Ｍｒ.ダンディ
∠Ａの二等分線とＣＰ，ＢＣとの交点をそれぞれ　Ｑ，Ｈとし、ＱとＢを結ぶと
∠ＣＱＨ＝∠ＢＱＨ＝∠ＡＱＰ＝∠ＢＱＰ＝60°
∠ＡＢＰ＝∠ＱＢＰ＝4°
よって、Ｐは△ＡＢＱの内心　→　∠ＱＡＰ＝∠ＱＡＢ/2＝26°
したがって
∠ＡＰＣ＝180°−（60＋26）°＝94°　・・・・・としました。

すっきりした　いい問題ですね。（それにしても、上手く作られるものですね。感服いたします）
　　 12月8日（木） 0:20:47　　 　　38652
マサル
ちょっとお知らせ。

12/18（日）に、算チャレにゆかりの深い方々（まぁ、現常連さんとか元常連さんとか）で忘年会をやります。場所は都内ですが、未定。（恵比寿駅近くか、東京駅近くかのどちらかが濃厚）もし参加してみたい方がいらっしゃいましたら、メールをくださいませ。
iMac　　 12月8日（木） 0:28:34　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:Men @ Work　　38653
スモークマン
図が載せられないので説明がもどかしいんだけど...^^;
半径が2:1の円の重なりの部分が AP と考えれば...
大きな円の中心Oとすると、角AOP=8°
OP の延長と小さい円との交点xとすると...
角AXP=8°
つまり...x=C で...OPCは一直線状にあり、OA=AC も満たしている...
結局...
求める角=180-(180-8)/2=94°
♪
でいいのかなぁ...?
　　 12月8日（木） 2:38:20　　 　　38654
数樂
#38654 とほぼ同じ。
△OPAが頂角8°の二等辺三角形で、底角86°
86°＋8°=94°
でも半分勘です。

#38652 の回答を見て、
スッキリしました。
こういう解き方、ひらめきたかったです。

図形をひっくり返して平行四辺形作ったり、
切って貼ったりしましたが、うまい解法見つけられず。
僕にとっては難問でした。

　　 12月8日（木） 5:33:48　　 HomePage:数樂　　38655
☆彡
あーあまたまた忘れてた
http://www.gensu.co.jp/saito/langley/
のサイトがブックマークに入ってたからちょっとズルではあるけど
確実に一位とれたのに(笑)
　　 12月8日（木） 8:05:02　　 　　38656
ハラギャーテイ
おはようございます。三角関数を使ってしまいました。すみません！
山口市　　 12月8日（木） 8:24:48　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　38657
doba
#38656
ちなみに、そのサイトの最初のFlashで、
系列を1-13にして、x=94とすると、 #38652とはまた別の証明方法のヒント図が現れます。
（系列1-13のx=140は、いわゆるラングレーの問題ですね）

ズルをするなら２番目のFlashで（笑）
　　 12月8日（木） 10:40:18　　 　　38658
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
あーダメだ，何か全然冴えなくて結構考え込んでしまいました。もっとも，結局，こんな感じでスッキリ (^^;

A から BC に垂線を下ろしその足を H，AH と PC との交点を D とします。
すると，△ABC は二等辺三角形なので ∠ABC = ∠ACB = (180°- ∠BAC)/2 = (180°- 104°)/2 = 38°，
対称性より ∠DBC = ∠DCB = 30°で，
まず，∠ABP = ∠ABC - ∠PBC = 38°- 34°= 4°，∠DBP = ∠PBC - ∠DBC = 34°- 30°= 4°で，∠ABP = ∠DBP，
さらに，∠BDH = 60°，∠BDP = ∠DBC + ∠DCB = 30°+ 30°= 60°，
∠ADP = 180°- ∠BDH - ∠BDP = 180°- 60°- 60°= 60°で，∠BDP = ∠ADP，
つまり，P は △ABD の内心，三つの内角の二等分線の交点，になります。
そこで，∠ABD = 8°，∠ADB = 120°より，∠BAP = ∠DAP = (180°- ∠ABD - ∠ADB)/2 = (180°- 8°- 120°)/2 = 26°となって，
∠APC = 180°- ∠DAP - ∠ADP = 180°- 26°- 60°= 94°，になります。
ネコの住む家　　 12月8日（木） 11:25:21　　 　　38659
uchinyan
掲示板を読みました。

