]=30
a[3,1]=0, a[3,2]=4, a[3,3]=26, a[3,4]=32
を G の元とする.
n=25 のときと同様の補題 (i∈{1,2,3} と変えるだけ) が成り立ち, そこから同様に構成できる.

【n=28 のとき】
n=25,37 とは少し違った構成をする.
G = (Z/3Z) × (Z/3Z) × (Z/3Z) とし,
a[1,1]=(0,0,0), a[1,2]=(0,2,0), a[1,3]=(1,1,1), a[1,4]=(2,1,1)
a[2,1]=(0,0,0), a[2,2]=(1,0,2), a[2,3]=(0,1,2), a[1,4]=(1,1,0)
を G の元とする.

[補題2]
任意の g∈G, g≠0 に対し
g=a[i,j]-a[i,k] となるような i,j,k (j≠k) は高々 1 つしかない. (※ 1 つもない場合もある)
[証明]
計算するだけなので略. □

G に含まれない元 ∞ を考え, X = G ∪ {∞} とおく.
i=1,2, g∈G に対し,
B[i,g] = {a[i,1]+g, a[i,2]+g, a[i,3]+g, a[i,4]+g}
と定め, また, a,b∈Z/3Z に対し
B'[a,b] = {(a,b,0),(a,b,1),(a,b,2),∞}
とおく.

このとき, B[i,g] の形の元 (2×27=54 個) および B'[a,b] の形の元 (9 個), 計 63 個の元からなる β を考えると, (X,β) は条件を満たす.
《条件0》《条件1》は明らかなので《条件2》を示そう.

[補題3]
各 B_1,B_2∈β (B_1≠B_2) に対し, その共通部分が 2 つ以上の元を含まない.
[証明]
B_1, B_2 のいずれも B'[a,b] の形をしていない場合, 補題2から (n=27 のときの《条件2》の証明と同じようにして) 示せる.
また, いずれも B'[a,b] の形をしている場合, 共通部分は明らかに ∞ のみを含む.
したがって B'[a,b] と B[i,g] の共通部分の元が 1 つ以下であることを示せば証明が終わるが,
これは i,g を固定したときに B[i,g] の 2 つの異なる元を (a_1,b_1,c_1), (a_2,b_2,c_2) とすれば
(a_1,b_1)≠(a_2,b_2) となることから明らかである. □

補題3より, 《条件2》を弱くした条件,
「任意の x,y∈X, x≠y に対し, {x,y}⊂B なる B∈β は, 存在するとすればただ 1 つである」
がいえる. ここで,
|X|=28 より, x,y∈X, x≠y となるような x,y の組み合わせは, 28×27/2=378 通りあることと,
|β|=63 より, B∈β および {x,y}⊂B (x≠y) のとりかたは |β|×4C2=378 通りあることから,
結局 1 対 1 対応により《条件2》そのものがいえる.
よって (X,β) は 2-(28,4,1) design である.
----------------------------------------

長文失礼しました.

　　 10月23日（日） 2:35:00　　　　45417

通りすがりの中1

#45417
なるほど！

算数王国　　 10月23日（日） 9:51:25　　 HomePage:僕の人生奮闘記　　45418

水田Ｘ

ご無沙汰してます。苦労しましたが、これでいいんですね。ウチニヤンさん同様に検証は出来ず、本当なのか、モヤモヤ残ります。

　　 10月25日（火） 22:55:31　　　　45419

水田X

いちおう私の解法ですが、円状にn個の点をとって、それぞれの点でだぶらない四角形ができるのだから、nは３の倍数。一個の点でつくる四角形の数は(n-1)/3 これにnをかけてそれぞれの四角形が４回だぶるから、n(n-1)/12 が整数でないといけない。　上記二つを満たす数。

こちらに載るのはとても久しぶり、一度オフカイも大阪で参加させていただきました。興味深い問題あると解こうとしますが、前回は１００以下の奇数をかけあわせて下３桁の問題。　　またよろしく～。

　　 10月26日（水） 8:27:33　　　　45420

紫の薔薇の人

k(3k+1)/4が整数になる必要条件を求めて６番目に小さい数を回答しました。
十分性の確認は、4人、13人、16人までやりました。
仕事と某大会で忙しくて、解答ぎりぎりになりました。

　　 10月26日（水） 22:46:45　　　　45421

紫の薔薇の人

↓当然、3k+1の６番目のこと。
長い間、13の次を間違えていて、16を見落としていました。

　　 10月26日（水） 22:48:47　　　　45422

通りすがりの中1

更新まだかな？

算数王国　　 10月27日（木） 0:03:17　　 HomePage:僕の人生奮闘記　　45423

baLLjugglermoka

あれ、更新されませんね。

　　 10月27日（木） 0:04:11　　　　45424

ベルク・カッツェ

今週はお休みでしょうか。しばらくしたらまた見に来てみます。

　　 10月27日（木） 0:05:39　　　　45425

名前

マサルさんもお忙しかったら無理をせずに

　　 10月27日（木） 0:09:14　　　　45426