通りすがりの中1
最初に間違えて角ABCを出してしまいました(苦笑)。
結局今回も一位ならず…
算数王国　　 9月15日（木） 0:08:02　　 　　45200
ベルク・カッツェ
45で正解のはずですが、掲示板に入れないのでもう一つの解を探してみたところ、112.5度もありました。
ひとつ送れば十分だと思うので45度しか送信していません。
　　 9月15日（木） 0:19:52　　 　　45201
ベルク・カッツェ
45度は、ＡＤ＞ＢＣの場合を考えたらすぐに出てきました。
112.5度はＢＣに対してＡと対称な点Ｐをとり、さらにＡＣに対してＰと対称な点Ｑをとって、三角形ＡＱＤと三角形ＣＱＡが相似であるところから考えました。
　　 9月15日（木） 0:29:42　　 　　45202
紫の薔薇の人
AB=a,AD=2a,AC=b,角ACB＝θ、角ADC＝Xとすると、
正弦定理により、

b/1=a/sinθ
b/sinX＝2a=sin2θ

これより、cosθ＝sinX＝cos(π/2-X)
∴π/2-X＝±θ
X＝π/2-±θ
一方、X+3θ＝π
よって、
(θ,X)＝(π/4、π/4)or(π/8,5π/8)

X=45°or112.5°
　　 9月15日（木） 0:38:41　　 　　45203
今年から高齢者
��ABCをACを軸にして反転させ、��AECを作る。
更に、��AECをECを軸にして反転させ��ECFをつくる。
AF=ADとなるので、��ADFは二等辺三角形。
∠ACB=●とすると、∠CAB=90-●。∠DAC=∠ACB=●（錯角）なので、∠FAD=90-●●。
故に、二等辺三角形より ∠AFD=45+●。
これが、∠CAB=90-●と同じなので、●●=45。故に、∠ADC=180-●●●=180-3*45/2=225/2°
　　 9月15日（木） 10:06:30　　 　　45204
スモークマン
やっとこさ ^^;...
折り紙で…
ACで上に折って、もう一度BCで折るというか広げると、Dを通る大きい二等辺三角形が出来る…
ADが等しい小さい二等辺三角形もできていて...大きい二等辺三角形はBCが垂線になるので…
４●=90
so…
180-3●=180-(3/4)*90=450/4=112.5°

45°が出て来ない…^^;
　　 9月15日（木） 0:48:00　　 　　45205
Mr.ダンディ
CDの延長線上に　CA=CEとなる点Eをとると
△CAEは△CABを２つ合わせたものとなり　AE=AD
∠CAB=∠AED=∠ADE
∠ADE=α　とすると
∠DCB=∠CAB=α、∠ACB=α/3
∠CAB＋∠ACB=90°より
α＋α/3＝90°
α＝67.5°
∠ADC=180°-67.5°=112.5°
以上のように求めました。
　　 9月15日（木） 0:56:15　　 　　45206
今年から高齢者
#45201 45度の答は素晴らしい！。そちらの方向は思いもしませんでした。

　　 9月15日（木） 9:51:50　　 　　45207
ゴンとも
座標にA(0,1),B(0,0),C(a,0),D(2,1)とおくと
tan(赤丸)=1/a,tan(3*赤丸)=1/(a-2)より後者の式で3倍角の公式と前者の値で
aの方程式がたちそれを解き答えがでる　XMaxima では

trigexpand(tan(3*a))$
solve(ev(%,tan(a)=1/a)=1/(a-2),a)$
part(%,3)$part(%o2,2)$%th(2);%th(2);a=1,a=sqrt(2)+1 より図から考えて
a=1のとき∠ADC=45°・・・・・・(1つめの答え)
a=sqrt(2)+1のときは　(BC-AD)/AB=sqrt(2)-1=tan(22.5*%pi/180) より
∠ADC=90+22.5=112.5°・・・・・・(2つめの答え)
豊川市　　 9月15日（木） 1:14:51　　 　　45208
紫の薔薇の人
#45202で相似がすぐに見えなかったので蛇足ながら、補完してみます。

角ACB＝θ、角ADC＝X

QC＝PC＝ACだから、△CAQは、CA=CQの二等辺三角形
また、AD＝AP＝AQだから、△ADQは、AD=AQの二等辺三角形
△CAQと△ADQは、底角の一つを共有しているから、相似！
よって、角DAQ＝角ACD＝2θ

