ゴンとも

十進basicで5桁だから5枚を超えることなく枚数に制限をつけなくてもよく易問でしたね。　 FOR a=1 TO 6 FOR b=1 TO 6 FOR c=1 TO 6 FOR d=1 TO 6 FOR e=1 TO 6 IF MOD(10^4*a+10^3*b+10^2*c+10*d+e,7)=0 THEN LET s=s+1 NEXT e NEXT d NEXT c NEXT b NEXT a PRINT s END f9押して　1110通り・・・・・・(答え)

豊川市　　 7月16日（木） 0:09:26　　 　　43473

物理好き

プログラミングで解きました。 (basic) p = 0 for i1=1 to 6 for i2=1 to 6 for i3=1 to 6 for i4=1 to 6 for i5=1 to 6 n=i1*10000+i2*1000+i3*100+i4*10+i5 if n mod 7 ==0 Then p=p+1 next next next next next print p

大阪　　 7月16日（木） 0:10:32　　 MAIL:butsuri.0523@gmail.com HomePage:算数問題　　43474

!!!

6ケタにして5枚ずつとかにしたらちょっと引っ掛けがあっていい問題になった気がする と意味もなく深読みして送信を一瞬ためらった言い訳を

宝塚　　 7月16日（木） 0:11:18　　 　　43475

あみー

引き算間違えた…。 あわてて送信しなおした。

7月16日（木） 0:20:57　　 　　43476

今年から高齢者

うまく解けずに #43473ゴンともさんや#43474物理好きさんと同じように、Basicプログラムで

7月16日（木） 0:24:12　　 　　43477

Mr.ダンディ

結局、どの数字も何回も使えることになるので、 ｎ桁で7の倍数になる数の個数を　An　、7の倍数でないものの個数をBn　とすると A1=0、B1=6 であり （末位に１桁追加するとすると、追加する数が何通りに限定されるかを考え） An+1=Bn*1=Bn Bn+1=An*6+Bn*5　という漸化式が成り立つので　　　.........（※） B2=A1*6+B1*5=30　、A2=B1*1=6 B3=A2*6+B2*5=186、A3=B2*1=30 B4=30*6+186*5=1110 A5=B5*1=1110 以上のようにして求めました。 --------------------- [追記]（※）については 例えば　<ｎ＝2のとき> ①7の倍数 14に□を追加した　14□＝140＋□　では、□に　1～6のどれを入れても　 14□は7の倍数になりません。（6通り） ②7の倍数以外の 25に□を追加した　25□＝250＋□＝(7*35+5)＋□　では □に2を入れると　25□は7の倍数に（1通り） □に2以外（5通り）を入れると　25□は7の倍数にはなりません。 .......以上が根拠です........

7月16日（木） 9:14:27　　 　　43478

Z

6^5/7

7月16日（木） 0:30:01　　 　　43480

Jママ

寝坊しました…こんばんは♪ まともに取り組んでは叶わないと思い 当てずっぽうでした。 100000÷7=14285…5 1から0まで使える場合と1から6まで使える場合の数の比が 10^5:6^5=5^5:3^5=3125:243 になると考え 14285×(243/3125)=1110.8016… なので、きっと1110辺りだろうと送信しました。 (>_<;)

7月16日（木） 0:41:39　　 　　43481

スモークマン

5桁が7の倍数なら…6^4個のうち、 4桁が7の倍数では駄目 4桁が7の倍数なら…6^3個のうち、 3桁が7の倍数では駄目 … so… 6^4-6^3+6^2-6=1110 ってないい加減なことで…^^;…ほんまかいな Orz...

