諦
内容を説明しにくいが・・・
1辺16の大きな正三角形を作り、更にもともとある正三角形を真ん中に持つ正三角形を作る（2つ）
そのとき上の方に4、7の辺を持つ平行四辺形が出来る事から4とともに60度の角をはさむ下の辺は5。
7とともに60度の角をはさむ下の辺も5
よって残りは6
　　 9月13日（木） 0:47:30　　 　　39770
abcba@baLLjugglermoka
BからPRに、CからSQに垂線を引きそれぞれの交点をE,Fとすれば、RE+SF+BC=11。BC+2(RE+SF)=16。よって、BC=6。
なんか上手く説明できませんが、要するに、
角度の関係と正三角形の半分の直角三角形の辺の長さの比が2:1であることを用いて解きました。
　　 9月13日（木） 0:53:13　　 　　39771
スモークマン
面白かったぁ♪
パズルみたい...^^
面白い問題でしたぁ♪
１辺が9と、12の正三角形の交点がAと考えられるので...
7-5+4=6
♪
気づくの遅すぎ...^^;
　　 9月13日（木） 0:58:51　　 　　39772
ヤッコチャ
AからBCに、BからPRに、CからSQにそれぞれ垂線を下し、その足をそれぞれT,U,Vとします。
角BPU＝角ABT , 角ACT＝角CQVかつ、BP＝AB , AC＝CQより
△BPUと△ABT , △ACTと△CQVはそれぞれ合同になる。対応辺の長さを移し
BC＝x , BR＋CS＝yとすると
x＋y＝16 , x＋y/2＝11　　より、x＝6
また△BURと△CVSも合同なので、BR＝CS＝5
　　 9月13日（木） 1:11:30　　 　　39773
HirotakaUEDA
点Pと点Qをそれぞれ点Bと点Cを中心に回転させ、点Aに重ねあわせ、移動した点Rと点Sをそれぞれ点R'、点S'とします。そうすると角R’BCと角S’CBはそれぞれ１２０度。角PRBと角QSCがそれぞれ６０度なので、等脚台形になります。このことから

辺R'B+辺BC+辺CS'＝16
辺R'B＝辺CS'
（辺R'B+辺CS'）☓（1/2）＝11
このことより辺BCは6�僂箸覆蠅泙后�
　　 9月13日（木） 2:29:48　　 　　39774
数樂
RSを一辺とする大きい正三角形を作って解きました。
結果RB=CS=5cmで
BC=6cm
一度5cmと誤答しましたが…
スモークマンさん同様楽しかったです。
　　 9月13日（木） 3:24:30　　 HomePage:数樂　　39775
HirotakaUEDA
＃39774の数式の訂正です。申し訳ありません。
辺R'B+辺BC+辺CS'＝16
辺R'B＝辺CS'
（辺R'B+辺CS'）*（1/2）+辺BC＝11
このことより辺BCは6�僂箸覆蠅泙后�
　　 9月13日（木） 11:40:00　　 　　39777
namba
皆さん数学で解かれていて驚きです。
私は数学でした。

