ベルク・カッツェ
トモエさん1-10、マサルさん11-20のとき差は55。
ここからカードをどう交換しても、表と裏の合計は同じだけ変化するので、差は常に55。
なかなか面白い問題でした。
　　 1月28日（木） 0:06:35　　 　　44085
にゃもー君
今回は極端なケースを考えて解きました
最近こういうパターンが多い。
まさる君が１１から２０まで持っていれば、表の数の合計は155
裏の数の合計は全部10になるから100
よって、差は55。
　　 1月28日（木） 0:08:45　　 　　44086
みかん
問い方からして答えはいつも一定になるんだろうから、計算しやすそうな
具体例でチェックすればＯＫ。
　　 1月28日（木） 0:11:55　　 　　44087
にこたん
水が１週間出なくて、きついので寝ます。
関係ないこと書いてこめんなさい。

　　 1月28日（木） 0:14:24　　 MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 　　44088
今年から高齢者
#44085ベルク・カッツェさんと同じように１−１０と１１−２０で考えましたが、
最初は２人の合計２１０を送り、二度目は表と裏の合計２５５を送り．．．なんてやっていて手間どりました。
　　 1月28日（木） 0:21:16　　 　　44089
あめい

ベルク・カッツェさんと全く同じでした。
もっとも、私の場合ページを開くと既に10人以上の方が解答されていたり、問題もどんなカードを引いても答が一意的だと示唆してくださっていたりしたので１〜１０と１１〜２０で考えればいいだろうという安直さだったのですが・・・
お馬崎　　 1月28日（木） 0:15:00　　 　　44090
Mr.ダンディ
マサルさんのカードを　小さい方から　a1,a2,a3,・・・,a10とするとき
a1の裏は　a1−1
a2の裏は　a2- 2　（a2未満の数a2−1枚から　a1の1枚を引く）
a3の裏は　a2- 3　（a2未満の数a3−1枚から　a1,a2の2枚を引く）
・・・・・・・
a10の裏は　a10−10
よって
裏の数の合計は　(a1+a2+・・・+a10)−(1+2+・・・+10）
ゆえに、差は　55　............としました。
　　 1月28日（木） 0:26:02　　 　　44091
スモークマン
特殊化でしたが…Orz
意味付けがよくわかってませんでした…^^;
#44091 Mr.ダンディさんの解法を見て...自分流に納得 ^^

(20-a10)+(a10より小さい相手の個数)+10=20
(19-a9)+(a9より小さい相手の個数)+9=19
…
so…
小さい個数-(a10+a9+…+a1)=10+9+…+1=55
ってことになるのかな ^^…?
金即是空 ^^;v　　 1月28日（木） 0:51:48　　 　　44092
ハラギャーテイ
おはようございます
特殊化です
　　 1月28日（木） 2:43:40　　 　　44093
巷の夢
皆様と同じように特殊化で回答を送付し、その後、数を二つのグループに
分け、色々やっているとMr.ダンディ様の解法と同様の解法に辿り着きました。流石Mr.ダンディ様ですね。
真白き富士の嶺　　 1月28日（木） 6:37:58　　 　　44094
鯨鯢(Keigei)
マサル君のカードの数ｎに対して
ｎより小さい数のトモエさんのカードの数の下に、
マサル君自身のｎより小さい数のカードの数を書けば、
その合計は n−1 、
マサル君のカードの表の数の合計をＳとすれば、
裏に書かれた数すべての合計は S−10 、
マサル君自身のｎより小さい数のカードの数は、
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 で合計は 45 、
よって、最初に裏に書かれた数の和は S−10−45＝S−55 、
答えは S−(S−55)＝55 です。
　　 1月28日（木） 7:48:22　　 　　44095
明日のために
マサルさんの持っているカードを「1」〜「10」として考えました。。。
箕面市　　 1月28日（木） 9:28:01　　 　　44096
今年から高齢者
特殊化から入れ替えを考えたのですが、"だろう"程度で一般入れ替えでは明確に証明するところまでは辿りつけませんでした。
#44091Mr.ダンディさん、#44095鯨鯢(Keigei)さん、素晴らしい解き方ですね。
入れ替えの証明についてももう少し考えてみたい。
　　 1月28日（木） 9:37:28　　 　　44097
Mr.ダンディ
#44085の「カードをどう交換しても、表と裏の合計は同じだけ変化する
ので、・・・」が自分の中では自明ではなかったので考えてみました。

