みかん
６人の中から２人を選ぶ組み合わせは（６×５）÷２＝１５通り。
これが６日間あるので、１５×６＝９０通り。

多角形の頂点を人に見立て、辺と対角線で２人組を表すことを考える。
辺と対角線の合計本数が９０本以上になるようにするには、
（連続した２整数の積）÷２＝９０以上ということになる。
連続した２整数の積＝１８０以上、となるのは
１３×１４＝９１のときが最小。つまり１４角形の時になるので、１４人が答え。
　　 4月24日（木） 0:36:20　　 　　41691
黒アイス
月曜から土曜までの２人の組み合わせの延べ数は6C2*6=90（通り）

クラスの２人組の組み合わせの総数が90を超えれば問題の条件を満たす
よって,nC2>90(nは自然数）よりn>=14
　　 4月24日（木） 0:43:57　　 　　41692
黒アイス
ただしひねくれたらこんな解答もありかな

「先着6名」とあるが「必ず6名参加した」とは書いていない
よって,月曜から順に

4人…A-B,A-C,A-D,B-C,B-D,C-D
2人…A,B,A,B,A,A-B
　　 4月24日（木） 0:54:59　　 　　41693
kurokori
うーん、認証で入りましたが納得がいきません。

みかんさんのおっしゃる通り14人いれば91本の組み合わせ（対角線）ができますが、それを6日間の6人（6×6）に適切に配置できるかは別の問題です。

というのも、題意を満たすためには91通りの対角線から、6個の頂点だけを通る15通りを6回抜き出さないといけないからです。

そう考えると14人で題意を満たす組み合わせは存在しないように思うのですが、いかがでしょうか？
　　 4月24日（木） 1:00:37　　 　　41694
CRYING DOLPHIN
答えは36以下なので、認証でこじ開けました。
掲示板みてもよくわからんとです、はい。。

excelで14人での具体例を作ろうとしていますが、今のところできていません。(2日間で最低11人、3日間で最低15人いないと「ある２人が２回以上出会ってしまう」状況が生まれてしまうと思います)
私はなにか盛大な誤読をしているのでしょうか？
誰もいない市街地　　 4月24日（木） 1:06:44　　 HomePage:ブログもある　　41695
マサル
う、確かに、実例の検証はしていません。まずいかも....
iMac　　 4月24日（木） 1:12:31　　 HomePage:算チャレ　　41696
あめい
なんとか入れたので、実際に６人組を作ってみると、
月曜日・・・ＡＢＣＤＥＦ
火曜日・・・Ａ　　　　　ＧＨＩＪＫ
水曜日・・・　Ｂ　　　　Ｇ　　　　ＬＭＮＯ
木曜日・・・　　Ｃ　　　　Ｈ　　　Ｌ　　　ＰＱＲ
金曜日・・・　　　Ｄ　　　　Ｉ　　　Ｍ　　Ｐ　　ＳＴ
土曜日・・・　　　　Ｅ　　　　Ｊ　　　Ｎ　　Ｑ　Ｓ　Ｕ
の２１人が最低では？となってしまいました。ここからどう減らすのでしょう。
それとも「どの２人も、体育館では１度しか会わなかった」＝「６人とも体育館では１度しか顔を合わせなかった」が意味の取り違えなんでしょうか。
お馬崎　　 4月24日（木） 1:13:30　　 　　41697
・。・
生徒をそれぞれ１〜１４の数字を振り分ける。
そして、３６個の正方形状のマスに数字を入れていく事にする。
この時、各列のマスの数は６個
ここで、１君が何回体育館を利用出来たかで場合分けする。

１君が３回〜６回先着した場合。　　
そんな物はない。
何故なら、１をマスに入れた時、
入れた３列〜６列の横列の空きマスの合計数は１５個以上になる。
１君を除いて１３人しかいないのだから、重複する。

