ベルク・カッツェ
ゲームやってたらちょこっと出遅れました。
平行四辺形の中心をＯとして、ＡＣを2：5に分ける点Ｐ’、4：3に分ける点Ｑ’をとり、そこからＢＰ’、ＤＱを同じ割合で分けた点がＰ、Ｑになります。
Ｐ、ＱそれぞれからＢＤまでＡＣに平行な線を引くと相似ができ、ＰＲ：ＲＱ＝Ｐ’Ｏ：ＯＱ’＝3：1となります。
ちなみに使う相似は、最初の二つがいわゆるピラミッド型、次が砂時計型です。
　　 3月17日（木） 0:16:06　　 　　44267
今年から高齢者
横９、斜め９のひし形で、三角形の高さを、２，５，３，４にして、Ｐ、Ｑを水平に並べると、
ＰＲ＝３、ＲＱ＝１。
もうじき、Ｎｅｔがメンテで切れますので．．

平行四辺形を長方形に変えても、縦あるいは横を伸ばしても縮めても、
面積の比率及び、一直線上にある長さの比は変わらないので、正方形に変形した方が簡単だった。
　　 3月17日（木） 10:28:29　　 　　44268
スモークマン
(5-3.5)/(4-3.5)=3
♪
金即是空 ^^;v　　 3月17日（木） 0:26:13　　 　　44269
ハラギャーテイ
おはようございます

勘です。
山口　　 3月17日（木） 2:45:35　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　44270
ゴンとも
座標にA(b,c),B(0,0),C(a,0),D(a+b,c),P(d,10/a),Q(e,c-8/a)とおき
直線AP,DQと線分BCとの交点をそれぞれ点E,Fとし
△APB=△AEB-△PEB=Eのx座標*(Aのy座標-Pのy座標)/2=2
△DQC=△DFC-△QFC=(Cのx座標-Eのx座標)*(Dのy座標-Qのy座標)/2=3 からd,eを消去して
点P,Qから直線PQの方程式がでて直線BD:y=c*x/(a+b)と連立して交点Rが求まり
(Pのy座標-Rのy座標)/(Rのy座標-Qのy座標)で答え　XMaxima で

rhs(part(solve(0=(10/a-c)*(x-b)/(d-b)+c,x),1))$
rhs(part(solve(0=(8/a)*(x-a-b)/(a+b-e)+c,x),1))$
rhs(part(solve(%o1*(c-10/a)/2=2,d),1))$
rhs(part(solve((a-%o2)*(8/a)/2=3,e),1))$
rhs(part(part(solve([y=c*x/(a+b),y=-(10/a-c+8/a)*(x-%o3)/(%o4-%o3)+10/a],[x,y]),1),2))$
factor((10/a-%o5)/(%o5-(c-8/a)));3・・・・・・(答え)
豊川市　　 3月17日（木） 3:33:33　　 　　44271
次郎長
正方形に高さ２，３，４，５の三角形を書いて、さぁ考えようと思ったら、簡単に答えが出てしまった。なんとな達成感がないけど、今日は忙しいから、まぁ、ええか
　　 3月17日（木） 8:56:58　　 　　44272
巷の夢
#44272　次郎長様と同様長さ９の正方形に特殊化し、PR=ｘ、RQ=ｙと置いて
ｘ＋ｙ＝４、三角形の相似から４ｘ−５ｙ＝７を解き、ｘ＝３、ｙ＝１
因って、３倍としました。狡いですね・・・・。
真白き富士の嶺　　 3月17日（木） 9:28:44　　 　　44273
今年から高齢者
すみません。#44268の書き込みの続きです。そこに記載したように
平行四辺形を長方形に変えても、縦あるいは横を伸ばしても縮めても、
面積の比率及び、一直線上にある長さの比は変わらないので、正方形で考える。
面積比は高さの比になるので、三角形の面積に対応して、高さを２．５．３．４とする。
Ｐ，ＱからＡＢに平行線を引いて、ＢＤとの交点を、Ｍ，Ｎとすると、
ＭＰ＝５−２＝３、ＮＱ＝４−３＝１。ＰＲ／ＲＱ＝ＭＰ／ＮＱ＝３。
#44272とダブリましたね。ごめんなさい！
　　 3月17日（木） 10:32:18　　 　　44274
あめい
いつものようにこちらで確認してから解答しようとしたら、３では入れず（とりあえず３で解答しておいて）日を改めて考えようと思ってあれこれやっても３・・・一覧を見ると自分の名前が載っていました（また自分の入力ミスでしょう・・・これはこれで怖い）
求め方は何人かの方と同じ特殊化、長方形、正方形、正三角形（以前こちらで教えていただいたいろいろな形の方眼紙を印刷できる方眼紙ネットってホントに便利ですね、図を描いた時点で解答できていたりします)いろいろ試してみました。
　　 3月17日（木） 11:10:24　　 　　44275
みかん
図形が１通りに確定しそうにない→求める比は一定なので特殊化してＯＫ、と考え
ＡＢＣＤを正方形、ＰＲはＢＣに平行として作図。

