kyorofumi
with Matlab

a1 = 0;
for i = 3:992
if mod(992,i) == 0
a1 = a1+992/i;
end
end

a1 = 528
　　 10月13日（木） 0:08:07　　 　　45345
長野　美光
992＝2^5×31 をまず確認しておいて、
正992角形が1個
正496角形が2個
正248角形が4個
のように、992 の約数の和を求めれば良いかと思いきや、
正2角形、正1角形はないので、その分は除いて、
　(1+2+4+8+16+32)×(1+31)−992−496＝528
としました。

それにしても Taroちゃん早い。
はままつ　　 10月13日（木） 0:08:16　　 HomePage:ヨッシーの算数・数学の部屋　　45346
景
Taroさんは本当にいつも早い
宝塚　　 10月13日（木） 0:10:05　　 　　45347
ベルク・カッツェ
992の約数を考えて一角形992個、二角形496個は存在しないので、それ以外の四角形248個〜九百九十二角形1個を合計しました。
最初足し算ミスして間違えて二度目で正解。
　　 10月13日（木） 0:11:34　　 　　45348
ベルク・カッツェ
問題をよく読まず多角形はいくつできるか、だと思って、2の942乗引くなんとかなんてどう計算するんだと時間を無駄にしたのは秘密。

Taroさん早いですねえ。入力と送信を30秒で済ませたとしても25秒で解いてることになる。
　　 10月13日（木） 0:16:50　　 　　45349
葦
約数の和を地道に足してミス連発…賢く因数分解的に求めるべきだったと反省。
にしても問題読む→筋道立てる→素因数分解する→約数の和求める→忘れずに余分なものを引く→解答入力を1分以内にやってのけるってのは凄すぎます( ;∀;)
　　 10月13日（木） 0:17:41　　 　　45350
紫の薔薇の人
992=2^5*31
(1+2+4+8+16+32)*(1+31)-992-496=528
　　 10月13日（木） 0:18:25　　 　　45351
スモークマン
そっか!!
全体から引けばよかったのねぇ ^^;

992=2^5*31

…31角形・・・2^6-1=63個
…2^2・・・2^3*31
2^3・・・2^2*31
2^4・・・2*31
2^5・・・31・・・31*(1+2+2^2+2^3)=31*(2^4-1)=31*15
so…
31*15+63=528個

なんて考えてました…^^;;
　　 10月13日（木） 0:26:20　　 　　45352
Mr.ダンディ
皆さんと同じく
(1+2+4+8+16+32)*(1+31)-992-496=528
という計算式でした。

結果は同じですが、途中で寄り道したり計算ミスをしたりで
結構時間がかかってしまいました。
Taroさんをはじめ数分以内で送信している人と　頭の性能の差を痛感します。
　　 10月13日（木） 0:28:18　　 　　45353
にゃもー君
992=2^5*31を利用して、N角形の個数を考えました。
N角形の個数は、992の約数の個数（31^0+31^1)*(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5)
そのうちありえない１角形と２角形を除外する。
１角形は992通り（31^1*2^5) ２角形は496通り（31^1*2^4）
（31^0+31^1)*(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5)-992-496=528

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以上
さいたま市浦和区（自称）　　 10月13日（木） 0:30:02　　 　　45354
ゴンとも
992/4+992/8+992/16+992/31+992/32+992/62+992/124+992/248+992/496+992/992;528・・・・・・(答え)
豊川市　　 10月13日（木） 0:41:32　　 　　45355
今年から高齢者
皆さん早いですね
素因数分解を間違えていて最初からやり直し。
約数を全部出して、1,2を除外。これらで992を割って合計。
筆算でやったら時間がかかりました。
あとから、(1+2+4+8+16+32)*(1+31)-992-496=528 に気付きました。
　　 10月13日（木） 0:42:29　　 　　45356
にゃもー君
今回の問題のポイントは
�〔簑衒犬�ら、992の約数の個数を求めることを見抜く要約力
　（その前提として、少ない数で試してみる試行力）
�¬鷽瑤慮朕瑤侶彁司�法の知識及び計算の工夫
��除外する条件を見逃さない注意力（今回の場合１角形と２角形）
様々な要素が盛り込まれていることを実感しました。得るものが多かったです。
さいたま市浦和区（自称）　　 10月13日（木） 0:52:08　　 　　45357
ゴンとも
XMaxima で1行で書けました。