１君が１、２回先着した場合。　　
１以外が３回以上先着しなくてはならない。
何故なら、空きマスの合計は３０個であり、人数は１４人だからだ。
となると、別に１君だろうが１３君だろうが、
３つ入れるとまずいのは同じなので、１４ではない。
　　 4月24日（木） 1:14:29　　 　　41702
？？？
１４人いれば、９１通りの組み合わせ。
６日間の組み合わせは９０通り。
となると、９１−９０＝１通りの組み合わせが存在しない。
この時点で、「どの参加者も１度しか会わなかった」の条件を満たさないのでは？
CRYING　DOLPHINさんの考えでいったとしても、やはり、条件を満たさないのでは?
　　 4月24日（木） 1:14:59　　 　　41703
あめい
なんとか入れたので、実際に６人組を作ってみると、
月曜日・・・ＡＢＣＤＥＦ
火曜日・・・Ａ　　　　　ＧＨＩＪＫ
水曜日・・・　Ｂ　　　　Ｇ　　　　ＬＭＮＯ
木曜日・・・　　Ｃ　　　　Ｈ　　　Ｌ　　　ＰＱＲ
金曜日・・・　　　Ｄ　　　　Ｉ　　　Ｍ　　Ｐ　　ＳＴ
土曜日・・・　　　　Ｅ　　　　Ｊ　　　Ｎ　　Ｑ　Ｓ　Ｕ
の２１人が最低では？となってしまいました。ここからどう減らすのでしょう。
それとも「どの２人も、体育館では１度しか会わなかった」＝「６人とも体育館では１度しか顔を合わせなかった」が意味の取り違えなんでしょうか。
お馬崎　　 4月24日（木） 1:16:34　　 　　41704
・。・
生徒をそれぞれ１〜１４の数字を振り分ける。
そして、３６個の正方形状のマスに数字を入れていく事にする。
この時、各列のマスの数は６個
ここで、１君が何回体育館を利用出来たかで場合分けする。

１君が３回〜６回先着した場合。　　
そんな物はない。
何故なら、１をマスに入れた時、
入れた３列〜６列の横列の空きマスの合計数は１５個以上になる。
１君を除いて１３人しかいないのだから、重複する。

１君が１、２回先着した場合。　　
１以外が３回以上先着しなくてはならない。
何故なら、空きマスの合計は３０個であり、人数は１４人だからだ。
となると、別に１君だろうが１３君だろうが、
３つ入れるとまずいのは同じなので、１４ではない。
　　 4月24日（木） 1:16:40　　 　　41705
スモークマン
わたしも…(21で入れなかったので)...認証で ^^;

1,2,3,4,5,6
1,7,8,9,10,11
2,7,12,13,14,15
3,8,12,16,17,18
4,9,13,16,19,20
5,10,14,17,19,21

ってな感じで…?
金即是空 ^^;v　　 4月24日（木） 1:32:55　　 　　41706
マサル
すみません、私も紙に書いて検証してみたのですが、#41704（あめいさん）と同様の図になってしまいました。

なお、皆さんの意味の取り違えはないと思います。私のチェック不足です。大変申し訳ございません。
iMac　　 4月24日（木） 1:34:03　　 HomePage:算チャレ　　41707
ペル
21以下はできねえよ
やれるもんならやってみろｋｓ
　　 4月24日（木） 1:34:39　　 　　41708
ペル
２１未満だった　失敬
　　 4月24日（木） 1:40:41　　 　　41709
ペル
２１未満だった　失敬
　　 4月24日（木） 1:40:41　　 　　41710
マサル
皆さん、申し訳ございませんでした。ちょうど「鳩の巣原理」の問題の研究をやっていまして（今年の入試から、試験範囲となるもので）、「こんな感じでいいかな」と深く考えずに出題してしまったのですが、ご指摘の通り「１４以上である」ことは当然示せるものの、実際に実現可能ではなかったという、あまりにも初歩的なミスでした。本当にすみませんでした。m(__)m