金即是空 ^^;v　　 7月16日（木） 0:43:03　　 　　43482

ベルク・カッツェ

各桁について7で割った余りを考えると、1-6のカードに対して1-6の余りが対応することが分かったので、1から6の数を5個足して7になる組み合わせ、つまりサイコロ6個を振った目の数の和が7の倍数になる場合と同じ、として考えました。 例：百の位が1、2、3、4、5、6のとき、その位の数についての7で割った余りは2、4、6、1、3、5と、1から6が1回ずつ出てきます。

7月16日（木） 0:45:58　　 　　43483

今年から高齢者

最後の桁に7があれば、6*6*6*6とおり。 割り切れる7がないので、4桁が7で割り切れる場合を引く。この場合最後に7があれば6*6*6通り。 割り切れる7がないので引きすぎになる。引きすぎは3桁が7で割り切れる分。最後に7があれば、6*6。 割り切れる7がないので加えすぎになる。加えすぎは2桁が7で割り切れる分。即ち6。 結局、6*6*6*6-6*6*6+6*6-6=1110

7月16日（木） 0:55:05　　 　　43484

小西孝一

結局プログラムで・・・。 ・・・ 9999+999+99+9=11106 答えの1110と1から6の6になって意味深。 わけは考えずに寝ました。(*ノωノ)

7月16日（木） 6:23:21　　 MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 　　43486

小西孝一

たぶん偶然ね。Orz

7月16日（木） 6:38:13　　 MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 　　43487

スモークマン

寝ながら意味漬けを考えてました…^^ #43484 今年から高齢者さんと同じ意味になるかと思いますが…Orz 2桁の場合…1～6の6個に１：１対応だけ７の倍数があり、 3桁の場合…6^2-6 だけあり、 4桁の場合…6^3-(6^2-6)だけあり、 5桁の場合…6^4-(6^3-(6^2-1))だけあるわけですのね ^^

金即是空 ^^;v　　 7月16日（木） 8:05:40　　 　　43488

スモークマン

10=2*5 なので… 1,2.5以外の一桁の数字mなら、同様に m^4-m^3+m^2-m個になりそうね ^^

金即是空 ^^;v　　 7月16日（木） 8:22:58　　 　　43489

次郎長

私もたぶん、偶然ね。 一発正解なので書き込み。 単純に6*6*6*6*6=7776。 7で割り切れるのはこの1/7＝1110.8前後。 そろりと1110認証。 忙しい朝は早く済ませ、昼休みにゆっくり考えます。 皆さん、台風に気を付けましょう、ってこっちへ来てるぅ

7月16日（木） 8:35:07　　 　　43490

ハラギャーテイ

ダブっているのに気が付かず、時間がかかりました。 プログラムです。

山口　　 7月16日（木） 9:02:30　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　43491

Mr.ダンディ

（#43475）＞「6ケタにして5枚ずつとかにしたら...」について 「6ケタにして6枚ずつ」だと 私の#43478の考え方で A4＝B3=186 A6=B5=186*6+1110*5=6666 111111,222222,..,666666は7の倍数だが 同じ数字が5回までだと 111111,～,666666の6通りを除いて 6666-6＝6660（通り）となるのかな..

7月16日（木） 10:10:42　　 　　43492

今年から高齢者

#43478Mr.ダンディさんの解き方は相変わらずダンディですね！ ちょっと詳しくしてメモさせていただきました。 「An+1=Bn」について、 n桁の数をXnとすると、n+1桁の数は10*Xn+C（Cは1～6）で示される。 Xnが7で割り切れない場合、10*Xnは7で割り切れず、余りは1～6。この数にCを加えると、10*Xnの余りの1種類に1つだけ割り切れる数ができる。 Cの残りの5つの場合は割り切れないままに残る（この関係は次に使用する）。 「Bn+1=An*6+Bn*5」について このうち「An*6」の項については、Xnが7で割りきれれば、10*Xnも割り切れる。 しかし、Cが1～6のいずれの数であっても10*Xn+Cは割り切れない。 「Bn*5」の項については上述の残りのとおりである。 また、上式は、An+1=Bn=6*An-1+5*Bn-1=6*An-1+5*An（A1=0、A2=6） こんな考え方でよかったですか？ 【追加】#43492に関連して 111111, 222222, 333333, 444444, 555555, 666666という同じ数字が6つ並んだ数がなぜ7で割り切れるのでしょうか（計算すれば確かに割り切れるのですが...）

