xxx
2・４・８・１・３・６・２・１・５という数列ですね。
１２３÷１０＝１２
　　 2月23日（木） 0:07:40　　 　　38985
ｘｘｘ
すみませんまちがえました。
2・4・８・１・３・６・１・２・５・１という数列でした。
　　 2月23日（木） 0:09:26　　 　　38986
kitaji
「数列」だけですと、あまりを考慮して１足さなければならず、13となってしまいますが、
そうでないところがこの問題の面白みです。
　　 2月23日（木） 0:25:44　　 　　38987
CRYING DOLPHIN
#38986
私もその規則で最初は解いたのですが、2の90乗あたりでその規則が崩れるような気が…
誰もいない市街地　　 2月23日（木） 0:27:55　　 HomePage:算数＆隧道　　38988
cyclone
概算したあとは認証で…
　　 2月23日（木） 0:28:55　　 　　38989
さいと散
123-（37*3）で・・・
　　 2月23日（木） 0:33:16　　 　　38990
あめい
桁数に注目すると、１桁３つ、２桁３つ、・・・と各桁にとどまるのは３回か４回、＜１２３＞の先頭が１ということは＜１２３＞で１桁増えたところなので＜１２２＞は３７桁、３７×３＝１１１なので、１桁増えるのに４回かかったのが１１回、この１１回の中にだけ先頭が４のものが含まれる（ここは感覚）、１桁の時の４を加えて１１＋１＝１２。
　　 2月23日（木） 0:42:58　　 MAIL:yokoyama3548@yahoo.co.jp 　　38992
タロタロ
2^10＝1024≒10^3 なので、ほぼ10個の周期になるけど段々増えていきます。
10n+2は最初は4だけどそのうち5に上がります。
これは一番最初と比較して1.25倍を超える周期。
この同じ周期に10n+5が3から4に上がります。（∵32*1.25=40）
これ以上は絞り込めず、確信はないまま12個で送りました。
　　 2月23日（木） 0:43:10　　 　　38993
タロタロ
皆さんの書き込みで理解しました。
同じ桁に4回留まるときだけ、その中に4が1つ含まれるのですね。
あ〜、美しい。
　　 2月23日（木） 0:46:49　　 　　38994
kitaji
規則が崩れる事は当然わかった上で、
「３８ケタの数となり、先頭の数（一番左にある数）は１でした。」
ということから、123÷10のあまりは考慮しなくても良い、ってことでいいんですかね。
　　 2月23日（木） 0:47:00　　 　　38995
kitaji
規則が崩れる事は当然わかった上で、
「３８ケタの数となり、先頭の数（一番左にある数）は１でした。」
ということから、123÷10のあまりは考慮しなくても良い、ってことでいいんですかね。
　　 2月23日（木） 0:52:28　　 　　38996
xxx
(1〜10)　 2481361251
(11〜20)　2481361251
(21〜30)　2481361251
(31〜40)　2481361251
(41〜50)　2481371251
(51〜60)　2491371251
(61〜70)　2491371251
(71〜80)　2491371361
(81〜90)　2491371361
(91〜103)　2491371361251
(104〜113)　2481361251
(114〜123)　2481361251
　　 2月23日（木） 0:56:31　　 　　38997
☆彡
上に２ケタが10-19の数字が二倍すると
上に２ケタがが20-39になって更に２倍すると
上に２ケタが40-79になって
そのうち
上２ケタが40-49の数字が80-99になって
上２ケタが50-79の数字が位が上がる

よって先頭に４が含む時だけ同じくらいに二回とどまるって話です
　　 2月23日（木） 0:56:51　　 　　38998
算数大好き
2007大阪桐蔭の問題と数値設定まで含めてすべて同じでした(^^♪。
　　 2月23日（木） 1:01:41　　 　　38999
☆彡
上に２ケタじゃなくて上の２ケタです＞＜
#38999
誘導なしですか？
誘導なしでならちょっときつい問題なんじゃないかなぁと
　　 2月23日（木） 1:05:12　　 　　39000
マサル
#38999
　え？それは..。私は実は、その前年の某大学の入試問題（数値は全く異なります）を元ネタにして、いろいろと調整して出題したつもりでした。大阪桐蔭の先生も同じ元ネタで出題したのでしょうか...ううむ。
iMac　　 2月23日（木） 1:05:25　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:ブログ　　39001
☆彡
http://izu-mix.com/math/exam/waseda/2006_2.html
適当に検索かけたけどこれですかね？
　　 2月23日（木） 1:13:36　　 　　39002
算数大好き
#39002
そうですね。2006年に早稲田の教育学部で出題された，次の年の2007年に大阪桐蔭で見事に出題されました。いろいろと誘導はついていますが，最後の２行だけとりだすと，
「したがって，2，4，8，16，……」のように2を123回かけた数までをすべてならべてゆくと，その中に先頭の数字が4である数は4をふくめて［キ］個あり，さらに，その中で2を36回かけた数より大きいものは［ク］個あります。」という問題文です(^^♪。
　　 2月23日（木） 1:24:29　　 　　39003
ハラギャーテイ
おはようございます。プログラムです。すみません。
山口市　　 2月23日（木） 5:41:17　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　39004
fumio
おはようございます。
　　 2月23日（木） 6:28:32　　 　　39005
スモークマン
昨日は途中で眠くなって諦めてましたが...^^;...気づけました♪
似た問題はむかし解いたはずだったのに...^^;;