マサルさんのカードを　小さい方から　a1,a2,a3,・・・,a10とし、
マサルさんの　ai　とトモエさんのカードｂとを交換しても　「差」が不変
であることを調べます。カードの数字ｋの裏の数を　f(k)とすると
（jは　aj<b<aj+1 なる値とします）

交換によって、裏の数は
f(ai)＝ai‐i 　がなくなり
i+1≦ｋ≦j なるｋにおいては　f(ak)は　1ずつ増加
f(b)＝(b-1)−j＋1＝ｂ−ｊ　　これが追加され
裏の数の全体の増減としては
‐(ai‐i)+(j‐i)+(ｂ−ｊ)＝ｂ−ai
表の数の増減も　ｂ−ai　となるので、交換しても「差」は不変
と考えました。
　　 1月28日（木） 11:21:19　　 　　44098
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
この問題は，「なるほど」と「うーむ」といった感じです。
「なるほど」は簡単な理由で常に決まった値になること，
「うーむ」はその説明を算数でどう書くかと特殊化であっけなく解けてしまうことです。
一応，こんな感じで。

マサルさんの 10 枚のカードに書かれた数を小さい順に，ア，イ，．．．，ケ，コ，とします。
すると，例えば，カ より小さいカードは 20 枚のうち カ - 1 枚で，マサルさんが ア 〜 オ の 5 枚を持っているので，
残りの カ - 6 枚をトモエさんが持っていることになり，カ の裏は カ - 6 になります。
他の数のカードも同様で，(表, 裏) は，
(ア, ア - 1)，(イ, イ - 2)，(ウ, ウ - 3)，(エ, エ - 4)，(オ, オ - 5)，
(カ, カ - 6)，(キ, キ - 7)，(ク, ク - 8)，(ケ, ケ - 9)，(コ, コ - 10)，
そこで，表の合計と裏の合計の差はそれぞれのカードの表と裏の差の合計に等しく，
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55，
になります。

上記程度なら算数かな，と思っていますが，うるさいことを言うと文字の扱いは中学数学なので，微妙です。
といっても言葉だけでの説明ではかなり分かりづらくなるので，まぁここらでご勘弁を，といったところです。
もっとも，答えだけなら問題なく，算数としては，いくつか例を試して一定値になると予想して特殊化で解答，
でいいのでは，という気がしています。
あ，もちろん，中学以上の数学ではキチンと説明できなければダメですよ。
　　 1月28日（木） 12:03:22　　 　　44099
ベルク・カッツェ
Mr.ダンディさんの方法が分かりやすくていい感じですね。

ちなみに私の考えはこんな感じです。
マサルさんのカードをたとえば5小さいカードと交換した場合、その間に自分のカードの数がなければ表も裏も5減ります。
間に自分のカードがあった場合、2枚あれば裏の変化は2減りますが、その2枚のカードについても裏が1ずつ減るので、結果表の合計と裏の合計は同じだけ減ります。
　　 1月28日（木） 12:33:24　　 　　44100
uchinyan
掲示板を読みました。

注意
以下の記述は，そもそもは私自身の勉強のメモに過ぎないのですが，
折角なのでご参考までにと思って公開するものです。
そういうこともあって，解法の分類は算チャレの F.A.Q. の「算数の範囲」の記述を参考に，
私個人が独断と偏見で主観的に行っているものであって，客観的なものではありません。
あくまでもご参考です。悪しからず。