マークシート式のような答えだけ書かせる試験だと、特殊化して答えだけ出すズルが
できないように図が１通りに決まるような条件が与えられていることが多いかなぁ。
論述型の試験だと、特殊化して答えだけ出してもほとんど加点されないんですよねぇ・・・。
　　 3月17日（木） 12:38:33　　 　　44276
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うーむ，久しぶりの平面図形で何やらてこずってしまいました。
一見して特殊化で解けるなと思ったのですが，そこはこらえてしばし考えたのですがうまくいかず，
結局，□ABCD を正方形，△APB の高さを 2，△CPB の高さを 5，△CQD の高さを 3，△AQD の高さを 4，
と特殊化して解きました。
掲示板を読む前にもう少し考えます。
　　 3月17日（木） 13:11:40　　 　　44277
明日のために
好きな図形問題や！とテンションあがるも…
特殊化です。
なまってるなぁ…もう少し考えてみます
箕面市　　 3月17日（木） 13:28:33　　 　　44278
Jママ
こんにちは。
http://www.fastpic.jp/images.php?file=8071197661.jpg
ベルク・カッツェさんと全く同じ解法だと思います。
特殊化されてる方が結構多いのですね。
ベルク・カッツェさんのと重複になりますが図入り(手描きでお見苦しいですが)でアップしてみました。
　　 3月17日（木） 14:41:47　　 　　44279
uchinyan
(ごめんなさい。結局は正しいのですが，論理的に不備があり，修正しました。)

特殊化がもとになっており，何かアホみたいですが，こんなのでいいのかな？
もう少し面白い解法はないのかな？

P から BC，AB に垂線を下ろしその足を H，I，Q から DA，DC に垂線を下ろしその足を J，K，
P から AB，BC に平行な線を引き BC，AB との交点を S，T，Q から DC，DA に平行な線を引き DA，DC との交点を U，V，
とします。
□TBSP，□UQVD，□ABCD は平行四辺形なので，△PHS，△PIT，△QJU，△QKV はそれぞれ相似です。
さらに，PS と BD の交点を E，QU と BD の交点を F，とすれば，
ES と BS とが作る平行四辺形， FU と DU とが作る平行四辺形，平行四辺形ABCD はそれぞれ相似です。
そこで，
PS：ES：QU：FU = PS：(SB * AB/BC)：QU：(UD * AB/BC)
= PS：(PT * AB/BC)：QU：(QV * AB/BC) = PH：(PI * AB/BC)：QJ：(QK * AB/BC)
= ((△CPB * 2)/BC)：((△APB * 2)/AB * AB/BC)：((△AQD * 2)/BC)：((△CQD * 2)/AB * AB/BC)
= △CPB：△APB：△AQD：△CQD = 5：2：4：3，
がいえ，△RPE ∽ △RQF，より，
PR：RQ = PE：QF = (PS - ES)：(QU - FU) = (5 - 2)：(4 - 3) = 3：1，
となって，PR は RQ の 3 倍になります。
　　 3月19日（土） 13:54:12　　 　　44280
uchinyan
掲示板を読みました。

