通りすがりの中1
こちらの問題は正十八角形と正三角形を組み合わせ、正十八角形の中心とそれに正三角形の最も遠い点、そしてそれに最も近い正十八角形の頂点を結んで得られる三角形ですね(^ ^)
よって(180−20)/2＝80です。
算数王国　　 7月14日（木） 0:11:15　　 　　44783
コーセージ
ADCが意外と二等辺三角形だった

　　 7月14日（木） 0:10:38　　 　　44784
ハーパー
直感80だったからとりあえず書きこんでみたら正解でした^^
　　 7月14日（木） 0:10:41　　 　　44785
通りすがりの中1
もしこれに証明を求めるならば#44783の通りだと思いますし、かなりの難問になると思います。又、正三角形を書き加えても解けます。沢山解法がありそうで、面白いですね(^ ^)
ただ、勘で…というのは少し勿体無いかなと。
算数王国　　 7月14日（木） 0:14:29　　 　　44786
新中2N.K.
DCを一辺とする正三角形をCDの下につくる
この正三角形を��CDEとする
∠CBD×2＝∠CEDとなっているので、
DE＝BE(円周角の定理の逆より)
よって、∠BEC＝80°　∠ABE＝100°
∠BEC＋∠ABE＝180°かつ、∠BEC＝∠ACE(＝80°)なので、
四角形ABECは等脚台形
ゆえに、対称性より、∠CAD＝∠DBE＝80°　　(終)
??????????????????????????????????????????????????　　 7月14日（木） 0:27:10　　 　　44787
スモークマン
そっか…^^
２個の外心円で，ADを底辺とする合同な二等辺△…
2*20=40
(180-40)/2=70
20/2=10
so…
70+10=80°
^^;v
　　 7月14日（木） 0:24:03　　 　　44789
今年から高齢者
ＢＤを延長して、ＡＣとの交点をＥとすると��ＢＥＣは二等辺三角形
∠ＢＥＣの二等分線とＣＤとの交点をＦとすると
��ＥＦＣ≡��ＥＡＢとなり、ＢＥはＡＦの垂直二等分線となるため、
��ＡＤＥ≡��ＦＤＥとなり、
∠ＤＡＣ＝∠ＤＦＥ＝１８０−４０−６０＝８０でした。
苦労しました。

　　 7月14日（木） 1:19:39　　 　　44790
紫の薔薇の人
角DAC＝X、角BAD＝Yとおくと、
△ABCの内角の和より、X+Y＝100°・・・��

△BDCについて正弦定理より、
BD：DC＝sin10°：sin30°・・・・・・��

△ABDについて正弦定理より
AD/sin20°＝BD/sinY・・・・��

△ACDについて正弦定理より
AD/sin20°＝CD/sinX・・・・��

�◆↓�、�い茲蝓�
sinXsin10°＝sinYsin30°

sin30°＝1/2だから
2sinXsin10°＝sinY°・・・・��

�，茲蝓�
sinY＝sin(100°-X)＝cos(X-10°)＝cosXcos10°+sinXsin10°・・・��

�ァ↓Δ茲蝓�
sinXsin10°＝cosXcos10°

tanX＝1/tan10°＝tan80°

0＜X＜180°より、x=80°

//
　　 7月14日（木） 0:51:00　　 　　44791
ベルク・カッツェ
ＢＤの延長とＡＣの交点をＥ、ＥからＢＣに下ろした垂線とＣＤの交点をＦとして、三角形の内角の和で出せる角を適当に書きこんでみると、三角形ＡＢＥとＦＣＥはＢＥ＝ＣＥでその両側の角も等しいので合同、ＡＥ＝ＦＥになります。ゆえに三角形ＡＥＤとＦＥＣが合同になり、求める角は角ＤＦＥと等しいので80度。
　　 7月14日（木） 2:24:27　　 　　44792
ハラギャーテイ
おはようございます

