river_history
今回も結局数え上げです。これからまたルールを考えます。
　　 11月21日（木） 0:11:23　　 　　41122
abcba@baLLjugglermoka
マス目の線に平行な長方形が出来る場合は、2点を結ぶ一辺の組み合わせが重複している場合。

よって、マス目の線に平行な長方形が出来ない場合は、７×７のサイズでは7つの点から2つを選んだ場合なので、7C2=21通り。

一般にＮ×Ｍのサイズ(Ｎ＜Ｍ)では、マス目の線に平行な長方形ができない場合は、NC2＝Ｎ(Ｎ−1)/2通り。
　　 11月21日（木） 0:21:20　　 　　41123
ようせん
実際に点を打って考えました…が、この方法で21個見つけるには考えがまとまってないと厳しいですね
　　 11月21日（木） 0:27:08　　 　　41124
algebra
対角線上に ４＋６＋７＋３＋１＝２１
　　 11月21日（木） 0:29:09　　 　　41125
なお
3×3の升目のときは6。ここから出発して、2×2の升目を追加しながら考えて、1辺が(2n+1)のとき、n(n+11)/2。

　　 11月21日（木） 1:29:01　　 　　41126
数樂
問題の図を参考に解きました。
徳島　　 11月21日（木） 1:56:25　　 HomePage:数樂　　41127
巷の夢
これは問題の図がヒント・・・、これを使い、一転ずつ増やしていくと、４点で最大。即ち、２１点ですね。数楽さんと同じでした。
真白き富士の嶺　　 11月21日（木） 6:57:41　　 　　41128
ハラギャーテイ
おはようございます。こういう問題は苦手です。認証だよりでした。
山口　　 11月21日（木） 8:10:04　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　41129
今年から高齢者
マス目が将棋盤の10×10と勘違いしていました。7×7だった。
行・列共に2^n−1の場合には、n(2^n−1)となるのかな。今回はn=3で21。
n=1の場合は1×1で1個（長方形は作れませんが）。n=2の場合は3×3で6個。n=4の場合は15×15で60個。n>=5は未確認。
マス目を2つたてに並べて、2^(k-1)行(k=1,2,...,n)の左端から斜め右下方向へ黒石を並べる。所定のマス目をはみ出して下のマスに入った分は、上のマスに重ねる。
配列結果はalgebraさんと一緒ですね。
　　 11月21日（木） 17:04:31　　 　　41130
Ｊママ
おはようございます

(←この記事、後に多分誤りと判明しておりますm(__)m
#31136に記載)

最大個数置けるのはきれいな形、
この場合は中心に関して点対称のときかなと勝手にあたりをつけました。
長方形の3つの角に置いてよいので、
より密になるように、最小単位の正方形の3つの角が多く作れるように
対角線上に石を並べ下の図のように点対称に置きました。

┏┳┳┳┳◇●
┣╋╋╋◇●●
┣╋╋◇●●◇
┣◇●●●◇┫
◇●●◇╋╋┫
●●◇╋╋╋┫
●◇┻┻┻┻┛

●は置いた所、◇は置けない所。
あとは、法則と、点対称ということだけを守って置いてみたら
どれも21個置けました。
という、不確かな解法でしたが一度の解答で正解でラッキーでした。

理論的な解法を考えましたが今はまだ分からないです…
わかったらまた書きます
　　 11月22日（金） 1:46:24　　 　　41131
スモークマン
わたしも点対称というか、4x4の角を中心に回転させれば、長方形はできないから…
4x4の最大は位置を求めてみました ^^
oが石です…

xooo
oxxo
xxxo
oxox

これを回転したものは…3*4+2*4+1=21
4x4の最大配置がこれでいいかどうかが別問題にはなりますが…^^;
　　 11月21日（木） 10:24:33　　 　　41132
あめい
問題の図が１７点だったのでおそらく３，４点上だろうと全くの山勘でここに入れてしまいました。
その後も計算等で見つける方法を思いつかず、図に書き込んで確かめました。
こういう問題こそみなさんの考え方を見るのが楽しみです。
　　 11月21日（木） 10:31:18　　 　　41133
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うーむ，今回はよく分からず．．．

