!!!
発想系だと思ったら普通にやるだけだったという
　　 3月19日（木） 0:07:27　　 　　43046
物理好き
辺の長さと面積を取り違えてしばらく手詰まり。
大阪　　 3月19日（木） 0:16:32　　 　　43047
ベルク・カッツェ
相似比でやりましたが、三角形の面積を1/2にしていなかったり1+11で12のところを11にしていたり、ミス連発。やっと正解できました。
　　 3月19日（木） 0:18:09　　 　　43048
今年から高齢者
斜交座標の考え方で計算。Ｐ点を横２：１としてＱＤをだしておきながら、平行四辺形の横を１２で計算したり、三角形の面積の１／２を忘れたり、手間取りました。
　　 3月19日（木） 0:27:07　　 　　43049
4329日目の解答者
ゴリ押しで何とか解けた
どうも初等幾何は苦手だ
　　 3月19日（木） 0:29:22　　 　　43050
みかん
Ｒを通るＡＤに平行な線を引き、相似を何度も使う面倒な方法でした。

三角形ＡＲＱ＝四角形ＡＢＣＤ×１/４×１/２×８/１１
三角形ＱＲＰ＝四角形ＡＢＣＤ×１/４×１/２×３/１１×２/３
上の２つの和＝四角形ＡＲＰＱ＝四角形ＡＢＣＤ×５/４４
　　 3月19日（木） 0:38:18　　 　　43051
4329日目の解答者
ゴリ押しで何とか解けた
どうも初等幾何は苦手だ
　　 3月19日（木） 0:45:24　　 　　43052
Mr.ダンディ
△PDQ=[1]　としたとき、△ARQ=[S]　としたら
△BDP=[11]
△BPR=△BDP*2＝[22]
△PQR=△PDQ*2=[2]

DQ：QA=△BDQ：△BQA=[12]：[22+2+S]＝12：(24+S)
また
DQ：QA=△RDQ：△RQA=[2+1]：[S]=3：S

∴　12：(24+S)=3：S　→　S=8
したがって
□ARPQ/□ABCD=(8+2)/{2(8+2+22+11+1)}=5/44　.....と求めました。
　　 3月19日（木） 0:57:47　　 　　43053
あめい
計算ミス、書き間違えの末・・・みなさんも結構されているようで安心しました。
Pを通るABの平行線とAD,BCとの交点をE,Fとおく。
BF:FC=2:1
また△PBF∽△PQE,BP:QP=11:1
よってEQ=1/11BF=2/33BC
EP=1/12AB
△DEP∽△DAR,DP:DR=1:3より
AR=3EP=1/4AB
高さの比は辺の比に等しいので、
四角形ARPQ=△PQE+台形PEAR＝(1/2*2/33*1/12＋1/2*(1/4+1/12)*2/3）平行四辺形ABCD=5/44平行四辺形ABCD
お馬崎　　 3月19日（木） 1:04:03　　 　　43054
Jママ
こんばんは
AB上にE, AD上にFをとり、平行四辺形AEPFをつくる
AEPFはABCDの1/12×8/12=1/18倍
あとは△PER、△PFQを
AE:ER=4:8、AF:FQ=11:1より
四辺形AEPFの何倍かで表すとそれぞれ1倍、1/22倍となるので
これら3つの図形の合計から、5/44倍としました

　　 3月19日（木） 1:09:19　　 　　43055
数樂
既出かもしれませんが・・・
Rを通りBCに平行線を引き、BQとの交点をSとすると
QD:SR=１：２・・・��
このときQP=1、PS=2であるから、
BS=9
よってAR:RB=3：9＝1:3
SR：AQ=9：12＝3：4だから�，�SR＝２としているので
３：４＝２：xとして
x＝8/3
これからAQ：QD＝8/3：1＝8：3となる。

