茖絞��

ゴンとも

十進basic　で

問題図で変数を　
ab/
cde
/efとおくと

for a=1 to 5
for b=1 to 5
if b=a then goto 60
for c=1 to 5
if c=a then goto 50
for d=1 to 5
if d=a or d=b or d=c then goto 40
for e=1 to 5
if e=b or e=d then goto 30
for f=1 to 5
if f=c or f=d then goto 20
for g=1 to 5
if g=d or g=e or g=f then goto 10
let s=s+1
10 next g
20 next f
30 next e
40 next d
50 next c
60 next b
70 next a
print s
end

f9押して　3660通り・・・・・・(答え)

豊川市　　 12月25日（木） 0:13:39　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　42746

ベルク・カッツェ

5色で塗り分けるので、最初に送信した2400のほうが正解だと思うのですが。

もしやと思った送り直した5色中4色と3色も含めた3660のほうで正解になったようですが、これが正解とは思えないので、できれば修正お願いしたいです。

　　 12月25日（木） 0:19:03　　　　42747

ひだ弟

外周リング状部分を含むのかどうか考えてしまいました。

　　 12月25日（木） 0:20:14　　　　42748

今年から高齢者

#42747に関連して．．．。
第625回問題でも同じような議論があったようです。
ちなみに、私は、楽なほうで、5色以下と判断しました。

　　 12月25日（木） 0:28:14　　　　42749

ベルク・カッツェ

正解でないと言うと言いすぎかも。
使わない色があってもよいと書いていませんし、5色中3色または4色では、「5色で塗り分けている」の条件に反するのではと私は思うんですよね。
なので、お時間のあるときにでもご検討頂ければと思います。

　　 12月25日（木） 0:29:02　　　　42750

4329日目の解答者

まずど真ん中は5通り
次に周りの部分を好きな場所から時計回りに①、②、③、④、⑤、⑥とする
①はど真ん中に縫った色以外の4通り、②はど真ん中と①以外の3通り、③はど真ん中と②以外の3通り、④⑤も同様に3通りずつ
ここまでの場合の数は5×4×3^4通り
最後に⑥だが、ここは①と⑤が同じ色か違う色かで何通りかが異なる
そこで①と⑤が同じ色になる確率を考える
まず①と②が同じ色になる確率は0
①と③が同じ色になる確率は、3通りの中から①と同じ色を選ぶ確率と同じなので1/3
①と④が同じ色になるためには、①と③が違う色でかつ3通りの中から①と同じ色を選ぶ必要があるので、その確率は(1-1/3)/3=2/9
同様に①と⑤が同じ色になる確率は(1-2/9)/3=7/27
よって5×4×3^4通りのうち、①と⑤が同じ色になる場合の数は5×4×3^4×7/27=420通りで、この場合⑥に濡れる色は3通りなので420×3=1260通り
①と⑤が違う色になる場合の数は5×4×3^4×20/27=1200通りで、この場合⑥に濡れる色は2通りしかないので1200×2=2400通り
よって2つを足して1260+2400=3660通りとなる

　　 12月25日（木） 0:32:01　　　　42751

物理好き

まず、1色を捨てることとひきかえに中心を無視して考える。
___
|||
|||
| |
|_|
もし、この問題が上の図のぬりわけだとしたら4×3×2=24。
次に田の字のぬりわけを考える。
まず、左上から時計回りに前の色とは違う色を選んでいけば、4×3×3×3の式になる。
しかし、このままだと左上と左下が同じ色になっている場合も含まれてしまう。
左上と左下が同じ色ということは、見た目は3色のぬりわけ。
3色のぬりわけは前に計算してある。
4×3×3×3-24=84
円に5本の半径→4×3^4-84=240
円に6本の半径→4×3^5-240=732
最後に捨てた1色分、×5する。
732×5=3660。

大阪府　　 12月25日（木） 0:34:47　　　　42752

ベルク・カッツェ

ちなみに解き方は地道に場合分けで。
まずどこを同じ色にするかで考え、次に色の配分で×5×4×3×3×1して2400通り。
そして正解者に名前が出る様子がないので、4色および3色の分も同様に計算して追加で3660通り。

