きょろ文
一辺をxとして…

三角形BCPを回転させて
二等辺三角形をつくり、合同な三角形をみつけて方程式を立てる…

必要はなく、ＡＱ = 5-1 = 4　より
5*4/2 = 10

部屋に蚊がいるかもしれない
　　 8月2日（木） 0:10:54　　 　　39643
きょろ文
ちなみに
x^2 -5x - 4 = 0より
x = (5 + sqrt(41))/2
ですたぶん
　　 8月2日（木） 0:12:47　　 　　39644
xxx
眠いのでねます…Ｚｚｚ
　　 8月2日（木） 0:13:10　　 　　39645
☆彡
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org3264750.jpg
こんなかんじで

一分ぐらいぐだぐだ計算しようか迷ってました
　　 8月2日（木） 0:14:45　　 　　39646
かえる
ＤＣの延長上にＣＱ’＝ＡＱとなる点Ｑ’をとれば、
角ＰＢＱ’＝４５度に注意して
△ＢＱＰ合同△ＢＱ’Ｐとなり、
ＡＱ＋ＣＰ＝ＰＱが示せる。

また、ＱＲ平行ＰＢより、
△ＡＲＱ相似△ＣＰＢ

正方形の１辺をｘとおくと、

ＡＲ＝ｘ−５
ＡＱ＝ｘ∧２ー５ｘ
ＱＤ＝ーｘ∧２＋６ｘ
ＤＰ＝ｘー１
ＰＱ＝ｘ∧２ー５ｘ＋１

三角形ＰＤＱに三平方の定理を用いて式を整理すれば、
ｘ∧２ー５ｘ＝４より
ＡＱ＝４
　　 8月2日（木） 0:25:56　　 　　39647
Ｍｒ.ダンディ
△ＢＣＰをＢを中心とし、反時計回りに90°回転させたものを三角ＢＡＰ’
としたとき、ＱＲの延長線とＰ’Ｂの交点をＨとします。
△ＢＱＨは直角二等辺三角形となり、ＢＨ＝ＱＨ　....（※）
△ＱＰ’Ｈ≡△ＢＲＨ　
∴　ＱＰ’＝ＢＲ＝5　　ＱＡ＝5−1＝4
よって　求める面積＝（1/2）*5*4＝10　　　　　と求めました。

〔後記〕（※）の部分タイプミスをしていたので、訂正しました。
　　 8月4日（土） 0:58:14　　 　　39648
Ｍ
AR=t として、△ARQ∽△CPB　より、AQ=t^2+5t　　△BQR=5(t^2+5t)/2
ここから苦労しました。　結局座標をおいて
BPの式と　BQの式の傾きをだし、　さらに２直線のなす角が45度だから
tanの加法定理を使って、ゴリゴリの式で求めました。
t^2+5t-4=0 より、　t^2+5t=4 よって、面積は　10
こんな面倒な解き方をしたのは私だけのはずだ〜　orz
第２グループ　　 8月2日（木） 1:43:15　　 HomePage:出題中　　39649
ハラギャーテイ
おはようございます。数式によるMATHEMATICA計算です。たくさんの解が出てきて
題意を満たす解を選ぶのに苦労しました。
山口　　 8月2日（木） 9:00:44　　 HomePage:制御工学へチャレンジ　　39650
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
この問題は，算チャレとしては何回か見たパターンなので簡単な方でしょう。こんな感じで。

