ベルク・カッツェ
三角形の内角の和は180度なので、角BEC＝角BAE、角BCEが直角になるので角ADEも直角。
相似な三角形の対応する辺の比は等しいのでBC＝64/9
BCとAEを延長した交点をFとすると、BF=9、AD=FC（いずれも合同な三角形ができるため）
AD=FC＝9-64/9＝17/9

タイピング面倒なのでだいぶ省略してしまいましたが、これで分かるでしょうか。
　　 7月2日（木） 0:13:22　　 　　43427
!!!
おお一秒差
ADEをEを中心に180度回転と相似で
宝塚　　 7月2日（木） 0:17:40　　 　　43428
Mr.ダンディ
直線AEと直線BCの交点をFとすると
△EDA≡△EFC、∠EBF=∠CEF、∠BEF=90°より
△FBE≡△ABE
∠ECB=90°　→　△EBC∽△FBE
AD=FC=ｘ　とおくと→　9：8＝8：(9-x)
解いて　ｘ＝17/9　としました。
　　 7月2日（木） 8:51:25　　 　　43429
ボラギノールの不祥事
中2で2分で解けたらすごいんですかね？
　　 7月2日（木） 0:35:10　　 　　43430
ゴンとも
ED=ECという条件がなくてもできました。条件過多の問題でしたね。
座標にB(0,0),E(8,0),A(8,sqrt(17))として直線AD,EDの交点を求め三平方でADを求める
XMaxima で

part(solve([y=8*sqrt(17)*(x-8)/17,y=-sqrt(17)*(x-8)/8+sqrt(17)],[x,y]),1)$
sqrt(expand((rhs(part(%o1,1))-8)^2+(rhs(part(%o1,2))-sqrt(17))^2));17/9・・・・・・(答え)
豊川市　　 7月2日（木） 0:39:52　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　43431
スモークマン
そっか!!
#43429　Mr.ダンディさんの...
9:8=8:(9-x) がクレバーね☆

わたしゃ…
条件から、BC垂直CDとわかるので…接弦定理？
あとは、比例とピタゴラス ^^;
z/(8/9)x=(8/9)x/(64/9)
z=(8/9)^2*x^2*(64/9)
x^2=9^2-8^2=17
so…

z=17/9
ってなことで…算数じゃなかと…Orz...
金即是空 ^^;v　　 7月2日（木） 0:41:11　　 　　43432
今年から高齢者
∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＥまで判っていながら、∠ＡＤＥが直角であることに気付くのが遅れた。ボケているようです。
あとは、三平方の定理に誘惑されそうになりながら、なんとか #43429 Mr.ダンディさんと同じように...
問題文は「下の図」ではなく「上の図」ですね。余り意識しないところですが...
　　 7月2日（木） 1:01:16　　 　　43433
あめい
△ＡＤＥとＥで点対称な△ＦＣＥを描くと、平行線の同側内角の和は１８０°なので、∠ＥＤＡ＋∠ＥＣＢ＝∠ＥＣＦ＋∠ＥＣＢ＝∠ＢＣＦ＝１８０°となり、ＢＣとＣＦは一直線になる。
よって、ＢＥ共通、∠ＡＢＥ＝∠ＦＢＥ，∠ＡＥＢ＝∠ＦＥＢ＝９０°より△ＡＢＥ≡△ＦＢＥ、ＢＦ＝９ｃｍ
また
∠ＥＦＣ共通、∠ＦＢＥ＝∠ＦＥＣより△ＦＢＥ∽△ＦＥＣ、よって∠ＥＣＦ＝９０°
△ＥＣＢも∠ＥＢＣ共通、∠ＥＣＢ＝∠ＦＥＢ＝９０°より△ＥＢＣ∽△ＦＢＥ
ＢＣ：ＢＥ＝ＢＣ：８＝８：９＝ＢＥ：ＢＦよりＢＣ＝６４／９
よってＡＤ＝ＣＦ＝ＢＦ−ＢＣ＝９−６４／９＝１７／９となりました。
（みなさん、すっきりと説明されているのに・・・何か美しさに欠けるなぁ）
お馬崎　　 7月2日（木） 1:18:41　　 　　43434
数樂
数学かな〜
徳島　　 7月2日（木） 2:42:25　　 HomePage:数樂＠問題公開中　　43435
とまぴょん
三角形ABEを折り返すと、裏返しの相似の関係が出る。そのことより
AE:ED＝9：8　また、cos∠AED＝8/9、AE=√17　なので、
三角形AEDに余弦定理を使うことができる。それを計算してAD=17/9