AD//BCから、角CAD＝θ
より、角AQD＝角QDA＝3θ
だから、2θ＋3θ＋3θ＝180°
θ＝22.5°、３θ＝67.5°、X＝180°-3θ＝112.5°
　　 9月15日（木） 1:07:47　　 　　45209
とまぴょん
2回続けて折り返しました。
１回目　BCを軸に��CBA　→　Aが移動した場所をA’
２回目　CAを軸に��CAA' →　A’が移動した場所を　A"

そうすると　��CA'A" は二等辺三角形で、その内角の和が赤●8個分となる
よって、赤●＝180/8＝22.5度

求める角は、180-3ｘ赤●＝180-3ｘ22.5＝112.5
　　 9月15日（木） 9:41:26　　 　　45210
にこたん
昨日、９月１４日はボス猫の命日になりました。
　　 9月15日（木） 11:23:27　　 MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 　　45211
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
「上の図のような」とあるので多分混乱した方は少ないと思いますが，AD < BC，つまり，∠ADC > 90°，と思って解きました。
それでも最初少し考えましたが，気付いたらスルスルと解けました。算チャレとしては標準的かな。
こんな感じで。

△ABC を AC に関して折り返し B の移動先を E とし，さらに △ACE を CE に関して折り返し A の移動先を F，とします。
∠CEF = ∠CEA = ∠CBA = 90°より，A，E，F は同一直線上にあり，
∠ACF = ∠ACE + ∠FCE = ∠ACE * 2 = ∠ACB * 2 = ∠ACD より，C，D，F は同一直線上にあり，
AF = AE + FE = AE * 2 = AB * 2 = AD より，△ADF は AD = AF の二等辺三角形です。
そこで，この三角形において，
∠DAF = ∠BAF - ∠BAD = ∠BAC * 2 - ∠BAD = (90°- ∠ACB) * 2 - 90°= 90°- ∠ACB * 2，
∠AFD = ∠ADF = ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = ∠ACB + ∠ACB * 2 = ∠ACB * 3，
∠DAF + ∠ADF + ∠AFD = 180°，(90°- ∠ACB * 2) + ∠ACB * 3 + ∠ACB * 3 = 180°，
∠ACB * 4 = 90°，∠ACB = (45/2)°，∠DCB = ∠ACB * 3 = (135/2)°，∠ADC = 180°- ∠DCB = (225/2)°，
になります。

角度の式の辺りは，算数としては図を見ながら解く，ことになります。
また，多分，いろいろな解法があるでしょう。

なお，AD < BC，∠ADC > 90°，として解いているので，
∠DCB < 90°，∠ACB < 30°，∠BAC > 60°，∠CAD = ∠ACB < 30°，で，E，F は □ABCD の外部にあります。
もしそれ以外の場合も考えるとすると，
AD = BC の場合は，∠ACB = 30°，AC = AB * 2 = AD，ですが，□ABCD は長方形なので，明らかに不可。
AD > BC の場合は，∠ACB > 30°，ですが，∠ACB = 45°がポイントです。
30°< ∠ACB < 45°のときは，AD < BC の場合と同じで E，F は □ABCD の外部にあり，同じ角度の式がいえるので，
∠ACB = (45/2)°< 30°となって，不可。
∠ACB = 45°のときは，E は AD の中点，F = D，△ADF はつぶれて，明らかに解になり，∠ADC = 45°，です。
45°< ∠ACB のときは，AD < BC の場合と異なり E，F は □ABCD の内部にありますが，同じようにして角度の式は，
∠DAF + ∠ADF + ∠AFD = 180°，(∠ACB * 2 - 90°) + (180°- ∠ACB * 3) + (180°- ∠ACB * 3) = 180°，
となりますが，これは，∠ACB * 4 = 90°，∠ACB = (45/2)° < 30°となって，不可。
結局のところ，∠ACD は ，(225/2)°又は 45°，ですね。

45°という解がある以上，AD < BC，とかの条件を付けた方がいいのかも知れません。
　　 9月15日（木） 13:03:44　　 　　45212
uchinyan
掲示板を読みました。

注意
以下の記述は，そもそもは私自身の勉強のメモに過ぎないのですが，
折角なのでご参考までにと思って公開するものです。
そういうこともあって，解法の分類は算チャレの F.A.Q. の「算数の範囲」の記述を参考に，
私個人が独断と偏見で主観的に行っているものであって，客観的なものではありません。
あくまでもご参考です。悪しからず。