#41708　ペル　さん
　大変申し訳ございませんでした。m(__)m
iMac　　 4月24日（木） 2:05:04　　 HomePage:算チャレ　　41711
ベルク・カッツェ
なんで違うのかと悩んでたら、ミスだったんですね。
ミスは誰にでもありますから気になさらずに、それだけ難しい問題だったということで、できた私すごいと思っておきます。（笑）
　　 4月24日（木） 2:15:21　　 　　41712
ハラギャーテイ
おはようございます。朝早く目が覚めました。勘です。
山口　　 4月24日（木） 3:42:03　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　41713
ハラギャーテイ
おはようございます。朝早く目が覚めました。勘です。
山口　　 4月24日（木） 3:42:03　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　41714
ハラギャーテイ
おはようございます。朝早く目が覚めました。勘です。
山口　　 4月24日（木） 3:42:03　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　41715
ハラギャーテイ
おはようございます。朝早く目が覚めました。勘です。
山口　　 4月24日（木） 3:42:03　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　41716
ハラギャーテイ
おはようございます。朝早く目が覚めました。勘です。
山口　　 4月24日（木） 3:42:03　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　41717
ハラギャーテイ
おはようございます。朝早く目が覚めました。勘です。
山口　　 4月24日（木） 3:42:03　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　41718
ハラギャーテイ
おはようございます。朝早く目が覚めました。勘です。
山口　　 4月24日（木） 3:42:03　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　41719
ハラギャーテイ
削除できません。記事番号、パスワードに間違いがないと思いますが。
山口　　 4月24日（木） 3:55:38　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　41720
kurokori
マサルさん、問題作成いつもお疲れ様です。
ベルクさんの仰る通りミスは誰にでもあることなので、あまりお気になさらずこれからも算チャレをよろしくお願いします。
　　 4月24日（木） 5:47:30　　 　　41721
今年から高齢者
#41691と同じように求めた（対角線で考えるところまで同じ）のですが、数の合う条件がないので混乱。６人でなかった日があるのだと、ぴったりあう条件として１３人（６−６−６−６−６−３人の参加）を入れてみたがだめ。あとは認証だより。
　　 4月24日（木） 6:14:01　　 　　41722
あめい
朝見たら、訂正ということだったんですね。
結構自信なかったものですから、いいんでしょうか？？？って感じだったんですが。
改めて自分の文を見てみると、避難しているような口調になっている？（その意図はありません、反省しています）
マサルさん、以前も書きましたが、１問問題は作れても、コンスタントに質のいい問題を作り続けるのは驚愕に当たる才能で、私はその恩恵に浴しているので感謝のみです、それよりもどさくさ紛れで自分がベスト１０に入っているんですがそれでいいんでしょうか。
　　 4月24日（木） 8:20:20　　 　　41723
CRYING DOLPHIN
よく考えると、21も解ではない可能性があるような…？
「どの２人も『１度しか』出会わなかった」という状況が21人でも再現できずにいます。
各人に01〜21の番号をつけると、例えば

１日目… 01 02 03 04 05 06
２日目… 01 -- -- -- -- -- 07 08 09 10 11
３日目… -- 02 -- -- -- -- 07 -- -- -- -- 12 13 14 15
４日目… -- -- 03 -- -- -- -- 08 -- -- -- 12 -- -- -- 16 17 18
５日目… -- -- -- 04 -- -- -- -- 09 -- -- -- 13 -- -- 16 -- -- 19 20
６日目… -- -- -- -- 05 -- -- -- -- 10 -- -- -- 14 -- -- 17 -- 19 -- 21

という状況を考えると、例えば01は12〜21とは１回も出会っていません。
この設定だと「どの２人も『１回以下』しか出会わなかった」状況しか作れない可能性がありそうです。
誰もいない市街地　　 4月24日（木） 9:28:41　　 HomePage:ブログもある　　41724
Jママ
おはようございますm(__)m
朝になったら順位表から名前が消えていましたΣ(°ロ°;)(笑)
21人とすると、会わない2人同士がたくさん出てきてしまうので送信せず、
皆さんと同じ解法で14人と出して送信しましたが、実際に振り分けられず
首を傾げておりました。
どの2人も出会う、というわけではなく１回以下とすれば納得できます(*^ω^*)

いつもありがとうございます(*^o^*)
またよろしくお願いします！

追記、#41724で仰られているのと同じことですね(/ω＼*)
　　 4月24日（木） 10:08:39　　 　　41725
Mr.ダンディ
延べ人数が　6*6＝36（人）
もし３日（以上）参加する人Aがいれば、その３日に参加するA以外の人はすべて
違わなければならないので、最低　3*5+1＝16（人）は必要
すべての人が２回以内の参加であれば、36/2＝18（人）以上必要
14人という数値はあり得ないと思っていたのですが・・・修正により　納得しました！
ところで
この問題は表をつくりながらの試行錯誤しかないのでしょうか？
また、20以下はないという証明は？　、10日間では　？
問題提起を含んだ一題だと思います。
《我々回答する側のミスに比べれば、マサルさんのミスなど「0」に等しいですね。》
　　 4月24日（木） 10:22:45　　 　　41726
マサル
#41724 （CDさん）
ご迷惑をおかけしています。すみません、問題文の「１度しか」の部分ですが、「高々一度しか」（＝１度以下しか）の意味で使っています。
　これについても、修正させていただきます。重ね重ね、申し訳ありません。m(__)m
iMac　　 4月24日（木） 11:42:59　　 HomePage:算チャレ　　41727
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うーむ，昨夜はトラブルもあったようですし，私自身は題意がピンと来なかったこともあり，地道に調べました。
一応，こんな感じ。でも，何か変．．．