このとき△ARDは平行四辺形ABCDの面積を1とすると
△ARD＝1×1/2×1/4＝1/8
△PQD＝△ARD×(1×3/3×11)＝1/8×1/11＝1/88
四角形ARPQ＝△ARD−△PQD＝1/8−1/88＝5/44
よって5/44倍
徳島県　　 3月19日（木） 1:43:47　　 HomePage:数樂　　43056
ゴンとも
直線BQとCDの交点をSとすると
△PSD∽△PBRよりRP(=8):PD(=4)=2:1(・・・・・・(1))=BP(=11):PSよりPS=11/2
ここでPQ=1よりQS=PS(=11/2)-PQ(=1)=9/2またSB=SP(=11/2)+PB(=11)=33/2また
△SQD∽△SBCよりQS(=9/2):SB(=33/2)=3:11=QD:BC
ここで□QDBCは平行四辺形ABCDの面積を1とすると1/2+3/22ここで△SQD=xとして
x:x+1/2+3/22=3^2:11^2 より　solve(3^2*(x+1/2+3/22)=11^2*x,x);x=9/176 ここで
△QPDは△SQDと底辺QDを共有して高さがQP(=2/2)/QS(=9/2)=2/9倍なので面積は(9/176)*(2/9)=1/88
これと△SQD=x=9/176と足して△PSD=1/88+9/176=1/16これと(1)とより
△PSD(=1/16):△PBR=1:2^2より△PBR=1/4 ここで
□ARPQ=平行四辺形ABCD(=1)-□QDBC(=1/2+3/22)-△PBR(=1/4)=1-1/2-3/22-1/4=5/44・・・・・・(答え)
豊川市　　 3月19日（木） 2:00:16　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　43057
小西孝一
比と三角形の相似で解きました。
1/18+1/396+1/18=5/44
　　 3月19日（木） 2:15:03　　 MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 　　43058
ゴンとも
#43057 が少し短くなりました。

直線BQとCDの交点をSとすると
△PSD∽△PBRよりRP(=8):PD(=4)=2:1(・・・・・・(1))=BP(=11):PSよりPS=11/2
ここでPQ=1よりQS=PS(=11/2)-PQ(=1)=9/2またSB=SP(=11/2)+PB(=11)=33/2また
△SQD∽△SBCよりQS(=9/2):SB(=33/2)=3:11=QD:BC
ここで平行四辺形ABCDの面積を1とすると
□QDBC=1/2+3/22,△PQD=(1/2)*(3/11)*(1/12)=1/88,△QSD=(QS(=9/2)/PQ(=1))*△PQD=9/176
△PSD=△PQD(=1/88)+△QSD(=9/176)=1/88+9/176=1/16 これと(1)とより
△PSD(=1/16):△PBR=1:2^2より△PBR=1/4 ここで
□ARPQ=平行四辺形ABCD(=1)-□QDBC(=1/2+3/22)-△PBR(=1/4)=1-1/2-3/22-1/4=5/44・・・・・・(答え)
豊川市　　 3月19日（木） 2:42:29　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　43059
ゴンとも
#43059 がさらに短くなりました。

直線BQとCDの交点をSとすると△PSD∽△PBRよりRP(=8):PD(=4)=2:1=BP(=11):PSよりPS=11/2
ここでPQ=1よりQS=PS(=11/2)-PQ(=1)=9/2またSB=SP(=11/2)+PB(=11)=33/2また
△SQD∽△SBCよりQS(=9/2):SB(=33/2)=3:11=QD:BC ここで平行四辺形ABCDの面積を1とすると
□QDBC=1/2+3/22=7/11,△PQD=(1/2)*(3/11)*(1/12)=1/88,△PRB=(1/88)*4*(11/2)=1/4
□ARPQ=平行四辺形ABCD(=1)-□QDBC(=7/11)-△PBR(=1/4)=1-7/11-1/4=5/44・・・・・・(答え)
豊川市　　 3月19日（木） 3:07:29　　 　　43060
fumio
おはようございます
ひどい雨でした。
ではではまたね。
　　 3月19日（木） 5:48:37　　 　　43061
とまぴょん
メネラウスの定理で、線分比を暗算。続いて、全体の面積を22とし、面積比を暗算。
両線分が12センチとそろえてあったので、比合わせが不要だったのが幸いしました。
　　 3月19日（木） 5:56:45　　 　　43062
巷の夢
とまぴょんさんと同じで、メネラウスを二回使い平行四辺形の縦辺Ｒでの１：３を求め、横辺Ｑでの８：３を求め、面積比計算で結論へと・・・・、但し、暗算では駄目で筆算でやりましたが・・・。
真白き富士の嶺　　 3月19日（木） 6:26:08　　 　　43064
今年から高齢者
あまり違いはありませんが．．．
Pを通ってABに平行な線を引き、ADとの交点をM、BCとの交点をNとする。
��ARD=��MPD*(AD/MD)^2=9*��MPDなので、
求める面積は、��ARD−��MPD＋��MPQ = 8*��MPD＋��MPQ
平行四辺形の面積を1とすると、
��MPD=(1/2)*(1/3)*(1/12)=1/72
��NPB=(1/2)*(2/3)*(11/12)=22/72。
��MPQ=��NPB*(1/11)*(1/11)=2/(72*11)
故に、四角形ARPQ／平行四辺形ABCD=8*(1/72)+2/(72*11)=5/44
　　 3月19日（木） 10:26:05　　 　　43065
スモークマン
やっと自分の間違いに気付きましたぁ…
2:1だから…3^2-1=8 なので…(昨晩はどういうわけか…2^2-1=3と思い込んでました…)
4*(11/9*8+2/9)=40
40/(2*(44+88+4+40))=40/(2*176)=5/44
でしたのね Orz〜
金即是空 ^^;v　　 3月19日（木） 10:46:44　　 　　43066
Mr.ダンディ
巷の夢さんの#43064 ＞「メネラウスを二回使い・・・辺Ｑでの８：３を求め・・・」......のところは
メネラウスの定理の拡張　（http://mathtrain.jp/menelaus）を使って
(DA/AQ)*(QB/BP)*(PR/RD)=1 より
(DA/AQ)*(12/11)*(8/12)=1
DA/AQ=11/8 →　AQ：QD=8：3

