マツダ
まさかの計算ミスでロスしましたが，最短を思いつくまで時間がかかりました・・・残念。
上から見て，ＱからＡＢに垂線を引くと３：４：５の三角形，ＱＳを引くと中心を通り，７：２４：２５の三角形，という感じですね。
凄く良い問題でした。相変わらず感心致します。
　　 12月17日（木） 0:12:28　　 　　43981
ベルク・カッツェ
ＰＣがおかしくなって復旧中、なんとか立ち上がったので算チャレに参加できました。
3：4：5を利用して、4×（3/5）×（3/5）×（3/4）＝27/25
まだいろいろおかしいので復旧作業に戻ります。
　　 12月17日（木） 0:29:47　　 　　43982
今年から高齢者
QからABに垂線の足をM、SからABに下ろした垂線の足をNとする。
AD：AB：BD＝5：4：3なので、AQ：AM：PQ＝5：4：3
��QAM、��BQM、��ASNは5：4：3の直角三角形。また、��BQM≡��ASN。
AQ＝5として計算すると、AM＝4、AN＝MB＝9／4。AB＝25/4。
AからBまでの25/4で3cmの高さなので、AからNまでの9/4は、27/25 cm

　　 12月17日（木） 0:57:24　　 　　43983
baLLjugglermoka
気づけば簡単ですが、手間取りました。
　　 12月17日（木） 1:13:39　　 　　43985
ma-mu-ta
正面図と平面図を組み合わせて、
RS＝4×(3/5)×(3/5)×(3/4)＝27/25
図はこちらに　
https://dl.dropboxusercontent.com/u/12482898/ch1512170956.png
　　 12月17日（木） 2:56:01　　 　　43986
あめい
△ＡＱＳは直角三角形なので上から見た図でＡＢとＱＳは半径２cmの円の中心で交わる・・・までは順調だったのですが、△ＢＡＱ３；４；５に気付かず、Ｑ，ＳからＡＢに垂線を引き（垂線の足をＴ，Ｕ、円の中心Ｏとする）△ＯＱＴ≡△ＯＲＵから、三平方を使ってＵＡを求め、ＲＳはＵＡの３／４倍・・・と算数
でもなく、・・・みなさんのを見て納得でした。」
お馬崎　　 12月17日（木） 6:42:49　　 　　43987
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うーむ，分かってしまえば，なるほどこれでいいのか，なのですが，なかなか気付かずに苦労しました。
ただし，次の解法でも，算チャレでは一応は算数の範囲，の，3：4：5 の直角三角形，直径に対する円周角は直角，を使っています。
個人的には，数学を許せば易しい方かな，ですが，曲がりなりにも算数となるとやや難，でした。
正解率は 50 % 強なので，算チャレ的には標準的かやや難，でしょうか。
もう少しスッキリとできそうな気もしますが，一応，こんな感じで。