初日から来た人順に番号を振ります。ただし，一人の人に振った番号は次の日以降もそのまま同じとします。
すると，条件を満たす最小の場合は，例えば，次のようになりそうと考えられます。

月曜日　01 02 03 04 05 06　取り敢えず６人。
火曜日　01 07 08 09 10 11　月の誰か，例えば 01，が来ないと最小ではないので１人来て，他は来なかった別の人。
水曜日　02 07 12 13 14 15　01 が来ると火から来られず最小にならないので，それ以外の月火の誰かと別の人。
木曜日　03 08 12 16 17 18　同様に考えて，来られない人以外の月火水の誰かと別の人。
金曜日　04 09 13 16 19 20　同様に考えて，来られない人以外の月火水木の誰かと別の人。
土曜日　05 10 14 17 19 21　同様に考えて，来られない人以外の月火水木金の誰かと別の人。

これで 21 人以下は間違いなさそうですが，例えば，06 と 07 は会っていません。
「どの２人も、体育館では１度しか会わなかった」
という条件の「どの２人も」というのを満たしてないような，と思ったものの，
これ以上減らすのは無理だと思う，例えば 06 の入れる日がない，ので，
おかしいな，と思いながらも，認証したら，21 で入れるし，答えを送ったら正解者一覧に載ったので，
「どの２人も」というのは「体育館で会ったどの２人も」の意味なのかな，と思いました。

そうしないと解はないような気がするのですが，どうなんでしょうか？
ネコの住む家　　 4月24日（木） 12:23:51　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41728
uchinyan
掲示板を読みました。

マサルさんへ

私の疑問は，CRYING DOLPHINさんの#41724などと同じで，#41727で解決ですね。

まぁ，二転三転といったところですが，お忙しい中での問題作り，ミスがあっても仕方ないと思うし，
毎週面白い問題を出題され続けること自体が驚異的なので，あまりお気になされずに。
むしろ，対角線などを使って必要条件から 14 以上を導くのは面白く，うまく解が見つからなかったのは残念です。

Mr.ダンディさんがおっしゃっているように，いろいろと設定を変えてみればうまくはまる解があるかも知れないので，
その意味でも興味深い問題だと思います。
どなたかが発展的にチャレンジしてくれるかも。

そうそう，来週，5月1日，はお休みなんですね。
最近は図形問題が少ないのでそろそろ恋しくなってきたなぁ〜，と図々しくもリクエストしてみたり (^^;
あ，単なる我儘なので無視して下さい。
ネコの住む家　　 4月24日（木） 13:42:40　　 　　41729
fumio
こんにちは、大阪オフミ
楽しみにしています。
ではでは。
　　 4月24日（木） 16:12:00　　 　　41730
abcba@baLLjugglermoka
この問題ですが、リアルタイムから少し遅れて参加して、問題文の意味がつかめず途方に暮れてました。

しかし、今日の昼頃、問題の条件が「どの２人も２度以上は合わなかった」としないと問題として成立しないと思い考え直したら、あっさりと出来ました。

今回の問題で、先着N人が体育館を利用できて、N日間の参加者を考えた場合、求める答えはNC2になります。
　　 4月24日（木） 18:10:46　　 　　41731
川田智之
ある１週間（日〜土まで７日間）の参加者・・・
という問題でも、答えは同じになると思うのですが、いかがでしょうか。
　　 4月24日（木） 21:13:02　　 MAIL:kawada@nms.ac.jp 　　41733
エルク
１日目は「６人」
２日目は１日目との重複は１人までで最低「５人」増える
３日目は１・２日目との重複はそれぞれ１人で
計２人までだから最低「４人」増える
以下同様に…

６＋５＋４＋３＋２＋１＝２１
２１人は最低必要である
同じ人を３度登場させないようにすれば実現も容易です

すでに書かれていますが７日目は増加「０人」。
７日の条件でも答えは２１人です
　　 4月24日（木） 21:58:22　　 　　41734
エルク
そもそも先着６名まで利用できるだけで
毎日６名利用したとは書いてないんですけどね
初日に２人だけ利用して終了とか（ひねくれすぎ）
　　 4月24日（木） 22:02:50　　 　　41735
abcba@baLLjugglermoka
#41733,#41734,#41733