正弦定理、余弦定理です。
山口　　 7月14日（木） 5:31:42　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　44793
あめい
今年から高齢者さん#44790、ベルク・カッツェさん#44792と同じく
二等辺三角形を作り、頂角の二等分線から合同な三角形を２組見つける方法で求めました。
∠Ｂの分け方を４０°、１０°ならどうか、などとするだけで何時間も楽しめそう（？）ですね、求まるかわかりませんが・・・。
お馬崎　　 7月14日（木） 5:36:00　　 　　44794
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うーむ，図の感じから多分 CD = CA で 80°だろうと思い，三角関数を使った数学でこれが正解，と分かったのですが，
算数解法は個人的にはなかなか難しかったです。ただ，正解率は結構高いですね。皆さんには易しいのか慎重になったからか。
結局のところ，こんな感じで。
(以下，若干修正しました。)

BD を延長し AC との交点を E，E から BC に垂線を下ろしその足を H，DC との交点を F，とします。
∠EBC = 30°= ∠ECB より △EBC は EB = EC の二等辺三角形で EH は ∠BEC の二等分線です。
そこで，∠BEC = 120°，∠BEF = ∠BEC/2 = 120°/2 = 60°= ∠CEF，です。
すると，∠ABE = 20°= ∠FCE = ∠FBE，∠AEB = 60°= ∠FEC = ∠FEB，BE = CE = BE，より，△BAE ≡ △CFE ≡ △BFE，となって，
EA = EF，∠AED = ∠FED，△ADE ≡ △FDE，がいえ，
？ = ∠DAC = ∠DAE = ∠DFE = ∠ECF + ∠CEF = 20°+ 60°= 80°，
になります。

最初，直接に CD = CA がいえないかしばし考えたもののうまくいかず，
多分この手の問題は正多角形を組み合わせて適当に切ったのだろうなと思ったものの，
諸般の事情で紙と鉛筆が使えず頭の中だけで解くしかないのでやはり厳しく，
正三角形をあれこれくっつけてみたもののやはりうまくいかず，
で，手こずりました。
多分，こういう感じの解法もあるだろうなと思って，掲示板を読みますね。
　　 7月14日（木） 14:49:53　　 　　44795
uchinyan
掲示板を読みました。

注意
以下の記述は，そもそもは私自身の勉強のメモに過ぎないのですが，
折角なのでご参考までにと思って公開するものです。
そういうこともあって，解法の分類は算チャレの F.A.Q. の「算数の範囲」の記述を参考に，
私個人が独断と偏見で主観的に行っているものであって，客観的なものではありません。
あくまでもご参考です。悪しからず。

#44783
＞こちらの問題は正十八角形と正三角形を組み合わせ、
＞正十八角形の中心とそれに正三角形の最も遠い点、そしてそれに最も近い正十八角形の頂点を結んで得られる
＞三角形ですね(^ ^)
という解法。なるほど，確かにそうだ！
こういう解法があるだろうとは思いましたが，すぐに見抜く眼力はさすが。お見事。
△DBC を BC に関して折り返し似たようなことを考えたのですが，もう一つ詰め切れませんでした。

#44787
DC を一辺とする 正三角形CDE を CD の下につくり円周角と中心角の緩解などを使って，
□ABEC が円に内接する等脚台形になることを使う解法。
細かいことを言うと円の性質をかなり使っているので算数といえるか少し疑問ですが，
なるほど，これもお見事ですね。
似たようなことは考えたのですが，円は考えなかったのと正三角形の作る位置がまずくうまくいきませんでした。

#44789
＞２個の外心円で，ADを底辺とする合同な二等辺△…
という解法。ただ，残念ながら私には追いきれず詳細は不明。
その後，#44798，#44800で追加の説明がありました。ただ．．．
＞△O'AC≡△O'DC
そもそもこれはすぐにいえるのでしょうか？
これがいえるには CA = CD か ∠CO'A = ∠CO'D がいえる必要がありますが，あまり明らかでないような。
それに CA = CD ならば直接に∠DAC = (180°- 20°)/2 = 80°ですし，30°と 10°も使ってないような。