以上、地味な解き方でした。
　　 7月2日（木） 4:07:16　　 　　43436
ハラギャーテイ
おはようございます

三角関数です。AEを延長しました。
山口　　 7月2日（木） 5:03:22　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　43437
おほむ
三平方の定理と相似を使いました！！！
　　 7月2日（木） 5:38:37　　 　　43438
次郎長
一発正解の時だけ書き込み。
Mr.ダンディさんと全く同じでした。嬉しい
　　 7月2日（木） 10:47:32　　 　　43439
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
真っ当な平面図形は何か久しぶりな気がします。算チャレとしては標準的，というより易しめ，かな。楽しく解きました。
こんな感じ。

(解法1)
AD，BE を延長しその交点を F とします。
まず，AD//BC，∠AFB = ∠CBF = ∠CBE = ∠ABE = ∠ABF，AE⊥BF，△ABE ≡ △AFE，より，
△ABF は AB = AF の二等辺三角形，AF = AB = 9 cm，EF = EB = 8 cm，です。
そして，∠EFD = ∠ABE，∠FED = 180°- ∠AED - ∠AEB = 180°- ∠ABE - 90°= 90°- ∠ABE = ∠BAE，より，
△EFD ∽ △ABE，FD；EF = BE：AB，FD：8 = 8：9，FD = 64/9 cm，なので，
AD = AF - FD = 9 - 64/9 = 17/9 cm，になります。
ちなみに，上記では，ED = EC，は使っていませんが，△EFD ≡△EBC がいえるので，これは導け矛盾しません。

(解法2)
E から AB に垂線を下ろしその足を H とします。∠AEB = 90°より，△BEH ∽ △EAH ∽ △BAE です。
まず，∠EBC = ∠EBH，∠BEC = 180°- ∠AED - ∠AEB = 180°- ∠ABE - 90°= 90°- ∠EBH = ∠BEH，より，
△BEC ≡ △BEH，∠BCE = ∠BHE = 90°，BC = BH，です。
次に，∠AEH = ∠ABE = ∠AED，∠AHE = 90°= ∠BCE = ∠ADE，より，△AEH ≡△AED，AH = AD，です。
そこで，AD + BC = AH + BH = AB = 9 cm，です。
そして，△BEC ≡ △BEH，△BEH ∽ △BAE，より，△BEC ∽ △BAE，なので，
BC：BE = BE：BA，BC：8 = 8：9，BC = 64/9 cm，AD = AB - BC = 9 - 64/9 = 17/9 cm，になります。
ちなみに，上記では，ED = EC，は使っていませんが，△BEC ≡ △BEH，△AEH ≡△AED，がいえるので，これは導け矛盾しません。

(解法1)には，
AE と BC を延長する，
△BCE を E の回りに反時計回りに回転し EC を ED に重ねる，
△ADE を E の回りに時計回りに回転し ED を EC に重ねる，
△BAE を BE に関して折り返す，
△ABE を AE に関して折り返す，
□ABCD を E の回りに 180°回転する，
などなど，幾つものバリエーションがあります。これらの背景にはひし形がありますね。

なお，この問題とは関係ありませんが，(解法2)から透けて見えますが，
昔，この台形，等脚台形の半分，を使って，相加相乗平均の図形的な意味又は証明？，を考えたことがあります。
その意味で，私にとっては懐かしい図でもあります。

それと，ED = EC は使わずに解けるので，矛盾はしませんが条件過多になっています。
これについては#43441もご覧ください。
ネコの住む家　　 7月3日（金） 11:48:45　　 　　43440
uchinyan
掲示板を読みました。
算チャレとしては易しめかな，と思ったのですが，数学で解いている方が結構いるようです。