j:0$for n:3 thru 992 do (if mod(992,n)=0 then j:j+992/n)$j;528
豊川市　　 10月13日（木） 1:04:23　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　45358
あめい
992=2^5＊31=2^4*(2*31)＝・・・・＝2*(2^4*31)として
2^5＊31からは点を２＾５飛ばしの３１角形と点を３１飛ばしの２＾５角形が考えられるので２＾５通りと３１通り
・・・・・・
2*(2^4*31)から点を２つ飛ばしの2^4*31角形が２通り、点を2^4*31飛ばしは２角形なので×
として(2^5+2^4+2^3+2^2+2)＋(31+2*31+2^2*31+2^2*31+2^3*31)＝62+(1+2+4+8)*31=62+465=527
で入れず、全部結ぶ992角形に気がつくまでずいぶんかかってしまいました。
約数の総和の出し方も知っているはずなのに、皆さんのようにこういうところで使えないのは本当のところで使えていないんだなぁと改めて感じるところでした。

お馬崎　　 10月13日（木） 2:28:57　　 　　45359
にこたん
992の約数でできる。
個数は992/n
n=1,2を除いて約数の和2016から992と496を引いて528
　　 10月13日（木） 2:35:48　　 MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 　　45360
「数学」小旅行
暗算でしました。....計算ミス、２回（；Ｏ；）
　　 10月13日（木） 4:38:19　　 　　45361
鯨鯢(Keigei)
第992回の992と、その1/2の496が完全数であることを活かした問題ですね。
正多角形の個数は、992の約数の和から 992 と 992/2＝496 を引けばよい。
992の約数のうち、496の約数でないのは 992 と 32 、
496は完全数なので、496の約数で 496以外の和は 496 、
正多角形の個数は、496＋32＝528 です。
　　 10月13日（木） 5:36:29　　 　　45362
deu
久しぶりに解いてみました。992になってるのは、約数の和が2016だからなのか…。
元ネタは今年の早稲田の商学部ですかね。
　　 10月13日（木） 8:00:04　　 　　45363
巷の夢
#45349ベルク・カッツェ様と全く同じで、こんな膨大な数・・・？ずっと
考えており、諦めながら問題を再度読むと正多角形・・・、そうかと計算し、
527となるも入れず、うーんー、何故・・・？ちまたに粗末な頭に自己嫌悪
　　 10月13日（木） 8:12:52　　 　　45364
今年から高齢者
#45349、#45364で考えられたように、「多角形はいくつか？」という問題も面白いですね。
但し、元が正992角形ではとんでもない数になるので、正18角形くらいにして．．．
（今回出題の意図とは違った方向になりそうですが）
　　 10月13日（木） 9:34:21　　 　　45365
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，すぐに 992 の約数がらみと分かりますが，個人的には少し目新しい問題でした。
その目新しさ込みで算チャレとしては標準的かやや易かぁ。こんな感じで。

正992角形の 992 個の頂点からいくつかを選んで正多角形を作るには，
その正多角形の頂点の間の正992角形の頂点の個数が等しくなければなりません。
そのためには，992 の約数が正多角形＝正ｎ角形のｎ，対称性から 992/約数 通りが可能，になります。
992 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 31 で，ｎは 1 と 2 は取れないことに注意すると，具体的には次のようになります。
992 = 992 * 1，正992角形が 1 通り，
992 = 496 * 2，正496角形が 2 通り，
992 = 248 * 4，正248角形が 4 通り，
992 = 124 * 8，正124角形が 8 通り，
992 = 62 * 16，正62角形が 16 通り，
992 = 31 * 32，正31角形が 32 通り，
992 = 32 * 31，正32角形が 31 通り，
992 = 16 * 62，正31角形が 62 通り，
992 = 8 * 124，正8角形が 124 通り，
992 = 4 * 248，正4角形＝正方形が 248 通り，
ここまでですべてなので，
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 31 + 62 + 124 + 248 = 528 通り，
になります。