#44790，#44792，#44794，#44795
BD を延長し AC との交点を E，∠BEC の二等分線と CD との交点を F とし，
△BEC が二等辺三角形になることを基に合同を繰り返し用いて解く解法。

#44799
＞三角形DBCをDBで折り返すと、三角形ABCはBCを１辺とする正三角形にはまりこむので、
＞スッと８０度が出ますね。
なるほど，図が矛盾なく描けるためにはこうなるしかなさそうですね。

#44791，#44793
数学による解法。
　　 7月15日（金） 12:29:03　　 　　44796
通りすがりの中1
このような問題は無数に作ることが出来ます。
何故なら、#44783で言った通りに作れる三角形は正十八角形に限らず、どの正多角形を組み合わせても作ることが出来るからです。
算数王国　　 7月14日（木） 20:05:16　　 　　44797
スモークマン
#44796 uchinyanさんへ ^^
舌足らずでした…
△ABDと△ADCの外接円の半径は等しく，それぞれの中心をO,O'とすると…
△OAD≡△O'AD
O'A=O'D=O'C
△O'AC≡△O'DC
角AO'D=2*20=40°
角O'AD=(180-40)/2=70°
角O'AC=20/2=10°
so…
70°+10°=80°
算数じゃないし...遠回りしてる気もします…^^;
　　 7月14日（木） 20:29:10　　 　　44798
なかくん
三角形DBCをDBで折り返すと、三角形ABCはBCを１辺とする正三角形にはまりこむので、スッと８０度が出ますね。
　　 7月14日（木） 20:30:47　　 MAIL:junsan23@ezweb.ne.jp 　　44799
スモークマン
失礼しました…
#44798
>角O'AC=20/2=10°
はすぐ言えないことに気づきました…^^;; Orz...
　　 7月14日（木） 21:33:22　　 　　44800
通りすがりの中1
今回の各関係が正三角形を連想させるものだったから良かったですが、少しいじるとかなり面倒になります。そのようは例題を作ってみたのであげてみます。
問:ある三角形ABCにおいて。CD＝CA、AD＝DBとなるような点Dを三角形の内部にとると、角DCA＝1°、角ADB＝121°となりました。このとき、角DCBの大きさを求めなさい。
どうでしょうか。判明している角が平方数になるよう設定してみました(笑)
暇でしたらどうぞ(^ ^)
算数王国　　 7月15日（金） 10:41:53　　 　　44801
新中2N.K.
#44801
CD＝CA、AD＝DCより、CD＝CA＝ADとなって、��ACDは正三角形になるので、
∠DCA＝60°となるのでは？
??????????????????????????????????????????????????　　 7月14日（木） 22:14:39　　 　　44802
次郎長
＃44799　なかくんさん、素晴らしいですね。正に10度、20度、30度を掴んだうえでの発想。お見事ですね。
私はいつもの勘で80度とすぐに答えが出ましたが、PCの調子が悪く、2回はねられ、おかしいなと思いつつ、三角関数使って計算しまくり、数時間後再度80で認証したら、今度はすっと入れましたとさ。
　　 7月15日（金） 7:59:52　　 　　44803
通りすがりの中1
#44802
すいません。訂正しときました。
なんでこういつも僕は何か訂正があるのか…(笑)
算数王国　　 7月15日（金） 10:41:04　　 　　44804
新中2N.K.
#44801
興味深い問題でした！
確かに、同じようにしていろいろ問題が作れますね
解法をいくつか書いておきます

(解法1)
��ACDをDCを軸にして折り返す
このとき、Aの移動先をA´とする
∠ADA´＝179°なので、∠A´DB＝60°
また、AD＝A´D　AD＝DBより、A´D＝DB
よって、��A´DBは正三角形
��A´CD、��A´DBは線対称な図形なので、
対称性より、∠DCB＝1/2°　　

