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今年から高齢者

MS-Excelで．．．
52番目は2
2^50はエラー。2^10の余り17、2*17^5の余りで27
算数ではこれから．．．

　　 10月30日（木） 0:11:42　　　　42582

ゴンとも

1,27,40,20,10,5,29,41,47,50
25,39,46,23,38,19,36,18,9
31,42,21,37,45,49,51,52,26,13
33,43,48,24,12,6,3,28,14,7
30,15,34,17,35,44,22,11,32,16,8
4,2が52番目なので
mod(2*2^50,53);27・・・・・・(答え)

豊川市　　 10月30日（木） 0:16:02　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　42583

ヤッコチャ

52番目は2でそこから遡ると、2倍した数を53で割ったときのあまりが右から左に並んでいる。
よって、2^51を53で割った余りは元の数列の2番目の27としました。

　　 10月30日（木） 0:17:58　　　　42584

スモークマン

53の余り(52個)が並ぶので…たぶん ^^;
53番目が1
52番目は2
2*2^50=2^51
2^52≡1 mod 53 なので…
54/2=27

金即是空 ^^;v　　 10月30日（木） 0:17:01　　　　42585

今年から高齢者

問題の開始日が違っているようですが．．．

　　 10月30日（木） 0:19:04　　　　42586

物理好き

まず、この数列を52番目まで書き出します。
1,27,40,20,10,5,29,41,47,50,
25,39,46,23,38,19,36,18,9,31,
42,21,37,45,49,51,52,26,13,33,
43,48,24,12,6,3,28,14,7,30,15,
34,17,35,44,22,11,32,16,8,4,2(,1,27・・・)
52番目は2→2^51÷53のあまりを求めればいいのです。
2^1÷53→2
2^2÷53→4
2^3÷53→8
2^4÷53→16
2^5÷53→32
2^6÷53→11
・・・
さっきの数列とは逆にすすんでいます。
2からもどって51番目は27。
答えは27。

大阪府　　 10月30日（木） 0:22:47　　　　42587

物理好き

大阪府　　 10月30日（木） 0:23:44　　　　42588

この数列の規則を読み替えると
「前の数は、現在の数を2倍して53で割った余りになる」
になるんですね。
Excelに計算をさせた結果を見てようやく気づきました(^^;

ひろしま　　 10月30日（木） 0:37:48　　　　42589

ベルク・カッツェ

52番目は書き出しましたが、簡単に出る方法はないんでしょうかね。

　　 10月30日（木） 0:38:22　　　　42590

ヤッコチャ

#42590
53で割ったあまりが52個ずつ周期で出て、53番目は1に戻るので、1の直前の数を考えると、53を足して2で割り1はありえないので、2で割って1になる2が52番目とかでどうでしょう

　　 10月30日（木） 0:44:27　　　　42591

hide

ある数の2倍を53で割ったあまりと、その前の数を53で割ったあまりが明らかに一致するので、求めるべきは52番目の50個前で2番目の27

せっかくこの時間に起きてたのにリアルタイム参戦しそこねたorz

モンバーバラ　　 10月30日（木） 0:49:57　　　　42592

masa

この処理は ×1/2 または+53)×1/2なので、2^50をかけることは50回もどすイメージ。もどす過程での+53の項の計算は53で割った場合の余りには影響しないので、求める余りは2項目と同一と考えました。

　　 10月30日（木） 0:55:44　　　　42593

マサル

２をかける回数を５０回にしたのは、ささやかなExel対策です。^^;

iMac　　 10月30日（木） 0:56:29　　 HomePage:算チャレ　　42594

baLLjugglermoka

あまりが53個ずつではなく52個ずつでしたね。一つずれて52番目の数を4として、2^52ー1は53の倍数としていました。この様な間違いをしたのは多分僕だけですね。誰か仲間いないかな(^^;;;)

　　 10月30日（木） 1:00:49　　　　42595

sodo

余りだと桁あふれしたところを余りに置き換えればいいだけなので、
それほどの対策にはなっていないかと。EXCEL最高です。

sodo　　 10月30日（木） 1:18:56　　　　42596

あめい

#42585スモークマンさんと同じような考え方です。この規則で並ぶ数は、（最初が1なので）５３より小さい自然数、（同じ数が出る可能性があるのは５２の約数回目なので、どちらにしても）５３回目は１．５２回目は２．
２＾５１を５３で割った余りは、（いまだにうまく使えない)合同式を使って(？)求めました。