図の配置は 17 個で，条件を満たしているので，これを基に試行錯誤して 21 個ぐらいかなぁ，と認証，
という情けない解法でした。

よく分からないので掲示板を読んでみましたが，試行錯誤以外には，

#41123は 7C2 = (7 * 6)/2 = 21 個
#41126は 2n+1 のとき n(n+11)/2 で n = 3 では (3 * (3 + 11))/2 = (3 * 14)/2 = 21 個
#41126は 2^n - 1 のとき n(2^n - 1) で n = 3 では 3 * (2^3 - 1) = 3 * 7 = 21 個

うーむ，どれが正しいんだ．．．それとも他に正解がある？
ネコの住む家　　 11月21日（木） 13:51:02　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41134
けーすけ
一般化にトライしてみました。

横ｎ列、縦ｎ行の格子点のうち1行で
2箇所を選ぶ選び方は、
　nC2＝n(n-1)/2
通りで、これをなるべくｎ行で均等に分ける場合が
最も碁石を多く使うことになります。（証明省略）
　1行平均　(m-1)/2n個

各行にp個またはp+1個の碁石を配置するとすれば、
　pC2　≦　(n-1)/2　＜　(p+1)C2
　→　p(p-1) ≦ (n-1) ＜ p(p+1)
1/4を加えて因数分解すると、
　(p-1/2)＾2　≦　n-3/4　＜　(p+1/2)＾2
　→　ｐ　＝　Int{1/2＋√(n-3/4)}
となります。
（Int：小数点以下切り捨て）

各行p個の碁石で網羅出来ないパターン（碁石2個の組み合わせ）は、
　n(n-1)/2　-　np(p-1)/2
通りで、その差を埋めるため、1行1個ずつ碁石を増やしていきます。

碁石を1個増やす行数をq行とします。
1行の碁石をp個→（p+1）個に増やす場合、碁石2個の組み合わせは
p通り増えるので、
qは上記網羅出来ないパターン数をpで割った数になります。
（余り切り捨て）
　q　＝　Int{n(n-1)/(2p)-n(p-1)/2}

上記を用い、碁石の数の合計は、
　np+q
となります。

検証すると、
　n 　p 　q 碁石の数
　 3 2 0 6
4 2 1 9
5 2 2 12
6 2 4 16
7 3 0 21
8 3 1 25
・・・・
　100 10 45 1045
　　 11月21日（木） 20:46:31　　 　　41135
Ｊママ
こんばんは。

#41131
私の書き込みですが、
点対称では20個にしかならないような気がするので
まぐれ当たりということになりますでしょうか…(笑)

きれいな形と思ったまではよかったですが
対角線に関して線対称にするのが分かりやすいみたいです。

●┳●┳┳┳●
┣●╋╋╋●●
●╋╋╋●●┫
┣╋╋●●╋●
┣╋●●╋●┫
┣●●╋●╋┫
●●┻●┻┻┛

という感じです。既出のお答えでしたね(^_^;)
この形で周囲に一升巡らせて…と一般化は私は苦戦中…。
最大個数が合っているのか分からないですし…

コンピューター屋さんに正解を教えて貰いたいですね。
けーすけさんの解法、難しそうですが理解できるよう努めてみます。

　　 11月22日（金） 1:41:31　　 　　41136
pao
時間が無く雑になりますが、一般化ならこの辺りがヒントなのかと思います。Jママさんのをヒントに考えてみました。
マス１　２＋１＝３
マス２　３＋２＋１＝６
マス３　４＋３＋２＝９
マス４　５＋４＋３＝１２
マス５　６＋５＋４＋１＝１６
マス６　７＋６＋５＋２＋１＝２１
このあたりにあるようですね。
時間があるときに検証してみたくなりました＾＾
　　 11月22日（金） 9:29:38　　 　　41137
uchinyan
#41135，#41136，#41137
一般化へのアプローチ，ありがとうございます。

私自身は，昨日の時点で，#41136，#41137と同じような考え方で次の図を得ていました。

o o x x x o x
x o o x x x o
o x o o x x x
x o x o o x x
x x o x o o x
x x x o x o o
o x x x o x o