(解法2)
CDを一辺とする正三角形CDEを、Aの反対側に作る
このとき、DC＝DE DA＝DB ∠CDA＝∠EDBとなるので
��ACD≡��BED(∵ニ辺夾角相等)
よって、EC＝ED＝EBとなり、��BCEは二等辺三角形となる
∠BCE＝119/2°
∠DCB＝60°−119/2°＝1/2°　　

(解法3)
この三角形は、正三百六十角形(笑)と正三角形を組み合わせ、正三百六十角形の中心とそれに正三角形の最も遠い点、そしてそれに最も近い正三百六十角形の頂点を結んで得られる三角形である事を利用して、
∠DCB＝1/2°　　(終)
??????????????????????????????????????????????????　　 7月16日（土） 10:34:46　　 　　44805
通りすがりの中1
#44805
正解です(笑)
なんだか無茶苦茶な問題ですいませんw
算数王国　　 7月15日（金） 17:09:07　　 　　44806
ゴンとも
座標に直線BDとACの交点をE(0,0),B(-2,0)として
直線BC:y=-sqrt(3)*(x+2)/3,AC:y=sqrt(3)*xの交点Cを求めると
solve([y=-sqrt(3)*(x+2)/3,y=-sqrt(3)*x],[x,y]);x=1,y=-sqrt(3)
ここでtan(20°)=tan(a)として
交点Cを通り傾き-tan(2*a)=-2*tan(a)/(1-tan(a)^2)の直線CD:y=-2*tan(a)*(x-1)/(1-tan(a)^2)-sqrt(3)とx軸の交点Dを求めると
solve(0=-2*tan(a)*(x-1)/(1-tan(a)^2)-sqrt(3),x);x=(sqrt(3)*tan(a)^2+2*tan(a)-sqrt(3))/(2*tan(a))
直線BA:y=tan(a)*x,AC:y=-sqrt(3)*xの交点Aを求め
solve([y=tan(a)*(x+2),y=-sqrt(3)*x],[x,y]);x=-2*tan(a)/(tan(a)+sqrt(3)),y=2*sqrt(3)*tan(a)/(tan(a)+sqrt(3))
DA^2を三平方で求め
factor((-2*tan(a)/(tan(a)+sqrt(3))-(sqrt(3)*tan(a)^2+2*tan(a)-sqrt(3))/(2*tan(a)))^2+(2*sqrt(3)*tan(a)/(tan(a)+sqrt(3)))^2);
3*(tan(a)^6+2*3^(3/2)*tan(a)^5+45*tan(a)^4+4*sqrt(3)*tan(a)^3-17*tan(a)^2-2*sqrt(3)*tan(a)+3)/(4*tan(a)^2*(tan(a)+sqrt(3))^2)
BD^2=(Dのx座標+2)^2を求め
factor(expand(((sqrt(3)*tan(a)^2+2*tan(a)-sqrt(3))/(2*tan(a))+2)^2));
3*(tan(a)^4+4*sqrt(3)*tan(a)^3+10*tan(a)^2-4*sqrt(3)*tan(a)+1)/(4*tan(a)^2)
DA^2=BD^2として同じ因数を消去して
(tan(a)^6+2*3^(3/2)*tan(a)^5+45*tan(a)^4+4*sqrt(3)*tan(a)^3-17*tan(a)^2-2*sqrt(3)*tan(a)+3)/(tan(a)+sqrt(3))^2=
(tan(a)^4+4*sqrt(3)*tan(a)^3+10*tan(a)^2-4*sqrt(3)*tan(a)+1)　左辺の分母を右辺に掛けて左辺の分子を引いて因数分解すると
factor((tan(a)+sqrt(3))^2*(tan(a)^4+4*sqrt(3)*tan(a)^3+10*tan(a)^2-4*sqrt(3)*tan(a)+1)-(tan(a)^6+2*3^(3/2)*tan(a)^5+45*tan(a)^4+4*sqrt(3)*tan(a)^3-17*tan(a)^2-2*sqrt(3)*tan(a)+3));
-8*tan(a)*(tan(a)^3-3^(3/2)*tan(a)^2-3*tan(a)+sqrt(3)・・・・・・(1)
ここで　tan(60°)=(3*tan(a)-tan(a)^3)/(1-3*tan(a)^2)=sqrt(3)　より
sqrt(3)-3*sqrt(3)*tan(a)^2=3*tan(a)-tan(a)^3　tan(a)^3=3*sqrt(3)*tan(a)^2+3*tan(a)-sqrt(3)
これと(1)とより(1)=0 より　DA^2=BD^2　DA=BD より
△DABは二等辺三角形で∠DAB=20°
△EABが∠ABE=20°,∠BEA=60°より∠BAE=100°
∠DAE=∠DAC=∠BAE(=100°)-∠DAB(=20°)=80°・・・・・・(答え)
豊川市　　 7月15日（金） 19:07:07　　 　　44807
ゴンとも
#44794
>∠Ｂの分け方を４０°、１０°ならどうか、などとするだけで何時間も楽しめそう（？）ですね、求まるかわかりませんが・・・。