注意
以下の記述は，そもそもは私自身の勉強のメモに過ぎないのですが，
折角なのでご参考までにと思って公開するものです。
そういうこともあって，解法の分類は算チャレの F.A.Q. の「算数の範囲」の記述を参考に，
私個人が独断と偏見で主観的に行っているものであって，客観的なものではありません。
あくまでもご参考です。悪しからず。

時間の経過とともにいろいろな解法が出てきました。
特殊化で簡単に解けてしまうものの，なかなか味のあるいい問題のようです。

#44267，？#44269，#44279，おまけで#44285
AC と BD の交点を O，BP の延長，DQ の延長と AC の交点を P'，Q'，とし，PR：RQ = P'O：Q'O を示して解く解法。
うーむ，#44279の図を見て，一応，理解できたと思います。個人的にはなかなか難しいですが，面白いですね。

#44268，#44272，#44274，#44275，#44276，#44277，#44278，#44284，#44298
特殊化による解法。
特殊化の方法はいろいろとあり，これだけでも興味深く，しかもそれが一般的な解法の糸口になっているようです。
大別すると，
#44272などの，□ABCD を正方形にする特殊化，#44280，#44283などの一般的な解法につながるか，
#44298の，□ABCD = 14 cm^2 にする特殊化，#44267他，#44297などの一般的な解法につながるか，
といった感じでしょうか。

#44280
P，Q から 平行四辺形ABCD の辺に垂線を下ろし，また平行な線を引いて，相似を使って解く解法。
特殊化をそのまま平行四辺形に拡張したような解法です。

#44283
P から AB と平行な線を引いて BC，BD との交点を S，T とし，
Q から CD と平行な線を引いて AD，BD との交点を U，V とし，
等積変形で，△APB = △CTB，△CQD = △AVD，を示して解く解法。
なるほど，これは分かりやすくていいですね。
個人的には#44280をスマートにした印象を受けます。

#44297
P を通り AC と平行な線を引き AB，BC，BD との交点を E，F，S，
Q を通り AC と平行な線を引き AD，CD，BD との交点を G，H，T，として，
ES：PS：HT：HQ = 3.5：1.5：3.5：0.5 = 7：3：7：1，を導いて解く解法。
なるほど，これも面白いですね。
#44267などと少し似ていますが，こっちの方が分かりやすいかな。

#44271，#44273，#44287
数学による解法。

#44270
勘による解法？
　　 3月20日（日） 12:23:41　　 　　44281
Jママ
#44279 の図の下の3行目、
PS=SQだからでは飛躍しすぎで、
ベルク・カッツェさんの仰るRを挟んだ砂時計型の三角形の相似比を、
OP:OP'=OQ:OQ'を利用して求めるものでした。
一晩寝たらいい加減になってしまい(^^;すみません。
訂正いたしますm(__)m
　　 3月17日（木） 18:10:50　　 　　44282
ma-mu-ta
書き込み遅くなりましたが、時間の余裕がなかったので。。。等積変形，等積移動と相似です。