多分，大丈夫だと思いますが．．．
他の場合も同様のアプローチで#41137の式が出て来ることは確認していました。
つまり，n * n として，大体，最初は，
n + (n-1) + (n-2) + …
なのですが，「…」のところが微妙に変わって抜けたり欠けたりしてくるのですが，その規則性が分からない，
ということです。

一方，#41135は，少し概算っぽい表現が気になりますが，少し違うアプローチで取り組んでいるようなので，
時間を見つけて読んでみますね。
ネコの住む家　　 11月22日（金） 12:51:39　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41138
今年から高齢者
#41130の配置方法は、置いた石で長方形ができないこと、空いている位置には石が置けないと言う方法であって、最大数の保証にはなっていませんでした。
マス目が3,7の場合に一致したにすぎないようです。
お騒がせしました。

　　 11月22日（金） 13:25:32　　 　　41139
スモークマン
わたしのもおかしかったようで…いい加減なことの書き込みですみません...^^; Orz〜

#41137 paoさんの数値でれいの数列大辞典に入力したらば…見事にヒット☆

A072567 Size of maximal set of points in an n X n (side length) grid such that no 4-set of it forms a rectangle with horizontal/vertical sides.

1, 3, 6, 9, 12, 16, 21, 24, 29, 34, 39, 45, 52 までしかなく…?

このことだと思いますが…しかも一般式もない模様…?
　　 11月22日（金） 18:10:40　　 　　41140
Ｊママ
こんばんは。
皆様の考察を私なりにまとめてみました。
ご指摘歓迎いたします☆
大きな図で失礼しますm(__)m

：‥‥●┳┳┳●┳┳┳●┳‥‥┳●┳┳┳●┳●
：‥‥╋╋╋●╋╋╋●╋╋‥‥●╋╋╋●╋●●
：‥‥╋╋●╋╋╋●╋╋╋‥‥╋╋╋●╋●●┫
：‥‥╋●╋╋╋●╋╋╋●‥‥╋╋●╋●●╋┫
：‥‥●╋╋╋●╋╋╋●╋‥‥╋●╋●●╋╋┫
：‥‥╋╋╋●╋╋╋●╋╋‥‥●╋●●╋╋╋●
：‥‥╋╋●╋╋╋●╋╋╋‥‥╋●●╋╋╋●┫
：‥‥╋●╋╋╋●╋╋╋●‥‥●●╋╋╋●╋┫
：‥‥●╋╋╋●╋╋╋●╋‥‥●╋╋╋●╋╋┫
：‥‥╋╋╋●╋╋╋●╋╋‥‥╋╋╋●╋╋╋●
：‥‥：：：：：：：：：：‥‥：：：：：：：：
：‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥：：：：：：：：
：：：：：：：：：：：：：‥‥：：：：：：：：
：：：：：：：：：：：：：‥‥：：：：：：：：
●╋╋╋●╋●●╋╋╋●‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥：
┣╋╋●╋●●╋╋╋●╋‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥：
┣╋●╋●●╋╋╋●╋╋‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥：
┣●╋●●╋╋╋●╋╋╋‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥：
●╋●●╋╋╋●╋╋╋●‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥：
┣●●╋╋╋●╋╋╋●╋‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥：
●●┻┻┻●┻┻┻●┻┻‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥：

こんな感じの繰り返しではないでしょうか？
(うち間違いご容赦ください)
すると、nから引き算できる限り、
n＋(n-1)＋(n-2)＋(n-5)＋(n-6)＋(n-9)＋(n-10)＋(n-13)＋(n-14)＋‥‥
を計算したものが、升目(n-1)個のときの最大個数かもしれない？

巨大になってほんとすみません…m(__)m
　　 11月22日（金） 19:05:23　　 　　41141
Ｊママ
#41140

スモークマンさんの数列と微妙にずれてるような…
差が4でなく3ずつなのでしょうか…？
皆さん頑張ってクリアしてください！p(^-^)q

追記：わかりました！(>_<)
　　　4つおきにずっと繰り返すと5×5の四角が沢山できてしまうことに今きがつきました。
　　　凡ミスでした。でかでかと失礼しました。
　　　uchinyanさんはもうきっとこの事には気がついてらして
　　　規則が見つからないとおっしゃっていたのですね。
　　 11月22日（金） 19:19:30　　 　　41142
fumio
おはようございます。
面白かったです。ではでは。
　　 11月23日（土） 6:03:29　　 　　41143
Ｊママ
おはようございます。
朝の方が頭が働きます…。連投すみません。
撒いた種を回収中…(>_<)　失敗から少しだけ学びました。
加筆訂正随時。