ご指摘有難う御座います。

確かに、７日間でも２１人ですね。

今回の問題で、先着N人が体育館を利用できて、N+１日間の参加者を考えた場合、求める答えはNC2

とした方が正しいようです。
　　 4月24日（木） 23:40:49　　 　　41736
数樂
難しいというか苦手すぎるジャンル。とほほ。
Tokushima　　 4月25日（金） 3:33:23　　 HomePage:数樂　　41737
あめい
”どの人とも”は満たしませんが、7日目に#41704で私の作った表でいえばＥ，Ｊ，Ｎ，Ｑ，Ｓ，Ｔが入れば２１人の人が全員２回ずつ体育館を使い、同じ人と１回以下しか一緒にならないですね＞
　　 4月25日（金） 10:42:32　　 　　41738
Jママ
先着m人までが体育館を利用でき、
k日間の利用者について調べると
クラスの「どの2人組も」体育館では
「1回ずつ」会っていた。
このときのクラスの最少人数をN人とする。
という条件を満たすのは、
m=2のとき、k=3でN=3
m=3のとき、k=7でN=7
(いずれの場合もk=1は除外)
ここまでは容易に見つかるのですが
m=4のとき以降、ピタリとくる値を
見つけるのは私には難しいです。
例えばm=4のとき、
1人あたり(N-1)人と1回ずつ出会い、
１日に出会えるのは(m-1)人なので
各人は(N-1)/(m-1)=(N-1)/3回体育館を利用している。
これが整数なのでNは(3の倍数+1)である。
また2人組の総数が合致するので
mC2×k=N(N-1)/2　すなわち
m(m-1)k=12k=N(N-1)　を満たす。
整数問題のようにして解をだしてみると
(N, k)=(13, 13), (16, 40), (25, 50), (28, 63), (37, 111), (40, 130)…
と続くのですが、初めの2つでは条件を満たせず、
その先は断念しました。トホホ
お粗末さまでした(ToT)

　　 4月26日（土） 13:36:41　　 　　41739
uchinyan
#41739
Jママさんへ

次でどうでしょうか。

01 02 03 04
01 05 06 07
01 08 09 10
01 11 12 13
02 05 08 11
02 06 09 12
02 07 10 13
03 05 09 13
03 06 10 11
03 07 08 12
04 05 10 12
04 06 08 13
04 07 09 11

一般に，

N = k = m(m-1) + 1

なのかなぁ？
ネコの住む家　　 4月26日（土） 18:09:51　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41740
Jママ
#41740
uchinyanさま

素晴らしいです。13でできてますね！
やみくもに書き出さず秩序立てて書けば美しいものですね。
m=5のときを真似て書き出してみましたが、
仰る式で一般化できている気がします。(*^^*)
私にはできないですが証明できそうではないでしょうか。
ありがとうございました(*^^*)
　　 4月26日（土） 18:42:19　　 　　41741
大岡　敏幸
連続で来ました（＾＾）
最近はパズル系？　が多い感じがしますね。
１日目　６人　２日目　５人　・・・　　６〜１までの合計
よって、２１人。　　今回は算数っぽく解けた感じがします。
石川県　　 4月26日（土） 19:27:55　　 　　41742
さいと散
#41726、Mr.ダンディさん、10日間では　・・・28人でしょうか？
試行錯誤なので自信はありません。
　　 4月27日（日） 1:54:29　　 　　41743
Mr.ダンディ
#41743さいと散さん
人数が増えればどうなるのだろう？手が出ないな　という意味で適当に　「10日間」
と書いただけで、答えを出したうえでの数値ではありませんでした。
私にも、試行錯誤以外に策がないので、28人で正しいのかまったくわかりません。
（考えて、確信が持てたら書き込みますが、私にはとても無理なような気がします）
ごめんなさい　　m(__)m
　　 4月27日（日） 9:28:19　　 　　41744
uchinyan
お詫び及び修正

ごめんなさい。証明の一部に誤りがありました。
提示されている実例の構成法は，m-1 が素数の場合にだけ有効，です。
m-1 が素数でない場合は，部分周期が発生しうまくいきません。
お詫びして修正します。

#41739のJママさんの発展的な考察＝問題への
#41740の私の一般的な解，
N = k = m(m-1) + 1 = (m-1)m + 1
の証明を試みてみました。
少し分かりづらいかもという気もしますが，#41740の例を見ながらお読みください。

まず，m = 1 の場合には他の人と会わないので，m >= 2 とします。
また，k = 1，N = m，という自明な解がありますが，これは除きます。
つまり，k >= 2 とします。