やはり，私の#45212以外にも 45°を気になさっていた方，#45201，#45203，#45208，がいましたね。
もっとも，数学で解けば自然と現れますが。

以下は，(225/2)° = 112.5°の方を求める解法の分類です。
最初の着眼点点が少し違いますが，実質はどれもほぼ同じですね。

#45202，#45210
BC に関して A と対称な点をとりさらに AC に関してその点と対称な点をとって二等辺三角形を作って解く解法。

#45204，#45205，#45212
△ABC を AC に関して折り返しさらに移動先の BC に関して折り返し二等辺三角形を作って解く解法。
どの二等辺三角形に注目しどう使うかで若干のバリエーションがあります。

#45206
CD の延長線上に CA = CE となる点 E をとって二等辺三角形を作って解く解法。

#45215
△ABC を BC を軸に折り返し △ACD を AC を軸に折り返し二等辺三角形を作って解く解法。

#45225＋#45226
この図形を８個集めて中央に一辺が AD の正方形が重なるように並べ一辺が CD の正八角形を作って解く解法。
実は私も答えを出してから正八角形が絡んでいそうだなとは思ったのですが解法としてまでは考えませんでした。
というのは，正八角形に埋め込めるのは正しいのですが，点 D が凹とかはない，とスッキリといえなかったので。
ただ，図的には，円があってその中心を中心とし頂点が円周上にない正方形があって，
その正方形の辺に垂直な直径の端の点からのその辺への見込む角度と，
この直径に平行な同じ正方形の横の辺に対する同じ点からの見込む角度は，一致しない，と思われるので，
多分，解法としても正しいのだろう，と思います。計算ではいえますね。
作問はこの正八角形辺りからかな。
ちなみに，45°の解は正方形になりそうですね。

#45203，#45208，#45216＋#45219＋#45223
数学による解法。

なお，私の#45212は少し数学ぽかったなと反省。
△ADF，△CAF は相似な二等辺三角形より ∠ACB * 8 = 180°とする方がいいです。
　　 9月16日（金） 16:19:45　　 　　45213
ああ負けたか巨人
10時になったら 浮浪の館というところで 問題出るからね
　　 9月15日（木） 16:07:12　　 　　45214
新中2N.K.
windows10に変わったとともに、23時以降PC使えなくなったorz

なるほど、今回の問題は45°という解もあるんですね
全く考えませんでした

僕は、
三角形ABCをBCを軸に折り返す。このときAの移動先をEとする。
三角形ACDをACを軸に折り返す。このときDの移動先をFとする。
すると、三角形AEFは二等辺三角形となる
…という感じにして角度をおっていきました
　　 9月15日（木） 17:57:37　　 　　45215
にわか勢
算数で解けてる人沢山いて羨ましい限りです・・・
自分は正弦定理やら何やらでゴリゴリ解いたのですが
それとは別の解法でやっていると
sin^2α-sinα=cos^2α-cosα
という式が出てきたのですが恥ずかしながら少し考えただけでは解けませんでした・・・
誰か一緒に解いていただけませんか
因みにαは赤丸二つ分の角度です
　　 9月15日（木） 18:09:28　　 　　45216
にわか勢
算数で解けてる人沢山いて羨ましい限りです・・・
自分は正弦定理やら何やらでゴリゴリ解いたのですが
それとは別の解法でやっていると
sin^2α-sinα=cos^2α-cosα
という式が出てきたのですが恥ずかしながら少し考えただけでは解けませんでした・・・
誰か一緒に解いていただけませんか
因みにαは赤丸二つ分の角度です
　　 9月15日（木） 18:09:38　　 　　45217
にわか勢
バグ連投すみません・・・
なぜか消せません
　　 9月15日（木） 18:16:00　　 　　45218
今年から高齢者
#45127
(cosA)^2-(sinA)^2=(cosA-sinA)*(cosA+sinA)=cosA-sinA
∴(1) cosA-sinA=0 or (2)cosA+sinA=1
(1)より、A=45,or A=225
(2)は、両辺を2乗して、(cosA)^2+(sinA)^2+2*cosA*sinA=1
2*cosA*sinA=sin2A=0なので、2A=180 or 360
で．．適切なもの（0＜3A/2＜180)を絞り込めば良いでしょう。A=45（∠ADC=225/2)と2A=180(∠ADC=45)ですね
むしろ、(sinA)^2-sinA=(cosA)^2-cosAがどうやって出てきたか知りたいですね！
　　 9月15日（木） 21:22:44　　 　　45219
tera
算数で解けた　気持ちいいね
　　 9月15日（木） 22:35:41　　 　　45221
マサル
すみません、たしかに45°という解がありましたので、そちらも正解扱いとして、修正させていただきます。
MacbookPro　　 9月15日（木） 22:41:51　　 　　45222
にわか勢
#45219
ありがとうございます
因数分解も気づかなかったのか・・・