やはり皆さん特殊化が多いようですね。それで問題ない算数ぽい説明は#44100でしょう。
同じことを数式でもう少しキチンと示そうというのが#44098でしょうか。
一方，最初から不変なことを示して解いたのが，#44091，#44095，#44099，ですね。
これらはどれも理由は同じで説明の仕方が違うだけですが，個人的には，
より数式を使った#44091や#44099の方が分かりやすく，
#44095は最初の辺りの意味が分かりづらいように思いました。

なお，マサル君，ではなく，マサルさん，です。
まぁどうでもいいことではありますが，考えようによっては失礼なこと，とも思います (^^;
　　 1月28日（木） 13:36:28　　 　　44101
今年から高齢者
#44085の入れ替えは#44100のような考え方なのですね。
私も入れ替えを考えて、次のようにたどり着きました。
マサルとトモエのカードの1だけちがうカードを入れ替える。
表の和は1だけ減少あるいは増加する、裏の数も1だけ減少あるいは増加するので、差は入れ替えても同じ。これを繰り返せば、任意のカード配分が達成できる。
　　 1月28日（木） 16:20:11　　 　　44102
マサル
#44101　（uchinyanさん、鯨鯢(Keigei)さん）
　あはは、マサル君でもマサルでも、私は大丈夫ですー。お気になさらずに！^^;
MacbookPro　　 1月28日（木） 16:33:45　　 　　44103
uchinyan
#44103
マサルさん，お気遣いありがとうございます。細かいことで申し訳ないです。

#44102
なるほど。
論理的には直接的な#44100や#44098がよさそうですが，
1 ずれた数の入れ替えとその繰り返しはほぼ自明な簡明さでバブルソートみたいで面白いです。
　　 1月29日（金） 11:23:36　　 　　44104
鯨鯢(Keigei)
マサルさん、uchinyanさん、私の注意力欠如のため、お気を遣わせてしまい、申し訳ありませんでした。

ところで、最初のカードが１からいくらまでの整数であっても、そのうちの１０枚をマサルさん、残りをトモエさんが持つと、
マサルさんの持っている１０枚のカードについて、「表に書かれている数の合計」と「裏に書かれている数の合計」の差は 55 ですね。
　　 1月28日（木） 21:37:00　　 　　44105
巷の夢
#44105 えー本当なの・・・・、正に鯨鯢(Keigei)様のおっしゃる
通りですね。非常に面白く、興味深いですね。
真白き富士の嶺　　 1月29日（金） 7:49:45　　 　　44106
uchinyan
#44105
鯨鯢(Keigei)さん
「マサル君」と「マサルさん」については，
出題者のマサルさんのお名前と一致し，F.A.Q.によれば元ネタもあるようなので，
少し気になってコメントしましたが，細かいことで申し訳なかったです。

＞ところで、最初のカードが１からいくらまでの整数であっても、そのうちの１０枚をマサルさん、残りをトモエさんが持つと、
＞マサルさんの持っている１０枚のカードについて、「表に書かれている数の合計」と「裏に書かれている数の合計」の差は 55 ですね。
これは確かにそうですね。入れ替えの議論でも，#44091，#44095，#44099の説明でも 20 は本質的ではありません。
一般に，1 〜 N で n 枚を選んだ場合，常に，n(n+1)/2，のようです。
　　 1月29日（金） 11:57:54　　 　　44107
鯨鯢(Keigei)
何気なく書いた #44105 ですが、#44106 ，#44107 のコメントを頂いたので、もう少し書き加えます。

ｎ個の自然数があって、それぞれの自然数より小さくこのｎ個に含まれない自然数の個数の和は、
もとのｎ個の自然数の和より n(n＋1)/2 だけ小さくなることを示します。

それぞれの自然数以下の自然数の個数は、その自然数自身と等しいので、その和はもとの自然数の和と等しくなります。
この和は、「それぞれの自然数より小さくこのｎ個に含まれない」という条件に合わないものも数えたもので、
最大の数は１回，２番目に大きい数は２回，３番目に大きい数は３回，……，最小の数はｎ回数えていますので、
全部で 1＋2＋3＋……＋n＝n(n＋1)/2 回です。
これを除けば、n(n＋1)/2 だけ小さくなります。

