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CRYING DOLPHIN |
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諸事情でPCをXPからwindows8に変更…しかしあまりの操作性の違いもありまだ慣れてない(
ていうか設定のし直しにまだ戸惑っており、FTPの設定すら終わってないという… (個人的な宣伝で申し訳ないですが、自サイトの出題は1か月くらい延期かと) 今回の問題、今年の算オリ決勝、ならびにH12高知学芸で出た図形と同じ形ですね。 (もっとも、算オリも入試問題も角度ではなく面積を求める問題でしたが) ちょっと無理やりですが、正八角形の等積変形で考えました。 (直角二等辺三角形の斜辺を固定して等積変形した三角形が問題図) |
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誰もいない市街地
10月3日（木） 0:15:03
HomePage:ブログもある 40951 |
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長野 美光 |
| 45°でもええんちゃうかな？ |
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はままつ
10月3日（木） 0:19:02
HomePage:ヨッシーの算数・数学の部屋 40952 |
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kasama |
| (~ヘ~;)ウーン、解が２つあるような。。。 |
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湘南
10月3日（木） 0:19:59
40953 |
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kasama |
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#40952
私もそう思います。２つ解を出して正解では？ |
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湘南
10月3日（木） 0:21:01
40954 |
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AD１６４の息子 |
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ＡＢで折り返してみて、可能性のありそうな角度から逆算で答を見つけました。これを「帰納法」といえるのかは疑問ですが。
２３：５０に帰宅して久々に０時台に解答しましたが、今日は泥酔はしていませんが酒気帯び状態、明朝以降に「演繹的」に考え直してみたいと思います。 |
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10月3日（木） 0:21:21
40955 |
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拓パパ |
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何故か100/4=25と回答して、ぼーっとしてました（笑）．
ホントだぁ、45°でも題意は満たしているような・・・ |
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10月3日（木） 0:22:44
40956 |
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マサル |
| しまった、「∠Cは鈍角」という条件を書き忘れてしまいました....orz |
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iMac
10月3日（木） 0:29:11
HomePage:算チャレ 40957 |
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ＡＤ１６４の息子 |
| メールの投稿準備している間に皆さんから複数書き込みありましたが確かに４５度もＯＫのような・・・ とりあえずもう一杯い○ちこ飲んでしまったので明朝考えます。 |
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10月3日（木） 0:30:19
40958 |
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マサル |
| 取り急ぎ、条件を追加して修正いたしました。m(__)m |
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iMac
10月3日（木） 0:36:30
HomePage:算チャレ 40959 |
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みかん |
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Ａを通るＢＣに平行な線を引き、ＡからＢＣの延長に向かって垂線を下ろす。
そうするとなんとなく直角を４等分しているのかな〜って感じですが、結局はカンです。スミマセン。 試験では角度が小数になることはほとんどなかったように思うのですが、 意外と出題されているのでしょうか？ |
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10月3日（木） 0:38:05
40960 |
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スモークマン |
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やっとこさぁ...^^;
Aを中心にしてBを通る円を考え... ACと円との交点をC'とすると... 三平方の定理から...BC'=6 とわかり... △BCC'は二等辺三角形... △ABC'も二等辺三角形... 180=(2*3+2)θ θ=180/8=22.5° ♪ もっとスマートな解法があるに違いないのよね？ |
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10月3日（木） 1:08:57
40961 |
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スモークマン |
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今気付いたけど...^^;
高さが3だから...BAを伸ばした直径とBCを伸ばした円との線分は直角なので...そこから6cmとわかりますね ^^ 図的には、対称なので...BC'=6 ↓ |