#38652，#38659
P が，A，B，∠BAC の二等分線と PC の交点，の三点が作る三角形の内心になっていることを利用する解法。

#38654，#38655
＞半径が2:1の円の重なりの部分が AP と考えれば...
という解法？　重なり部分の共通弦が AP ですね。
また，多分ですが，大円は A，B，P を通る円で，AX は小円の直径なのでしょうか。
このとき C は小円上にはありますが，うまく X と一致するのかな。
そのとき，AC が小円の直径になっていそうですが，半径比がうまく 2：1 になっているのかな。
なかなか面白い考え方ですが，よく分からない。
こうしたことをもう少しきちんと詰めた方がよさそうな気がします。
なお，発想は大分違うのですが，出来上がる図の状況は#38662と似ているようです。

#38662
AB を一辺とする 正三角形AOB を AB から見て P と反対側に作って考える解法。

#38657
数学による解法。

なお，

#38656，#38658
おっと，ラングレーもどきの問題だったのかな？
時間が取れたら，ゆっくり見させていただきます。
ネコの住む家　　 12月8日（木） 15:12:33　　 　　38660
doba
今回の問題がラングレーの問題と同じ系列にあるので，
今回の問題の内心を使った証明を参考にして，ラングレーの問題の傍心を使った証明を作ることができましたー♪

【問題】（ラングレーの問題）
凸四角形ABCDにおいて，
∠ABD=20°， ∠DBC=60°， ∠BCA=50°， ∠ACD=30°のとき，
∠BDA=30°となることを証明せよ。

【証明】
∠ABCの二等分線と線分CDとの交点をEとし，
線分BEのE側の延長上に点Xを，線分ABのA側の延長上に点Yをそれぞれとる。
∠CAB=50°=∠BCAなので，BC=BAであり，
２点A,Cは，∠ABCの二等分線である直線BEを軸に対称の位置にある。
∠CEB=60°なので，対称性より∠AEB=60°であり，
∠AED=∠DEX=60°となるので，直線DEは∠AEXの二等分線。
また，∠ABE=∠ABC/2=40°=2∠ABDより，直線ADは∠ABEの二等分線。
よって，点Dは△ABEの∠ABEの内側にある傍心となり，
直線ADは∠YAEの二等分線である。
∠CAE=∠ACE=30°（対称性より），∠YAE=180°-∠CAE-∠CAB=100°，
∠DAE=∠YAE/2=50°，∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB=130°，
∠BDA=180°-∠DAB-∠ABD=30°　　　　（証明完）
　　 12月8日（木） 12:34:37　　 　　38661
doba
#38658 で触れた今回の問題の「別の証明方法」も書き下しておきます。

∠ABC=∠BCA=38°，∠ABP=4°，∠PCA=8°．
ABを一辺とする正三角形AOBをABから見てPと逆側に作ると，
∠CAO=104°+60°=164°で，AO=AB=ACなので，
∠AOC=∠OCA=8°．
∠OCA=∠PCAより，３点OPCは同一直線上にある。
∠OBP=∠OBA+∠ABP=64°，∠BPO=∠BCP+∠PBC=64°=∠OBPより，
OP=OB=OAとなり，
∠AOP=8°より，∠OPA=∠PAO=86°．
∴　∠APC=180°-∠OPA=94°．
　　 12月8日（木） 13:27:53　　 　　38662
Ｍｒ.ダンディ
#38661 （ラングレーの問題）
すばらしい解法　！！
さすがですね〜（早速メモさせてもらいました）
　　 12月8日（木） 13:50:38　　 　　38663
せ
ＡからＢＣへの垂線とＰＣとの交点をＱとしてＰが△ＡＢＱの内心であることからから解きましたが、
こちらでの皆さんの書き込みを見ながら自分の解法を確認したら、別の角の角度として図にメモしていた６０°（証明には使用しませんがＰからＢＣへの垂線を図に書いていた）を∠ＢＱＰの数値だと勘違いして解いていました。
答えは合っていましたが（たまたま）テストだとしたら証明部分はバッテンですな。
　　 12月8日（木） 13:58:05　　 　　38664
せ
「ラングレーの問題」で気づきましたが、
点Ｐと点ＱとＢＤとＰからＢＣへの垂線の交点の３点で正三角形が出来てますね。
　　 12月8日（木） 14:04:14　　 　　38665
abcba@jugglermoka
報告です。この度自分の製作したオリジナル数理パズルがパズル通信二コリ137号に見事掲載されました。どのパズルが掲載されたかは発売日前なので発売してのお楽しみにさせていただきますが、ルールから完全オリジナルの今までにはない新作が掲載されたとだけ報告しておきます。発売日は12月10日で一人でも多くの人に解いて頂きたいので宜しくお願い致します。問題の隣に作者名が書いてありbaLLjugglermoka作と書いてあるのが自分の問題です。
　　 12月8日（木） 14:26:03　　 　　38666
uchinyan
#38662
なるほど。面白いですね。
なお，発想は大分違うのですが，出来上がる図の状況は#38654などと似ているようです。
これが，#38654などの裏付けになっているのかな。
ネコの住む家　　 12月8日（木） 15:10:17　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　38667
sinnta
最初は三角形の中からやっていきましたが発想を変えて外からやっていたら,
見事に正解にたどりつきました。
愛知　　 12月8日（木） 15:51:03　　 　　38668
スモークマン
#38660
uchinyanさんへ ^^
半径が 2 : 1 の円ってのは怪しかったですね...
でも...半径の比率はともかくとして...Orz...
その重なりの弦をAPとすると...
大円の中心 O として...角AOP=8°
大円の中心 O とP を結んだ線と小円との交点を C とし...
そのとき、角ACP=8° になる図は描けるはずなので...
そのとき...AO=AC　は担保されてしまいますが...
AB は、大円上に角OAC=60°の点として取れるので...二等辺三角形ABCは存在できる...
前半部だけで...角APCは求まっちゃう...^^;...?
　　 12月8日（木） 16:01:36　　 　　38669
uchinyan
#38669　スモークマンさん
#38662をご覧ください。小円はちと怪しいですが，多分，これが裏付けになっていると思います。
ネコの住む家　　 12月8日（木） 18:04:15　　 　　38670
hide
解けないとあきらめて座標置きで最後にポケコン
30+arctan((√3*tan34*tan38+tan38-2*tan34)/(√3*tan34-1))=94
汚い解法……

