しらす
二秒差かぁ
いつも思うけど二位三位と一位の間にはなんらかの圧倒的な壁があるな
　　 5月15日（木） 0:09:29　　 　　41778
しらす
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org5061977.png
こんなかんじで
　　 5月15日（木） 0:13:10　　 　　41779
あめい
ＡＤとＢＣが平行としても良さそうなので、Dを通りACに平行な線を引きＣＢの延長線との交点をＥとおくと、△ＥＤＢは１０，１０，１２の二等辺三角形でＥからＢＤに垂線を引けば６：８：１０の直角三角形になるので△ＥＤＢの面積は４８，△ＤＣＥ＝△ＡＢＤなので、四角形ＡＢＣＤ＝△ＥＤＢ
何か久しぶりに1回で答にたどり着きました。
お馬崎　　 5月15日（木） 0:22:34　　 MAIL:yokoyama3548@yahoo.co.jp 　　41781
Mr.ダンディ
DBの中点をＬとすると中点連結定理より　ＭＬ＝1.5　ＬＮ＝3.5
ＭＬ+ＬＮ＝ＭＮ　となるので
Ｍ，Ｌ，Ｎは一直線上にあり　
ＡＤ//ＭＮ//ＢＣ

線分ＢＣのＢ側の延長線上に　ＥＢ＝3となる点を取り、ＡとＥを結ぶと
△ＣＡＥは　ＣＡ＝ＣＥ＝10、ＡＥ＝12　となる二等辺三角形
ＡＥの中点をＨとすると　ＣＨ＝8となり
四角形ＡＢＣＤ＝△ＡＥＣ＝(1/2)*12*8＝48
このように求めました。
　　 5月15日（木） 0:28:48　　 　　41782
Ｍ
あめいさん(#41781)と、９９％同じ解き方です。
第２グループ　　 5月15日（木） 0:32:12　　 HomePage:出題中　　41783
スモークマン
#41781
あめいさんと同じ解き方でしたぁ ^^
ADとBCの和10cmの半分が5cm・・・AD//BC
と決まるわけですね...平行のとき以外は5cmにならないから…^^

#41779
しらすさんの図はわかりやすですね☆
このあとは…AD//BCだから...対角線の交点と平行四辺形の辺でできる△はそれぞれの角と平行四辺形の辺でできる△の面積と同じなので□ABCD=2*平行四辺形ってわけなんですね♪
金即是空 ^^;v　　 5月15日（木） 0:49:25　　 　　41784
ベルク・カッツェ
ADの中点とMを結ぶ線(相似から長さ6)で頂点Aを、同様にB、C、Dも切り落とすと、もとの四角形の半分の面積の並行四辺形ができます。
これをMNで二等分すると、三辺の長さが6、5、5の二等辺三角形で、もとの四角形の面積の四分の一。
問題はここから三平方の定理なしにどう面積を求めるかですね。
三辺の比が3：4：5の直角三角形になるのは知識として知っていても、小学生の場合自分で図形を並べるなど工夫して証明しなくてはいけないので。
　　 5月15日（木） 1:22:30　　 　　41785
ベルク・カッツェ
最初の部分は#41779しらすさんの図と同じでした。
　　 5月15日（木） 1:35:32　　 　　41786
ゴンとも
座標でやりました。

AB=a,CD=b,B(0,0),C(7,0)として
点B,Cを中心にそれぞれ長さa,10の交点としてAを
それぞれ長さ12,bの交点としてDを求めAD=3,MN=5としてa,bが求められ
△ABC,△ACDをそれぞれへロンの公式で求め足して□ABCDの面積は
xmaxima で