　　 12月25日（木） 0:35:18　　　　42754

今年から高齢者

逐次計算の表で求めました。
中心で１色を使い、周辺の１箇所を固定して４色で６段までの漸化式様の表を作り
最後が最初と同じでないものだけを合計し１８３。あとは４倍×５倍。
今年はこれが最後の算チャレですね！
この１年も楽しませていただきました。また来年もよろしく。

　　 12月25日（木） 0:53:29　　　　42755

algebra

５色を①～⑤とする。中心を①，外側の１カ所を②とする。
外側の残り５カ所には②を塗った隣から，３→９→２７→８１
→２１×３＋６０×２＝１８３（通り）
よって、求める場合の数は　１８３×５×４＝３６６０（通り）

　　 12月25日（木） 0:42:50　　　　42756

ヤッコチャ

「5色使う」なのか「5色のうち何色使ってもよい(使わない色があってもよい)」なのか、問題文からは読み取れません(涙)

　　 12月25日（木） 0:56:50　　　　42757

今年から高齢者

第625回のKENTAさんやMr.ダンディさんの掲示板書き込みの方法を利用して．．．。
中心に1つ、周辺がn分割されている図形を、m色以下で塗り分けるには
m*{(m-2)^n+(m-2)*(-1)^n}
m色全部を使って塗り分けるには、m-1色以下の場合を引けば良いので
（この時、m色のうちどのm-1色を選ぶかを考慮して）
m*[{(m-2)^n+(m-2)*(-1)^n} -(m-1)*{(m-3)^n+(m-3)*(-1)^n}]
となるのかな
ためしに、m=5、n=6をいれてみると、3660と2340。あれ！#42754とちょっと違うな？どこだろ。

　　 12月25日（木） 2:29:43　　　　42758

Jママ

#42758
今年から高齢者さん、
言葉でうまく説明できないのですが
思ったよりは複雑に考えて数えないと
いけなさそうです。
一般化した公式に当てはめて考えると
◆6分割5色以下(n=6,m=5)→3660通り
◆6分割4色以下(n=6,m=4)→264通り
◆6分割3色以下(n=6,m=3)→6通り
◆6分割2色以下(n=6,m=2)→0通り

よって
◇6分割3色→(6-0)=6(通り)
　　5色からどの3色を選ぶかを考慮すると
　　　(6-0)×5C3=60通り
また4色からどの3色を選ぶかをみると
　　　(6-0)×4C3=24　よって
◇6分割4色→264-24=240(通り)
　　5色からどの4色を選ぶかを考慮すると
　　　240×5C4=1200通り
したがって
◇6分割5色→3660-(1200+60)=2400通り
となります。
単純にm色で塗り分ける一般式って
できないのでしょうかね。
偶然目が覚めたのですがまた眠りますZzz…

　　 12月25日（木） 4:29:47　　　　42759

今年から高齢者

#42759 Ｊママさんありがとうございます。
場合の数には弱いので、こういう場合にいつも混乱しています。
この説明をよく理解してみようと思います。

　　 12月25日（木） 8:03:59　　　　42760

吉川マサル

すみません、問題文でまたまたご迷惑をおかけしてしまいました...。m(__)m

取り急ぎ、「１.問題文に注意書きを入れる」「２.全部色を使う場合と、５色以内で塗り分ける場合、両方を正解とする」という措置を取らせていただきます。

ご迷惑をおかけし、申し訳ありませんでした。m(__)m

iMac　　 12月25日（木） 11:04:52　　 HomePage:ARENA　　42761

baLLjugglermoka

とても面白い問題だと思います。問題文の解釈も各々で考えるのは、ある意味今週の問題ですが、問題文の図形から、長方形の外側(面積無限大)の領域も塗り分けると題意が読み取れたりします。
その場合、

5色全て使う：3600通り
5色以内　　:7440通り

　　 12月25日（木） 12:11:57　　　　42762

スモークマン

よかったんですね ^^;v
わたしゃ…5色すべてを使う場合だけを考えてました…Orz
周囲の６カ所は真ん中を除くと4色で塗らないといけないので、
(1)3つ同色-3色 or (2)2つ同色-2つ同色-2色になるのでそのパターンを探すと…
(1)は2
(2)は(同色の2つが互い違いに4個連続=6)+(同色の2つが互いにペアが対面=3*2=6)+(対違いの連続3つと対面=6)=18
けっきょく、(2+18)*5!=2400

4色と3色の場合はもっとややこしくなりそうね...みなさんので勉強させて頂きまっす～m(_ _)m～
#42762 「長方形の外側も」…たしかに ^^;...