ラダトーム　　 12月8日（木） 22:15:58　　 　　38671
hide
数検１級１次にて驚異の正解率１．０％の問題です。
よろしければ眺めてみてください。
（１次は答えのみ記す形式）

問い
x=2cos(2π/7)を零点にもつ有理数係数の多項式P(x)のうち、次数が最小かつ、最高次の係数が１であるものを求めなさい。
（※転載者注：P(2cos(2π/7))=0となるようなP(x)ということです）
ラダトーム　　 12月8日（木） 21:53:34　　 　　38672
ちば けいすけ
結果的には#38652，#38659と同じですが、「二等辺三角形を見たら折り返す」の定石にしたがって、CをBに重なるように折り返したらPが角の二等分線上にあるように見えたので解法を思いつきました。
　　 12月8日（木） 22:27:42　　 　　38673
doba
#38672
答えだけなら
P(x)=x^6+2x^5-3x^4-6x^3+2x^2+4x+1
のような気はしますが、それが次数最小というのを示せと言われると
フリーズしてしまいますね。
（上の答えは、c=cosθとするとcos(7θ)=64c^7-112c^5+56c^3-7cで、
θ=2π/7とするとcos(7θ)=1となることより。）
　　 12月8日（木） 23:03:23　　 　　38674
☆彡
2π/7=θと置くと
cos(3θ)=cos(4θ)より
4cos^3θ-3cosθ=8cos^4θ-8cos^2θ+1

cosθ=xと置くと
8x^4-4x^3-8x^2+3x+1=0
(x-1)(8x^3+4x^2-4x-1)=0 明らかx=1では無いので
8x^3+4x^2-4x-1=0を満たすので

x^3+x^2/2-x/2-1/8=0は条件を満たす
またcos(2π/7)は無理数
証明はq/pとかおいて分母払うやつで
とりあえずここまで
　　 12月8日（木） 23:16:45　　 　　38675
☆彡
あそうか
無理数なので一次式なことはありえない
２次式が存在するとき
8x^3+4x^2-4x-1が一次式×二次式の形になるので上よりありえない
よって最低でも３次式なので
P(x)=8x^3+4x^2-4x-1
　　 12月8日（木） 23:23:51　　 　　38676
☆彡
あー下の全部2cos(2π/7)じゃなくてcos(2π/7)で考えてますね書き直します2π/7=θと置くと
cos(3θ)=cos(4θ)より
4cos^3θ-3cosθ=8cos^4θ-8cos^2θ+1

cosθ=xと置くと
8x^4-4x^3-8x^2+3x+1=0
(x-1)(8x^3+4x^2-4x-1)=0 明らかx=1では無いので
8x^3+4x^2-4x-1=0を満たすので2cos(2π/7)=tと置くと
t^3+t^2-2t-1=0となり
またtが有理数と仮定しt=p/qと置くと(pqは互いに素な整数でq>0)
p^3/q^3+p^2/q^2-2p/q-1=0
両辺にq^2を掛けると
p^3/q+p^2-2pq-q^2=0
p^3/q=q^2+2pq-p^2
右辺が整数なので左辺も整数なのでq=1となりtは整数となるがありえないのでtは無理数

tが無理数なのでP(x)が一次式には成り得ない。
t^3+t^2-2t-1=0が成り立つのでP(x)が二次式の時
二次式×一次式の形になるので上よりありえない。
よって最低でも３次式なので
P(x)=x^3+x^2-2x-1である。