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10月3日（木） 1:14:20
40962 |
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ようせん |
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解いたときは勘です(´Д` )
http://uploda.cc/img/img524c500f42b76.jpg この図だと長さ関係なく45/4°が求まりますが、何か間違ってますかね(´Д` ) |
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10月3日（木） 1:58:03
40963 |
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ようせん |
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あ、角BC'Aが直角っていう保証がないのか
しかも45/2°の間違いです^^; |
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日本
10月3日（木） 2:44:36
40964 |
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Jママ |
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Aの角の２等分線をBCに下ろした足をD,
AからBCの延長線上に下ろした垂線の足をEとすると AE=3。∠B=●, ∠CAE=▲とする。 ∠ADC=●●, ∠ACE=●●●である。 ACを延長して△ABC'が二等辺三角形となるようにし、 ADの延長線とBC'の交点をD'とすると △ADE≡△BDD'≡△C'DD' よりBC'=2×BD'=2=BCとなり △BCC'は二等辺三角形であることがわかる。 合同な角を比較すると ∠BCC'=∠ACE=●●● ∠BC'C=∠ABC'=●●▲ この2つが同じなので▲=●=∠R/4=22.5゜ |
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10月3日（木） 2:22:07
40965 |
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ＡＤ１６４の息子 |
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おはようございます。
酔っ払って解くとやはり非論理的というか、再現できないというか・・・ 手元のメモでは、ＡからＢＣの延長に垂線を下ろし足をＰとする 次にＡＢで折り返してＣ’とＰ’を取り、ＣＣ’を引く。 そしてまず赤丸＝１５度で三角関数を含めいろいろ計算し、赤丸＝３０度で いろいろ計算（これはすぐ違うと判断）、次に２２．５度で計算したらつじつまが合うという求め方をしてますが・・・ 非論理的ですね。お恥ずかしい、ご放念ください。 |
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10月3日（木） 5:52:22
40966 |
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ハラギャーテイ |
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おはようございます。Mathematicaです。解がたくさん出て
苦労しました。 |
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山口
10月3日（木） 7:21:47
HomePage:制御工学にチャレンジ 40967 |
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巷の夢 |
| ∠Bをβとし、線分ACをｘとします。△ABCに正弦定理を使い、6/sin2β=x/sinβ,これよりcosβ=3/x.ところで、Aから線分BCに垂線をおろし、その交点をDとすると、∠CAD=βとなる。∠ACD=3βであるから、4β=90°。因って、β=22.5° |
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真白き富士の嶺
10月3日（木） 8:34:30
40968 |
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ペルソナ |
| わりかしいい問題でした |
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10月3日（木） 10:33:19
40969 |
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tk |
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△ABCをBCを軸に折り返し、Aの対称点をA’とする。
BA’と＜Aの二等分線との交点をD,BA’とACの延長線との交点をC’、BCの延長とAA'の交点をEとする。 △ABC≡△BAD→AD=6、→△ADA’は二等辺三角形、故に＜AA’B=<ADA’=当該角*3、また＜ACE=当該角*3 故に△AEC∽AA'C'、→AC'は＜DAA'の二等分線。 |
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10月3日（木） 12:05:16
40970 |
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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
最初問題を見たときは思わず三角関数を使ってしまいましたが，算数で考え直してこんな感じ。 面積の使い方に少し考えました。 A から BC に垂線を下ろすと，∠C = ∠ACB > 90°なので，その足は BC の延長上にあります。これを H とします。 さらに，B から ∠BAC の二等分線に垂線を下ろしその足を D，BD，AC それぞれの延長の交点を E，とします。 まず，△ABC = BC * AH * 1/2 = 9 cm^2，BC = 6 cm，より，AH = 3 cm，です。 次に，角度の関係などから，△BAH，△ABD，△AED は合同で，BD = ED = AH = 3 cm，です。 そこで，BE = BD + ED = 6 cm = BC となり，△BCE は二等辺三角形， ∠BCE = ∠BEC = ∠AED = ∠ABD = ∠BAH = 90°- ∠ABH = 90°- ∠ABC，です。 一方で，∠BCE = ∠ABC + ∠BAC = ∠ABC + ∠ABC * 2 = ∠ABC * 3，なので， ∠ABC * 3 = ∠BCE = 90°- ∠ABC，∠ABC * 4 = 90°，∠B = ∠ABC = 90°/4 = 45°/2 = 22.5° になります。 ちなみに， ∠C = 90°のときは，解なし， ∠C < 90°のときは，E = C，D は BC の中点，となり，∠B = 45°， ですね。 |