１日目に 1 〜 m が来るとします。
２日目は，N を最小にするので１日目の１人，1 とします，が来て，同じ人とは１度しか会えないので新たな人が m-1 人来ます。
３日目以降は，同様に，１日目と２日目から高々１人ずつ来て，残りは新たな人が来る，と考えられます。
このとき，1 は３日目以降の新たな人とも会わないといけないので，３日目にそうなるとしても一般性を失いません。
しかし，既に 1 と会っている人は来られないので，３日目は，1 と新たな m-1 人となります。
こうした日が 1 がすべての人と会うまで続くので，１日目を含めて a 日続いたとして，
N = (m-1)a + 1 人
になります。ここで，最後の + 1 は 1 自身の人数，つまり１人，です。

次に，2 について考えます。
2 も 1 と同様に１日目以外の (m-1)(a-1) 人と１度ずつ会わなければなりません。
これは，２度同じ人とは会えないので，1 と同様に，１日に m-1 人ずつ a-1 日で合うことになります。
ここで，a < m だとすると，２日目の 1 以外の m-1 人を a-1 日に振り分けると，
鳩ノ巣原理により，必ず，２日目に会っている２人が再び会ってしまう日が存在します。
これは許されないので，a >= m でなければなりません。そこで，
N = (m-1)a + 1 >= (m-1)m + 1 人
になります。このとき，１日目に来た 3 〜 m も同様で，１日に m-1 人ずつ a-1 日で会うことになります。
したがって，全体の日数は，1 〜 m に対して a-1 日ずつで，１日目も追加して，
k = (a-1)m + 1 >= (m-1)m + 1 日
です。

今は，N を最小にしたいので，N = (m-1)m + 1，a = m，となることが理想です。
そこで，このときは，
N = k = (m-1)m + 1
になります。

後，残された問題は，実際にこうなる例を作れるかどうかです。

これは，m-1 が素数の場合には，#41740の m = 4 の例のようにすれば可能です。
つまり，

1 日目：1 〜 m

2 日目：1 a(1,1) a(1,2) a(1,3) ... a(1,m-1)
3 日目：1 a(2,1) a(2,2) a(2,3) ..., a(2,m-1)
．．．
m 日目：1 a(m-1,1) a(m-1,2) a(m-1,3) ... a(m-1,m-1)

(m-1)+2 日目：2 a(1,1) a(2,1) a(3,1) ... a(m-1,1)
(m-1)+3 日目：2 a(1,2) a(2,2) a(3,2) ... a(m-1,2)
．．．
2(m-1)+1 日目：2 a(1,m-1) a(2,m-1) a(3,m-1) ... a(m-1,m-1)

2(m-1)+2 日目：3 a(1,1) a(2,2) a(3,3) ... a(m-1,m-1)
2(m-1)+3 日目：3 a(1,2) a(2,3) a(3,4) ... a(m-1,1)
．．．
3(m-1)+1 日目：3 a(1,m-1) a(2,1) a(3,2) ... a(m-1,m-2)

3(m-1)+2 日目：4 a(1,1) a(2,3) a(3,5) ... a(m-1,m-2)
3(m-1)+3 日目：4 a(1,2) a(2,4) a(3,6) ... a(m-1,m-1)
．．．
4(m-1)+1 日目：4 a(1,m-1) a(2,2) a(3,4) ... a(m-1,m-3)

．．．

(m-1)(m-1)+2 日目：m a(1,1) a(2,m-1) a(3,m-2) ... a(m-1,1)
(m-1)(m-1)+3 日目：m a(1,2) a(2,1) a(3,m-1) ... a(m-1,m-2)
．．．
m(m-1)+1 日目：m a(1,m-1) a(2,m-2) a(3,m-3) ... a(m-1,1)

要するに，縦方向のものを 0，1，2，...，m-2 ずつずらしてクルクル循環的に横方向に並べる感じです。

m-1 が素数の場合には，1，2，...，m-2 と m-1 が互いに素なので，うまく散らばって例を作れます。

しかし，m-1 が素数でない場合には，1，2，...，m-2 の中に m-1 と互いに素でないものがあり，
部分周期が発生しうまく例を作れません。
ただ，これはこの構成法が失敗するだけで，実例が存在するかしないかはよく分かっていません。