PからABと平行な線を引いてBC，BDとの交点をS，Tとし、
QからCDと平行な線を引いてAD，BDとの交点をU，Vとします。
TA，TC，VA，VCをそれぞれ結びます。
△APBと△ATBは、底辺AB共通で、高さが等しいので、△APB＝△ATB
△ATBと△CTBは、底辺BT共通で、△ABD≡△CDBより高さが等しいので、△ATB＝△CTB
よって、△APB＝△ATB＝△CTB となり、PS：TS＝△CPB：△CTB＝△CPB：△APB＝5：2
同様にして、△CQD＝△CVD＝△AVD となり、QU：VU＝△AQD：△AVD＝△AQD：△CQD＝4：3
△PTR∽△QVR より、PR：QR＝PT：QV＝(PS−TS)：(QU−VU)＝(5−2)：(4−3)＝3：1
したがって、PRはRQの3倍
図はこちらに
https://db.tt/RgfP1rdk
　　 3月18日（金） 0:58:12　　 　　44283
にゃもー君
最近は年度末で、仕事からの帰宅が午前０時とか１時とかです。疲れます。
算数チャレンジだけが楽しみ。
今回は（も？）邪道かもしれないけど、特殊化して解きました。
平行四辺形ＡＢＣＤを長方形にして、ＰＱがＡＤおよびＢＣと平行になるように設定しました。
今日は疲れましたので、解き方はまた今度書きます。
　　 3月18日（金） 2:12:10　　 　　44284
uchinyan
#44281の
＞#44267，？#44269，#44279
＞AC と BD の交点を O，BP の延長，DQ の延長と AC の交点を P'，Q'，とし，PR：RQ = P'O：Q'O を示して解く解法
ですが，面白いとは思うものの他の解法と比べると少しややこしい気がします。
与えられている図と文章で各自で再構築はできると思いますが，
その一助になれば，と思い，私なりの再構築を書いておきます。
微妙に一致しないかなと思う個所もあるので，必要に応じて修正又は補足をお願いします。

AC と BD の交点を O，BP の延長と AC の交点を P'，DQ の延長と AC の交点を Q'，とします。
AP'：P'C = △APB：△CPB = 2：5，AQ'：Q'C = △AQD：△CQD = 4：3，
AO：CO = 1：1 = 3.5：3.5，P'O：Q'O = (5 - 3.5)：(4 - 3.5) = 2.5：0.5 = 3：1，です。
次に，△APB + △CPB = 2 + 5 = 7 = 3 + 4 = △CQD + △AQD，△BAC = △DAC，△PAC = △QAD，
AC と PQ の交点を S とすると，PS：QS = △PAC：△QAC = 1：1，です。
そこで，P，Q から AC に垂線を下ろしその足を H，I とすると，△PSH ≡ △QSI，PH = QI，です。
さらに，B，D から AC に垂線を下ろしその足を J，K，とすると，BJ = DK なので，
BP'：PP' = BJ：PH = DK：QI = DQ'：QQ'，BP：BP' = DQ：DQ'，がいえます。
ここで，P，Q から AC に平行な線を引き BD との交点を U，V とすると，
△BPU ∽ △BP'O，△DQV ∽ △DQ'O，PU：P'O = BP：BP' = DQ：DQ' = QV：Q'O，PU：QV = P'O：Q'O，
△RPU ∽ △RQV，PR：RQ = PU：QV = P'O：Q'O = 3：1，となって，
PR は RQ の 3 倍になります。
　　 3月18日（金） 12:57:47　　 　　44285
Jママ
#44285
uchinyanさま
詳細な解説ありがとうございます。
とても分かりやすいです。
お礼に、という訳ではないですが…
相変わらず手描きなので正確さには欠けますが
uchinyanさんの解説に沿った図を貼っておきます。

http://www.fastpic.jp/images.php?file=4995449694.jpg

なにぶんそそっかしいのでおかしいぞ？という箇所がありましたらご指摘願います。
無用の長物だと思われた方々にはおやかましゅうございましたm(__)m
　　 3月18日（金） 18:36:21　　 　　44286
「数学」小旅行
高校のベクトルの演習問題としてちょうどいい問題だと思います。

BP,DQの延長とACとの交点をそれぞれ、P',Q'とすると
AP':P'C=2:5,AQ':Q'C=4:3になります。

そこで、点P,P',Q',Qを通り、辺ABと平行な直線と辺ADとの交点を順に、
I,J,K,Lとし、AD=1とすると、AI=2k,IJ=2/7-2k,KL=3/7-3k,LD=3kと
置くことができます。（△PAB:△QCD=2:3を考えに入れました。）