考え方さえ分かってしまえば，計算の工夫はいろいろと考えられます。

単純にべき乗を使って書けば，
1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 31 + 2 * 31 + 2^2 * 31 + 2^3 * 31
= (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5) + (1 + 2 + 2^2 + 2^3) * 31
= 63 + 15 * 31
= 528 通り，
とか，
1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 31 + 2 * 31 + 2^2 * 31 + 2^3 * 31
= (1 + 2 + 2^2 + 2^3) + (1 + 2 + 2^2 + 2^3) * 31 + 2^4 + 2^5
= (1 + 2 + 2^2 + 2^3) * 32 + 16 + 32
= 15 * 32 + 48
= 528 通り，
とか，
1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 31 + 2 * 31 + 2^2 * 31 + 2^3 * 31
= 3 + (1 + 2 + 2^2 + 2^3) * 4 + (1 + 2 + 2^2 + 2^3) * 31
= 3 + (1 + 2 + 2^2 + 2^3) * (4 + 31)
= 3 + 15 * 35
= 528 通り，
とか。

要するに 992 の約数の和から 992/2 = 496 と 992 を除けばいいので，
(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5) * (1 + 31) - 496 - 992
= 63 * 32 - 1488
= 2016 - 1488
= 528 通り，
992 の約数の和が 2016 になったのはご愛嬌，かな (^^;

さすがにこれはやりすぎだと思いますが，496 = 2^4 * 31 = 2^4 * (2^5 - 1) が完全数と気付けば，
992 の約数の和から 992/2 = 496 と 992 を除くというのは，
完全数である 496 の約数の和から 496 を除いたもの，これは完全数だから 496，と，
これに 496 の約数ではない 32 を足せばいいので，
496 + 32 = 528 通り，
なんてのもありますね。ただ，これは我ながら分かってる自慢がちょっと鼻につく気も (^^;

こういう工夫は各人の予備知識と思い付くかどうかによるので様々で，良し悪しは微妙な気もします。
まだまだあるかも知れませんね。
　　 10月13日（木） 14:47:45　　 　　45366
uchinyan
掲示板を読みました。

注意
以下の記述は，そもそもは私自身の勉強のメモに過ぎないのですが，
折角なのでご参考までにと思って公開するものです。
そういうこともあって，解法の分類は算チャレの F.A.Q. の「算数の範囲」の記述を参考に，
私個人が独断と偏見で主観的に行っているものであって，客観的なものではありません。
あくまでもご参考です。悪しからず。

今回は，皆さん，
作ることができる正ｎ角形はｎが 992 の約数のうち 1 と 2 を除いたもので 992/n 通りが可能，
を基に考える解法のようですね。
一方，その際に場合の数を足しあげる計算の工夫も予想通りいくつかあるようです。
それで分類してもいいのですが，私の#45366で示した以上のものはなかったので，まぁいいかな，と。
なお，992 の特殊性に依存するので，個人的には解法としていいかどうかは疑問ですが，
単に計算量を減らしたいならば，496 が完全数，を使うのが一番楽そうです。
　　 10月13日（木） 13:29:35　　 　　45367
あみー
解答してくださったみなさん，ありがとうございました.
そうですね，球を入れる場合の半径を求める問題なら全表面積で，立方体の１辺を求める場合なら直角三角形の面積の和でわる，というだけの問題です。
シンプルですが，覚えておきたい知識のような気がしますね。
　　 10月15日（土） 5:11:25　　 　　45368
あみー
こんなのはどうかな。
一辺が12�僂寮喫�形ＡＢＣＤがあり，辺ＡＢ上にＡＥ＝７�僂箸覆訶寸鼎鬚箸蠅泙后�三角形ＡＥＤ，台形ＥＢＣＤをそれぞれ面積を２等分する線分ＦＧを考えます。Ｆは辺ＡＤ上の点，Ｇは辺ＢＣ上の点です。ＡＦは何�僂任靴腓Δ�。
　　 10月15日（土） 5:19:11　　 　　45369
スモークマン
#45369 あみーさん
前回の考え方わかりやすいです☆