∠RPB＋∠PBR=∠PBR＋∠ABC　より∠RPB=∠ABC…��
同様にして∠SQC=∠ACB…��
△PRBで正弦定理より
RB/sin∠RPB=PB/sin60°PB=AB、�，茲蝓�RB/sin∠ABC=AB/sin60°…��
同様に△QCSで正弦定理と　CQ=AC、�，茲�CS/sin∠ACB=AC/sin60°…��
また、△ABCで正弦定理より　AC/sin∠ABC=AB/sin∠ACB…��
��、�い茲�sin∠ABC、sin∠ACBを求め�イ紡綟�すると RB=CS
RB=CS=a　とする。
△PRBで余弦定理を用いて　PB^2=a^2-4a+16…��
△CSQで余弦定理を用いて　QC^2=a^2-7a+49…��
△PRBで余弦定理を用いて　cos∠RPB=(16+PB^2-a^2)/(8AB)…��
△ABCで余弦定理を用いて　cos∠ABC=(AB^2+BC^2-AC^2)/(2AB×BC)…��
�　↓Α銑�、PB=AB、CQ=AC　より a の二次方程式が作れ、これを解くと
a=19/2、5
a=19/2だと BC の値が負になるので不適
a=5でBC=6
　　 9月13日（木） 12:33:52　　 　　39778
namba
↓
間違えました。
「皆さん数学で解かれていて驚きです」ではなく「皆さん算数で解かれていて驚きです」でした。
　　 9月13日（木） 12:35:11　　 　　39779
通りすがり
褒められたものではないけど、数学でやるなら、こうかなぁ〜座標系を導入して、R=(0,0)、S=(16,0)、B=(b,0)、C=(c,0)、P=(2,2√3),Q=(25/2,7√3/2)とする。
それで、点Bを点Pの周りに60゜回転させると、
　((b+8)/2,√3*b/2)・・・��
また、点Cを点Qの周りに-60゜回転させる。
　((c+2)/2,(16√3-√3c)/2)・・・��
すると、�´△楼戝廚垢襪里如∀⇔�方程式を解いて、b=5、c=11。よって、BC=6
　　 9月13日（木） 13:13:34　　 　　39780
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これはいろいろと考えられる楽しい問題でした。こんな感じで。

(解法1)
まず，明らかに，赤丸 = 60°，AB = BP = PA，AC = CQ = QA，です。
A から BC に，B から PR に，C から QS に，それぞれ垂線を下ろしそれぞれの足を H，I，J とします。
∠ABH = ∠ABC = 180°- ∠PBA - ∠PBR = 180°- ∠PRB - ∠PBR = ∠BPR = ∠BPI，∠AHB = 90°= ∠BIP，AB = BP より，
△ABH ≡ △BPI，BH = PI = PR - RI = 4 - RI で，また，∠PRB = 60°より RB = RI * 2 です。
同様にして，△ACH ≡ △CQJ，CH = QJ = QS - SJ = 7 - SJ，SC = SJ * 2 です。
そこで，
RB + BC + SC = RS，RI * 2 + BC + SJ * 2 = 16，BC + (RI + SJ) * 2 = 16，(RI + SJ) * 2 = 16 - BC
BC = BH + CH = (4 - RI) + (7 - SJ) = 11 - (RI + SJ)
BC * 2 = 22 - (RI + SJ) * 2 = 22 - (16 - BC)，BC = 22 - 16 = 6 cm
になります。

(解法2)
まず，明らかに，赤丸 = 60°，AB = BP = PA，AC = CQ = QA，です。
△BPR を B の回りに時計回りに回転し P を A に重ね R の移動先を R'，
△CQS を C の回りに反時計回りに回転し Q を A に重ね S の移動先を S'，とします。
すると，∠R'BR = ∠PBA = ∠PRB = ∠AR'B，R'A//RB，∠S'CS = ∠QCA = ∠QSC = ∠AS'C，S'A//SC，となって，
R，B，C，S は同一直線上にあるので，R'A//RS，S'A//RS，R'，A，S' は同一直線上にあり R'S'//RS，となります。
さらに，∠S'R'B = ∠AR'B = 赤丸 = 60°= ∠AS'C = ∠R'S'C なので，□R'BCS' は等角が 60°の等脚台形になります。
そこで，RB = R'B = S'C = SC です。
これより，R'S' = R'B/2 + BC + S'C/2 = RB/2 + BC + SC/2 = RB + BC ですが，
一方で，R'S' = R'A + S'A = PR + QS = 4 + 7 = 11，なので，RB + BC = 11，です。
さらに，RB * 2 + BC = RB + BC + SC = RS = 16 なので，RB = 16 - 11 = 5 cm = SC，BC = 6 cm，になります。