e1:x^2+y^2=a^2$
e2:(x-7)^2+y^2=10^2$
solve([e1,e2],[x,y])$
part(%,2)$
rhs(part(%o4,1))$
rhs(part(%o4,2))$
e3:x^2+y^2=12^2$
e4:(x-7)^2+y^2=b^2$
solve([e3,e4],[x,y])$
part(%,2)$
rhs(part(%o10,1))$
rhs(part(%o10,2))$
num(factor((%o11-%o5)^2+(%o12-%o6)^2-3^2))$
e5:expand((part(%,2)+part(%,3)+part(%,4)+part(%,5))^2-part(%,1)^2)=0$
num(factor(((%o11+7)/2-%o5/2)^2+(%o12/2-%o6/2)^2-5^2))$
e6:expand((part(%,2)+part(%,3)+part(%,4)+part(%,5))^2-part(%,1)^2)=0$
part(solve([e5,e6],[a,b]),4)$
a1:7$
b1:10$
c1:rhs(part(%o17,1))$
expand((a1+b1+c1)*(b1+c1-a1)*(c1+a1-b1)*(a1+b1-c1))$
factor(%)$
sqrt(%)/4$
a2:3$
b2:10$
c2:rhs(part(%o17,2))$
expand((a2+b2+c2)*(b2+c2-a2)*(c2+a2-b2)*(a2+b2-c2))$
factor(%)$
sqrt(%)/4$
%o23+%;48・・・・・・(答え)
豊川市　　 5月15日（木） 1:58:33　　 MAIL:fttnm528@bb.ne.jp 　　41787
今年から高齢者
待ち疲れて寝てしまったが更新の数分前に起きられた。
ＭＮがＡＤ＋ＢＣの半分なのでＡＤ//ＢＣとは思ったが、この確認に手こずりました。目覚まし代わりに風呂に入って考えましたが、結局証明には至らず、#41784の「平行のとき以外は５ｃｍにならないから...」と同じ考えで自分を納得させて...。
あとは、四角形ＡＢＣＤを１８０°回転させ、ＡＢをくっつけて、．．．
６、８、１０の直角三角形より、ＡＤ−ＢＣ間の距離を４８／５ｃｍと求めました。
#41781、#41782のように��ＡＣＤの面積移動を使えば、ＡＤ−ＢＣ間の距離までを計算する必要はなかったのですね。
　　 5月15日（木） 2:49:51　　 　　41789
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，どこかは忘れましたが，類題を解いたことがあります。こんな感じで。

AC の中点を L とします。すると，
AM：AB = 1：2 = AL：AC，△AML ∽ △ABC，ML//BC，ML：BC = 1：2，ML = BC/2 = 7/2 cm
CN：CD = 1：2 = CL：CA，△CNL ∽ △CDA，NL//DA，NL：DA = 1：2，NL = DA/2 = 3/2 cm
これより，ML + NL = 7/2 + 3/2 = 5 = MN，になり，L は MN 上にあります。
そこで，MN//BC，MN//DA，AD//BC，になります。
これより，AC と BD の交点を O とすると，
△OAD ∽ △OBC，AO：CO = DO：BO = AD：BC = 3：7，
AO = AC * 3/(3 + 7) = 10 * 3/10 = 3 cm = AD，DO = BD * 3/(3 + 7) = 12 * 3/10 = 18/5 cm
ここで，A から DO に垂線を下ろしその足を H とすると，
AO = AD なので，DH = OH = DO/2 = 9/5 cm，DH：AD = (9/5)：3 = 3：5，となって，
△DHA は 3：4：5 の直角三角形です。そこで，AH = AD * 4/5 = 3 * 4/5 = 12/5 cm，です。
これより，AD//BC，にも注意して，
△ABD = BD * AH * 1/2 = 12 * 12/5 * 1/2 = 72/5 cm^2，△ABD：△DBC = AD：BC = 3：7
□ABCD = △ABD + △DBC = △ABD * (3 + 7)/3 = 72/5 * 10/3 = 48 cm^2
になります。

最初の辺りは中点連結定理なのですが，一応，定理を表に出さないようにしてみました。
類題を最初に解いたときに，ML + NL = MN，L は MN 上，AD//BC，の辺りに感動した覚えがあります。
ネコの住む家　　 5月15日（木） 12:44:27　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41790
uchinyan
掲示板を読みました。