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ネコの住む家
10月3日（木） 12:49:58
40971 |
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uchinyan |
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掲示板を読みました。
今回は少し難しかったようで，皆さん，いろいろと工夫されているようです。 #40951 ＞ちょっと無理やりですが、正八角形の等積変形で考えました。 ＞(直角二等辺三角形の斜辺を固定して等積変形した三角形が問題図) という解法。まぁ，知っているからできる，という感じもする解法かなぁ．．．(^^; #40961 ＞Aを中心にしてBを通る円を考え... ＞ACと円との交点をC'とすると... ＋#40962 ＞高さが3だから...BAを伸ばした直径とBCを伸ばした円との線分は直角なので...そこから6cmとわかりますね ^^ ＞図的には、対称なので...BC'=6 という解法。アプローチは少し違うものの，実質，#40971と同じかな。 #40965 ＞Aの角の２等分線をBCに下ろした足をD, ＞AからBCの延長線上に下ろした垂線の足をEとすると ＞．．． ＞ACを延長して△ABC'が二等辺三角形となるようにし、 ＞ADの延長線とBC'の交点をD'とすると として考える解法。アプローチは少し違うものの，実質，#40971と同じかな。 #40970 ＞△ABCをBCを軸に折り返し、Aの対称点をA’とする。 ＞BA’と＜Aの二等分線との交点をD,BA’とACの延長線との交点をC’、BCの延長とAA'の交点をEとする。 として考える解法。 ちょっとよく分からないのですが，∠BAE = ∠BAA' = ∠BA'A = ∠AA'B = ∠B * 3，を使った方が早い？ #40971 ＞A から BC に垂線を下ろすと，∠C = ∠ACB > 90°なので，その足は BC の延長上にあります。これを H とします。 ＞さらに，B から ∠BAC の二等分線に垂線を下ろしその足を D，BD，AC それぞれの延長の交点を E，とします。 として考える解法。 #40967，#40968 数学による解法。 #40955，#40960，#40963 いろいろ調べて＋勘による解法？ (^^; |
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ネコの住む家
10月3日（木） 13:55:30
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 40972 |
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ゴンとも |
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座標にB(0,0),A(a,3),C(6,0)とおくと余弦定理より
(6-a)^2+9=a^2+9+36-2*sqrt(a^2+9)*sqrt(a^2-12*a+45)*cos(∠ABC) cos(∠ABC)=a/sqrt(a^2+9) cos(2*∠ABC)=(a^2-6*a+9)/(sqrt(a^2+9)*sqrt(a^2-12*a+45)) cos(2*∠ABC)=2*cos(∠ABC)^2-1 より (a^2-6*a+9)/(sqrt(a^2+9)*sqrt(a^2-12*a+45))=(a^2-9)/(a^2+9) (a^2-6*a+9)*(a^2+9)=(a^2-9)*sqrt(a^2+9)*sqrt(a^2-12*a+45) ここで xmaxima で solve((a^2-6*a+9)^2*(a^2+9)^2-((a^2-9)*sqrt(a^2+9)*sqrt(a^2-12*a+45))^2,a)$ a:rhs(part(%,2))$ expand(a^2+9)$ sqrt(%)$ factor(a/%);(sqrt(2)+1)/(sqrt(2)*sqrt(2+sqrt(2)))=sqrt(2+sqrt(2))/2=cos(∠ABC) ∠ABC=45/2度・・・・・・(答え) |
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10月3日（木） 14:02:22
MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 40973 |
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通りすがり |
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#40973
sqrt(2+sqrt(2))/2=cos(∠ABC)から∠ABC=45/2度はどうやって導出したのかなぁ〜 sqrt(2+sqrt(2))/2≒0.9238・・・ cos(45/2゜)≒0.9238・・・ で大体同じだから？ |
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10月3日（木） 15:22:46
40974 |
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ゴンとも |
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#40974
半角の公式で cos(45/2度)^2=(1+cos(45度))/2=factor((1+sqrt(2)/2)/2)=(sqrt(2)+1)/2^(3/4)=(2+sqrt(2))/4 cos(45/2)=sqrt(2+sqrt(2))/2 で全く同じ! |
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10月3日（木） 17:15:28
40976 |
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ゴンとも |
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#40976
>(sqrt(2)+1)/2^(3/4) 冪のところがケアレスミス (sqrt(2)+1)/2^(3/2) |
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豊川市
10月3日（木） 17:20:36
40977 |
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おサラミ |