7月16日（木） 10:51:33　　 　　43493

Mr.ダンディ

今年から高齢者さん　（#43493）お褒め頂き、また　詳しく補足していただき有り難うございます。 私の意図するところは書かれておられる通りでした。 （少しの計算なので　Anだけの漸化式を出さなかったのですが、確かに　An+1=6*An-1+5*An　となりますね） 〔追加〕については aaaaaa=11111*a だから　、111111が7で割り切れることだけを確認して判断しました。 こじつけるとすれば [aaaaaa]＝1000*[aaa]+[aaa]=1001*[aaa] 1001=7*143であることを知っていれば、それで説明がつくし 100A+B=7*14A+(2A+B) から 「100位以上の数の2倍と10未満の数の和が　7の倍数であれば　もとの数は7で割り切れる」 という判別法をもちいれば　10*2+01＝21＝7*3　より 1001*[aaa]は7の倍数と いえるでしょう。 （あくまで、後付けですが）

7月16日（木） 12:14:12　　 　　43494

?????

地道に調べました。疲れました～。 5桁の7の倍数は、(下3桁－上2桁) が7の倍数。 下3桁の数は全部で　6×6×6＝216通り 下3桁が7の倍数になるものを調べると、 112,126,133,154,161 224,231,245,252,266 315,322,336,343,364 413,434,441,455,462 511,525,532,546,553 616,623,644,651,665 となり、6×5＝30通り 7の倍数でないものは 216－30＝186通り 下3桁が7の倍数のとき、上2桁も7の倍数。　 2桁の7の倍数は、14,21,35,42,56,63 の 6通り なので、30×6＝180通り 下3桁が7の倍数ではないとき、下3桁と上2桁を7で割った余りが同じ。 2桁の数について調べると、 余りが1になるのは　15,22,36,43,64 余りが2になるのは　16,23,44,51,65 余りが3になるのは　24,31,45,52,66 余りが4になるのは　11,25,32,46,53 余りが5になるのは　12,26,33,54,61 余りが6になるのは　13,34,41,55,62 となり、どれも 5通り なので、186×5＝930通り 合わせて、180＋930＝1110通り (余りが6になる場合を書き漏らしていたので追加記入しました。)

7月16日（木） 17:29:57　　 　　43495

物理好き

c言語版です。 http://ideone.com/4aRaiw リンク https://docs.google.com/forms/d/13ClCmMDwgrtn8PHTz1a9ddJJ88zIZasL-J9OAcROMQs/viewform

7月16日（木） 12:29:18　　 　　43496

今年から高齢者

#43493Mr.ダンディさん。ありがとうございました。 1001=7*143が元になっているのですか...なるほど！

7月16日（木） 12:32:23　　 　　43497

物理好き

#43475>プログラムです。 http://ideone.com/3Xabiq 私も初手は6^5/7です。

7月16日（木） 12:36:35　　 　　43499

おうちモドキ

こんにちは。 6^5/7からの、確認用プログラムです。 #include<stdio.h> int main(void) { int a,b,c,d,e,count; for(a = 1;a <= 6;a++) { for(b = 1;b <= 6;b++) { for(c = 1;c <= 6;c++) { for(d = 1;d <= 6;d++) { for(e = 1;e <= 6;e++) { 　 if((a * 10000 + b * 1000 + c * 100 + d * 10 + e) % 7 == 0) { count++; } } } } } 　} printf("%d\n",count); return 0; }