△BCP を B を中心に反時計回りに 90°回転し BC を BA に重ね P の移動先を P' とし，QR を延長して BP' との交点を S とします。
□ABCD は正方形なので，BC = BA で C の移動先は A になり，
∠SBQ = ∠P'BQ = ∠P'BA + ∠ABQ = ∠PBC + ∠ABQ = ∠ABC - ∠QBP = 90°- 45°= 45°= ∠SQB，です。
そこで，△SBQ は直角二等辺三角形なので，SB = SQ，∠BSQ = 90°= ∠P'SQ，です。
ここで，△P'QS と △RBS を考えると，SQ = SB，∠P'SQ = 90°= ∠BSQ = ∠RSB，
さらに，∠PBQ = 45°= ∠RQB より BP//RQ で AD//BC でもあるので ∠P'QS = ∠PBC = ∠P'BA = ∠RBS となって，
△P'QS ≡ △RBS，QP' = BR，AQ = QP' - AP' = BR - CP = 5 - 1 = 4 cm，です。
これより，△BQR = BR * AQ * 1/2 = 5 * 4 * 1/2 = 10 cm^2，になります。
ネコの住む家　　 8月2日（木） 11:09:07　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　39651
uchinyan
掲示板を読みました。
この問題は簡単な方だろう，と思ったのですが，以外に苦労なさっている方が多いようです。

#39646，#39648，#39651
△BCP を B を中心に反時計回りに 90°回転し BC を BA に重ね P の移動先を P' とし，QR を延長して BP' との交点を S とすると，
△SBQ は直角二等辺三角形，△P'QS と △RBS が合同，になることを使う解法。

#39643の前半＝#39644，#39647，#39649，#39650
数学による解法。ただし，計算量などにはかなり差があるようです。
なお，#39643の後半は#39646などのように見えなくもないのですが，詳細は分からず，前半の感じからは算数かどうかは「？」です。
ネコの住む家　　 8月2日（木） 11:38:17　　 　　39652
せ
カンです。
最近、カンでこちらにお邪魔することが多くて・・・・
不調です・・・・・
　　 8月2日（木） 13:25:19　　 　　39653
namba
僕も座標でした。

B(0,0),C(a,0)とおくとP(a,1),Q(a^2−5a,a)
∠QBP=45°であり、ベクトルQB,PBで内積を考える。
aに関する4次方程式を解くと、a=2,3,a^2−5a−4=0
a>5であるので、a^2−5a=4となりQC=4
よって△QBPの面積は10cm^2となりました。
　　 8月2日（木） 14:44:23　　 　　39654
ようせん
QS=SBとなる点Sを直線QR上に取り、AR=aとする。四角形ABCDが正方形であることから、三角形の相似と3平方の定理を使ってRQ、RS、SBを求める。RQ+RS=SBより、3次方程式a^3+10a^2+26a+5=0すなわち(a+5)(a^2+5a-4)=0を得るので、a>0より、a^2+5a=4。これはAQの長さに等しいので、よって、面積は5*4/2=10。3次方程式を解く力技ですorz
　　 8月3日（金） 1:16:59　　 　　39655
ようせん
因数分解前の3次方程式が間違ってましたorz正しくはa^3+10a^2+21a-20=0です
地球　　 8月3日（金） 1:42:47　　 　　39656
数樂
#39648 ←ここまで解くのに1日かかりました。でも半分勘です。…
　　 8月3日（金） 3:34:29　　 HomePage:数樂　　39657
きょろ文
#39652
> なお，#39643の後半は#39646などのように見えなくもないのですが
その通り、手法はまったく一緒です
一辺をxと置いたけれど使う必要がなかったというオチです

いつもわかりにくくてすみません＾＾；
　　 8月3日（金） 14:44:19　　 　　39658
HirotakaUEDA
自分はx-y座標のグラフを使う手法で解いてみました。イロイロやってダメだったのでしかたなくという感じです。
直線BQの方程式：y=｛(t+1)/(t-1)｝x 直線RQの方程式：y=(1/t)x+5 ２つの交点のy座標を求めそれがtに等しいことより
t^2-5t-4=0を得る。AQの長さはt^2-5tでつまり4cmとわかるので、三角形BQRの面積は10cm^2