37桁増えているので...,6,7,8,9 の数がそれだけある...
5,6,7,8,9 の2倍は...1 になる...
1の２倍は...2,3 になる...
残りが４のはずだから...
123-3*37=12
♪
最初...38で考えてては待ってました...^^;...Orz...
　　 2月23日（木） 7:55:20　　 　　39006
夕凪
どこかでみたと思ったら、俺早稲田受けるときに解いたんだ。
落ちたけど（笑）
そのときも自信満々に答え書いたなぁ・・・
後で赤本みて間違ってたの知ったけど（笑）

規則変わるとは思ったけど，ここで理由知りました。
考えは#39006と一緒です。

力業で82番目まで筆算したのは秘密ですが・・・
　　 2月23日（木） 9:17:09　　 　　39007
abcba@baLLjugglermoka
2^10=1024を一区切りで指数が2,12,22,となりどこかで先頭が5になる。1000を一区切りにしたとき2,12,22,....112,122で13個になるが先頭が途中で5になる場合があり先頭が5になる周期は指数が100飛びくらいになりそうだから
13−1=12個。一瞬で解けて回答したら一発正解。早解き問題としては良問です。
　　 2月23日（木） 9:49:25　　 　　39008
せ
２２乗まで筆算で後はエクセルで・・・・
２＾２＝４は暗算で出来ましたので、書き出すのを忘れていて
１１個を送信して、なぜ認証されないのだろうと・・・・
　　 2月23日（木） 10:28:04　　 　　39009
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，何回か見たことのある問題でした。こんな感じで。

2 を順に掛けていったときの先頭の数の出現パターンは，次の幾つかのループになります。
1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 1，途中で繰り上がりなし
1 -> 2 -> 4 -> 9 -> 1，途中 9 のところで繰り上がり
1 -> 2 -> 5 -> 1，途中 5 のところで繰り上がり
1 -> 3 -> 6 -> 1，途中 3 のところで繰り上がり
1 -> 3 -> 7 -> 1，途中 3，7 のところで繰り上がり
そして，ループが閉じると全体の桁が一つ上がります。
<123> は 38 桁なので，ループは全体で 38 - 1 = 37 個あります。
しかも，<123> の先頭の数は 1 なので，ループは閉じた状態です。
また，先頭の数が 4 になれるのは上の二つのループで，このときループが閉じるまでに 2 を 4 回掛けており，
先頭の数が 4 になれないのは下の三つのループで，このときループが閉じるまでに 2 を 3 回掛けています。
そして，それらの合計が全体として 2 を掛ける回数 123 回です。
これらの条件で先頭の数が 4 になれる上二つのループの個数を求めればいいので，後は鶴亀算の要領で．．．
仮に，すべてが，先頭の数が 4 になれない下三つのループだとすると，掛け算の総数は 3 * 37 = 111 回ですが，実際には 123 回で，
この差 123 - 111 = 12 回は，掛け算の回数が 4 - 3 = 1 回多い先頭の数が 4 になれる上二つのループの個数になります。
<123> の先頭の数は 1 でループは閉じた状態だったので，この回数が，そのまま，先頭の数が 4 になる回数となり，
結局，<1>，<2>，<3>，．．．，<123> までの 123 個の整数の中で，先頭の数が 4 になる数は，12 個，あることになります。
ネコの住む家　　 2月23日（木） 11:15:12　　 　　39010
uchinyan
掲示板を読みました。
何回か見かけたことのある問題だったので，かなりの有名問題だろう，と思ったのですが，
結構皆さん苦労なさったようです。