今回は...
30/11
になりましたが...合ってるかなぁ ^^…
重心同士を結ぶという有名な方法で…Orz
　　 10月15日（土） 19:45:06　　 　　45370
ベルク・カッツェ
2cmでしょうか。
　　 10月15日（土） 22:22:10　　 　　45371
uchinyan
答えが分かれたようなので私も考えてみました。
私は 2 cm になりました。
　　 10月16日（日） 14:02:39　　 　　45372
Mr.ダンディ
私も　２ｃｍ　になりました。
　　 10月16日（日） 15:18:29　　 　　45373
スモークマン
あれ…^^;
今回も…敗色濃厚…^^;;
どこがおかしいのか分からず…
重心(4,7/3), (6,6)を結ぶ線だと思うんだけど…仏仏...
　　 10月16日（日） 22:25:41　　 　　45374
ベルク・カッツェ
そろそろ解法書いてもいいでしょうか。
三角形、台形とも二等分されるので、ＦＧは正方形も二等分するため正方形の中央を通ります。ＥからＡＤに平行な線を引いてＦＧとの交点をＩ、ＤＥとＦＧの交点をＨとすると、ＦＤＨとＩＥＨが砂時計型の相似になります。
ここで算数だと面倒そうなのでＡＦをxとしてDH:HE＝FD：IE＝（12-x）：（7-x/6）とxの式で表して、DF×DH：DA×DE＝1：2よりxの二次方程式x^2-17x+30＝0、これを解いてx＝2（15は不適）としました。二次方程式が因数分解ですぐ解ける形なので、算数でも少し手間が増えるだけでいけそうですね。
　　 10月17日（月） 1:08:29　　 　　45375
ベルク・カッツェ
#45374
重心を通る線と面積の二等分は別物ですよね。たとえば正三角形の重心を通って一辺に平行な線を引くと、面積は4：5になります。支点から遠いほうが軽くないと釣り合いません。
　　 10月17日（月） 1:25:41　　 　　45376
ちこりん
一応、固定して考えてはみたけど、何を以って「異なる頂点」なんだろう。
　　 10月17日（月） 10:03:55　　 　　45377
ちこりん
せんせー、大変です！正992角形を描いてみましたが、視認できません！！
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org1036722.jpg
　　 10月17日（月） 10:11:45　　 　　45378
ちこりん
せんせー、大変です！正992角形を描いてみましたが、視認できません！！
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org1036722.jpg
　　 10月17日（月） 10:20:07　　 　　45379
uchinyan
私の解法。一応は算数だと思います。

DE と FG との交点を P，DE，CB の延長の交点を Q，
P を通り AB，DC と平行な線を引き AD，BC との交点を H，I，とします。
△AED = 42 cm^2，□EBCD = □ABCD - △AED = 144 - 42 = 102 cm^2，で，
FG は △AED，□EBCD をそれぞれ２等分するので，△PDF = 21 cm^2，□PEBG = 51 cm^2，です。
一方で，△EAD ∽ △EBQ，より，AD：BQ = AE：BE，12：BQ = 7：5，BQ = 60/7 cm，となり，
△PQG = △EQB + □PEBG = 60/7 * 5 * 1/2 + 51 = 507/7 cm^2，です。
そこで，△PDF：△PQG = 21：(507/7) = 49：169，で，△PDF ∽ △PQG，より，相似比は 7：13，です。
これより，PH：PI = 7：13，PH = AB * 7/20 = 12 * 7/20 = 21/5 cm，となって，
DF = (△PDF * 2)/PH = (21 * 2)/(21/5) = 10 cm，AF = AD - DF = 12 - 10 = 2 cm，になります。
　　 10月17日（月） 12:32:45　　 　　45380
新中2N.K.
久しぶりに来ました！！
中間の勉強などでしばらくこれませんでした
今回の問題は、比較的易ですね
新世界　　 10月17日（月） 18:06:13　　 　　45381
スモークマン
#45376 ベルクカッチェさん
たしかにそうですね…^^;
わたしの思い込みでしたぁ…Orz
思いの外難しいわ ^^;;
　　 10月17日（月） 20:09:48　　 　　45382
スモークマン
訂正できない?
お名前間違えました ^^; Orz
＞ベルク・カッツェさん
思いの外打ちにくい ^^;;;
↓
　　 10月17日（月） 20:15:24　　 　　45383
新中2N.K.
なんか今回の問題の挑戦者数クソ多くないですか？
何かのバグかな？
新世界　　 10月18日（火） 16:07:31　　 　　45384
通りすがりの中1
#45384
それな！(年下なのに生意気でスミマセンm(_ _)m)
あと、僕も中間終わりました。
今回はPICK UPすべき問題は無かったです。
算数王国　　 10月19日（水） 23:53:14　　 HomePage:僕の人生奮闘記　　45385