自分の#44807と同様な座標おきで

直線BDとACの交点をE(sqrt(1+tan(20*%pi/180)),0),D(0,0),B(-2,0)とすると・・・
A((sqrt(1+tan(20*%pi/180))-2)/2,tan(20*%pi/180)*(2+sqrt(1+tan(20*%pi/180))/(1-tan(20*%pi/180)^2))
BD=2 BD^2=4 で　ここでtan(20°)=tan(a)として三平方で　BA^2を求めると
factor(((sqrt(1+tan(a)^2)-2)/2+2)^2+tan(a)^2*(2+sqrt(1+tan(a)^2))^2/(1-tan(a)^2)^2);
(tan(a)^2+1)^2*(sqrt(tan(a)^2+1)+2)^2/(4*(tan(a)-1)^2*(tan(a)+1)^2)これが4(=BD^2)とすると
factor((tan(a)^2+1)^2*(sqrt(tan(a)^2+1)+2)^2-4*4*(tan(a)-1)^2*(tan(a)+1)^2);
4*tan(a)^4*sqrt(tan(a)^2+1)+8*tan(a)^2*sqrt(tan(a)^2+1)+4*sqrt(tan(a)^2+1)+tan(a)^6-9*tan(a)^4+43*tan(a)^2-11
tan(a)^2+1=1/cos(a)^2 sqrt(tan(a)^2+1)=1/cos(a) で最初の3項は
(4*tan(a)^4+8*tan(a)^2+4)/cos(a)=4*(tan(a)^2+1)^2/cos(a)=4/cos(a)^5 残りの4項は
tan(a)^2=1/cos(a)^2-1 より
factor((1/cos(a)^2-1)^3-9*(1/cos(a)^2-1)^2+43*(1/cos(a)^2-1)-11);
-(64*cos(a)^6-64*cos(a)^4+12*cos(a)^2-1)/cos(a)^6
最初の3項+残りの4項を因数分解して
factor(4/cos(a)^5-(64*cos(a)^6-64*cos(a)^4+12*cos(a)^2-1)/cos(a)^6);
-(8*cos(a)^3-6*cos(a)-1)*(8*cos(a)^3-2*cos(a)+1)/cos(a)^6・・・・・・(1)
ここでcosの3倍角の公式より　4*cos(a)^3-3*cos(a)=cos(60*%pi/180)=1/2　より　8*cos(a)^3-6*cos(a)=1
これと(1)で　8*cos(a)^3-6*cos(a)-1=0　より(1)=0
△BADでBA=BDより∠BAD=(180°-40°)/2=70°△BAEで∠DAC=180°-∠ABE(=40°)+∠AEB(=40°)+∠BAD(=70°)=30°・・・・・・(答え)

であってますでしょうか?とにかく楽しい問題ありがとうございました。
豊川市　　 7月16日（土） 0:00:00　　 　　44808
通りすがりの中1
解析幾何学で解こうとするとかなりの労力が要りますね((汗
これは算数で解きたいです。
算数王国　　 7月15日（金） 23:58:21　　 　　44809
にゃもー君
30度60度90度の直角三角形の性質（短い辺と長い辺の比が１：２になる）を活用しつつ、補助線を引いて二等辺三角形を強引に作り出したら、あら不思議。答えが出ちゃいました。
具体的な解法は、あまりスマートではなく、文章で書くのもゴチャゴチャして、色々と億劫なので、今回は割愛させてください orz