　　　　┌A1─┐┌A2─┐┌─
　●┳●┳‥┳●┳‥┳●┳‥‥
　●●╋●‥‥‥●‥‥‥●‥‥
┌┣●●╋●‥‥‥●‥‥‥●‥
a1┣╋●●╋●‥‥‥●‥‥‥●
│：：：：：：
└●╋：：：：
┌┣●：：：：
a2┣╋●：：：
│：：：：：：
└●╋：：：：
┌┣●：：：：
│┣╋●：：：
：：：：：：：

対角線nと隣の(n-1)、反対隣の(n-2)は固定して、
図のように横方向に石を置く間隔を順にA1, A2, …(個)
縦方向に置く間隔をa1, a2…(個)とします。
(A1＜A2＜A3…, a1＜a2＜a3…と言いたい所ですが
nで切れてしまうとき、間隔をより大きくとらなくても
長方形ができないときがあるかもしれないです)

この場合、a1=4(a1＜A1)と固定するか、
A1=4(A1＜a1)と固定する場合で、より大きい方の個数が
最大となる答えになると思われます。(←定かではないが仮定)

その際、縦横の差が同じになると長方形が
できてしまうため、以下の条件を満たします。
n≧8で
A1からA_kまでの和±(いくつか)≠a1からa_mまでの和
(但し、k, mは任意)
すみません、初めは1と3と…等と思ったのですが
いくつか考えれば考えるほど
nの大きさにもよることになるような気がして
これ、と断言できなくなってしまいました(T_T)
さらに
a_pからa_qまでの和≠A_rからA_sまでの和
(p＜q, r＜sですべて任意)
となる気がします。
但しこの場合できる長方形がn×nのなかに収まるときのみ。
(複雑すぎてお手上げ(*_*))

不等号が等号になってしまうときは
1段外側の斜め線を選びます。(当たり前？ですが)

因みに
n=6ではa1=4で16個
n=7ではA1=4で21個
n=8ではA1=4, a1=6で24個
n=9ではa1=4, A1=6で29個
n=10ではa1=4, A1=6で34個
n=11ではA1=4, a1=6で39個
と固定したものが答えになっていたと思います。
一般解どころかnが大きくなると、かなーりややこしくなりそうですね。

結局あまり進歩してないです。
おわかりのとおりそそっかしいので、おかしいところだらけかとは思います。
バシバシ突っ込んでくださいませ…。
　　 11月23日（土） 14:33:48　　 　　41144
ばち丸
おひさしぶりです。
対角線に並べてそれと平行に何本引けるか書いてみました
　　 11月23日（土） 10:48:55　　 　　41145
uchinyan
いろいろと進みましたね。しかし，難問であることがより明確になった感じかなぁ。

#41135
けーすけさん，一応理解できたと思います。これで「ある程度」は正しそうな値が得られそうですね。
しかし，やはり概算の計算であり，またその個数のパターンが得られる保証はないので，
「ある程度」でしかないようです。
実際，n = 8 のとき 25 個になりますが，いろいろやってみても 24 個のパターンしか見つかりませんでした。
どうしたものか，と思っていたのですが．．．

#41140
スモークマンさん，検索及び情報提供をありがとうございます。
おっしゃるように，どうやらこれで間違いないようですね。
ということは，やはり，n = 8 は 24 個のようですね。

#41141，#41142
Ｊママさん，そう，私も何らかの規則性が比較的容易に見つかるのではないか，と思ったのですが，
２次元なので意外なところに長方形ができていたりして，そう簡単ではないようです。