あとは、 △PQD=[1]　としたとき
△BDP=[11]　、△BPR=[11]*2=[22]　、△RDQ=[1]*3=[3]、△RQA=[3]*(8/3)=[8]
→□ARPQ/□ABCD=(8+2)/{2(8+2+22+11+1)}=5/44

と、メネラウスの定理(拡張)の使用１回で済みそうですね。　
　　 3月20日（金） 10:12:08　　 　　43067
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，学校の算数では標準的かやや難，かなと思うものの，受験算数や算チャレでは，標準的かやや易，かなと思います。
解法はいくつかありそうですが，例えば，こんな感じ。

P から AD，AB に平行な線を引き，AB との交点を E，AD との交点を F，とします。
BE：EA = BP：PQ = 11：1，RE：EA = RP：PC = 8：4 = 2：1，BR：RE：EA = 9：2：1，
DF：FA = DP：PR = 4：8 = 1：2，QF：FA = QP：PB = 1：11，DQ：QF：FA = 9：2：22，
□ARPQ = △ARP + △AQP = △ARD * 8/12 + △AQB * 1/12
= △ABD * 3/12 * 8/12 + △ABD * 24/33 * 1/12
= □ABCD * 1/2 * 3/12 * 8/12 + □ABCD * 1/2 * 24/33 * 1/12
= □ABCD * (1/12 + 1/33)
= □ABCD * 5/44
つまり，□ARPQ の面積は □ABCD の面積の 5/44 倍になります。
ネコの住む家　　 3月19日（木） 14:13:29　　 　　43068
次郎長
久しぶりの一発正解なので書き込み。
面白かったです。
たぶん、どなたかと重なると思いますので、詳細略しますが、
ＢＰの延長とＣＤの延長が交わる点をＥとし、
△ＢＲＰ∽△ＰＤＥ
△ＡＢＱ∽△ＱＤＥから求めました。
いつもいい加減な解き方をしているのですが、今回は真剣に解きました。
それにしても最近、雨が多いですね。
　　 3月19日（木） 15:59:52　　 　　43069
uchinyan
掲示板を読みました。
やはりいろいろありますね。ふー，疲れてしまった (^^;

#4304，#43053，#43075
面積比による解法。

#43051
P を通り AD に平行な線を引き，相似を使って解く解法。

#43054
P を通り AB に平行な線を引き，AD，BC との交点を E，F とし，□ARPQ = △PQE + 台形PEAR を計算する解法。

#43055
AB 上に E，AD 上に F をとり 平行四辺形AEPF を作り，□ARPQ = □AEPF + △PER + △PFQ を計算する解法。

#43056
R を通り BC に平行な線を引き BQ との交点を S とし，□ARPQ = △ARD - △PQD を計算する解法。

#43057，#43059，#43060
BQ の延長と CD の延長との交点を S とし，□ARPQ = □ABCD - □QDBC - △PBR を計算する解法。
#43059と#43060は#43057の改良版です。