以上より，結局，一般に，

N = (m-1)a + 1 >= (m-1)m + 1，k = (a-1)m + 1 >= (m-1)m + 1

がいえ，特に，m-1 が素数の場合には，

N = k = (m-1)m + 1

になります。

m-1 が素数でない場合で不等式の等号が成立するかどうかは，実例が存在するかどうかにかかっています。

別掲載で，m = 6 と m = 5 の場合を載せておきます。
ネコの住む家　　 4月28日（月） 11:16:55　　 　　41745
uchinyan
#41745の例

m = 6，N = k = 31

01 02 03 04 05 06

01 07 08 09 10 11
01 12 13 14 15 16
01 17 18 19 20 21
01 22 23 24 25 26
01 27 28 29 30 31

02 07 12 17 22 27
02 08 13 18 23 28
02 09 14 19 24 29
02 10 15 20 25 30
02 11 16 21 26 31

03 07 13 19 25 31
03 08 14 20 26 27
03 09 15 21 22 28
03 10 16 17 23 29
03 11 12 18 24 30

04 07 14 21 23 30
04 08 15 17 24 31
04 09 16 18 25 27
04 10 12 19 26 28
04 11 13 20 22 29

05 07 15 18 26 29
05 08 16 19 22 30
05 09 12 20 23 31
05 10 13 21 24 27
05 11 14 17 25 28

06 07 16 20 24 28
06 08 12 21 25 29
06 09 13 17 26 30
06 10 14 18 22 31
06 11 15 19 23 27
ネコの住む家　　 4月27日（日） 14:55:36　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41746
Jママ

#41745
uchinyan さん、
立派な証明してくださりありがとうございます。
十分な証明になにが必要なのかすらよくは知らない私ですが、
じっくりと拝読して理解を深めようと思います。

#41743
#41744

さいと散さん、Mr.ダンディさん、
#41746 のuchinyanさんの挙げてくださった
m=6の例によれば、各列の中の最大の数を
ピックアップしておいて、小さい方から10個までかぞえると、
10個目は27になりますから、10日間のときは
少なくとも27人以下ということになりそうかな？
と思います。
でも、どの2人も1度、と、どの2人も1度以下、とでは
並び方が変わってくるようなので解の確定はまた
難しそうですね。
　　 4月27日（日） 15:40:49　　 　　41747
さいと散
#41745 、#41747、uchinyanさん、Jママさん　ありがとうございます。
＞10日間のときは 少なくとも27人以下・・・・これは分かりましたが
uchinyanさん証明は未だに理解出来ていません。m(__)m
　　 4月27日（日） 19:36:54　　 　　41748
あめい
このページの素晴らしいのは、こうしてみなさんがどんどん発展させていってくださるところですね。（半分くらいは私は理解できないのですが）わからない考え方に出会えるのも楽しいです。
今回の問題と関連ずけられる野かもわかっていませんが、３０年以上前（だったと思う）、少年マガジン（だったと思う）に”むつかしい問題（だったと思う）という特集が組まれていて、その中に「１６人の人が互いに全員と１回ずつ対戦する４人麻雀の組み合わせを作る」問題が含まれていました。（その数年前、立命館大学の１回生か２回生の試験に出た？）１３人なら#41749でuchinyanさんが作ってくださった表でOKなんですね。
お馬崎　　 4月27日（日） 20:49:45　　 　　41749
uchinyan
皆さん，ごめんなさい。
#41745の証明の一部に誤りがありました。

提示されている実例の構成法は，m-1 が素数の場合にだけ有効，です。
m-1 が素数でない場合は，部分周期が発生しうまくいきません。

お詫びして修正します。

後で，うまくいかない場合，m = 5，について示します。
ネコの住む家　　 4月28日（月） 11:12:27　　 　　41750
uchinyan
#41745のうまくいかない例

m = 5，m-1 = 4，N = k = 21

01 02 03 04 05

01 06 07 08 09
01 10 11 12 13
01 14 15 16 17
01 18 19 20 21

02 06 10 14 18
02 07 11 15 19
02 08 12 16 20
02 09 13 17 21

03 06 11 16 21
03 07 12 17 18
03 08 13 14 19
03 09 10 15 20 ：ここまでは問題なし

04 06 12 14 20 ：06 と 14，12 と 20，が再会
04 07 13 15 21 ：07 と 15，13 と 21，が再会
04 08 10 16 18 ：08 と 16，10 と 18，が再会
04 09 11 17 19 ：09 と 17，11 と 19，が再会

05 06 13 16 19 ：06 と 16，13 と 19，が再会
05 07 10 17 20 ：07 と 17，10 と 20，が再会
05 08 11 14 21 ：08 と 14，11 と 21，が再会
05 09 12 15 18 ：09 と 15，12 と 18，が再会