他の皆さんのエレガントな解法を見ていると自分がゴリゴリの力技ということが分かって恥ずかしいですね
　　 8月3日（金） 16:23:00　　 　　39659
HirotakaUEDA
#39648の回答でCH=BHというところは、解答の流れからいうとBH=QHなのではないかと思いましたが。
念のため
　　 8月3日（金） 16:37:49　　 　　39660
HirotakaUEDA
忘れておりました。#39659においてtは正方形の一辺の長さです。ちなみにt=(1/2)*(5+√41）です。
　　 8月3日（金） 17:16:40　　 　　39661
スモークマン
なるほど!!
無理矢理方程式で出したけど...正方形の１辺=(5+√41)/2...AQ=4
図形的解法の鮮やかさをまざまざと思い知らされましたぁ...^^;
さいしょ...△BQR〜△BDPをどう使えばいいんだろって...思考停止しちゃいました...^^;;...
　　 8月3日（金） 18:21:02　　 　　39662
mukku
計算で詰んだので　ちゃんと算数でやりました
楽しかったです
　　 8月3日（金） 23:21:16　　 　　39663
Ｍｒ.ダンディ
HirotakaUEDAさん　#39660での ご指摘有難うございます。
仰るとおりで、ＱとＣを見間違えてタイプミスをしていました。
早速、訂正させてもらいました。
　　 8月4日（土） 0:53:41　　 　　39664
しんちゃん
ＤＡの延長上にＡＳ=1cmとなる点Ｓを取り、
ＱＲの延長とＢＳの交点をＴとすると
　△ＡＢＳ≡△ＣＢＰ　から　∠ＴＢＱ=４５度　になるので、ＴＢ=ＴＱ
これから、△ＱＳＴ≡△ＢＲＴ　が言えるので、ＳＱ=5cm
よって、ＡＱ=4cm になるから、求める面積は、5×4÷2=10cm2
　　 8月4日（土） 17:03:29　　 　　39665
ゴンとも
座標に置きました。

座標にB(0,0),C(a,0),P(a,1),D(a,a),A(0,a)と置くとtan(∠PBC)=1/a
これと直線BQ:y=tan(∠PBC+45*%pi)*x
y=(1+tan(∠PBC))*x/(1-tan(∠PBC))
y=(1+1/a)*x/(1-1/a)
ここでfactor((1+1/a)/(1-1/a));(a+1)/(a-1)だから
y=(a+1)*x/(a-1) ここで点Qはy=a として
Q(a*(a-1)/(a+1),a)
ここで△QRBと合同な△BSQを作ると
SはQから直線BP:y=x/aにおろした垂線との交点だから
S(a*(a-1)/(a+1),(a-1)/(a+1)) ここで
RB=5=SQ=a-(a-1)/(a+1) だから
solve(a-(a-1)/(a+1)=5,a);a=(5-sqrt(41))/2(不適∵長さがマイナス),a=(sqrt(41)+5)/2
ここで△RQBをRQ*Qのx座標/2で求めると
a:(sqrt(41)+5)/2$
expand(factor(expand(5*a*(a-1)/(2*(a+1)))));10・・・・・・(答え)
豊川市　　 8月6日（月） 2:43:06　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　39666
あめい
RPとBQの交点をSとすると、△RSQ,△SBPは直角二等辺三角形。BS^2+RS^2＝25。BC=ａとおくと、２RS^2＝RQ^2＝(a-5)^2＋{a(a-5)}^2、2BS~2=BP^2＝a^2+1。これを先の式に代入して整理するとa^4-10a^3+27a^2-10a-24=0。△BQR＝5a(a-5)/2よりa(a-5)＝ｘとすると4次式はx^2+2x-24=0となるのでx=4、これから△BRQ=10にたどり着きました。めんどくさいし、きれいじゃないし、・・・・答えが出たのはホッとしたのですがみなさんの解き方勉強させてもらいます。
　　 8月6日（月） 11:47:42　　 　　39667
歌川
中野坂上校Ｍクラス
　　 8月8日（水） 21:44:02　　 　　39668