通りすがり
面積の単位が「cm」になってます
　　 4月26日（木） 0:55:08　　 　　39267
マサル
すみません、昨晩は諸事情があって「泥酔」してしまい、夕方に急いで作った問題の検証をあまりせぬまま、更新となってしまいました。ようやく先ほど復活して検証してみたところ、数値設定に間違いがあり（本来は半径＝４cmとするはずでした）、想定した答えが間違っている＆算数では解けない？問題となっていました。

差し当たり、解答ファイルと掲示板パスワードの変更を行ったところですが、この問題を「どう扱うことにするか」は少し考えます。

ご迷惑をおかけし、大変申し訳ございませんでした。m(__)m
iMac　　 4月26日（木） 12:27:39　　 HomePage:算チャレ　　39268
abcba@baLLjugglermoka
これって、方べきの定理を使えば一発ですね。自分は弦を軸に折り返すと点OQPは一直線に並ぶというのが入口です。そして8:15:17を使って解きました。ていうか方べきの定理は算数の範囲でしょうか?
　　 4月26日（木） 12:30:41　　 　　39269
CRYING DOLPHIN
昨晩は勘で送った答えで一時的に一覧に載っちゃいました。
のちに間違いに気付いて修正しようと試みるも、頭がまわらずあきらめ就寝orz

起きてから算数で解けましたー
http://cdcdcd.sansu.org/pika/junkfoods/san1-20120426-hanenori.PNG
半円の半径ORは3＋2＝5cm。
上の図のように、折り返した弧を含む半円を描くことができ、
その半円の中心をSとすると、SQPは一直線上に並び、SP＝OR＝5cm。
△SOPは、SP：PO＝5：3の直角三角形…★
折り返しの弦とSOは直交し、その交点Mは対称性よりSOの中点となる…☆
次に、MからSPに向け垂線MHを引くと、☆より中点連結定理から
HPはSPの半分で2.5cm、MHはOPの半分で1.5cm。
角度の関係から、△SOP・△SQM・△MHQはいずれも相似である。
★より、MH：HQ＝1.5：□＝5：3となるので、□＝0.9cm。
よってQP＝2.5−0.9＝1.6cmなので、△OPQ＝3×1.6÷2＝2.4cm^2…答
省略　　 4月26日（木） 12:46:52　　 HomePage:ぶろぐもやってみる　　39270
ＡＤ１６４の息子
今（１２：３０過ぎ）問題を見て、
ＰＱ＝χ　ＯＱ＝５−χ　で三平方の定理で方程式を解いて答をとりあえず出し、
夜ゆっくり「算数の解法」を考えようと思っていたのですが。。
とりあえず少し考えます。
　　 4月26日（木） 12:41:43　　 　　39271
巷の夢
何回やっても12/5にしかならない・・・・、しかし、掲示板には入れないし、諦める前に一応駄目もとで回答を送っておきました。気になりましたので今覗くと今度は入れました。10時くらいまでの正解率1％、4名の方はどうなったのでしょうか・・・・。やり方は＃39269さんと同じです。方べきの定理や相似は算数ではないと思いますが、・・・・。
富士の嶺　　 4月26日（木） 12:42:59　　 　　39272
fumio
相似形は中学受験では当たり前のテーマです。
もうひとつ、接線と半径は垂直に交わるも中学受験では習いますから
中学受験の算数で解けます。マサルさん。
　　 4月26日（木） 13:20:52　　 　　39273
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
今朝，問題を見て，何とか算数で解いて，掲示板に入ろうとしましたが入れない。
仕方がないので，三平方の定理や座標を使って解いてみたら，同じ値になって，やはり入れない。
皆さんどうなんだろう，と思って，正解者一覧を見たら，異様に少ない。
これは何かあるな，と思ったものの，ナキイルカさんが１位なので，私の勘違いかな，とも思いましたが，
取り敢えず，正しいと信じる値を送って，他のことをしていました。
どうやら氷解したようで，よかったです。

折り返した円弧は，それが 円O の直径に接することから，
PQ の延長上の O'P = 5 cm となる点 O' を中心とする円の一部になっています。
また，折り返し線と OO' の交点を M とすると，対称性より，OM = O'M，QM⊥OO' です。
そこで，M から O'P に垂線の下ろしその足を H とすると，MH//OP なので，
O'H = HP = O'P/2 = 5/2 cm，MH = OP/2 = 3/2 cm，です。
一方で，△QHM ∽ △QMO' ∽ △OPO' なので，QH：MH = OP：O'P，QH：(3/2) = 3：5，QH = 9/10 cm になり，
QP = HP - QH = 5/2 - 9/10 = 8/5 cm，△OPQ = OP * QP * 1/2 = 3 * 8/5 * 1/2 = 12/5 cm^2，になります。
ネコの住む家　　 4月26日（木） 14:09:48　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　39274
Ｍｒ.ダンディ
どう考えても　12/5（ｃｍ＾2）にしかならないので、訂正のコメントが入るか、正解者一覧が書き直され
るかを待っていました。（12/5で正解となってすっきりとしました）
私は#39271と同じく数学による解法でしたが、CRYING DOLPHINさんの#39270によると、算数でも
解けるのですね。（脱帽）
（半径が4ｃｍだと　3：4：5がつかえて、面積は 21/16 となって　これが初めの設定解だったのですね）
　　 4月26日（木） 14:20:23　　 　　39275
uchinyan
掲示板を読みました。
いろいろと混乱があったので，今回は解法の分類はやめておきます。