部分周期 2 が生じることが問題。

しかし，適当に入れ替えるなどすればうまくいくのかも知れません。
ちょっとやってみた範囲ではなかなかうまくいかないのですが。

いずれにせよ，一般的な構成法を見つけるか，少なくとも存在を証明しないと，
m-1 が素数でない場合には，N = k = (m-1)m + 1，かどうか，個別にチェックしないといけませんね。

何かうまい方法がないのかな。
ネコの住む家　　 4月28日（月） 13:05:45　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41751
Jママ
#41751
確かに、書き出してあったm=5の並びを見直したら、
被っている所が多数見つかりました(>_<)
何故気がつかなかったのか、申し訳ないですf(^_^;
思ったより複雑そうですが、こうした新たな発見って面白いですね。
　　 4月28日（月） 13:13:06　　 　　41752
Mr.ダンディ
今週はお休みなのですね。残念！
同じ様に思った人もおられる人もおられると思うので、暇つぶし用の問題を一題書いてみます。
気が向いたら考えてみてください。（皆さんには簡単すぎるかな・・・）

【問題】AB＝6　(cm)、AC＝4　(cm) である△ABCの辺BC上に∠CAD＝∠Bである点Dをとったとき
AD＝4.5 (cm)　になるという。DCの長さを求めてください。
　　 5月1日（木） 0:26:28　　 　　41753
ベルク・カッツェ
なんとなく見に来たらこんなところに問題が。
答えは円周率の小数第15位の数ですかね。
　　 5月1日（木） 1:48:28　　 　　41754
UFO
#41573
相似を使うとできました。
　　 5月1日（木） 7:53:47　　 　　41755
あめい
みなさん、私と同じように(問題への)禁断症状が・・・・・
私は、正解者一覧表にリンクを貼って下さっているみなさんのページを結構制覇(解けないものも多いので”見学”かな)してしまいました。見ていると、問題あり、研究あり、(同じくらいかもう少し上くらいの方の)お話あり、楽しませていただいてます。
　　 5月1日（木） 13:32:52　　 　　41756
Mr.ダンディ
#41755、#41754 UFOさん、ベルク・カッツェさん　取り組んでいただき有り難うございます。
暇つぶしにもならない　つまらない問題でした。m(_ _)m
△CDA∽△CAB　より　DC：4.5=4：6　で瞬殺ですね。
実は遠回りをして
△ABCの外接円とADのD側の延長線との交点をEとしたとき
∠CXDA=∠CBA=∠CAD　となり　CE=CA=4
△DCE∽△DAB　となるから　DC=4.5*（4/6)＝3
と考え、面白い解法！と一人合点していた「お粗末さ」でした。
（あらためて　マサルさんの卓越した能力を再認識した次第です）
　　 5月2日（金） 8:38:02　　 　　41757
小西孝一
お久しぶりです。小西です。
また参加したいとおもいます。
　　 5月4日（日） 6:17:30　　 　　41760
さいと散
#41751 uchinyanさん、m = 5，N = k = 21 をチェックしてみました。
1 ; ____1____2____3____4____5
2 ; ____1____6____7____8____9
3 ; ____1___10___11___12___13
4 ; ____1___14___15___16___17
5 ; ____1___18___19___20___21

6 ; ____2____6___10___14___18
7 ; ____2____7___11___15___19
8 ; ____2____8___12___16___20
9 ; ____2____9___13___17___21

10 ; ____3____6___11___16___21
11 ; ____3____7___10___17___20
12 ; ____3____8___13___14___19
13 ; ____3____9___12___15___18

14 ; ____4____6___12___17___19
15 ; ____4____7___13___16___18
16 ; ____4____8___10___15___21
17 ; ____4____9___11___14___20

18 ; ____5____6___13___15___20
19 ; ____5____7___12___14___21
20 ; ____5____8___11___17___18
21 ; ____5____9___10___16___19
規則性は有りそうですが良く分かりません。
　　 5月6日（火） 1:05:55　　 　　41761
uchinyan
#41761
おー，さいと散さん，実例をありがとうございます。

なかなかうまくいかなかったので半ばあきらめておりましたが，
確かにうまくいっているようです。
これで，m = 5，N = k = 21，は確定ですね。

となってくると，やはり一般に，N = k = (m-1)m + 1，なのかな，と思いたくなってきますが．．．(^^;
ネコの住む家　　 5月7日（水） 14:20:26　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41762