さいたま市浦和区（自称）　　 7月16日（土） 3:53:17　　 　　44810
今年から高齢者
#44799 素晴らしい！
でも、自分でやってみると、ＡとＤと正三角形の新しい頂点が一直線上になることが簡単明確には説明できません。どうやったのでしょうか？
　　 7月16日（土） 14:30:05　　 　　44812
あめい
#44808ゴンともさん、お答えありがとうございます。
（私自身は二等辺三角形がたくさんできてきれいだなぁ・・・という森も枯れ木の体たらくです）

お馬崎　　 7月17日（日） 2:07:43　　 　　44813
通りすがりの中1
なんか、正解率もの凄く低くないっすか((汗
算数王国　　 7月17日（日） 8:58:54　　 　　44814
ベルク・カッツェ
今回の問題は難しかったからそのせいでは。
あるいはスパムのランダムアタックきてるせい？
　　 7月17日（日） 9:59:30　　 　　44815
Nの悲劇
ラングレーの問題かな？！
　　 7月17日（日） 23:40:29　　 　　44816
通りすがりの中1
難角問題って、何でもラングレーラングレーって言われてる気が…
まぁ、今回はマサルさんオリジナルでしょう(そうだと思いたいw)。
算数王国　　 7月18日（月） 8:45:27　　 　　44817
顰蹙
ちなみにいわゆるラングレーの問題のうち全ての角度が(10の倍数)°であるような問題は(円周角の定理より自明なものを除いて)ちょうど300通りあります。暇な人は実際に数え上げてみると良いと思います。
　　 7月18日（月） 11:53:32　　 　　44818
通りすがりの中1
沢山ありますね〜
算数王国　　 7月18日（月） 21:09:00　　 　　44819
大岡　敏幸
底角30°の二等辺三角形を作って求めました（＾＾；

算数的かと個人的には思っているんですが・・・。
石川県　　 7月18日（月） 21:59:57　　 　　44820
通りすがりの中1
#44820
算数的ですが、数学でも解けます。
算数王国　　 7月19日（火） 9:12:24　　 　　44821
渡辺雄也
私事で申し訳ないのですが、次の問の解放を教えて下さい。
正の整数m,nは、
m(m＋２)＝n(n＋57)
を満たす。このとき、nとしてありうる最大の値を
求めよ。
お願いいたします
　　 7月19日（火） 20:37:02　　 　　44822
顰蹙
m(m+2)=n(n+57)
を変形すると次の同値な方程式を得る：
(2m+2n+59)(55+2n-2m)=59*55
2m+2n+59, 55+2n-2mはともに整数なので、ともに59*55の約数。
特に2m+2n+59は59より大きいので、その値は59*5, 59*11, 59*55のいずれかに絞られる。
・2m+2n+59=59*5のとき
55+2n-2m=11なので、m,nの連立方程式とみて解くと(m,n)=(70,48)
・2m+2n+59=59*11のとき
55+2n-2m=5なので、(m,n)=(160,135)
・2m+2n+59=59*55のとき
55+2n-2m=1なので、(m,n)=(810,783)
よってnのとりうる最大値は783
　　 7月20日（水） 0:36:23　　 　　44824
渡辺雄也
解答ありがとうございます！
m(m+2)=n(n+57) からの変形は、両方で平方完成し、移項してといたのですが
それでいいのでしょうか？何度もすいません……
　　 7月20日（水） 7:56:28　　 　　44825
Jママ
#44812
今年から高齢者さん
ACとBDの延長線の交点をEとするとEは正三角形の重心、
というのからわりと簡単に求まると思うのですが…
　　 7月21日（木） 0:00:00　　 　　44826