(解法3)
まず，明らかに，赤丸 = 60°，AB = BP = PA，AC = CQ = QA，です。
RP の延長上に点 D，RS 上に点 E を取って A が DE 上にある 正三角形DRE を作ります。
同様に，SQ の延長上に点 F，RS 上に点 G を取って A が FG 上にある 正三角形FGS を作ります。
A は DE と FG の交点になっています。
さらに，RD の延長と SG の延長の交点を T とします。
すると，△TRS も正三角形で，TR = TS = RS = 16 cm になり，□TDAG は平行四辺形になります。
以上の設定の下で，
∠BPR = 180°- ∠PRB - ∠PBR = 180°- ∠PBA - ∠PBR = ∠ABE，同様にして ∠RBP = ∠EAB，BP = AB より，△BPR ≡ △ABE，
同様にして，結局，△BPR，△ABE，△PAD は合同，△CQS，△ACG，△QAF は合同，になります。
そこで，
TR = TD + DP + PR = GA + DP + PR = QS + RB + PR = 7 + RB + 4 = 16，RB = 5 cm
TS = TF + FQ + QS = DA + FQ + QS = PR + SC + QS = 4 + SC + 7 = 16，SC = 5 cm
RS = RB + BC + SC = 5 + BC + 5 = 16，BC = 6 cm
になります。

実は，最初に思い付いたのは数学，三角関数，でしたが，それをアレンジし直したのが，(解法1)です。
(解法2)は，回転が使えそうな気がして考えた解法です。これも結構面白いかな。
(解法3)は，実は他のサイトの問題で似たような図があったのを思い出して考え付いた解法です。
算数解法としては，この三つの中では一番きれいなように思います。
ネコの住む家　　 9月13日（木） 13:54:55　　 　　39781
uchinyan
掲示板を読みました。
赤丸 = 60°，AB = BP = PA，AC = CQ = QA，を断っていない方がほとんどですが，これは，まぁ，明らかですものね。

#39770，#39772，#39775，#39781の(解法3)
一辺が 16 cm の大きな正三角形を作り，さらに，もともとある正三角形を中央にもつ正三角形をそれぞれ一つずつ作って考える解法。

#39771，#39773，#39781の(解法1)
A から BC に，B から PR に，C から SQ に，それぞれ垂線を引き直角三角形を作って考える解法。

#39774＋#39777，#39781の(解法2)
△BPR と △CQS をそれぞれ点 B と点 C を中心に回転させ点 A に重ね合わせて考える解法。

#39778，#39780
数学による解法。
ネコの住む家　　 9月13日（木） 13:56:26　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　39782
小林ひげオ
とても楽しく解かせてもらいました。それでは早速仕事にもどります。
　　 9月13日（木） 14:54:04　　 　　39783
ハラギャーテイ
三角関数を使って角度2変数、長さ5変数の7個の方程式を作り、MATHEMATICAに解かせた。
これが解けるのがすごいです。
山口　　 9月13日（木） 17:44:04　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　39784
Ｍｒ.ダンディ
ようやく、算数解法で解けました。ＲＰ，ＳＱの延長線の交点をＤ、Ａを通るＤＲ，ＤＳの平行線がそれぞれ　
ＤＳ，ＤＲと交わる点をＥ，Ｆとします。
すると　△ＡＥＱ≡△ＱＳＣ、△ＡＦＰ≡△ＰＲＢ　となって
ＡＥ＝7　、ＡＦ＝４
四角形ＤＦＡＥは平行四辺形だから　ＤＦ＝7、ＤＥ＝4
∴　ＣＳ＝ＱＥ＝16-7-4＝5
ＲＢ＝ＦＰ＝16-7-4＝5
ＢＣ＝16−5−5＝6
やっと、まともに解けた。　ふ〜っ
　　 9月13日（木） 20:46:33　　 　　39785
ゴンとも
座標に置きました。