説明が分かりにくいかも知れませんが、n を 10 ，n(n＋1)/2 を 55 のように具体的な数に置き換えると算数として通用すると思います。
　　 1月29日（金） 19:22:45　　 　　44108
スモークマン
#44108 鯨鯢(Keigei)さんの説明でやっと了解できましたぁ ^^☆
選ぶn個の数は何であれ、そのn個の数だけで成り立つわけですねぇ♪
今回の一般化が…
『ｎ個の自然数があって、それぞれの自然数より小さくこのｎ個に含まれない自然数の個数の和は、
もとのｎ個の自然数の和より n(n＋1)/2 だけ小さくなる』で...
今回の問題はこの具体例の1ケースでしたのね 〜m(_ _)m〜
金即是空 ^^;v　　 1月29日（金） 20:39:24　　 　　44109
uchinyan
#44108
ここまで一般化すると何かすごいことのようにも見えますが，結局は今回の問題と同じですね。
鯨鯢(Keigei)さんの証明は，#44091，#44095，#44099，などと考え方は同じです。
もちろんこれも見事な証明ですが，個人的には，やはり，今年から高齢者さんの#44102の，
1 ずれた数の入れ替えとその繰り返しが，自明な簡明さで面白く好きです。
　　 1月30日（土） 13:55:47　　 　　44110
鯨鯢(Keigei)
#44110
#44108 は、算数として通用するように工夫して書きかえただけで、考え方は #44105 と等価です。
「１ずれた数の入れ替えとその繰り返しが，自明な簡明さ」と書かれていますが、
私はその「入れ替え」をうまく説明できず、この方法は断念したのですが、
マサルさんが 1〜10，トモエさんが 11〜20 でないときに、この状態にするには、
マサルさんのカードの最大数より小さいトモエさんのカードのうち、
トモエさんの最大のカードと、それより１大きいマサルさんのカードの入れ替え
の繰り返しですね。

　　 1月31日（日） 8:03:10　　 　　44111
今年から高齢者
#44110 uchinyanさんのように言っていただくと気恥ずかしいとともに、大変にうれしく思います。もともと、#44091、#44095、#44099の方法に考えが及ばず、また、#44100や#44098のように整理もできなくて、苦しまぎれの解き方でもありましたが、できたときにはほっとしました。
ちょっと長いのですが、入れ換えの方法は、例えば、（上段がマサルさん、下段がトモエさん）
��
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
��
01 04 06 07 09 10 13 15 17 19
02 03 05 08 11 12 14 16 18 20
上表の特殊化した�，�ら、一般の�△吠僂┐襪砲蓮�
まず10の位置に20を持ってくる。そのために、
11-10, 12-11, 13-12, 14-13, 15-14, 16-15, 17-16, 18-17, 19-18, 20-19
の順に入れ替えると下の��になる。
��
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
01 02 03 04 05 06 07 08 09 20
次に、��の9の位置に18を持ってくる。そのために
10-9, 11-10, 12-11, 13-12, 14-13, 15-14, 16-15, 17-16, 18-17
の順に入れ替えて、�い鯑世襦�
��
09 10 11 12 13 14 15 16 17 19
01 02 03 04 05 06 07 08 18 20
このように、1つずつ移し替えてゆけば、最終的に�△鯑世襦�
というものでした。
　　 1月31日（日） 9:58:29　　 　　44112
uchinyan
#44111，#44112
入れ替えの仕方はいろいろあると思います。
私は，すべてのパターンを，
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
にすることを考えていましたが，その操作方法は#44112(の逆)と同じでした。
確かに手間はかかりますが，できることが分かれば十分なので，不変性が明らかなこの方法が気に入っています。
　　 1月31日（日） 13:10:01　　 　　44113
金があればいい
邪道かもしれませんが...
#44086さんと同じやりかたで即答しました。
　　 2月1日（月） 14:13:50　　 　　44114