#41779，#41785
AD，BC の中点を取って中央に平行四辺形を作り，□ABCD = 平行四辺形 * 2 を使って，3：4：5 経由で解く解法。
□ABCD = 平行四辺形 * 2 で十分なので，AD//BC は使っていないと思います。

#41781，#41783，#41784，#41789
AD//BC を仮定して解く解法。実際，AD//BC は#41782などにより証明できます。

#41782，#41790
AC 又は BD の中点を取り，相似又は中点連結定理を使って，その中点が MN 上にあること，AD//BC を示し，3：4：5 経由で解く解法。
若干のバリエーションがあります。

#41787
数学による解法。

個人的には，#41790だったわけですが，「あー，そういえば#41779などの解法もあったな。」と，少し悔やまれます (^^;
ネコの住む家　　 5月15日（木） 13:38:36　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41791
スモークマン
#41791
>□ABCD = 平行四辺形 * 2 で十分なので，AD//BC は使っていないと思います。

そっか☆ 納得〜m(_ _)m〜
エレガントな解法ですね♪
金即是空 ^^;v　　 5月15日（木） 14:34:27　　 　　41792
ましゃ
対角線の交点をＥとすると、△ＡＥＤは二等辺三角形になる。
ＥＤの中点をＦとすると、ＡＦ＝2.4�僂任海了鯵儼舛旅發気砲覆襦�
△ＡＢＤは12×2.4÷２で１４．４。全体はその３分の１０倍になるので４８��^2
難しいやりかたになっちゃいました。
　　 5月15日（木） 15:29:31　　 　　41793
ベルク・カッツェ
3：4：5に関しては、三辺が3：□：5の直角三角形を4つ並べて一辺5の正方形を作り、その図から□×□＝16で□＝4が出ます。
（中央に一辺（□-3）の正方形ができる形です）
ちょっと数学っぽいけど小学生でも分かる範囲の数式でいけるので、算数の範囲内と言っていいと思います。

図形を言葉で説明するのは難しいですね。
　　 5月15日（木） 16:07:42　　 　　41794
ハラギャーテイ
遅くなりました。ピタゴラスの定理の乱用です。AからBCに垂線、
DからBCに垂線です。
山口　　 5月15日（木） 16:50:00　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　41795
小西孝一
上を下におろして、平行四辺形にして、あとは、比とピタゴラスでした。
　　 5月15日（木） 18:16:27　　 　　41796
小西孝一
平行四辺形という仮定は、あやしいな・・・・・
　　 5月15日（木） 18:22:02　　 　　41797
今年から高齢者
#41791,#41792に記載されているように、#41779、#41785の方法で行うと、AD//BCが不要どころか、（長さとしては、対角線の長さ10cm、12cmとMN=5cmだけが必要で、）AD=3cm、BC=7cmも不要な条件になりませんか。
任意の凸四角形の各辺の中点を結ぶと、平行四辺形ができて（辺の長さは対角線の1/2となるので）、その平行四辺形の面積も元の凸四角形の1/2。
間違っていたらごめんなさい！
　　 5月16日（金） 23:15:42　　 　　41798
スモークマン
#41798
So do I ^^
金即是空 ^^;v　　 5月17日（土） 0:06:12　　 　　41799
おすまん
#41796, #41797
So do I (^^;

#41791, #41798
なるほど！！！　エレガントですね♪
（これを瞬時に見抜けないと、「秒殺」は難しいですね…）
　　 5月17日（土） 2:54:36　　 　　41800
uchinyan
#41798
あれれ，本当だ！ こりゃまいった。うっかり致しました。
ネコの住む家　　 5月17日（土） 17:04:25　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41801
ばち丸
これは易しい。あっという間に台形に気が付いて下辺を左に3cm伸ばして平行四辺形を作って２等辺三角形を作って、アリさんのように一歩一歩。
頭悪いから競走には参加しない・・・。
　　 5月19日（月） 23:19:45　　 　　41802