座標にR(0,0),B(a,0),C(b,0),S(16,0),P(2,2*sqrt(3)),Q(25/2,7*sqrt(3)/2)と置け
ここで∠PBR=a,∠QCS=bと置いて
直線BA:y=-tan(a+%pi/3)*(x-a)=-(tan(a)+sqrt(3))*(x-a)/(1-sqrt(3)*tan(a))
=(-(2*sqrt(3)/(a-2)+sqrt(3))*(x-a)/(1-sqrt(3)*2*sqrt(3)/(a-2))=-sqrt(3)*a*(x-a)/(a-8)
直線CA:y=tan(2*%pi/3-b)*(x-b)=(7*sqrt(3)/(25-2*b)+sqrt(3))/(1-sqrt(3)*7*sqrt(3)/(25-2*b)));
=sqrt(3)*(b-16)*(x-b)/(b-2)
この交点Aを求めAP=AB,AQ=ACよりa,bの値と答えx=BC=16-a-(16-b)=b-a
をxmaimaで求めると
e1:y=-sqrt(3)*a*(x-a)/(a-8)$
e2:y=sqrt(3)*(b-16)*(x-b)/(b-2)$
solve([e1,e2],[x,y])$
part(%,1)$
rhs(part(%,1))$
rhs(part(%th(2),2))$
factor((%th(2)-2)^2+(%-2*sqrt(3))^2-((%th(2)-a)^2+%^2))$
factor((%th(3)-25/2)^2+(%th(2)-7*sqrt(3)/2)^2-((%th(3)-b)^2+%th(2)^2))$
part(num(%th(2)),2)$
part(num(%th(2)/-1),1)$
e3:%th(2)$
e4:%th(2)$
e5:x=b-a$
solve([e3,e4,e5],[a,b,x])$
part(%,2);[a=5,b=11,x=6・・・・・・(答え)]
豊川市　　 9月14日（金） 6:25:26　　 　　39786
ばち丸
昔、似たような問題を作ったことがあるので割と楽に解けました。
　　 9月13日（木） 21:43:43　　 　　39787
次郎長
私もスモークマンさん、数楽さん同様、一辺１６ｃｍの正三角形をつくり、ラッキーなことにＡ点が順調に見つかり、ＢＣ＝６であることが分かったのですが、アンラッキーだったら・・
人生初の夏風邪を引きました(夏に風邪は引かないと思っていた、このアホさ）。夏バテかも？
　　 9月13日（木） 21:56:57　　 　　39788
ふじさんまん
両サイドの三角形をそれぞれBとCを中心に回転させるところまですぐ思い浮かびました。ただ，つくった等脚台形の上底と下底の比を１：２だと意味不明な思い込みをしてしまい，アホな解答を送信してしまいました。とほほ。
　　 9月13日（木） 22:52:29　　 　　39789
mukku
やっぱり幾何は楽しいなぁ
　　 9月14日（金） 1:14:17　　 　　39790
老算兵
Ａを通りＲＳに平行な線を引く。
その線とＲＰの延長との交点をＭとし、ＱＳとの交点をＮとする。
ＰＲを1辺とする正三角形を作りＲＳ上の点をＸとする。
ＸＡの線はＲＰと平行となる。
　　（△ＰＲＸを反時計回りに回転させたときのＸの軌跡）
ＭＡ＝４（ＡＮ＝７）
ＭＲ＝５（１６−４−７）＝ＸＡ＝ＲＢ
ＢＣ＝ＲＳ−ＲＳ−ＣＳ＝６
　　 9月15日（土） 17:33:48　　 MAIL:takaaki-k@aqr.bbiq.jp 　　39791
マサル
ちょっとテスト書き込み。（サーバの設定をいじってしまったので）
MacBookAir　　 9月19日（水） 17:56:07　　 HomePage:ブログ　　39792