金即是空 ^^;v　　 12月25日（木） 14:00:58　　　　42766

通りすがり

5色以下　　　　3660通り
4色以下　　　　1320通り　→　必ず5色をすべて使う　　　　2340通り
3色以下(3色)　 60通り　→　必ず4色を使う　　　　　　　1260通り
になるようです。

　　 12月25日（木） 14:01:50　　　　42767

老算兵

問題の解釈について色々あるようですが、私は５色以内ということで次のように解きました
中央の色を固定します（５色の内の１つ）
周囲の１つの色を固定します（４色の内の１つ）
これを①として周囲の⑥までの場合数を調べます
　　①　　　１／１
　　②　　　０／３
　　③　　　３／９
　　④　　　６／２７
　　⑤　　２１／８１
　　⑥　　６０／２４３
　　　　分母は３の乗数です（⑥のところは３の５乗）
　　　　分子は①と同じ色の個数です
　　　　　　前の分の分母から分子を引いて算出します
　　　　①と⑥の色は違っていなければならないので
　　　　（２４３－６０）×４×５＝３６６０
　　　　　　　　　　となりました

福岡県　　 12月25日（木） 14:18:47　　　　42768

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
う～む，今回は参った。ずーと 5 色すべて使うのだと思っていました。それでも数え間違いをしたり。
使わない色があってもいいならば，こんな感じで。

(解法1)
まず，真ん中の六角形を塗るのに 5 通り。残りの 4 色以下で回りの 6 か所を塗り分ければいいです。
これは，図からして回転して同じとかはあり得ないので，次のようにして容易に漸化式が作れます。
回りが n か所で 4 色以下で塗り分けるのを a(n) 通りとすると，これは，
回りが n-1 か所の場合の二つの色を塗った境界に二つと異なる色を挟む，a(n-1) * 2 通り，
又は
回りが n-2 か所の場合の一つの色を塗った所を二つに分けて異なる色を挟む，a(n-2) * 3 通り，
つまり，a(n) = a(n-1) * 2 + a(n-2) * 3，ただし，a(1) = 4，a(2) = 12，a(3) = 24，です。
そこで，a(4) = 24 * 2 + 12 * 3 = 48 + 36 = 84，a(5) = 84 * 2 + 24 * 3 = 168 + 72 = 240，
a(6) = 240 * 2 + 84 * 3 = 480 + 252 = 732，となって，
求める場合の数 = a(6) * 5 = 732 * 5 = 3660 通り，になります。

(解法2)　この方が分かりやすそう
まず，真ん中の六角形を塗るのに 5 通り。残りの 4 色以下で回りの 6 か所を塗り分ければいいです。
これは，回りが n か所で 4 色以下で塗り分けるのを a(n) 通りとすると，
左上隅が 4 通り，その右が 3 通り，さらにその右が 3 通り，．．．，左上隅の左が 3 通り，ですが，
これには左上隅と同じ色が含まれてしまっており，これは左上隅との境界を取れば a(n-1) 通りなので，
a(n) = 4 * 3^(n-1) - a(n-1)，ただし，a(1) = 4，a(2) = 12，です。そこで，
a(3) = 4 * 3^2 - 4 * 3，a(4) = 4 * 3^3 - 4 * 3^2 + 4 * 3，a(5) = 4 * 3^4 - 4 * 3^3 + 4 * 3^2 - 4 * 3，
a(6) = 4 * 3^5 - 4 * 3^4 + 4 * 3^3 - 4 * 3^2 + 4 * 3 = 12 * (81 - 27 + 9 - 3 + 1) = 12 * 61 = 732
となって，求める場合の数 = a(6) * 5 = 732 * 5 = 3660 通り，になります。