#43427
AD⊥DC 及び BC⊥DC に基づく相似と AE と BC を延長して考える解法。

#43428，#43434
△ADE を E の回りに時計回りに回転し ED を EC に重ねて考える解法。

#43429，#43433，#43439
AE と BC を延長して考える解法。

#43440の(解法1)
BE と AD を延長して考える解法。

#43440の(解法2)
E から AB に垂線を下ろして考える解法。

#43431，#43432，#43436，#43437，#43438
数学による解法。

なお，
#43431
＞ED=ECという条件がなくてもできました。条件過多の問題でしたね。
うっかりしていて気付きませんでしたが，確かにそのようです。
私の#43440を，ED = EC を使わない解法に書き換えておきます。
他の方からは特に指摘はないのですが，皆さんの解法でも，同様なのだろうと思います。

その後，もう少し検討してみました。

どうやら，AD//BC，つまり □ABCD は台形，を大前提として，
ED = EC，∠ABE = ∠CBE，∠AEB = 90°，のいずれか二つがあれば残りの一つは導けるようです。
ただし，∠AED = ∠ABE 又は ∠AED = ∠CBE，はどの場合でも必要なようです。
これは，私の#43440に少し書いた，背景にひし形があること，がポイントのようです。

条件過多でも矛盾はしないので問題はありません。むしろ考えやすくなっていると思います。
ただ，問題文の流れからすると，∠AEB = 90°，は無くてもよかったかな，という気はしています。
ネコの住む家　　 7月3日（金） 11:50:40　　 　　43441
塚本文生
相似比は、算数？
　　 7月2日（木） 18:27:53　　 　　43442
ベルク・カッツェ
確かに条件過多ですね、相似で考えていくとED = ECは出てきます。

合同相似は算数の範囲です、FAQ参照。
　　 7月2日（木） 21:12:52　　 　　43443
Goosehouse押し
こういう数学好きな方で、Goose house も好きな方おられませんか。
　　 7月3日（金） 2:48:35　　 　　43444
物理好き
相似比は、算数です。
でも、私が多用したピタゴラスの定理は数学です。
大阪　　 7月3日（金） 19:50:31　　 MAIL:butsuri.0523@gmail.com HomePage:作ってみた　　43445
物理好き
私のツイッターのアカウントです。
@butsuri_0523と調べて下さい。
意外な一面も出しているので、引かないで下さい(笑)
大阪　　 7月3日（金） 20:02:00　　 MAIL:butsuri.0523@gmail.com HomePage:作ってみた　　43446
物理好き
やはり皆さん、√17を使っていますね。
私も使って強引に(?)解きました。
大阪　　 7月3日（金） 20:04:30　　 MAIL:butsuri.0523@gmail.com HomePage:作ってみた　　43447
物理好き
リンクテストします。
https://docs.google.com/forms/d/1ca60s9f6FIgEtIrwksxUFNuBlq0zv ydMXutG3BSwrg4/viewform
大阪　　 7月3日（金） 20:05:17　　 MAIL:butsuri.0523@gmail.com HomePage:作ってみた　　43448
物理好き
スペースを消したら上手く行きました。
https://docs.google.com/forms/d/1ca60s9f6FIgEtIrwksxUFNuBlq0zvydMXutG3BSwrg4/viewform
大阪　　 7月3日（金） 20:08:20　　 MAIL:butsuri.0523@gmail.com HomePage:作ってみた　　43449
a
∠D、 ∠Cが９０度。
AE=√17
赤丸の角度をθとおくと
sinθ=√17/9
AD=AE sinθ = 17/9
　　 7月3日（金） 20:42:52　　 　　43450
老算兵
皆さんの解答例を見ながら思いつきました
∠ＢＡＥ＋∠ＡＢＥ＝９０から
∠ＢＥＣ＝∠ＢＡＥ、∠ＢＣＥ＝９０となる
従って∠ＡＤＥ＝９０、∠ＥＡＢ＝∠ＢＡＥ
△ＡＥＤをＡＥで折り返し、Ｄの移動先をＦとする
△ＢＡＥ∽△ＢＦＥとなり、あとは相似比で
　　１７／９
福岡県　　 7月4日（土） 16:49:04　　 　　43451
ましゃ
はじめは三平方の定理と相似比で求めましたが算数的に解きたくて再考。
結果ＡＥの延長とＢＣの延長に行き着きました。交点をＦとすると△ＡＢＦは二等辺三角形。相似比よりＢＣ＝６４／９。ＢＦ＝９より９−６４／９＝１７／９
　　 7月7日（火） 16:14:35　　 　　43452