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∠BA'C=90°となる三角形A'BCをベースに考える。
∠A'BCの二等分線と、点A'を通るBCに平行な線の交点をOとし、半直線BA'上に点Dをとるをとると、 A'O//BCよりA'Oは∠DA'Oの二等分線。 よって点Oは三角形A'BCの傍接円の中心であり、∠OCA'=(180-45)/2=75° ∠OBC=22.5°、∠BCO=112.5°、∠BOC=45°より三角形OBCは問題文の条件を満たし、点Oは点Aに一致。 |
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10月3日（木） 21:02:08
40978 |
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あめい |
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むつかしかったです。
今回は何となく・・・で試したら入れてしまいました。 しかし、今回の問題、シンプルで美しいですね。 こういう問題大好きです。 |
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10月3日（木） 21:33:12
40979 |
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P |
| 同じ図形ですが、第 274 回より難しいと思いました。 |
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10月4日（金） 14:36:57
40980 |
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マサル |
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#40980
あ、本当だ！同じ図形だ...。（チェックしたのに...まぁ、同じ問題ではなくてよかったです） |
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iMac
10月4日（金） 15:26:28
HomePage:算チャレ 40981 |
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abcba@baLLjugglermoka |
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算数的解法：
��ABCをBCを軸に折り返して、Aに対応する点をA'とする。ここからAA'=6となる。��ABC≡��DAA'となるように、BA'の延長線上にDをとると、��ABDはAB=ADの二等辺三角形になる。 角度の関係から、7×∠ABC+∠A'AC=180°、3×∠ABC+∠A'AC=90°より、 4×∠ABC=90°となり、∠ABC=22.5° 多分、他の方の解法とかぶってはいないと思うのですが..... パズル的解法：算数の範囲で角度が計算できるという事から、∠ABCまたは∠BACは30°45°60°のどれかになりそう。��ABCは底辺が6で高さが3なので、底辺と高さの比が2:1になるので、どうやら∠ABCまたは∠BACは45°になりそう。∠BACの二等分線とBCとの交点をD、AからBCの延長線に垂線をおろしてそのあしをH、��CAH≡��EAHとなる点をEとすると、仮にDH=3だとすると、BD=CH+3=EH+3=DE。AD=EDとなり辻褄が合う。 |
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10月5日（土） 12:45:24
40982 |
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Mr.ダンディ |
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Ａから直線ＢＣに下した垂線をＡＨ とすると ＡＨ＝3
∠Ｂ＝α とおくと 正弦定理より 6/sin2α＝ＡＣ/sinα ＡＣ＝6*sinα/(2sinα・cosα）＝3/cosα よって ∠ＣＡＨ＝α ∠Ｂ＋∠ＢＡＨ＝α＋3α＝90° ∴ ∠Ｂ＝α＝90°/4＝22.5° 大変 難しかったです。（算数的解法は もう少し粘ってみます） |
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10月6日（日） 2:08:07
40983 |
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あめい |
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算数的解法・・・今回は自分は全くだめでした。
みなさんの解法を見て思ったことは ♯40972のuchinyanさんの図で、（すいませんかってに使わせていただきました） △ＢＣＥが２等辺三角形より∠ＢＣＥ＝∠ＢＥＣ＝３● △ＡＢＥが２等辺三角形より∠ＣＢＥ＝２● よって△ＢＣＥの内角の和が９●＝１８０ よって●＝２２．５ が、補助線もさほど多くなく、図を見れば一目でわかるのでマサルさんの想定解あたりではないかと予想しました。 |
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10月7日（月） 17:21:12
40984 |
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あめい |
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算数的解法・・・今回は自分は全くだめでした。
みなさんの解法を見て思ったことは ♯40972のuchinyanさんの図で、（すいませんかってに使わせていただきました） △ＢＣＥが２等辺三角形より∠ＢＣＥ＝∠ＢＥＣ＝３● △ＡＢＥが２等辺三角形より∠ＣＢＥ＝２● よって△ＢＣＥの内角の和が９●＝１８０ よって●＝２２．５ が、補助線もさほど多くなく、図を見れば一目でわかるのでマサルさんの想定解あたりではないかと予想しました。 |
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10月7日（月） 17:21:16
40985 |
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あめい |
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２回送信してしまった上に、訂正すいません。
△ＢＣＥの内角の和が８●＝１８０ |
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10月7日（月） 17:23:06
40986 |