(以下，若干修正しました。)
なお，相似は受験算数の範囲です。
円に関する性質は微妙になります。グレーな部分が多い気がします。
一般に，円周角一定とか円に内接する四角形の性質など，少し複雑な性質は，算数ではないようです。
もっとも，直径に対する円周角が直角というのは，円というより直角三角形の性質と捉えられるからか，
算数のようです。接点と中心を結んだ半径が接線と垂直ぐらいも，直感的だからか算数のようです
また，折り返しによる対称性も算数でしょう。
となると，#39270，#39274などは算数解法だと思います。
一方で，三平方の定理は，通常は，3：4：5，5：12：13 など特殊な値以外は算数に入れません。
恐らく，一般には，二次方程式や無理数が関与するからでしょう。
方べきの定理は，相似の簡便手法なのですが，その相似が通常は円の性質を使うので，算数ではないようです。
二次式が出てくることもありますし。
ネコの住む家　　 4月27日（金） 11:54:40　　 　　39276
sinnta
認証でやりました。分からなかったので…
一応、答えが５以下になるのはわっかてました。
　　 4月26日（木） 19:18:37　　 　　39277
片ちゃん
2.4にするには、やり方がわからなかったので形を作ってみました。
いやー。むづかしい
　　 4月26日（木） 19:41:30　　 　　39278
mukku
なんか懐かしく感じる問題でした
　　 4月26日（木） 20:18:59　　 　　39279
水田X
あ、やはりそうでしたか。４日の大阪は場所決まったらまさるさん連絡お願いします。おそくまではいれませんが楽しみしてます。
　　 4月26日（木） 20:43:51　　 　　39280
数樂
12/5で合っていたのですね。#39271,#39275と同じく数学による解法です。
3×8/5÷2＝12/5
ほうべきの定理は思いつきませんでした。
入れなかったので、また今回も駄目かと思っていましたが、良かったです。
毎回楽しんでいます。
ありがとうございます。
　　 4月27日（金） 5:42:12　　 HomePage:数樂　　39281
きょろ文
三平方で解きました

方べきの定理ってどうなんでしょうねー
結局三角形の相似から導かれるんだから小学生でも一応解けないことはない気もしますけども・・・！
　　 4月27日（金） 13:07:36　　 　　39282
ハラギャーテイ
東京へ行っていました。頭の中だけで図が描けないと解けませんでした。まだまだ未熟です。
山口　　 4月27日（金） 22:33:33　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　39283
通りすがり
訂正の前の認証は解析かけたら21/16でした
CRYING DOLPHINさんの図で言うSO=5，OP=3のときに成り立つ答えなのを確認しました．
　　 4月28日（土） 11:14:40　　 　　39284
ゴンとも
座標に置きました。

座標にOを原点,直線OPをx軸として
折り返した弧の円の方程式は直線PQにあり
かつ折り返しだからPからの距離が原点から直線OQと問題文の点線との交点
までと同じだから中心が(3,5)より(x-3)^2+(y-5)^2=25
これとx^2+y^2=25との交点をxmaximaで求めると
expand((x-3)^2+(y-5)^2-(x^2+y^2))$
solve(%=0,y)$
rhs(part(%,1))$
solve(x^2+%^2-25)$
rhs(part(%,1));-(5*sqrt(561)-51)/34
rhs(part(%th(2),1));5*sqrt(561)+51)/34
factor((17-3*%th(2))/5);(3*sqrt(561)+85)/34
factor((17-3*%th(2))/5);-(3*sqrt(561)-85)/34
より円と円の交点は
(-(5*sqrt(561)-51)/34,(3*sqrt(561)+85)/34)
(5*sqrt(561)+51)/34,-(3*sqrt(561)-85)/34)
この2つを通る方程式をxmaximaで求めると
e1:(3*sqrt(561)+85)/34=-k*(5*sqrt(561)-51)/34+l$
e2:-(3*sqrt(561)-85)/34=k*(5*sqrt(561)+51)/34+l$
solve([e1,e2],[k,l]);k=-3/5,l=17/5　より y=-3*x/5+17/5
この直線のx=3に対するyの値が求める三角形の底辺3の高さで底辺*高さ/2で
(-3*3/5+17/5)*3/2;12/5・・・・・・(答え)
豊川市　　 4月28日（土） 21:41:35　　 　　39285
☆彡
座標において円の方程式２つ出したなら交点を通る直線は
引いてx^2とy^2が消えるので一瞬で出ますよ
　　 4月29日（日） 11:03:08　　 　　39286
ゴンとも
#39286　

>引いてx^2とy^2が消えるので一瞬で出ますよ

本当でした。
#39285 が大変な計算がない短いものになりました。
本当にありがとうございました。
自分で気付きそうでしたが他のサイト問題とかやってて見直し
とかすればよかったのですが・・・

座標にOを原点,直線OPをx軸として
折り返した弧の円の方程式は直線PQにあり
かつ折り返しだからPからの距離が原点から直線OQと問題文の点線との交点
までと同じだから中心が(3,5)より(x-3)^2+(y-5)^2=25
これとx^2+y^2=25との交点を通る直線を求めると
expand((x-3)^2+(y-5)^2-(x^2+y^2))$
solve(%=0,y);y=-3*x/5+17/5
この直線のx=3に対するyの値が求める三角形の底辺3の高さで底辺*高さ/2で
(-3*3/5+17/5)*3/2;12/5・・・・・・(答え)
豊川市　　 4月29日（日） 20:40:13　　 　　39288
リョウフフ
算数で答えが出せなくて、結局座標でやったら一発でした
Pのもとの位置がOQの延長にあるというのには気づきませんでした
　　 5月2日（水） 21:23:58　　 　　39290