ちなみに， 5 色全部を使う場合は，次のように考えていました。
まず，真ん中に 5 通り。残りの 4 色全部で回りの 6 か所を塗り分ければいいです。
これは，次の二つの場合しかありません。
3 か所を 1 色で塗る場合
後の 3 か所は異なる色になり，4C1 * 2 * 3! = 48 通り。
2 か所を 1 色で塗る場合
後の 4 か所のうち 2 か所を 1 色で塗り残りの 2 か所は異なる色になります。
このパターンをつまらないミスで数え間違えており苦労したのですが，結局コツコツ調べて，
4C2 * 2 * ((4C2 - 2) * 3 + 5 + 1) * 2! = 6 * 2 * 18 * 2 = 432 通り。
そこで，求める場合の数 = (48 + 432) * 5 = 480 * 5 = 2400 通り，になります。

これで掲示板に入れた，と思ったら，題意を勘違いしていたようで，疲れました。
まぁ，正解扱いになったし，いろいろと考えられたので，結果オーライですね (^^;

そうそう，少し疲れたのとちょっと別件があるので，
掲示板を読むのは少し後，多分明日，になると思います。
その間に，漸化式を使わない解法も考えてみようかな。

(解法3)　漸化式を使わず 5 色全部を使う結果を使う解法
5 色全部を使う場合
上記のように 2400 通り。
4 色全部を使う場合
4 色を選ぶのに 5C4 = 5 通り，真ん中に 4 通り。
残りの 3 色全部で回りの 6 か所を塗り分けます。これは，次の二つの場合しかありません。
3 か所を 1 色で塗る場合
後の 3 か所のうち 2 か所を 1 色で塗り残りの 1 か所は残り 1 色で塗ることになります。
3C1 * 2 * 2C1 * 3 * 1 * 1 = 36 通り
2 か所を 1 色で塗る場合
後の 4 か所のうち 2 か所を 1 色で塗り残りの 1 か所は残り 1 色で塗ることになります。
(1 + 2 + 1) * 3! = 24 通り
そこで，この場合は (36 + 24) * 4 * 5 = 1200 通り，です。
3 色全部を使う場合
3 色を選ぶのに 5C3 = 10 通り，真ん中に 3 通り。
残りの 2 色全部で回りの 6 か所を塗り分けます。これは，色を交互に塗るだけで 2 通り。
そこで，この場合は 2 * 3 * 10 = 60 通り，です。
2 色以下で塗り分けるのは不可能です。
これより，求める場合の数 = 2400 + 1200 + 60 = 3660 通り，になります。

ネコの住む家　　 12月26日（金） 14:20:36　　　　42769

算学部

円グラフを6等分した形をイメージ。
真ん中の色を決めて、あとは隣り合う色が同じにならないように
一色固定して4色に色分けした樹形図に書いた。
5*(4*3*61)=3660
あまりうまくない方法ですが小学生でもできる方法です。

　　 12月25日（木） 21:41:51　　　　42770

算学部

　　 12月25日（木） 23:32:55　　　　42771

ハラギャーテイ

おはようございます。
プログラムです。Scilabです。

ScilabはMATLABが高いので全世界で共同して
開発した無料ソフトです。便利です。

山口　　 12月26日（金） 6:46:55　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　42772

???

５色全部を使う場合は，２４００通り。Ｅｘｃｅｌのマクロ。
Option Explicit : Dim a(7) As Integer
Sub Macro2()
Cells(1, 1).Value = 0
Call saiki(1)
End Sub
Sub saiki(ByVal n As Integer)
Dim b(5) As Integer
Dim dame As Integer, j As Integer
a(n) = 1
While a(n) <= 5
Select Case n
Case 1 : dame = 0
Case 6 : dame = -(a(1) = a(6) Or a(5) = a(6))
Case 7 : dame = -(a(1) = a(7) Or a(2) = a(7) Or a(3) = a(7) Or a(4) = a(7) Or a(5) = a(7) Or a(6) = a(7))
Case Else : dame = -(a(n - 1) = a(n))
End Select
If dame = 0 Then
If n < 7 Then
Call saiki(n + 1)
Else
For j = 0 To 5 : b(j) = 0 : Next j
For j = 1 To 7 : b(a(j)) = 1 : Next j
For j = 1 To 5 : b(0) = b(0) + b(j) : Next j
If b(0) = 5 Then
Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
For j = 1 To 7 : Cells(Cells(1, 1).Value, j + 1).Value = a(j) : Next j
End If
End If
End If
a(n) = a(n) + 1
Wend
End Sub