#43058
＞比と三角形の相似で解きました。
という解法。詳細は不明ですが，書かれている式からすると，#43055と同じような解法だろうと思います。

#43062，#43064，#43067
メネラウスの定理と面積比を使う解法。
バリエーションがあるようです。

#43065
P を通って AB に平行な線を引き AD，BC との交点を M，N とし，□ARPQ = △ARD - △MPD + △MPQ を計算する解法。

#43066
＞2:1だから…3^2-1=8 なので…
＞4*(11/9*8+2/9)=40
＞40/(2*(44+88+4+40))=40/(2*176)=5/44
という解法。詳細は不明。
その後，#43071にて，#43054と同じ，とのことです。

#43068，#43074
P から AD，AB に平行な線を引き，AB との交点を E，AD との交点を F，とし，□ARPQ = △ARP + △AQP を計算する解法。

#43069
BP の延長と CD の延長との交点を E とし，相似を使って解く解法。
多分，#43057などと同じような解法だろうと思います。

#43072
まず △ABQ を求め　□ARPQ = △ARQ + △RPQ を計算する解法。

#43049
斜交座標による解法。

#43076
プログラムによる解法。
ネコの住む家　　 3月20日（金） 11:59:40　　 　　43070
スモークマン
uchinyanさん、いつも総括して頂きありがとうございます☆
#43066 は、はしょってのカキコでした…Orz〜
#43054 のあめいさんと同じだったと思います ^^v
面積(比)を2辺の長さの積として計算…(算数じゃないかもしれません…?)
金即是空 ^^;v　　 3月19日（木） 17:39:26　　 　　43071
駒助
ABCDの面積を１として、まず、三角形ABQの面積を求める。次に、RQを引いて、三角形ARQとRPQの面積をそれぞれ求めて合計して、おしまい。
比較的簡単でした。ちなみに、中二ですｗｗｗ
　　 3月19日（木） 18:59:55　　 　　43072
新井貴浩
春休みの宿題はノート１冊だぞ
広島東洋カープ　　 3月19日（木） 22:28:01　　 HomePage:新井貴浩ＨＰ　　43073
Goose　houseファン
uchinyanさん(#43068)と同じ解き方でした。
　　 3月20日（金） 3:10:25　　 　　43074
ばち丸
2週連続して入れました。めでたい。
面積比でした。
　　 3月20日（金） 5:12:43　　 　　43075
ハラギャーテイ
おはようございます。Mathematicaによる数式計算です。

すごい各辺の長さは複雑な数値になります。
山口　　 3月20日（金） 10:18:18　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　43076
uchinyan
#43071
スモークマンさん，追加の説明をありがとうございます。
いつもならばもう少し式の意味の理解に努力しようとするのですが，
昨日は疲れてしまって，失礼しました (^^;
ネコの住む家　　 3月20日（金） 11:57:24　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　43077
スモークマン
uchinyanさんへ ^^
いえいえ滅相もございません ^^;
これからはできるだけわかりやすい解答をと思います 〜m(_ _)m〜
but...どうも同じ轍を踏んじゃって…二度あることは何度でも?…のときはごめんなさいまし…^^;;
金即是空 ^^;v　　 3月20日（金） 14:19:19　　 　　43078
就活中mukku
ひさしぶり
xつかってしまったけどなんとか
　　 3月21日（土） 0:31:23　　 　　43079
くまぽん
今更だけど書き込んでみた。
春休みの宿題の合間にちょっと休憩のつもりで解いたら…
三角形は1/2するんでしたね…
一度5/22ではじかれましたww
　　 3月21日（土） 16:22:39　　 　　43080
くまぽん
みなさんの解き方を見てると、自分はなんて面倒くさいやり方をしてたのかと思いました…
メネラウスの定理とか、比較的最近習ったばかりなのに…
　　 3月21日（土） 16:25:08　　 　　43081
さん学部
右上に線を延長して補助線２本引いて三角形を作り
左右に2:1、上下に3:11の三角形ができます。
面積比は二乗比であることを使って面積比を埋めていきました。
中学の幾何学で習うなんとかの定理はわすれました。
　　 3月22日（日） 22:54:34　　 　　43082
ましゃ
面積比で解きました。
　　 3月23日（月） 12:04:30　　 　　43083
涸沼
斜交座標で解いた。
小学生が解くとしたらメネラウスの定理を使うのかな。
　　 3月25日（水） 0:22:40　　 　　43086