なんか学コンぽいなーと

　　 12月8日（木） 23:36:56　　 　　38677
doba
なるほど。cos(3θ)=cos(4θ)、たしかにそうですね。
ちなみに、さっき書いたx^6+2x^5-3x^4-6x^3+2x^2+4x+1は
(x^3+x^2-2x-1)^2と因数分解できましたｗ
（チェビシェフの多項式の性質を考えたら、64c^7-112c^5+56c^3-7c=1の解が
c=1以外は全部重根になるのも当然でした。）
　　 12月8日（木） 23:49:52　　 　　38678
夕凪
BP，CPを延ばしたら、何となくこうなるのではと思っただけ。
ぶっちゃけ勘です
この掲示板のやり方みて、勉強します。。。OTL
　　 12月9日（金） 9:15:20　　 　　38679
uchinyan
#38672他
最近の皆さんは複素数が不得手なのかな。私だったらこう考えますが．．．

z = cos(2π/7) + i * sin(2π/7) とし，「~」で複素共役を表すことにします。
すると，|z|^2 = zz~ = 1，x = z + z~ = z + 1/z で，ド・モアブルの定理より z^7 = 1 ですが，z ≠ 1 なので，
z^7 - 1 = (z - 1)(z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = 0
z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0
z ≠ 0 に注意して変形すると，
z^3 + z^2 + z + 1 + 1/z + 1/z^2 + 1/z^3 = 0
(z + 1/z)^3 + (z + 1/z)^2 - 2(z + 1/z) - 1 = 0
x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0
これより次数が下がらないことは☆彡さんのような議論をしてもいいですが，
有理係数の一次式の因数をもつには有理数解をもつことが必要ですが，x^3 の係数が 1 なので整数解しかなく，
定数項より x = 1 又は -1 ですが，これは明らかにありえないので，上式に確定します。
そこで，P(x) = x^3 + x^2 - 2x - 1 になります。

こう考えればほとんど暗算でもでき，難しくないと思うのですが，「正解率１．０％」というのは不思議。
何か抜けがあるのかな？　それともやはり複素数が不得手なため？
ネコの住む家　　 12月9日（金） 11:13:09　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　38680
☆ミ
現役の高校生ですが
高校数学で範囲外だから複素平面はさっぱりですね
まぁ正解率1%はちょっと信じれないですね
　　 12月9日（金） 12:19:48　　 　　38681
doba
#38680
本当に「最近の皆さん」だと、高校の教科書（数学I〜III，A〜C）では、
複素数は２次方程式の解として数IIで簡単に扱うものの
複素数平面は出てこないので、そもそもド・モアブル自体を知らない…
つまり、複素数というものをわざわざ扱うことに意味がある、という部分を
一切教わらないまま高校を卒業してしまうという悲しい実態があるので…。

「-1の平方根とかそんな存在しないものを考えて、何の役に立つねん」という
最初複素数を習ったときにだれもが感じる疑念が一切改善されず、
複素数についてのビジュアルイメージが何もないまま、
高校教育が終わって本当にいいのかなあ。
　　 12月9日（金） 12:22:21　　 　　38682
hide
考えていただいてありがとうございます。
正解はP(x)=x^3+x^2-2x-1　で合ってます。
自分は#38674のdobaさんのように７倍角を考えました。計算が大変でした（笑
そして正解でないというorz
ネットで調べて#38677で書かれているような方法を知ったのですが、#38680の解法はきれいですね。
三角関数をみてド・モアブルを思いつけないあたり、まだまだ修行が足りないと痛感させられました。

その後自分でも以下のように考えてみました。
ttp://blog-imgs-30.fc2.com/h/i/d/hidnoblog/2cos2Pi7.gif

参考になる意見など多数ありがとうございました。
ラダトーム　　 12月9日（金） 13:09:40　　 　　38683
uchinyan
なるほど，今の高校生は不幸ですね．．．
でも，「数検１級」って，確か高校レベルではなく大学レベルですよね？
文系の学生はいいとしても，理系の学生が複素数を使えなかったら，工学だって学べないと思うんだけど。
日本の将来がすごく心配になって来ました．．．
ネコの住む家　　 12月9日（金） 13:28:12　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　38684
ぽっぽ
自分もuchinyanさんと同じようにやりました。