　　 12月26日（金） 9:22:01　　　　42773

巷の夢

いやはや、やっとこさ入れました。色々考えたのですが、やるたびに答えが異なり、昨日の午後からずっと考え、計算しておりました。
私の日本語では、問題文からは５色全てを使う（５色で塗ると書いてありますので・・・）としか解釈できないと思うのですが・・・・。
兎も角、疲れ切りました。

真白き富士の嶺　　 12月26日（金） 10:57:47　　　　42774

uchinyan

掲示板を読みました。
今回は，5 色以下の場合と 5 色全部の場合がありますが，一応，両方を見てみました。

#42751
5 色以下の場合の解法です。
真ん中以外の回りの色を一つの場所から例えば時計回りに調べて行って，
最初の場所の左隣がどうなるかをそのさらに左の色が最初と同じかどうかを確立を使って調べ，
それに基づいて場合分けし求める解法。
面白い解法だと思います。最近確率を使うのがちょっとしたブームかな。

#42752，#42755，#42756　#42768　#42769の(解法2)
5 色以下の場合の解法です。
真ん中以外の回りの色を一つの場所から時計回りに調べて行って，
最初の場所の左隣の色が最初と同じ場合は回りが一つ少ない場合になることに注目し，
漸化式っぽく解く解法。
#42751などに似ていますが，確率ではなく実質漸化式で考えています。
こっちの方がより算数らしいかな？
なお，#42768は確率っぽい記述をしていますが，こちらの分類になると思います。

#42754，#42766　#42769の(解法2)と(解法3)の間　？#42774
5 色全部の場合の解法です。
どこに同じ色を塗るかで場合分けして調べる解法。
最後に 5 色以下の場合にもちょっとだけ触れています。

#42758，#42759，#42760，？#42767
5 色全部の場合の解法です。
5 色以下などのの場合の結果をもとに考える解法です。
実は私も最初に同じことを考え#42758のようにうまくいかなかったのですが，
#42759のように一つずつ丁寧に考えていかないといけないですね。
入れ子になっているのでその分複雑になっているのだろうと思います。
ただし，#42767は#42758と同じ間違いをしているようです。

#42762
なんと，長方形の外側も塗ると解釈した場合の計算。
さすがにそこまでは考えもしなかったな。

#42769の(解法1)
5 色以下の場合の解法です。
３項漸化式を導いて使う解法。
ここまでするとかなり数学っぽいですね。

#42769の(解法3)
5 色以下の場合の解法です。
#42754などの5 色全部の場合に，4 色全部，3 色全部を追加する解法。
#42754も書かれていませんが多分同じようなことをしているのだろうと思います。

#42770
5 色以下の場合の解法です。
樹形図による解法。

#42746，#42772，#42773
5 色以下の場合の解法です。
プログラムによる解法。
やはりこういう問題はプログラムを組みたくなりますね。

ネコの住む家　　 12月26日（金） 14:44:50　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　42775

まるケン

いまさらですが、、、

問題文には、使用する色の種類が書いてありません。
ということは、赤、青、黄、白、黒の５色を使う人もいれば、
金、銀、茶、緑、紫の５色を使う人がいてもよいはず。
すなわち、今回の問題、答えは「無数にある」では？

というのは上げ足の取りすぎでしょうか、、、

でも、色の種類が書いてないので、もしかしたら、
塗り分けるパターンの種類だけが問題で、色を入れ替えて同じになるのは同一とみなす、、、
なんて解釈もできたりしませんでしょうか？
（１２３２３２３と３４５４５４５とは同じパターンという解釈）

で書き出してみました。
３色しか使わない場合
１２３２３２３
の１通り。

４色使う場合
１２３２３２４
１２３２３４３
１２３２４２３
１２３２４２４
１２３２４３４
１２３４２３４
１２３４２４３
１２３４３２３
１２３４３２４
１２３４３４３
の１０通り。

５色の場合
１２３２３４５
１２３２４２５
１２３２４３５
１２３２４５３
１２３２４５４
１２３４２３５
１２３４２４５
１２３４２５３
１２３４２５４
１２３４３２５
１２３４３４５
１２３４３５３
１２３４３５４
１２３４５２３
１２３４５２４
１２３４５２５
１２３４５３４
１２３４５３５
１２３４５４３
１２３４５４５
の２０通り。