まず，真正面から見た図より，最初に切断した AD を含む平面は円柱の底面に関して傾かず □ABDC に関して左右対称です。
Q，S から AB に垂線を下ろしその足を E，F とし，P，R から □ABDC に垂線を下ろしその足を G，H とします。
先に注意したことより，G，H は AD 上にあります。
DB = 3 cm，AB は円の直径なので AB = 2 * 2 = 4 cm，より，△DBA は 3：4：5 の直角三角形で，AD = 5 cm，です。
さらに，□PQEG は長方形なので，∠GEA = 90°，△GAE ∽ △DAB，GA：AE：GE = DA：AB：DB = 5：4：3，
また，PQ = GE，AQ：PQ = 5：3 = GA：GE = GA：PQ，AQ：PQ：AE = GA：GE：AE = 5：3：4，
そこで，AQ：AE = 5：4，△QEA は 3：4：5 の直角三角形になります。
一方で，AB は円の直径なので，∠AQB = 90°，で，△BQA ∽ △QEA，BQ：QA：AB = QE：EA：AQ = 3：4：5，
AB = 4 cm なので，QA = AB * 4/5 = 4 * 4/5 = 16/5 cm，です。
さらに，∠QAS = 90°より，QS は円の直径で，QS = AB = 4 cm，QA：QS = (16/5)：4 = 4：5，で，
△SAQ も 3：4：5 の直角三角形になり，AS = AQ * 3/4 = 16/5 * 3/4 = 12/5 cm，です。
一方で，∠SAF = ∠SAQ - ∠QAE = 90°- ∠QAE = ∠AQE，より，△AFS ∽ △QEA，で，
△AFS も 3：4：5 の直角三角形で，AF：FS：SA = 3：4：5，AF = SA * 3/5 = 12/5 * 3/5 = 36/25 cm，です。
これより，□RSFH は長方形なので，RS = HF，△AHF ∽ △ADB，HF：DB = AF：AB，HF：3 = (36/25)：4，
RS = HF = 36/25 * 3/4 = 27/25 cm，になります。
ネコの住む家　　 12月17日（木） 16:28:41　　 　　43988
ゴンとも
A(-5/2,0,0),B(7/10,0,-12/5),D(5/2,0,0),P(-5*cos(a)/2,-2*sin(a),0)
R(5*cos(a)/2,2*sin(a),0),ABを直径とする円:(x+9/10)^2+y^2+(z+6/5)^2=4
方向ベクトルDB:(-9/5,0,-12/5)で点Pを通るから直線PQの方程式は
(x+5*cos(a)/2)/(-9/5)=z/(-12/5)変形して
(x+5*cos(a)/2)/3=z/4=s(パラメーター),y=-2*sin(a)　より
Q(3*s-5*cos(a)/2,-2*sin(a),4*s)これがABを直径とする円上にあるから
(3*s-5*cos(a)/2+9/10)^2+4*(1-cos(a)^2)+(4*s+6/5)^2=4これをsについて解くと
solve((3*s-5*cos(a)/2+9/10)^2+4*(1-cos(a)^2)+(4*s+6/5)^2=4,s);s=3*(cos(a)-1)/10
P(-5*cos(a)/2,-2*sqrt(1-cos(a)^2),0),Q(-(16*cos(a)+9)/10,-2*sqrt(1-cos(a)^2),6*(cos(a)-1)/5),点Aより
AQ^2:PQ^2=(-(16*cos(a)+9)/10+5/2)^2+4*(1-cos(a)^2)+(6*(cos(a)-1)/5)^2:(-5*cos(a)/2+(16*cos(a)+9)/10)^2+(6*(cos(a)-1)/5)^2=25:9 より
9*((-(16*cos(a)+9)/10+5/2)^2+4*(1-cos(a)^2)+(6*(cos(a)-1)/5)^2)=25*((-5*cos(a)/2+(16*cos(a)+9)/10)^2+(6*(cos(a)-1)/5)^2)　
これを解いて
solve(9*((-(16*cos(a)+9)/10+5/2)^2+4*(1-cos(a)^2)+(6*(cos(a)-1)/5)^2)=25*((-5*cos(a)/2+(16*cos(a)+9)/10)^2+(6*(cos(a)-1)/5)^2),cos(a));
cos(a)=-7/25,cos(a)=1(不適)　よりR(-7/10,48/25,0)これを通り方向ベクトルDBで直線RSの方程式は
(x+7/10)/3=z/4=t(パラメーター),y=48/25　より S(3*t-7/10,48/25,4*t)・・・・・・(1)
これがABを直径とする円上にあるから(3*t+2/10)^2+(48/25)^2+(4*t+6/5)^2=4これを解いて
solve((3*t+2/10)^2+(48/25)^2+(4*t+6/5)^2=4,t);t=-27/125これと(1)とよりS(-337/250,48/25,-108/125)
RSは三平方でsqrt((-7/10+337/250)^2+(108/125)^2)=27/25・・・・・・(答え)
豊川市　　 12月18日（金） 0:12:37　　 　　43989
uchinyan
掲示板を読みました。

注意
以下の記述は，そもそもは私自身の勉強のメモに過ぎないのですが，
折角なのでご参考までにと思って公開するものです。
そういうこともあって，解法の分類は算チャレの F.A.Q. の「算数の範囲」の記述を参考に，
私個人が独断と偏見で主観的に行っているものであって，客観的なものではありません。
あくまでもご参考です。悪しからず。

#43981，#43982，#43983，#43986，#43988
Q から AB に垂線を下ろすなどして，3：4：5 の直角三角形，直径に対する円周角は直角，を利用して解く解法。
詳細にはバリエーションがあるようです。
ただ，私の#43988は皆さんと違って若干の無駄があるようで，□AQBS が長方形，AF：HF = AB：DB = 3：4，を使う方がいいですね。

#43987
#43981などとほぼ同じですが，途中で三平方の定理を使う数学解法。

#43989
座標による数学解法。
ネコの住む家　　 12月17日（木） 15:21:18　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　43990
マサル
今回の問題ですが、実は第189回の問題の焼き直しだったりします...。

http://www.sansu.org/kakomon/toi189.html
MacbookPro　　 12月17日（木） 20:43:55　　 　　43991
uchinyan
#43991
この頃はまだ参加していませんでしたが，うーむ，これもなかなかいい問題ですね。
ネコの住む家　　 12月18日（金） 15:34:25　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　43992
今年から高齢者
#43991_昨年末から過去問に挑戦、前のが印象的で頭に残っており、今回の問題を解きはじめて、参考になるのではと思いはしたのですが、
参考ににしようとすると、かえって時間がかかりそうなので、そのまま求めました。

　　 12月18日（金） 22:05:31　　 　　43993
あめい
△ＡＱＳは直角三角形なので上から見た図でＡＢとＱＳは半径２cmの円の中心で交わる・・・までは順調だったのですが、△ＢＡＱが３：４：５に気付かず、Ｑ，ＳからＡＢに垂線を引き（垂線の足をＴ，Ｕ、円の中心Ｏとする）△ＯＱＴ≡△ＯＲＵから、三平方を使ってＵＡを求め、ＲＳはＵＡの３／４倍・・・と算数でもなく、・・・みなさんのを見て納得でした。
・・・すいません、同じ記事が出てしまいました。（画面が前のまま、エンターでも押してしまった？）

お馬崎　　 12月18日（金） 22:50:03　　 　　43994