!!!
http://www.sansu.org/used-html/index482.html
宝塚　　 6月4日（木） 0:07:02　　 　　43345
むらかみ
類題があったのですね。
完敗でした。
　　 6月4日（木） 0:13:49　　 　　43347
三宅ロース
まさか直線で配置されているとは…！
　　 6月4日（木） 0:14:53　　 　　43348
baLLjugglermoka
初め１０個の点が等間隔に並んでいる場合なので10×2−3=17個
それ以外にもあるかと思い結局見つけられず17を送信。５分くらいタイムロスしました。

しかし、一直線が最小という証明ができていません。（直感的には最小なはずです）
　　 6月4日（木） 0:16:34　　 　　43349
スモークマン
２重に勘違いしてました…^^;
10個の点を等間隔に並べれば、その点同士の中点の個数９個と、もともとの2点の間の点8個が中点なので…9+8=17個
でしたのねぇ ^^;…
中点は2点の間にあるので、３点で直線...どの３点においても同一の直線になってれば中点も重なりやすいという直感で…^^;
金即是空 ^^;v　　 6月4日（木） 0:56:52　　 　　43350
今年から高齢者
円周上配置→三角形配置→長方形２×５配置　と試みましたが
その先はなかなかでした。直線配置に気付いたのはほんの偶然。
あとでどこかで似たようなのをやったナと思い出した。
．．．第４８２回とほとんど同じ。
　　 6月4日（木） 1:18:06　　 　　43351
ベルク・カッツェ
正六角形2つを重ねた形で23個は出たのですが、一直線なら確かにもっと減りますね。
ところで今回の問題、10個の点は互いに異なる点という条件は必要と思います。中点がもとの点と重なってもいいということも、書いておいたほうがいいのでは。
　　 6月4日（木） 1:10:11　　 　　43352
あめい
２点を結ぶ線分は４５本なので中点は最大４５個
例の図では4点で平行四辺形ができた場合に中点が重なっていたので、
２重に重なるのは４点が平行四辺形になる場合・・・平行四辺形がたくさんできるのは５本の平行線に２点ずつ等間隔にある場合で平行四辺形が１０個、これで−１０（３５個）
さらに３重、４重、５重の場合があればさらに減らせて・・・と考えていたのですが、
平行四辺形でなく１直線にすればいいことにやっと思い至りました。
お馬崎　　 6月4日（木） 1:16:35　　 　　43353
ハラギャーテイ
直線として考えてみました。
山口　　 6月4日（木） 4:54:14　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　43355
小西孝一
同じく一直線。
　　 6月4日（木） 5:44:02　　 MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 　　43356
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うーむ，こういう問題の最小性の証明は苦手なので，直感で解いて認証で確認しました (^^;
というわけでいい加減ですが，こんな感じで。

新たに生じる中点を出来るだけ減らせばいいので，新たな中点が可能な限り既にある中点と重なるようにすればいいです。
ここまでは問題ないでしょう。
この後がいい加減ですが，直感的に，多分，最初の黒い点が等間隔に一列に並んでいればよさそうです。
このときに生じる異なる中点は，黒い点の間の 9 個と，両端以外の黒い点の 8 個，で，合計 17 個，になります。

平面は２次元なので自由度が２つありますが，中点の取り方は線分＝１次元上の操作なので，
すべての点が同一直線上にある場合を考えれば十分でしょう。
後は，その配置での最小は等間隔かな，と思いました。
ネコの住む家　　 6月5日（金） 11:38:55　　 　　43357
uchinyan
掲示板を読みました。
どうやら，皆さんほぼ直感的に，同一直線上に等間隔に並んだ場合，と考える解法のようですね。
しかし，過去問に類題，というかほとんどそのまんま，があったとは。
解いたはずなのに，すっかり忘れておりました。
ネコの住む家　　 6月4日（木） 13:07:36　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　43358
マサル
う、出題した側も全く覚えていませんでした....orz
MacbookPro　　 6月4日（木） 14:46:49　　 　　43359
たけちゃん
平面上に10点を配置したとき，どの2点を結ぶ直線とも垂直でない向きにx軸を設定すれば，10点のx座標はすべて異なり，
それらをx小さい順に[1],x[2],…,x[10]として，
(x[1]+x[2])/2<(x[1]+x[3])/2<…<(x[1]+x[10})/2<(x[2]+x[10])/2<…<(x[9]+x[10])/2.
これより，中点は少なくとも17個存在し，実際，一直線上に等間隔に並べたとき，17個になるので，
最小で17個ですね．
なお，(x[k]+x[l])/2を[k,l]と略記するとき，
[1,2]<[1,3]<[1,4]<…<[1,10]<[2,10]<…<[9,10]
の代わりに，
[1,2]<[1,3]<[2,3]<[2,4]<…のように，順番を変えて17個の列を作ることができ，
どの列でも，3番目どうし，4番目どうし，…，15番目どうしが等しくなることから，
中点が17個となるのは，等間隔に10点を並べたときに限ることになると思います．
　　 6月5日（金） 22:37:18　　 　　43360
沢井ねむ・る
私も一直線と考えて解きました。
一直線と置いてからは割と単純で，「10個の点を，ｘ軸上に０，２，４，…，18にとると，１〜17のすべての整数点が何かの中点になる。よって17個」という考え方です。

ところで，この問題，「どの３点をとっても，同一直線上にはない」となったら最少はどうなるのでしょう？？
自分で思いついておきながら，正解できる自信が無くなり，解くのを止めてしまいました。同一円周上に10点があるときが一番少なくなるのでしょうか。
　　 6月7日（日） 16:17:54　　 　　43361
たけちゃん
「同一直線上の3点が禁止の場合はどうなるか」というのは面白い問題提起ですね．

同一円周上の10点の場合，
円の弦の中点が指定されると，それが中心以外であれば弦が確定するので，
同一円周上に10点をとると，2点の組合せ2組で中点を同じにするには，
中点を円の中心にするしかなく，
5本の直径の両端を10点としたときが中点の個数は最少となると思います．
このき，中点は41個となります．

円周上でない場合の方が中点は減らしやすく，
「32個」までは減らせたように思いますが，最少数は今のところわかりません．
　　 6月7日（日） 21:13:34　　 　　43362
沢井ねむ・る
たけちゃん様
円周上ではない方が少なくなるのですか！ それは意外です。
いや〜聞いてみるものですね。ありがとうございます。
　　 6月7日（日） 22:07:20　　 　　43364