ひだ弟
フォームから送信しようとするも、
今回の答えは半角では送信エラーになるようです。
　　 11月19日（木） 0:13:35　　 　　43902
物理好き
お久しぶりです
TQが6cm,TP,TVが共に10cmなのでPVは一致つまり0ですね。
最初ちょっとビビりました(笑)
大阪　　 11月19日（木） 0:15:23　　 MAIL:butsuri.0523@gmail.com HomePage:Math Labyrinth 第9回更新！　　43903
物理好き
#43902
半角の0が無入力と扱われるのでしょう。
大阪　　 11月19日（木） 0:18:29　　 MAIL:butsuri.0523@gmail.com HomePage:Math Labyrinth 第9回更新！　　43904
けーすけ
まさかそんな罠が。。
問題を解ける解けないより、そのようなことに気付くほうがすごいと感じました。。
　　 11月19日（木） 0:25:09　　 　　43905
吉川マサル
すみません、半角の0でエラーになるという、予想していなかったバグがあり、ご迷惑をおかけしました。とりあえず、応急的に対応いたしました。申し訳ございませんでした。m(__)m
iMac　　 11月19日（木） 0:25:16　　 HomePage:ARENA　　43906
物理好き
私も皆さんも掲示板に入ってから気づいたようですね...
大阪　　 11月19日（木） 0:28:36　　 MAIL:butsuri.0523@gmail.com HomePage:Math Labyrinth 第9回更新！　　43907
あみー
確かめちゃうよなあ。
　　 11月19日（木） 0:35:11　　 　　43908
今年から高齢者
Pの位置を3つほど変えて、製図して0と結論しました。
相似比2の三角形が絡んでいそうですが、計算による方法は、これから考えます。
　　 11月19日（木） 0:43:17　　 　　43909
Mr.ダンディ
とりあえず
PA//CBにるるようにしておいて、VがPと一致することを確認　⇒　0を送信
（Mr.ダーティ　でした）
　　 11月19日（木） 0:44:41　　 　　43910
ヤッコチャ
全角ですか、スマホでは限界です……
　　 11月19日（木） 0:50:02　　 　　43911
みかん
（#43910）
私も同じやり方です。

長さを問うているのに「ゼロ」っていうのは、そりゃないだろって感じでした。
元ネタは証明問題だったのでしょうか？
　　 11月19日（木） 1:10:55　　 　　43912
ベルク・カッツェ
ＰＱＲについて考えてみると、三角形ＡＱＢとＰＱＲは1：2の相似なのでＰＲ＝6×2＝12となり、ＡＢとＰＲは平行。

同様にＴＶ＝10、ＱＳ＝10となり、どちらもＢＣと平行。
ＳＡ＝ＡＴ、ＰＡ＝ＡＱなので合同ができ、ＴＶとＴＰは一致、よって答えは0。

最初すぐにゼロではないかと思いましたが、ちゃんと確認するのにかなり時間がかかりました。
　　 11月19日（木） 1:11:18　　 　　43913
Jママ
こんばんは。
http://www.fastpic.jp/images.php?file=4131887712.jpg
ざっくりとしか書いてないですが…

【訂正】
「P→T→R→V」 (誤)　→　「P→R→T→V」 (正)

　　 11月19日（木） 5:23:37　　 　　43914
あめい
中点連結定理と平行四辺形の性質で。（これくらいなら算数範囲で大丈夫でしょうか）
△ＲＳＱでＲＢ＝ＢＱ，ＲＣ＝ＣＳよりＢＣ平行ＱＳ、ＱＳ＝２ＢＣ
△ＵＶＴでＵＢ＝ＢＴ，ＵＣ＝ＣＶよりＢＣ平行ＴＶ、ＴＶ＝２ＢＣ
１組の辺が平行で等しいので□ＴＱＳＶは平行四辺形。
対角線ＴＳの中点がＡで、平行四辺形の２つの対角線は中点で交わるので、もうひとつの対角線ＱＶでＱＡ＝ＡＶ
またＱＰは一直線で、ＱＡ＝ＡＰなのでＶはＰと一致する。よってＰＶ＝０。
ＰＡが2cmの条件はなくても良かったんですね。
（というよりＡＢ，ＢＣ，ＣＡの長さの条件もなくても良かったけど、さすがにそれでは問題にならない?）

お馬崎　　 11月19日（木） 6:50:26　　 　　43915
数樂
書いていったら重なったので　0としたら入れたので。
徳島　　 11月19日（木） 1:31:02　　 HomePage:数樂　　43916
ゴンとも
作図ではPがどんな位置でも同じになるのかわからないので座標で・・・