#41144
こちらは，後で時間を見つけて読んでみますね。

いずれにぜよ，所詮，単純なルールなので，注意深く調べれば何らかの規則性は見つかりそうな気もするのですが．．．

ただし，このアプローチでのパターンが最大個数を与える，ということは，別途，証明する必要があります。

最初の n * n の対角線上の並びは，どの行にもどの列にも碁石が一つしかない最大個数の並びです。
そこで，これに一つ碁石を追加すると，辺がマス目を描く直線と平行な長方形の半分が得られます。
こうして長方形にならないように順次碁石を置いていくのがこのアプローチの本質なのですが，
いつかは別なところに長方形が現れるので難しいわけです，
それと，出発点の，どの行にもどの列にも碁石が一つしかない最大個数の並び，は，対角線だけではありません。
このアプローチを取る以上は，違う出発点の並びでも同じような規則氏があって？，結局は同じ個数以下が得られる，
ということを示す必要があります。
もっともこれは，考えてはいませんが，行や列の入れ替えで何とかなるのかも知れません。

まぁ，当面はこのことは後てもよく，対角線から始めるアプローチで何か分からないのかなぁ．．．
もっとも目から鱗の解法があればうれしいのですが，スモークマンさんの情報からすると，どちらも難しそうですね。
ネコの住む家　　 11月23日（土） 14:13:51　　 　　41146
ma-mu-ta
皆さんの書き込みで、規則性が気になったのでいくつか描いてみました。
だめなところにチェックを入れては次に多く取れる斜めの並びに○を置くということを繰り返してできた図です。

https://dl.dropboxusercontent.com/u/12482898/challe864-2.png

Jママさんに合わせて、正方形の対角線上の格子点の個数をnとしています。
n＝2　2＋1＝3
n＝3　3＋2＋1＝6
n＝4　4＋3＋2＝9
n＝5　5＋4＋3＝12
n＝6　6＋5＋4＋1＝16
n＝7　7＋6＋5＋2＋1＝21
n＝8　8＋7＋6＋3＝24
n＝9　9＋8＋7＋4＋1＝29
n＝10　10＋9＋8＋5＋2＝34
n＝11　11＋10＋9＋6＋3＝39
n＝12　12＋11＋10＋7＋4＋1＝45
n＝13　13＋12＋11＋8＋5＋2＋1＝52
n＝14　14＋13＋12＋9＋6＋1＝55

結果的にJママさんの図と同じようなことになりましたが、A1＝6，a1＝4で固定した方がいいように思います。
（仰るように n＝8，n＝11で A1＝4，a1＝6 とすると、6×7や7×6の長方形ができます。）
そうすると、n＝3，6，9で新たな斜めの列が加わって規則的に増えていきますが、
n＝7，n＝13では変則的に右上の角に1個○がつくことになります。　
ここいらがすっきりとした規則性にならないところでしょう。

uchinyanさんが仰るように、規則性の発見と最大個数の証明は別問題で、これも難しい。。。
スモークマンさんご紹介の整数列大辞典には、a(7)はMathematical Gems III （MAA刊行）に
パズルとして紹介（提示）されたとありますが、それも宜なるかな、です。

（追記）n＝14の57は間違っているようです。
今時間がないので、遅くなるかもしれませんが後でやり直してみます。
（追記2）　n＝14は55のようです。上の記載を訂正させていただきました。
n＝12，13，14の左下隅の部分に(＋1)，(＋2)，(＋1)が変則的に出てくるようです。
整数列大辞典に記載されている数列がn＝13で終わっているのはこの変則性の故であろうかと思います。
　　 11月24日（日） 2:51:42　　 　　41147
Ｊママ
#41147

ma-mu-taさん、なんと分かりやすく直してくださって感激です。
すっきり美しいですね。
あとはほぼ変則の法則を紐解くだけでしょうか…？
nが大きな数のとき、
(a_pからa_qまでの和)=(A_rからA_sまでの和)
となりかつn×nの中に長方形ができてしまうのを排除するケースが
あり得るのかどうかが気になるのですが、お分かりになりますか？
皆様のレベルの高さに
は感服するばかりです！
　　 11月23日（土） 22:22:20　　 　　41148
けーすけ
#41146

uchinyanさん、拙い考察を検証頂き、ありがとうございました。
（『一般化にトライ』に失敗した格好です。）
理屈上の最大値は出せても、実際にそれを満たす解が無いことも
ありえるとは思っていましたが、
n=8で早くも出るとは、お恥ずかしいです。
(25個の解が無いことは証明できました。)

