ぴくるす☆
久々に参加したらなかなかの順位に。
ただ最初数え損ねたのがあったのでJMO本番ではやらかしたくない……ww
　　 12月20日（木） 0:12:27　　 　　40093
浮浪
久しぶりに
　　 12月20日（木） 0:16:48　　 　　40094
きょろ文
112→216→280

112と送った人は多い...はず...！！
　　 12月20日（木） 0:21:00　　 　　40095
Ｍ
80⇒160⇒280

160と送った人は少ないはず！！

{(10+6+3+1)+(6+3+1)+(3+1)+1}×8=280　になりました。
第２グループ　　 12月20日（木） 0:30:54　　 HomePage:受付中　　40096
みかん
対角線ＡＣ＝ア、対角線ＡＤ＝イ、対角線ＡＥ＝ウ、対角線ＡＦ＝エ、対角線ＡＧ＝オ、と置く。

「ア・イを横切る対角線の本数」＝「エ・オを横切る対角線の本数」＝４本ずつ→８通り
「ア・ウを横切る対角線の本数」＝「ウ・オを横切る対角線の本数」＝３本ずつ→６通り
「ア・エを横切る対角線の本数」＝「イ・オを横切る対角線の本数」＝２本ずつ→４通り
「ア・オを横切る対角線の本数」＝１本→１通り
「イ・ウを横切る対角線の本数」＝「ウ・エを横切る対角線の本数」＝６本ずつ→１２通り
「イ・エを横切る対角線の本数」＝４本→４通り

ここまでで、８＋６＋４＋１＋１２＋４＝３５通り。
これは頂点Ａを含む場合であり、八角形の別の１つの頂点を含む場合も同様なので、
３５×８＝２８０通り。

私は与えられた図を見ながら数えていたのですが、きれいに式で解く方法もあるのでしょうね。
　　 12月20日（木） 0:39:33　　 　　40097
すぐる学習会
(n-4)×nＣ4 ですか？
高田馬場　　 12月20日（木） 0:46:04　　 MAIL:kishimotoakihisa@hotmail.com HomePage:すぐるホームページ　　40098
abcba@baLLjugglermoka
図がなかったら大変でしたね。問題文の図で数えてしまいました(^^;
35×8=280
　　 12月20日（木） 0:48:21　　 　　40099
スモークマン
やっとこさぁ ^^;
4点で交点が1個
もう1点は...対角線が共通で1点が共通の対角点なので...
8C4*(8-4)=70*4=280
♪
　　 12月20日（木） 0:53:31　　 　　40100
あめい
８点から５点選び方が５６通り。５点で星型を作ると条件に合う三角形が５つできるので、５６×５＝２８０になりました。
　　 12月20日（木） 1:25:42　　 　　40101
マサル
#40101 （あめいさん）想定した解法がそれですー。
iMac　　 12月20日（木） 2:46:30　　 HomePage:算チャレ　　40102
数樂
1つの頂点からできるのが、
(4+3+2+1)+(3+2+1)+(2+1)+1＝20
(3+2+1)+(2+1)+1＝10
2+1＝3
1，1
よって1つの頂点でできるのは35個
35×8＝280(個)
　　 12月20日（木） 2:57:15　　 HomePage:数樂　　40103
あめい
そうでしたか
なんかうれしうです。
　　 12月20日（木） 8:30:08　　 　　40104
Mr.ダンディ
#40101　なるほど〜！
（思いもよらぬ解法です。勉強になりました。）
　　 12月20日（木） 10:43:32　　 　　40105
拓パパ
みかんさんの方法と同じです．2辺を決めて横切る線を数えました．
#40101　わっ、すげー！　5角形になって初めて条件に合う三角形が出てくることまではわかっていましたが、それ以上発展しませんでした．　ありがとうございました．
　　 12月20日（木） 12:43:27　　 MAIL:dr-yasu@nifty.com 　　40106
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
類題は算チャレ他いろいろなサイトで見るように思います。ただ，ちょっと違っているかな。こんな感じで。

八角形の一つの頂点を A とし，それ以外の頂点を反時計回りに B，C，D，E，F，G，H とします。
A を一つの端点に固定した対角線と，この対角線の両端点(A ともう一つ)以外の八角形の頂点一つとでできる三角形を考えます。
対角線 AC に対しては，5C2 * 1 + 0 = 10 * 1 + 0 = 10 個，
対角線 AD に対しては，4C2 * 2 + 2C2 * 4 = 6 * 2 + 1 * 4 = 16 個，
対角線 AE に対しては，3C2 * 3 + 3C2 * 3 = 3 * 3 + 3 * 3 = 18 個，
対角線 AF に対しては，2C2 * 4 + 4C2 * 2 = 1 * 4 + 6 * 2 = 16 個，
対角線 AG に対しては，0 + 5C2 * 1 = 0 + 10 * 1 = 10 個，
となって，合計 10 + 16 + 18 + 16 + 10 = 70 個。
対角線の固定する端点を B 〜 H にした場合も同様なのでこの 8 倍ですが，
一つの対角線に関して二回数えてしまっているので 2 で割って，結局，全体では，
70 * 8 * 1/2 = 280 個
になります。