でも、hideさんの解き方が面白いなと思って初等的にやってみました。

△ABCはAB=ACを満たし、∠A＝π/7、BC=1であるとする。
辺AC上にBC=CDを満たす点Dを、辺AB上にDB=DEを満たす点Eをとり、さらに辺AC上にDE=DFとなるような点Fをとる。
ここで、θ＝π/7、BE=xとおく（x=2cos(2/7π)）。
ここでBC=BD=DE=DF=1となることが分かる。
△ABC∽△BCDより、
AB*CD=BC*BD
CD=1/AB、AB=x+1よりCD=1/(x+1)
AF=AC-CD-DF=x+1-1/(x+1)-1=x-1/(x+1)
角度の関係から△AEF=△ABDになるので、
AF*AB=AD*AE
(x-1/(x+1))(x+1)=x+1-1/(x+1)
x^2+x-1=x+1-1/(x+1)
x^3+2x^2-1=x^2+2x
x^3+x^2-2x-1=0
x=2cos(2/7π)より、求める式は
x^3+x^2-2x-1=0
　　 12月9日（金） 17:32:53　　 　　38685
hide
#38685
なるほど初等幾何でもできるんですか。
点Fの取り方が巧みですね。
あの図は、cos72°の求め方を利用できないかと考えた結果生まれました。
ラダトーム　　 12月9日（金） 18:08:06　　 　　38686
ぽっぽ
ガウス平面で思い出したんですが、ガウス平面のすごさを思い知らせるような定理があります。

外接円半径が1である正n角形において、これの頂点である点Aから引かれている対角線の長さの積はnになる。

暇があれば証明してみてください。

例えばn=3のとき、(√3)^2=3,n=4のとき、√2*2*√2=4となり、成り立ちます。
　　 12月9日（金） 19:25:50　　 　　38687
ぽっぽ
補足ですが、対角線には辺も含めます。
　　 12月9日（金） 19:26:36　　 　　38688
英ちゃん
お久しぶりです。
#38652と同じです。
　　 12月10日（土） 2:15:31　　 HomePage:つぃった　　38689
uchinyan
#38685，#38686
確かに，初等幾何での証明も面白いですね。
ぽっぽさんのは点の位置をうまく工夫しているようですが，単純に，hideさんの図，つまり，
∠BAC = π/7，AB = AC，D は AB 上，E は AC 上で，AD = DE = BE = BC
の場合でも，BC = 1 とすると，BD = 2cos(2π/7) = x なので，
∠ABE の二等分線を引き AC との交点を F とし，AE = y とすると，相似と角の二等分線の定理で，
△FAB ∽ △DAE，(y * (x+1)/(x+2))：(x+1) = 1：y，y^2 = x+2
△ABC ∽ △BCE，(x+1)：1 = 1：((x+1) - y)，(x+1)y = (x+1)^2 - 1 = x(x+2)，(x+1)^2y^2 = x^2(x+2)^2
y を消去して，
(x+1)^2(x+2) = x^2(x+2)^2
(x+1)^2 = x^2(x+2)
x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0
と，簡単に出てきますね。
ネコの住む家　　 12月10日（土） 15:45:17　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　38690
uchinyan
#38687
確かに，ガウス平面＝複素平面を使えばほとんど明らかですね。
でも，美しい関係だなぁ。
ネコの住む家　　 12月10日（土） 15:47:13　　 　　38691
通りすがり
http://d.hatena.ne.jp/kuro-yo/20070418/ 117691203
を検索すれば証明が書かれていますね。
　　 12月10日（土） 17:04:24　　 　　38692
ひらけん胆膵
三角関数や座標に持ち込めないので正解率が上がっていないと推測。最初∠ACPの二等分線を引いて考えたが完全に迷宮入り。休憩３日。AからBCに下ろした垂線とCPの交点をRとすると��ABRの内心がＰ・・・気づけば５分もかからない。解けた時はうれしかったです。
　　 12月13日（火） 0:41:24　　 　　38693
ちば けいすけ
そういえば、正解率ってどうやって算出しているんですか？答えがあっているかどうかはこの掲示板に入れるかどうかでわかるので、間違った解答を送る人はほとんどいないような気がするのですが。
　　 12月13日（火） 16:09:40　　 　　38694
☆彡
リアルタイムだと認証できないので誤答も結構送ってますけどね
　　 12月14日（水） 1:40:26　　 　　38695
ぼふぼふ
『答えがあっているかどうかはこの掲示板に入れるかどうか』

で、算出するのでしょうね、
　　 12月14日（水） 10:07:15　　 　　38696