7月16日（木） 12:54:34　　 MAIL:ouchimodoki@gmail.com 　　43500

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．． これは単純ですがなかなか面白い問題だと思います。こんな感じで。 (解法1) いい加減ぽいですが結局は正しい答えになる解法です。 1 ～ 77777 の 77777 個の整数のうち 11111 個が 7 の倍数です。そしてこれらの 7 の倍数は周期 7 で均等に並んでいます。 一方で，1 ～ 6 のカードは 5 枚ずつあるのでこれらから作られる 5 桁の整数の各桁の数字は 1 ～ 6 を自由に取れます。 そこで個数は 6 * 6 * 6 * 6 * 6 個で，7 の倍数の出現の仕方は周期 7 で均等に出現する 1 ～ 77777 の一部なので， おおよそ，11111 * (6 * 6 * 6 * 6 * 6)/77777 = (6 * 6 * 6 * 6 * 6)/7 = 1110 余り 6 個，程度です。 もちろん個数は整数なので，1110 個 又は 1111 個ですが，題意を満たす 7 の倍数を 77777 から引いても題意を満たし， しかもその二つが等しいことはあり得ないので，個数は偶数のはずで，1110 個，になります。 (解法2)　 漸化式ぽい解法です。 まず，1 ～ 6 のカードは 5 枚ずつあるのでこれらから作られる 5 桁の整数の各桁の数字は 1 ～ 6 を自由に取れます。 これらのうちの 7 の倍数の個数を 5 桁なので A5 個とします。 この 5 桁の数を 5 桁目 * 10000 と残りの下 4 桁に分けます。すると， 10000/7 = 1428 余り 4，20000/7 = 2857 余り 1，30000/7 = 4285 余り 5， 40000/7 = 5714 余り 2，50000/7 = 7142 余り 6，60000/7 = 8571 余り 3，なので， 下 4 桁のうち 7 の倍数でないものとうまく組み合わせれば下 4 桁 1 個に対し 1 個ずつ 5 桁で 7 の倍数を作れます。 つまり，A5 = 下 4 桁のうち 7 の倍数でないものの個数，です。 そこで，下 4 桁のうち 7 の倍数を A4 個とすれば， A5 + A4 = 下 4 桁のうち 7 の倍数でないものの個数 + A4 = 下 4 桁全部の個数 = 6 * 6 * 6 * 6 下 4 桁についても，4 桁目 * 1000 と残りの下 3 桁，に分けて同様に考え，さらに，下 3 桁，下 2 桁，と繰り返すと， A4 + A3 = 6 + 6 + 6，A3 + A2 = 6 * 6，A2 + A1= 6，です。 そこで，A1 = 0 なので， A2 = 6 - A0 = 6， A3 = 6 * 6 - A2 = 36 - 6 = 30， A4 = 6 * 6 * 6 - A3 = 216 - 30 = 186， A5 = 6 * 6 * 6 * 6 - A4 = 1296 - 186 = 1110， つまり，求める個数は 1110 個になります。 (解法3) いわゆる包除の原理を用いる解法です。 まず，1 ～ 6 のカードは 5 枚ずつあるのでこれらから作られる 5 桁の整数の各桁の数字は 1 ～ 6 を自由に取れます。 ここで，もし下 1 桁に 7 を使うことができたら，上位 4 桁をうまく決めて必ず 7 の倍数を作れます。 そして，この場合の 7 の倍数の個数は上位 4 桁の個数と同じで，6 * 6 * 6 * 6 個，です。 しかし，実際には下 1 桁に 7 は使えないのでこれを除きます。これは上位 4 桁が 7 の倍数となる場合です。 これを求めるのに，先ほどと同様に，上位 4 桁の下 1 桁に 7 が使えれば， 同様にして，上位 3 桁の個数 6 * 6 * 6 個で，これを引きます。 ところがやはり 7 は使えないのでその分，上位 3 桁が 7 の倍数の個数，を足します。 これも同様に上位 3 桁の下 1 桁に 7 が使えれば，上位 2 桁の個数 6 * 6 個でこれを足すわけですが， やはり 7 を使えないので，上位 2 桁が 7 の倍数の個数 = 6 個，を引きます。 少しややこしいですが，結局， 求める個数 = 6 * 6 * 6 * 6 - 6 * 6 * 6 + 6 * 6 - 6 = 1296 - 216 + 36 - 6 = 1110 個 になります。 (解法1)は，端数の処理が少しあいまいな気もしますが，7 の倍数の出現の規則性と個数が偶数より，大丈夫でしょう。 (解法2)と(解法3)は，見かけは違いますが実は等価で，(解法2)の式をまとめて書けば(解法3)と同じです。 7 を追加して考える(解法3)の工夫は面白いのですが少し難しいかな。ややこしいし。 個人的には(解法2)の方が考えやすいですが，漸化式ぽい考え方に慣れていないと辛いのでしょうか。

ネコの住む家　　 7月17日（金） 13:52:28　　 　　43501

鯨鯢(Keigei)