座標にA(9/2,3*sqrt(7)/2),B(0,0),C(5,0),Pのx座標a,
Q(x1,y1),R(x2,y2),S(x3,y3),T(x4,y4),U(x5,y5),V(x6,y6)とおくと
XMaxima で

rhs(part(solve((a-9/2)^2+(b-3*sqrt(7)/2)^2=4,b),1))$
rhs(part(solve((a+x1)/2=9/2,x1),1))$
rhs(part(solve((%o1+y1)/2=3*sqrt(7)/2,y1),1))$
rhs(part(solve((%o2+x2)/2=0,x2),1))$
rhs(part(solve((%o3+y2)/2=0,y2),1))$
rhs(part(solve((%o4+x3)/2=5,x3),1))$
rhs(part(solve((%o5+y3)/2=0,y3),1))$
rhs(part(solve((%o6+x4)/2=9/2,x4),1))$
rhs(part(solve((%o7+y4)/2=3*sqrt(7)/2,y4),1))$
rhs(part(solve((%o8+x5)/2=0,x5),1))$
rhs(part(solve((%o9+y5)/2=0,y5),1))$
rhs(part(solve((%o10+x6)/2=5,x6),1))$
rhs(part(solve((%o11+y6)/2=0,y6),1))$
%th(2);%th(2)-%o1;a,0 より P=V より 0・・・・・・(答え)

rhs(part(solve((a-9/2)^2+(b-3*sqrt(7)/2)^2=4,b),2))$
rhs(part(solve((a+x1)/2=9/2,x1),1))$
rhs(part(solve((%o1+y1)/2=3*sqrt(7)/2,y1),1))$
rhs(part(solve((%o2+x2)/2=0,x2),1))$
rhs(part(solve((%o3+y2)/2=0,y2),1))$
rhs(part(solve((%o4+x3)/2=5,x3),1))$
rhs(part(solve((%o5+y3)/2=0,y3),1))$
rhs(part(solve((%o6+x4)/2=9/2,x4),1))$
rhs(part(solve((%o7+y4)/2=3*sqrt(7)/2,y4),1))$
rhs(part(solve((%o8+x5)/2=0,x5),1))$
rhs(part(solve((%o9+y5)/2=0,y5),1))$
rhs(part(solve((%o10+x6)/2=5,x6),1))$
rhs(part(solve((%o11+y6)/2=0,y6),1))$
%th(2);%th(2)-%o1;a,0 より P=V より 0・・・・・・(答え)
豊川市　　 11月19日（木） 2:03:45　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　43917
鯨鯢(Keigei)
△ABCどんな三角形でも、Ｐがどんな位置にあっても、空間で考えても PV＝0 ですね。

　　 11月19日（木） 5:47:02　　 　　43918
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，ちょっと雰囲気の違う問題かな。算チャレとしては標準的だと思いますが，その分だけ面食らった人もいるかも。
数学ではベクトルを使えば単純かつ簡単な計算ですが，算数，もちろん算チャレの算数，でどうするかがポイントですね。
こんな感じで。

題意より，
RB = BQ，RC = CS，なので，△RBC ∽ △RQS で相似比は 1：2 となり，BC//QS，QS = BC * 2，
UB = BT，UC = CV，なので，△UBC ∽ △UTV で相似比は 1：2 となり，BC//TV，TV = BC * 2，です。
これより，QS//BC//TV，QS = BC * 2 = TV，で，□QSVT は平行四辺形，です。
さらに，題意より，A は ST の中点なので，平行四辺形の性質より，A は □QSVT の対角線 TS と QV の交点で，QA = VA，です。
一方で，題意より，A は PQ の中点なので，QA = PA，で，しかも，Q，A，V も Q，A，P も同一直線上にあるので，
Q，A，P，V は同一直線上にあり，VA = QA = PA，V，P は Q と一致しない，ことより，V は P と一致するしかありません。
そこで，PV = 0 cm，になります。

相似の辺りは中点連結定理という言葉を使えば少し記述が楽になりますが，
何とかの定理というのは算数ではない，という方も昔いらしゃったので，敢えて相似で書いておきました。
なお，具体的な長さは関係ありませんでしたね。
さらに，数学でベクトルを使えば，この問題の拡張で，
n 次元空間で奇数個の異なる定点と任意の位置の点 P に対して定点に関し対称な点を順番に取る操作を２回行えば P に戻る，
が容易に示せますね。
ネコの住む家　　 11月19日（木） 14:44:47　　 　　43920
uchinyan
掲示板を読みました。今回も若干のトラブルがあったようですね。