だから、点Pは線分BP'を2k:(2/7-2k)の比に内分する点となり、
ベクトルAP（以下これを単にAPと書くことにします）は、
内分点の位置ベクトルの公式により、計算すると、AP=(1-5k)AB+2kAD。
点Qについても同様にして、AQ=4kAB+(1-3k)AD となります。

ゆえに、点Rが線分PQを(1-u):uの比に内分するとすると、
AR=uAP+(1-u)AQ=‥‥={4k+(1-9k)u}AB+{(1-3k)+(-1+5k)u}AD と
なり、点Rが対角線BD上にあることから、上の式の係数の和が１に
なるので、{4k+(1-9k)u}+{(1-3k)+(-1+5k)u}=1
すなわち、k+(-4k)u=0 よって、u=1/4 よって、PR:RQ=3/4:1/4=3:1

以上、kに依らずその比が一定になることが納得できました。
　　 3月18日（金） 18:58:02　　 　　44287
スモークマン
図を貼ってみたいと思うのですが…^^;
どなたか図をアップする方法を教えて頂けませんでしょうか？
〜m(_ _)m〜
金即是空 ^^;v　　 3月19日（土） 0:28:06　　 　　44289
Jママ
スモークマンさん、
私の場合は、スマートフォンから参加しているので、
手描きの図の写真を撮って、fastpic という無料画像アップロードサイトを利用しています。
もしもこの方法でも、詳細にご興味ありましたらまたお声かけくださいませ。
他の方々が綺麗な図面を作成されてますが
そちらの方面にはとんと疎いです(^^;
スモークマンさんは、多分パソコンからでらっしゃいますよね…？(>_<)
　　 3月19日（土） 2:06:22　　 　　44290
スモークマン
Jママ様へ ^^
早速にご教授下さいましてありがとうございます〜m(_ _)m〜♪
but...ガラケーのまんまのイグアナなものでして…^^;;…
そういうサイトを調べてみまっす，グラッチェ ^^☆
金即是空 ^^;v　　 3月19日（土） 8:21:28　　 　　44291
Jママ＠PC
スモークマンさんへ

fastpic は、ガラケーからの直接のアップロードはできないようです。
少し手間がかかりますが、
もし、PCのメールアドレスをお持ちでしたら、
ガラケーで撮影した写真をPCのアドレス宛のメールへ添付して送信し、
PCで受信した添付ファイルをPC内へ保存、
PCでのfastpic のサイトでそのファイルを選択してアップロード、
表示される写真をクリックしつづけて、大きく表示されているときのURLを、
この掲示板へ貼り付けてみると、うまくいくかもしれません。
試しに、算数の写真ではない（わたしのガラケーからではないので歌舞伎座の写真）ですが、貼り付けてみますね。

http://www.fastpic.jp/images.php?file=8450278288.jpg

削除用のパスワードを設定していないのでこのまま投稿が残ります、ご容赦ください。
　　 3月19日（土） 9:39:28　　 　　44292
Jママ＠PC
今使用したPCでは、写真がちゃんと見られています。
サイズは撮影時に調整可能なのだと思います（詳しくなくて分からずすみません）。
多少手間がかかりますが、この方法でしたら手描きの図でもよろしければ
貼り付けることが可能なようです。
ご参考になれば幸いです。
　　 3月19日（土） 9:44:37　　 　　44293
Jママ＠PC
何度もすみません。追伸です。
ガラケーの機種によっては直接アップできるかもしれないので、
よろしければお試しください。
先ほどのガラケーはいわゆる「かんたん携帯」なので機能面で劣るかもしれませんので。。
　　 3月19日（土） 9:55:53　　 　　44294
uchinyan
#44286　Jママさんへ
図をありがとうございます。やはり図があるといいですね。
　　 3月19日（土） 14:03:42　　 　　44295
スモークマン
Jママさんへ ^^
ご丁寧な誘導恐縮至極です☆
アップしてみました…^^
ttp://www.fastpic.jp/viewer.php?file=1042059749.jpg
おかしいかもしれないかなぁ…^^; Orz
金即是空 ^^;v　　 3月19日（土） 18:36:01　　 　　44296
川田
Pを通り、ACと平行な線を引いてAB、BC、BDとの交点をE、F、Sとし、Qを通り、ACと平行な線を引いてAD、CD、BDとの交点をG、H、Tとします。