１から６までのカードがｎ枚ずつ(合計6n枚)あって、ｎケタの整数を作るとき、 ７の倍数が A(n) 通り作れるとすれば、７の倍数以外は 6^n－A(n) 通りできます。 ７の倍数以外の数を10倍し、１～６の何れかを加えれば７の倍数となり、 ７の倍数を10倍し、１～６の何れを加えても７の倍数になりません。 よって、A(n＋1)＝6^n－A(n) になります。 A(1)＝0 より A(2)＝6－0＝6 ，A(3)＝36－6＝30 ，A(4)＝216－30＝186 ，A(5)＝1296－186＝1110 です。 一般的に解けば、 (－1)^(n＋1)・A(n＋1)＝(－1)^n・A(n)－(－6)^n だから、 数列｛(－1)^n・A(n)｝の階差数列の第ｎ項が －(－6)^n になり、 －(－6)^k の k＝1 から k＝n－1 の和をとれば、 6｛1－(－6)^(n－1)｝/｛1－(－6)｝＝｛6＋(－6)^n｝/7 ですので、 n≧2 において、(－1)^n・A(n)＝(－1)^1・A(1)＋｛6＋(－6)^n｝/7＝｛6＋(－6)^n｝/7 、 A(n)＝｛6(－1)^n＋6^n｝/7 になり、この式は A(1)＝0 も満たします。 よって、A(n)＝｛6^n＋6(－1)^n｝/7 です。 もちろん、A(5)＝(6^5－6)/7＝1110 です。

7月16日（木） 14:10:51　　 　　43502

uchinyan

掲示板を読みました。 #43478，#43493，#43494 漸化式ぽく考える解法その１。 #43501の(解法2)，#43502 漸化式ぽく考える解法その２。 #43480，#43481，#43490，#43501の(解法1) 7 の倍数が周期 7 で均等に分布していることをもとに考える解法。 #43482，#43484，#43488，#43501の(解法3) 7 を使えるなどの工夫をもとに 7 の倍数の過不足を桁ごとに引いたり足したりして補う解法。 いわゆる包除の原理の利用です。 #43483 5 桁の数を， 5 桁目 * 10000 + 4 桁目 * 1000 + 3 桁目 * 100 + 2 桁目 * 10 + 1 桁目 * 1 と分解し，各桁に対する項を 7 で割った余りが常に 1 ～ 6 のすべてが現れることから， 5 個のサイコロの目の和が 7 の倍数になる場合の数と考え，それを求める解法。 他とは少し違う考え方ですが，#43501の(解法2)とその背景は同じように思います。 #43495 7 の倍数 = (下３桁 - 上２桁) が 7 の倍数，を使って地道に調べる解法 #43473，#43474，#43477，#43486，#43491，#43500 プログラムによる解法。組みたくなりますよね なお， #43493，#43494 ＞111111, 222222, 333333, 444444, 555555, 666666という同じ数字が6つ並んだ数がなぜ7で割り切れるのでしょうか どうして？，と言われても困るのですが，1/7 の循環節が６桁だから，という回答もありかな？

ネコの住む家　　 7月16日（木） 14:47:38　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　43503

???

k=0 for a=1 to 6 for b=1 to 6 for c=1 to 6 for d=1 to 6 n=10000*a+1000*b+100*c+10*d e=7-(n mod 7) k=k-(e<7) next next next next msgbox k

7月17日（金） 11:00:26　　 　　43504

川田智之

aケタの整数のうち、７の倍数の個数をＮa個とすると、以下の数式が成り立ちます。 Ｎ5= 6^4-N4 Ｎ4= 6^3-N3 Ｎ3= 6^2-N2 Ｎ2= 6 これは、aケタの整数のうち、上位a-1桁までは、各位とも6通りで、それぞれ独立に選択でき、その中から、上位a-1桁が、7の倍数であるN(a-1)を差し引くという漸化式を作成できるためです。 従って、N5=6^4-(6^3-(6^2-6))=36*36-(216-36+6)=1296-186=1110　となります。

7月17日（金） 15:25:47　　 　　43505

かっちゃん

樹形図で簡単に解けました （６×５×５）＋（６×５×５）＋（６×５×５×５）＝１１１０

7月22日（水） 7:18:02　　 　　43506