この問題を見たとき、コラッツの問題でしたか「偶数なら半分、奇数なら３倍して１を足すを続けると４，２，１のループになる」を思い出しました。（高校のころ、２進数で考えればいいんじゃないかと思ったんですが、いまだに未解決の難問らしいです)気になって困ったときのウィキペヂアを見てみると、初めの数が 3 × 2＾53 = 27,021,597,764,222,976 までチェックされているとありました。今回の問題の５３と何か関係があるのでしょうか？（偶然？私の思いこみかな？）

お馬崎　　 10月30日（木） 7:14:20　　　　42597

今年から高齢者

#42593 すばらしい！

　　 10月30日（木） 1:37:20　　　　42598

黒アイス

n番目の数をaとし、(n+1）番目の数に2をかけ53で割った余りを考える。
aが偶数・・・a→a/2→aよりaを53で割った余りに等しい
aが奇数・・・a→(a+53)/2→aよりaを53で割った余りに等しい
上の関係から、今回の問題の解は第2項を53で割った余りに等しくなるので27

　　 10月30日（木） 5:40:26　　　　42599

黒アイス

訂正、3行目a→(a+53)/2→a+53です。

　　 10月30日（木） 5:42:37　　　　42600

ハラギャーテイ

おはようございます。プログラムで簡単と思ったのですが、どうしてか間違っていました。
検討します。

山口　　 10月30日（木） 6:54:24　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　42601

Mr.ダンディ

ｎ番目の数の2倍と(n-1)番目の数とは　53で割った余りが等しいので
52番目の数を　ａとすると
ａ*2≡51番目の数（mod 53)
a*2^2≡50番目の数（mod 53)
a*2^3≡49番目の数（mod 53)
・・・・
a*2^50≡2番目の数（mod 53)
よって
2番目の数　27　としました。(既出でしょうね）

　　 10月30日（木） 9:08:55　　　　42602

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，個人的にはちょっとシャレていて面白いな，と感じた問題でした。
数学的にはフェルマーの小定理をベースにした解法もありますが，
算数としては書き出しても何とかなる点が安心だし，こんな感じで考えるとよさそうです。

1, 27, 40, 20, 10, 5, 29, ..., △, □, ○, ...
となっているとします。
まず，この数列に現れる数は，1 から始まることと規則から，1 以上 52 以下の整数です。
(厳密には数学的帰納法でしょうが，算数では，明らか，でいいでしょう。)
次に，○ * 2 を考えると，これは 2 以上 52 * 2 = 104 以下で，やはり規則より，
○ * 2 <= 52 のときは ○ * 2 = □，○ * 2 > 52 のときは ○ * 2 = □ + 53
になっています。そこで，○ * 2 を 53 で割った余りは □ になります。
さらに，○ * 2 * 2 を考えると，○ * 2 * 2 = □ * 2 又は □ * 2 + 53 * 2 ですが，
これを 53 で割った余りは □ * 2 を 53 で割った余りに等しく，これは先ほどと同様にして △ になります。
このように 2 を掛けるごとにそれを 53 で割った余りは数列の一つ前の数にズレていきます。
そこで，52 番目のアに 2 を 50 回掛けたものを 53 で割った余りは 52 番目より 50 番だけ前，
すなわち， 52 - 50 = 2 番目の数で，27，になります。

なお，フェルマーの小定理を使った解法としては．．．

この数列に現れる数が 1 以上 52 以下の整数であること，
定理より 53 が素数なので，2^52 を 53 で割った余りが 1，規則の計算を逆に辿ること，などによって，
53 番目が 1，52 番目がア = 2，と分かり，ア * 2^50 = 2 * 2^50 = 2^51 を 53 で割った余りを求めることになり，
再びフェルマーの小定理より (1 + 53)/2 = 27，
というような流れになると思います。

もっとも，もちろん算チャレではアリですが，小学生に説明するのは辛そうな気も。

ネコの住む家　　 10月30日（木） 12:03:25　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　42603

Jママ

こんにちは
10項ほど書き出してみたらすぐ気がつくはずでしたが
単純な計算ミスのためしばらく迷子になりました(^_^;)

　　 10月30日（木） 12:24:47　　　　42604

あられ

Mr.ダンディ様
いつもダンディーな解法、素敵です。ファンです

　　 10月30日（木） 14:13:46　　　　42605

???