算チャレはほんとにいつも多彩な問題が出て感服します。
奈良県　　 11月23日（土） 22:29:06　　 　　41150
Ｊママ

こんばんは。

nが十分に大きな数のとき、どうなるのか少し考えました。
斜線の幅に同じものが見つかると、長方形ができてしまうので、
#41144　で申し上げた、図のA1, A2, …とa1, a2…を開いて、
一本の数直線として考えます。便宜上対角線の位置を置いて、
その右側の2をA0、左側の1をa0とします。
左右どちらから、また、単純に交互においていけばよいのか
わからないですが、下のような感じだとどうでしょうか…。
１から順に数直線の2つの目盛りのあいだの長さが
重ならないように埋めていく。
　　　　a3　　　　　a2　　　a1　a0　A0　　A1　　　　A2　　　　A3
─╂─────╂─────╂──╂╂─╂───╂─────╂──────╂
　　└─16─┘　└─10─┘└4─┘1↑2　└─6┘└──12─┘　└──22─┘
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ↑
　　　　　　　　　　　　　　　　　対角線

例えば、長さ11が見当たらないのでA2に置こうとすると
a2+a1+a0+A0=10+4+1+2=17=6+11=A1+(A2)
なので、11は除いてA2は12とする。
同様に19もA3に置こうとするが
a3+a2+a1+a0=16+10+4+1=31=12+19=A2+(A3)
となるので、代わりに22を置く。

こんな風にして位置を決めるのではないかと…
ここにn×nで仕切られることで隅の方に変則パターンが
生じてくるのではないかと推測しました。
ここが難しい所なのですね、多分…
nが無限の話に近いので、あまり役に立ちませんが…
余談としてm(__)m

追記・対角線の位置を1として左右へと数直線の目盛りを
　　　拾っていくと、石を置くのが何列目かという数に
　　　そのまま対応します。
　　　
　　 11月24日（日） 8:06:30　　 　　41151
Ｊママ
変則的な部分について検証してみました。

n=7前後では既出の通りなのですが
n=13付近では少し様子が違うようです。

碁盤の右上の角と、左下の角だけ表すと、
　　　
　 　　　　　　11 12 13　　　
　　　　　　　　┳┳●←n=13のみ　　
　　　　　　　　　╋┫　　　　　
　　　　　　　　　　┫　　　　

　
　　　12●　←n=12, 13のみ
　　　13┣●←n=13, 14のみ
　　　14┣╋╋
　　　15┗┻┻┻

となり、これまでとまた変わったかたちになりました。
(と思います。(^^;))
下の投稿のA1、a1の値と位置が関係していました。
nが大きくなると、多分さらにA2, A3,…、a2, a3, …
と順番に関係してきて、その大きさや配置によって
変則部分が都度異なるものになる可能性を感じました。

もし今までの話がある程度合っていれば、
一般式をたてるのはほぼ不可能かもしれないけれど
規則は理解できるかも…。

念のため補足、最大？個数Cnは
C13=52、C14=55、C15=59、C16=65、C17=71
と私はなりましたがミスは覚悟です…m(__)m

フォローしてくださる方がいらっしゃると心強いですm(__)m

追記・ma-mu-ta さんの投稿にも似たようなことが追記してありますね。
　　　中味が少しだけ違っていそうなのでこちらは当てにしないでください(^^;
　　　
追記・数値と図を訂正しましたm(__)m
　　　複雑です…でももっともっと慎重に調べたら
　　　どこかに辿り着けるのかも…
　　 11月24日（日） 21:19:39　　 　　41152
さいと散
プログラムでＪママさんの#41144の方法をやってみました。n=20まで、
1, 3, 6, 9, 12, 16, 21, 24, 29, 34, 39, 45, 52, 54, 59, 65, 71, 77, 84, 91,
の様になりました。n=14は54になるようですが？
けーすけさん#41135の最大値との差も結構大きいですね。
　　 11月24日（日） 22:45:17　　 　　41153
Ｊママ
こんばんは