もっと簡単にできるのかな？
ネコの住む家　　 12月20日（木） 16:06:36　　 　　40107
uchinyan
掲示板を読みました。

？#40096，#40097，？#40099，#40103，#40106，#40107
頂点又は対角線を固定してそこで出来る三角形を数えて 8 倍又は 4 倍する解法。
三角形の数え方にはいろいろな手法があるようです。

#40098，#40100
#40098
＞(n-4)×nＣ4 ですか？
#40100
＞4点で交点が1個
＞もう1点は...対角線が共通で1点が共通の対角点なので...
＞8C4*(8-4)=70*4=280
という解法。
ただ，私も最初同じようなことを考えたのですが，単純に (8-4) 倍はできないような気がして止めてしまいました。
よく理解できていないです (^^;
その後，私なりに再考した考え方を#40112に書きました。

#40101，#40102
＞８点から５点選び方が５６通り。５点で星型を作ると条件に合う三角形が５つできるので、５６×５＝２８０になりました。
という解法。マサルさんの想定解です。
なるほど，これはお見事！
これを基にすると，一般解は，nC5 * 5 = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/4!，かな。
これは，確かに nC4 * (n-4) とも書けますね。

#40113
＞７Ｃ４×８
＞(基準になる１点を選ぶと，あとは残りから４点選べばそのうち真ん中の２点と基準の点を結んで，残り２点を結ぶと三角形が１個できる)
という解法。ご自身でも書かれていますが，実質的には#40101などと同じことになるようです。
でも，これもお見事！
ネコの住む家　　 12月20日（木） 16:42:26　　 　　40109
スモークマン
8C4*(8-4) は...たしかに明らかじゃなかったです...^^;
これならどうでしょうか...?
4点で交点が１個でき、その四角形内に４個の三角ができる...
けっきょく...
8C4*4 ってことではいけないのかなぁ...^^;...?
　　 12月20日（木） 15:18:32　　 　　40110
スモークマン
こりゃ駄目か...^^;
頂点が２個になってましたぁ...Orz...
↓
　　 12月20日（木） 15:20:12　　 　　40111
uchinyan
#40098，#40100　の再考
＞(n-4)×nＣ4 ですか？
＞8C4*(8-4)=70*4=280
そうか。こう考えればいいのかな？

八角形の対角線の交点は，八角形の頂点から四つを選んで作った四角形の対角線の交点なので，その個数は 8C4 個。
この交点一つ，したがって四角形一つ，に対して，今考える三角形の他の頂点のうち一点は同じ対角線上にあるので，
この点は四角形の一つの対角線上にありますが，
四角形のもう一つの対角線の端と四角形の頂点以外の八角形の頂点とを結んだときに最初の対角線とでできる交点に対応付けできます。
そしてこのときに題意を満たす三角形が一つ決定します。
この個数は，四角形の二つ目の対角線の端を両方考えれば，点の位置関係によらず常に 8 - 4 個 です。
四角形には対角線が二本あるのでナイーブにはこれの 2 倍ですが，
すべての四角形を考えると重複して数えてしまうので，実際には 2 倍の必要はありません。
そこで，結局，8C4 * (8 - 4) = 70 * 4 = 280 個，になります。

一般化も容易で，nC4 * (n-4)，ですね。
ネコの住む家　　 12月20日（木） 16:29:08　　 　　40112
マツダ
みなさん８Ｃ４×４なんですね・・・。
僕は７Ｃ４×８(基準になる１点を選ぶと，あとは残りから４点選べばそのうち真ん中の２点と基準の点を結んで，残り２点を結ぶと三角形が１個できる)でまずやって，少し考えて８Ｃ５×５(あめいさんと同じ)でした・・・。
　　 12月20日（木） 16:24:43　　 　　40113
ハラギャーテイ
8の倍数を入れて行きました。認証だよりでした。
　　 12月20日（木） 19:09:34　　 　　40114
ばち丸
あめいさんと同じです。今回はいつになく易しかった。リアルタイムで参加すればよかったと思ったが頭の回転遅いからいい順番は取れないだろうな。
　　 12月20日（木） 20:00:34　　 　　40115
浮浪
条件を付けず，三角形は全部でいくつ？

８角形なら・・・６４４かな
　　 12月20日（木） 21:16:50　　 　　40116
スモークマン
#40116
考えてみました ^^
頂点を３個もつ△...8C3=56
頂点を２個もつ△...8C4*4=280
頂点を１個もつ△...8C5*5=280
頂点を０個もつ△...8C6=28

合計=56+280+280+28=644個
♪
　　 12月21日（金） 14:05:56　　 　　40117
fumio
おはようございます。ちょことはやいメリークリスマス！
ではでは、またね。
　　 12月23日（日） 5:35:49　　 　　40118
ゴンとも
どの頂点でも同じ個数だから1箇所を8倍
三角形の底辺が途中に交点が0,1,2,3がそれぞれ4,3,2,1個で
左から右に順に数えると

8*(4+6+6+4+3+4+3+2+2+1);280・・・・・・(答え)
豊川市　　 12月25日（火） 22:47:17　　 　　40119