Option Explicit
Sub Macro1()
Dim a As Integer
Dim j As Integer
a = 1
For j = 2 To 52
If a Mod 2 Then
a = a + 53
End If
a = a / 2
Next j
For j = 1 To 50
a = (a * 2) Mod 53
Next j
Cells(1, 1).value = a
End Sub

　　 10月30日（木） 15:10:26　　　　42606

uchinyan

掲示板を読みました。

#42583，？#42584，#42587，#42590，？#42604
実際に書き出すなどして 52 番目が 2 であることを求め，
これに 2 を 50 回掛けた 2^51 を 53 で割った余りを規則性を見つけるなどして解く解法。

#42585，#42591，#42595，#42597，#42603の後半
数列に現れる数が 1 以上 52 以下であることとその出現の仕方から，53 番目が 1，52 番目が 2 であることを求め，
これに 2 を 50 回掛けた 2^51 を 53 で割った余りをフェルマーの小定理を用いて求める解法。
53 番目が 1 を求める考え方にはいくつかあるようですが，理論的背景にはやはりフェルマーの小定理があると思います。

#42592，#42593，#42599，#42602，#42603の前半
数列の中のある数の 2 倍を 53 で割った余りが数列の中のその数の一つ前の数であることに注目する解法。

#42582，#42589，#42601，#42606
プログラムによる解法。

ネコの住む家　　 10月30日（木） 16:03:06　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　42607

Mr.ダンディ

#42605 あられ様 ..お褒め頂き有り難うございます。
いつもダンディというより、力任せのダーティな解法が多く、おもはゆい限りです。

　　 10月30日（木） 17:15:57　　　　42608

菱沼聖子

実際に書き出して52番目が2であることを確認。これに2を50回掛けた2^51を53で割った商の小数部分に53をかけたら27になりました。いかなる解法でも、解けるとうれしい。

　　 10月31日（金） 1:24:05　　　　42609

大岡　敏幸

うーん。全て書き出しました。

2^1／53→2
2^2／53→4
2^3／53→8
2^4／53→16
2^5／53→32
2^6／53→11
2^7／53→22

５１回、遡った数が今回の余りの答え、２７。

今回は問題分に答えが出ていたのですね。やられました（＾＾：

石川県　　 10月31日（金） 19:44:59　　　　42610

物理好き

よく考えてみると
÷2→×2
+53÷2→×2-53
1から1つもどる→2
52番の2の1つ前→2×2
2つ前→2×2×2
・・・
50個前→2×2^50-53×2×2×・・・×2-53×2×2×・・・
→2×2^50-なんらかの53の倍数
→2×2^50÷53のあまり
→答えは2番目の数、27。

大阪府　　 11月1日（土） 23:59:39　　　　42611

老算兵

最初はＥｘｃｅｌで解きましたが答えを見てあれっと思いました
５１回行って５０回戻るのですね
もっと単純に考えるようにしたいと思いました

福岡県　　 11月2日（日） 6:13:28　　　　42612

uchinyan

最近は，高校でも発展とはいえ合同式を習うらしいので，一応書いておくと．．．

mod 53 の合同式で考えれば + 53 は表記上記述しなくてよくそれを含めて，
ア ≡ (2^(-1))^51，ア * 2^51 ≡ 1 ≡ 54，ア * 2^50 ≡ 27

ネコの住む家　　 11月2日（日） 14:39:52　　　　42613

sodo

#42596
酔っぱらって書き込んでいました。すみません。

sodo　　 11月4日（火） 6:23:04　　　　42614

ペルソナ

ガウス記号使わないと、算数っぽく説明でよなあないんだよなあ
凝った問題だとは思うけど、算数ではないよなあ

　　 11月5日（水） 16:09:34　　　　42615

ペルソナ

誤字失礼

　　 11月5日（水） 16:10:34　　　　42616