△APB+△CPB=△CQD+△AQD、△ABC=△CDAなので、△PAC=△QACとなり、△PACと△QACの高さが等しくなります。

点Pが、線分EF上を点Eから点Sまで移動することを考えますと、移動距離に比例して、△APBの面積が決まります。ES:EP=3.5:2であり（3.5は7/2）、ES:PS=3.5:1.5、同様に、HT:HQ=3.5:3であり、HT:QT=3.5:0.5
ここで、ES=HTなので、PS:QT=1.5:0.5=3:1

△RPSとRQTの相似比が3:1なので、答えは3:1
　　 3月19日（土） 20:50:47　　 　　44297
まるケン
同じような解き方のかたがいらっしゃらなかったので、遅ればせながら、、、
平行四辺形の面積が１４ｃｍ＾２と特殊化してみました。
Ａ、Ｐ、Ｒ、Ｑ、Ｃが一直線に並びました。
　　 3月20日（日） 0:24:42　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp 　　44298
ばち丸
まるケンさん。何たる偶然。全く一緒だ。
　　 3月21日（月） 19:48:28　　 　　44299
ベルク・カッツェ
#44285uchinyanさん
ちょっと見てみましたが、点Ｓや足Ｈ，Ｉを利用しているところを見ると私のやり方とは違うようですね。よく読んで、私の解法を書き直してみます。
　　 3月23日（水） 7:23:06　　 　　44300
ベルク・カッツェ
最初の説明の続きからで。
Ｐ、ＱそれぞれからＢＤまで、ＡＣに平行な線を引いたその交点をＰ”、Ｑ”とします。
ＰＲ：ＲＱ＝ＰＰ”：ＱＱ”（砂時計型の相似）
ＰＰ”：ＱＱ”＝Ｐ’Ｏ：Ｑ’Ｏ＝3：1（ＢＰ：ＰＰ’＝ＤＱ：ＱＱ’なので双方のピラミッド型の相似の相似比が同じため）
ちなみにピラミッド型相似は、三角形ＢＰＰ”と三角形ＢＰ’Ｏ、三角形ＤＱＱ”とＤＱ’Ｏです。

まあこんなことしなくても、特殊化でも比は同じなので特殊化で、というのが確かに一番簡単ですね。
　　 3月23日（水） 0:15:11　　 　　44301
uchinyan
#44300，#44301　ベルク・カッツェさんへ
更なる説明をありがとうございます。

えと，基本的には全く同じです。ただ．．．

多分，ほぼ明らかなので説明を省略されたのだろう BP：PP' = DQ：QQ をキチンと示したこと，
その際に一部ですが#44279で導入されている文字を使ったこと，説明上新たな点及び文字を追加したこと，
などで，違って見えるだけでしょう。
　　 3月23日（水） 15:09:22　　 　　44302
Mr.ダンディ
今回は　特殊化により　3倍とだしたのですが、一般的な場合の解法ができず　完敗！
（乾杯とはならなかった・・）
ma-mu-taさんの　#44283　が素晴らしいですね（これに　１票）
　　 3月23日（水） 22:50:58　　 　　44303
ベルク・カッツェ
途中の示し方が少し違うだけで考え方は同じ、ということでしょうか。
それにしても、図形問題は文字で書くのも読んで理解するのも大変ですね。
　　 3月23日（水） 22:50:17　　 　　44304
にこたん
歯医者に行くのが怖くて問題も手につきません。(T_T)
　　 3月23日（水） 22:53:28　　 MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 　　44305