注意
以下の記述は，そもそもは私自身の勉強のメモに過ぎないのですが，
折角なのでご参考までにと思って公開するものです。
そういうこともあって，解法の分類は算チャレの F.A.Q. の「算数の範囲」の記述を参考に，
私個人が独断と偏見で主観的に行っているものであって，客観的なものではありません。
あくまでもご参考です。悪しからず。

#43903，#43910，#43912
特殊化による解法。
言われてみればこれが一番シンプルな解法のような気がします。

#43909，#43916
製図による解法。

#43913，#43915，#43920
相似などを使い □QSVT が平行四辺形になること，又はそれと等価なこと，を利用する解法。
細かい議論は，各自の思う算数の範囲でバリエーションがあるようです。

#43914
相似などを使い △ABC と相似な三角形を矛盾なく構築することで解く解法。
矛盾しないことより V = P が導かれますが，#43913などに比べると若干分かりづらいかな。

#43923
相似などを使い △TRP ≡ △TRV を導いて解く解法。
これもなかなか面白いですね。

#43917
数学による解法。

なお，
#43918
＞△ABCどんな三角形でも、Ｐがどんな位置にあっても、空間で考えても PV＝0 ですね。
はい，そうですね。
ネコの住む家　　 11月20日（金） 11:33:37　　 　　43921
長野　美光
業務連絡。
私のメールが届いていませんか？
はままつし　　 11月19日（木） 14:32:40　　 HomePage:ヨッシーの算数・数学の部屋　　43922
今年から高齢者
PとVが一致すれば、条件を満たすことはわかるが、この問題のように、条件を満たせば、PとVが一致することを示すのに苦労した。
AB=a, BC=b, CA=cとおく。
まず、UVのない状態を考える。
QTPSは平行四辺形（対角線が互いに他を二等分する）。��RCB∽��RSQより、QS=TP=2b。
��QBA∽��QRPより、RP=2a。故に、��TRPの辺の長さは、2c, 2a, 2b。
次に、PQのない状態を考える。
VRUSは平行四辺形。��TBA∽��TUSより、US=RV=2a。
��UCB∽��UVTより、VT=2b。故に、��TRVの辺の長さは、2c, 2a, 2b。
ここから、��TRP≡��TRVなので、PとVの位置は一致し、PV=0 cm。
#43918で述べられているように、空間でも同じ結果になるというのもおもしろい。
（空間を平面に投影した場合にも問題の条件は維持される。
　平面の任意の三角形とPの位置でも成立するので、立体の場合を任意の角度で投影しても成立している。
　そのためには、PとVは同じ位置でなければならない）
　　 11月19日（木） 15:16:29　　 　　43923
にゃもー君
今回は答えが面白い問題でした。
自分はＰＱとＢＣを平行にして図を書きました。
それにしても、テキストだけの掲示板で図形の問題を議論するのは、難しいですね。頭の中で図が浮かんでいないと、ついていけない・・・
　　 11月21日（土） 13:31:35　　 　　43924
にゃもー君
今回は答えが面白い問題でした。
自分はＰＱとＢＣを平行にして図を書きました。
それにしても、テキストだけの掲示板で図形の問題を議論するのは、難しいですね。頭の中で図が浮かんでいないと、ついていけない・・・
　　 11月21日（土） 14:03:03　　 　　43925
ばち丸
ベクトルを使って、ＯＡベクトルをＡと書くことにすると、Ｑ＝２Ａ−Ｐ、Ｒ＝２Ｂ−Ｑ、・・・てやってＶまで出しました。簡単に気づいてしかるべきなのに最後まで全然気づきませんでした。まったくしょうがない。
　　 11月22日（日） 10:43:25　　 　　43926
「数学」小旅行
図を描いてみるのに、いいソフトがあります。ご存じの方も多いとは思いますが・・・（＾＾）

愛知教育大学 数学教育講座　飯島康之先生の開発したソフトで、Geometric Constructor/Win です。
いくつかの条件を満たしながら、点を自由に動かして図形の変化をみることができます。
今回の問題についてこれを使うと、自由な三角形を描き、自由な１点（Ｐとする）をとります。その点ＰとＡに関して対称な点は、線分ＰＡを２：１に外分する点として取ります。その点と点Ｂに関して対称な点を取り、・・・順々に作図をして行きます。
その後は、三角形の形を変えたり、点Ｐの位置を変えたりして、いつでもＰＶが０であることが目で見て確認できます。
その他、円を描いたり、垂直二等分線を描いたり、線分の長さを測定するなどの機能もありますので、一度お試し下さい。

　　 11月24日（火） 16:27:43　　 　　43927