#38986，#38987，#38988，#38989，#38993，#38997，#38998，#39008
ある程度の規則性を基に考える解法。

#38990，#38992，#39006，#39007，#39010
先頭の数の出現パターン，桁数，掛け算の回数の関係，ループ，を基に解く解法。

#39004，#39009
プログラムによる解法。

なお，美しくはないですが，規則性の考察について，ご興味があれば，
http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/renzoku.html
左のフレームの「過去問題と解答」の「No.100〜No.200」の「NO.183」の「解答」
もご覧ください。
ネコの住む家　　 2月23日（木） 11:58:49　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　39011
???
ubasicの1行プログラム
1 A=1:for J=1 to 123:A*=2:K+=(left(str(A),2)=" 4"):next:print K
　　 2月23日（木） 13:30:06　　 　　39012
スモークマン
昨日は途中で眠くなって諦めてましたが...^^;...気づけました♪
似た問題はむかし解いたはずだったのに...^^;;

37桁増えているので...,6,7,8,9 の数がそれだけある...
5,6,7,8,9 の2倍は...1 になる...
1の２倍は...2,3 になる...
残りが４のはずだから...
123-3*37=12
♪
最初...38で考えてては待ってました...^^;...Orz...
　　 2月23日（木） 13:56:02　　 　　39013
hide
log2=0.3010、log4=0.6020、log5=0.6990
301×1〜301×123までの中に、百の位が6になるものがいくつあるかで考えました。
ラダトーム　　 2月23日（木） 16:00:59　　 　　39014
片ちゃん
江口先生、やってくれたんですね！かなり嬉しいですヾ(＠⌒ー⌒＠)ノ
私は、規則性を見つけてやりました。(少し電卓を使ってしまいましたが...)
もう少し早くにはじめれば(￣ー￣)
　　 2月23日（木） 19:18:44　　 　　39015
スモークマン
#39013
重複してしまいました...^^;...
お手数ですが削除お願いいたします〜m(_ _)m〜
自分じゃできない...^^;...Orz...
　　 2月23日（木） 21:07:50　　 　　39016
だいすけ
お久しぶりですー
数研出版の問題集で似たようなのを解いたことありました。
2006早稲田ですね！
大阪府吹田市　　 2月23日（木） 21:50:19　　 MAIL:dice-k@onyx.ocn.ne.jp HomePage:だいすけの部屋　　39017
まるケン
久々のワンライナー
ruby -e 'p (1..123).map{|i|(2**i).to_s=~/^4/}.compact.size'
　　 2月23日（木） 23:46:34　　 　　39018
数樂
123÷10＝12…3と
12かなってな感じです。
ほとんど適当です。

ただ、桁数には注目できませんでした。
勉強になりました。
ありがとうございます。
　　 2月25日（土） 2:27:37　　 HomePage:数樂　　39019
Ｒ・Ｋ・Ｓ
ＥＧさん、算チャレやってくれましたね。片ちゃんさんのように僕もうれしいです。
　　 2月25日（土） 9:12:17　　 　　39020
ぼふぼふ
やっと解けました。
　　 2月25日（土） 10:48:16　　 　　39021
take
Ｒ・Ｋ・Ｓさんって
だれですか？
　　 2月25日（土） 15:14:21　　 　　39022
大岡　敏幸
久しぶりに覗きました。＜２２＞まで暗算で求めました。＜２＞、＜１２＞＜２２＞の時、条件を満たす。これより１２を求めました。（検証としては十分ではないですが・・・）
石川県　　 2月26日（日） 20:45:49　　 　　39023
uchinyan
2012年の東大理系の数学の入試問題を解いてみました。
例によって，仕事の合間に時間を見つけて解いているので，あくまでもご参考の感想です。

第1問　座標による図形の最大値問題
どのように計算するかで変わってくるかも知れませんが，cos を求めろ，とあるので三角関数でやったら，比較的容易でした。

第2問　確率
漸化式を作れば比較的容易に解けます。少しアレンジすれば，算チャレで出題されてもよさそう。

第3問　回転体の体積
これは計算だけです。それだけに絶対に落とせない問題。

第4問　整数の証明問題
互に素となるものを基に，割れる割れないで詰めていけばできます。

第5問　行列＋整数＋図形？
基本的に順番に計算していけば解けます。
図形的な意味，格子点を頂点とする平行四辺形の等積変形，をイメージすれば，より分かりやすいかも。