で、合計３１通り。５色全部使う場合で２０通り。
と３１でも２０でも正解者掲示板に入れない、、、

じゃ、色は５色を指定したとして、色の入れ替えも違うパターンとして数えるとすると、
３色の場合、１、２、３にどの３色を割り当てるかが６０通り、１×６０＝６０通り。
４色の場合、１～４にどの４色を割り当てるかが１２０通り、１０×１２０＝１２００通り。
５色の場合、１～５にどの４色を割り当てるかが１２０通り、２０×１２０＝２４００通り。

で合計して、３６６０通りにたどり着きました。

いやいや、算数というより、言葉って難しいです。

みなさん、よいお年を、、、

ないしょ　　 12月26日（金） 18:04:27　　 HomePage:まるケンの部屋　　42776

中野雄太

色を１２３４５として、真ん中を１に固定する。（×5）
周りを時計回りにアイウエオカとする。
次にアを２に固定する。（×4）
ここから場合分け
エが２のときイウが3×2＝６、オカも同じ６で、6×6＝36
エが３のとき（×3）イウを書くと３２，３４，３５，４２，４５，５２，５４
オカもおなじ７で、7×7＝49
よって、（49×3＋36）×4×5＝3660通り

　　 12月26日（金） 23:59:53　　　　42777

ヤッコチャ

皆様、今年も1年よろしくお願いいたします。

　　 1月1日（木） 4:26:37　　　　42778

uchinyan

明けましておめでとうございます。
昨年中はいろいろと楽しい問題をありがとうございました。
今年も宜しくお願い致します。

ネコの住む家　　 1月1日（木） 14:28:05　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　42779

スモークマン

明けましておめでとうございます☆
来週から楽しみなチャレンジぃ～の始まりですね♪
今年もよろしくお願いいたしまっす～m(_ _)m～☆

金即是空 ^^;v　　 1月1日（木） 22:28:36　　　　42780

おすまん

みなさま、明けましておめでとうございます。

資格試験が【とりあえず】終わったので、
再開しましたが、2週間の期間がないと
正解できなかったかと…(涙)　

中学生の時に通っていた塾の先生が
「(生徒の)数学の力は、順列・組み合わせを解かせると
すぐに判る」っておっしゃっていたのを思い出しました…
(正に至言かと)

現実逃避し過ぎて試験結果は見えているのですが、
再受験のための時間は別に確保して、
毎週の参加を今年の目標にします♪

本年もよろしくお願い申し上げますm(__)m

　　 1月2日（金） 23:23:46　　　　42781

おすまん

　　 1月3日（土） 0:15:38　　　　42782

Mr.ダンディ

あけましておめでとうございます。
毎週の出題楽しみにしています。
古希といわれる年齢になりましたが、気持ち(だけ)は発展途上中。
まだまだ頑張って解いていきたいと思っています。

マサル様、皆さま　本年もよろしくお願いいたします。

　　 1月3日（土） 8:36:28　　　　42783

物理好き

明けましておめでとうございます！
今年もよろしくお願いします！
なぜか私は、年を越したことは分かっているのですが、
年を越した気分がありません。
理由もよく分かりません。

大阪府　　 1月4日（日） 21:57:47　　　　42784

Jママ

あけましておめでとうございます。
マサルさま、皆様にとりまして
素敵な一年になりますように。

こんな年賀状があるそうです
http://www.fastpic.jp/images.php?file=2714940556.jpeg

リンク貼るの初めてで見られなかったら
すみませんm(__)m

本年もどうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

　　 1月5日（月） 7:16:04　　　　42785

おすまん

#42783 Mr. ダンディさま

＞古希といわれる年齢になりましたが…

勝手に「同世代」と思っておりましたので、
びっくりでございます(゜Д゜;)！！！！！
（下名は、不惑＋αでございます…

また、ご指導いただける機会を楽しみにしておりますm(__)m

somewhere in the world　　 1月6日（火） 0:10:44　　　　42786

Mr.ダンディ

#42786　オスマン様
＞また、ご指導いただける機会を楽しみにしておりますm(__)m

いつも皆さんにいろいろ教えてもらっております。
こちらこそ、今後ともご指導のほどよろしくお願いいたします。

　　 1月7日（水） 23:38:13　　　　42787