連投に次ぐ連投すみません…m(__)m
細かい間違いはあるかと思いますが、
n=16のときの左下の角から、右下へ斜め線が続きそうです。
3つしか確認できていませんが…
結果、a2=10であるとしたら、#41151の数直線と同じにはなりました。
変則に現れた点(補助点？)ができる因果関係を
探ってはいますが、表面的理解にとどまっております。

フォロー感謝申し上げます。
難しいです。

追記・
#41154
さいと散さん、
ありがとうございます！
n=14アナログでさっと見直した中では未解決ですが
助かりました！
感謝申し上げますm(__)m
　　 11月24日（日） 23:18:06　　 　　41154
Ｊママ
こんにちは。

図で説明した方が解り良いと思うのですが…
私なりの結果がでました。
消えない平行な一般線が連なっていて、
その間に短い特殊な線が右上と左下の隅に現れては消えていく形だと思います。
nが無限大になると、#41151　の数直線の目盛りからの一般線のみになる訳です。

以下具体的に
…

すべて数直線のA(k), a(k)を元にしてます。A ,aについては#41144 に基づいています。
まず対角線が引けます。
次に、X(k)=Σ{m=0to(k-1)}A(m)、Y(k)=Σ{m=0to(k-1)}a(m)とすると
X(k)≦n, Y(k')≦nとなるX1, X2, …X(k)列目、Y1, Y2, …Y(k')行目から
対角線と平行な線が引けます。(左上の角を0行0列とみた場合)

次に特殊な線について。
任意のX(p)をとると、X(p)からX(p+1)のA(p)個の間で
n=X(p)+a(m) 列目(m=1からpまでのすべて)から、
nが1つずつ増すにつれ1つずつ、a(m-1)個、
対角線らと平行に現れ、それぞれの点は
nがΣ{z=0to(m-1)}a(z) 回、連続してから1つずつ消えていく。
簡単にいうとX(p)からX(p+1)の間のA(p)個のなかに
p箇所、特殊な線が現れ、
各々の線は端から徐々に現れては端から消えていくということです。

以下の一部には推測が含まれています。
X(p)+a(p)≦n＜X(p+1) について、
すなわちp箇所目の特殊な線については、
X(p)+a(p) 列から1つずつA(p)-a(p) 個現れ、
n=X(p+1)のときに全て消える。
すなわちn×nで現れた点はnがX(p+1)-n 回連続してから消える。
但し、A(p)-a(p)＞Σ{z=0top}a(z)の場合があったら、
n×nで発生した点は、Σ{z=0top}a(z) 回連続してから1つずつ消えていく。

今度はy軸方向へも任意のY(p)をとり、
A(m)とa(m)の大小関係に留意しながら
同様にして考えられます。
…

文章では何が何だかわからないですよね(>_<)
細かな誤りや、新たにルールが発生したりが
あるかもしれませんが、
いずれにしろここから最大個数を導くのは至難の技ですね(T_T)

それこそ眼から鱗的な解法をどなたか見つけてくださいませ(^^;

追記・少しだけですが本文を補足しました。
　　　ご理解の助けとなりましたら幸いです。
　　 11月26日（火） 1:11:30　　 　　41155
uchinyan
さいと散さん，プログラムでのチェック，ありがとうございます。

Ｊママさん，詳細な調査及び検討をありがとうございます。そして，ご苦労様です。
正直言って，申し訳ない，追い切れていないのですが，やはり何らかの規則性はある，ということですね。
ただ，確かにこれから最大個数を導くのは大変そうです。

結局のところ，かなりの難問，ということでしょうか。
ネコの住む家　　 11月25日（月） 13:23:14　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41156
Ｊママ
uchinyan さん

正しいのかわからない結果をだしたことより、ねぎらいのお言葉が一番うれしいです。

数直線の目盛り自体を一般化するのが難しそうなのに
それを元にした私の検討結果では到底個数まで辿り着けません。

こんなに長時間ひとつの課題に取り組んだのは
いつ以来でしょうか…
次回までマッタリと過ごします(*^^*)

　　 11月25日（月） 15:28:24　　 　　41157