第6問　行列＋三角関数
これは少し計算が面倒なのと，(1)は正負に注意が必要かな。(2)は条件をうまく使えるかどうか。

行列が二問も出たり，空間図形の面倒なのが無かったり，ちょっと変わった感じでしたが，個人的には易しく感じました。
私には合格ラインは分かりませんが，４完ぐらいかな。
ネコの住む家　　 2月27日（月） 18:12:27　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　39024
マサル
東大理系入試、私もやりましたが、第４問は難しく感じました。あとは第６問。計算で手が疲れました...。理１や理２なら問１〜３のうちから少なくとも２完して、あとは問５をしっかり解けるかどうか、という感じかなと思います。
iMac　　 2月27日（月） 21:35:47　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:ブログ　　39025
片ちゃん
Ｒ.Ｋ.Ｓさんとは誰ですか？
たぶん(ってか絶対o(^▽^)o)名駅校の人だと思うけど。
　　 2月27日（月） 22:49:21　　 　　39026
片ちゃん
Ｒ.Ｋ.Ｓさんとは誰ですか？
たぶん(ってか絶対o(^▽^)o)名駅校の人だと思うけど。
　　 2月27日（月） 22:50:48　　 　　39027
uchinyan
#39025
確かに時間制限を考えると，４完は厳しいかな，という気がしてきました。
３完，又は部分点などでそれと同等程度，かな，という気がしますね。
ネコの住む家　　 2月28日（火） 16:12:59　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　39028
uchinyan
2012年の京大理系の数学の入試問題を解いてみました。
例によって，仕事の合間に時間を見つけて解いているので，あくまでもご参考の感想です。

[1]　関連のない計算問題の小問が二つ
(1)は極限の問題。場合分けが必要になります。e の定義式に似ているのにも要注意かな。
(2)は積分の問題。部分積分，置換積分でできます。

[2]　空間図形の証明問題
初等幾何でもできると思いますが論理展開が面倒になりそうです。余弦定理がよさそう。

[3]　条件付きの式の値の範囲を求める問題
対称式であることを使うのがいいようです。ただし，その場合は隠れた条件に要注意。

[4]　無理数を基にした式の証明問題
(1)はよく見るものの応用。(2)は(1)を使いますが一工夫が必要です。

[5]　関連のない図形の正誤判定の小問が二つ
じっくり考えれば難しくないと思いますが，焦っているとミスしそうな気がします。

[6]　確率
これはちょっと変わった問題で，最初なかなか糸口が見えずしばし考え込みました。
漸化式を導くのがいいと思います。

個人的には，[6]以外は試験場でも何とかなると思いますが，[6]は難しいかなぁ。
合格ラインは，残りの５問のうち３完〜４完ぐらいでしょうか。
ネコの住む家　　 2月28日（火） 16:14:24　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　39029
だいすけ
#39029
試験場で解いてきました。1(1)と5(q)が解けませんでした。
1(1)はeの定義の式が頭から離れず。
5(q)は、ひたすら正しいことを証明しようと頑張ってました。
どっちも家だと出来るんだろうなぁとは思いますが、試験場は怖いですねｗ
5(q)で「正しくない」って答えられたっていう人は僕が話した人の中で2人だけでした。
「正しいこと示せたよ」って言ってる人も複数いたり（笑）
なんにしても、合格してるといいのですが・・・
大阪府吹田市　　 2月28日（火） 16:42:51　　 HomePage:だいすけの部屋　　39030
ＡＤ１６４の息子
私、文系なもんですから、東大文系の問題に手をつけてみたのですが、仕事の昼休みの合間で1番2番までは解けた＝特に1番はえっ？と思うような「典型問題」だと思うのですが？　こんな認識であってます？　今日は3番以降にチャレンジしてみます。
　　 2月29日（水） 6:40:02　　 　　39031
マサル
#39031
１番は典型というよりも、超絶基本問題ですよね。恐ろしく簡単すぎてビックリしましたが、受験生はむしろ難しく考え過ぎてハマった人もいるようです。「東大の数学だから、判別式だけなんてそんなことはないだろう」と..。私なんかは「いくらなんでも受験生をナメすぎだろ」と思いましたが、意外に試験として機能しているのかもしれません。
iMac　　 2月29日（水） 12:09:01　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:ブログ　　39033
六さん
よくわかりませんが一応・・・・・・　　　　　　　　　　　　　　　　　計算を続けると、(2→4→8→)1→3→6→1→2→5→1　　　　　　　　　　　という周期になっていることがわかる。「これは先頭の数字だけ並べてある」　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　この4に注目すると最初は、(＜2＞)＜12＞、そして、＜22＞、＜32＞＜42＞＜52＞＜62＞＜72＞＜82＞＜92＞＜102＞＜112＞＜122＞となる。よって12個。　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　 2月29日（水） 18:41:18　　 　　39034