導き方ですがDからACに垂線をおろし交点をEとし、また赤丸の角度はθ 緑四角の長さを1とします
AEの長さは2・cosθ
CEの長さはDE=2・sinθより2sinθ/tan2θ
この合計が△ABCより1/sinθに等しい
2cosθ +2sinθ/tan2θ = 1/sinθ
∴2cosθsinθ +2(sinθ)^2/tan2θ = 1
∴2(sinθ)^2/tan2θ = 1-sin2θ
∴(1-cos2θ)/tan2θ = 1-sin2θ
これを整理し、2θ=αとしたのが先の式です
　　 9月15日（木） 23:52:18　　 　　45223
ハラギャーテイ
やっと出来ました
衰えました。計算も！
山口　　 9月16日（金） 4:17:02　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　45224
数樂
間違ってなければ、この図形を8枚重ねると正八角形ができると思います。
線分ACその対角線の1本ですね。
正八角形の1つの角が135°
正八角形の2つの辺を辺とする頂角135°の二等辺三角形の底角は22.5°
よって　135°ー22.5°＝112.5°
かな？
まちがってたら勘であったってことで。
　　 9月16日（金） 9:00:58　　 HomePage:数樂　　45225
数樂
8枚重ねるというかDCが正八角形の1辺となるように、並べていくといった方が正しいですね。
　　 9月16日（金） 9:05:35　　 HomePage:数樂　　45226
uchinyan
#45225
多分ですが，正しいだろう，と思います。#45213をご覧ください。
　　 9月16日（金） 13:05:19　　 　　45228
数樂
uchinyanさん
ありがとございます。確認いたしました。
　　 9月17日（土） 1:04:36　　 HomePage:数樂　　45229
けーすけ
自分は、全体を辺ＢＣで折り返したものをくっつけて5角形を作り、
底辺■■、頂角●●の三角形３つに分割できることから、
円周角の考え方から、5角形が円に内接する、と考えて解きました。
直観的な解き方で、算数の範囲でもないですが。
　　 9月17日（土） 1:15:55　　 　　45230
数樂
uchinyanさん
ありがとございます。確認いたしました。
　　 9月17日（土） 7:17:22　　 HomePage:数樂　　45231
真
ＡＤの中点をＭ、
ＭからＢＣに引いた垂線の足をＥ、
ＤからＢＣに引いた垂線の足をＦ、
ＡＣとＭＥの交点をＧ、ＡＣとＤＦの交点をＨとします．

△ＡＨＤと△ＣＡＢは相似ですが、
△ＤＣＦもこれらと相似だったらいいなぁと思い、
この希望的予測を証明できないか、という観点から考えて解きました．

ＡＤ//ＢＣより、∠ＡＣＢ＝∠ＭＡＧ＝●

ＡＭ＝ＤＭ＝■、ＭＧは共通、∠ＡＭＧ＝∠ＤＭＧ＝90°より、
△ＡＧＭ≡△ＤＧＭ
∴∠ＧＡＭ＝∠ＧＤＭ＝●

∠ＤＧＣ＝∠ＧＡＭ＋∠ＧＤＭ＝●●
よって△ＤＧＣは、∠ＤＧＣ＝∠ＤＣＧ＝●●の二等辺三角形となるので、
ＤＧ＝ＤＣ

ＤＧ＝ＤＣ、ＤＭ＝ＤＦ＝■、∠ＤＭＧ＝∠ＤＦＣ＝90°より、
△ＤＧＭ≡△ＤＣＦ
∴∠ＧＤＭ＝∠ＣＤＦ＝●

△ＤＣＦにおいて、
∠ＣＤＦ＝●、∠ＤＣＦ＝●●●、∠ＤＦＣ＝90°となるので、
∠ＣＤＦ＋∠ＤＣＦ＝●●●●＝90°　
∴●＝22.5°

∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＦ＋∠ＣＤＦ＝90°＋22.5°＝112.5°
　　 9月18日（日） 23:30:47　　 　　45232
ばち丸
∠ＡＣＢ＝θとおいてｔａｎθで表す結果となり、なんと3次方程式になった。
　　 9月20日（火） 6:47:31　　 　　45233
cocogoo
3当分の1つの角度をαとして、DCsin2α=ADsinαより簡単に求まる。三角関数だけの方程式で最初に挑戦したが、複雑すぎる。一本の補助線が全てを救ってくれる。
　　 9月20日（火） 10:28:19　　 　　45234