nora
久しぶりに来ましたｗ
なんか適当に補助線などを入れているうちに、
おもに相似を使って解けましたね。
　　 10月20日（木） 0:10:43　　 　　38485
ちゃーみー
P から BC に垂線 PH を下ろし，BH : PH : CH =　9 : 5 : 5 および
三角形 APQ と三角形 HPB の相似から。
　　 10月20日（木） 0:12:13　　 　　38486
Ｍさん
ＰからＢＣに垂線Ｈをおろして、ＢＨ：ＰＨ＝９：５
△ＰＨＢ∽△ＰＡＱより、ＡＱ：ＱＢ＝１８：１７まで出して
あとは線分の比で。

というのは、解答送信後冷静になってから思いついたもので

最初は、図を１３５度回転して、ＡＢ＝ＡＣ＝７として　座標計算して
三平方と余弦定理でゴリゴリに求めました。
第２グループ　　 10月20日（木） 0:17:46　　 HomePage:受付中　　38487
Ｍｒ.ダンディ
とりあえず、三角関数を使って答えを出しました。これから　ボチボチと
算数で解いてみます。
〔追記〕算数でも解きました。
ＡＰ＝2、ＰＣ＝5　とし、ＰからＡＣに垂線ＰＨを下ろすと
△ＡＢＣ＝49/2　、△ＢＣＰ＝（49/2)*(5/7)＝35/2
△ＰＣＨは、対角線5の正方形の半分　より　25/4
よって、△ＰＢＨ：△ＰＣＨ＝(35/2−25/4)：25/4＝9：5
∴ＰＨ：ＢＨ＝ＣＨ：ＢＨ＝5：9
△ＰＱＡ∽△ＰＢＨ　より　ＡＱ＝2*(9/5)＝18/5
ＡＱ：ＱＢ＝17：18　
よって　
△ＰＱＢ＝△ＰＢＡ*(17/35)＝△ＡＢＣ*(2/7)*(17/35)＝（34/245)*△ＡＢＣ
となりました。（なんか、遠回りっぽい）
　　 10月20日（木） 1:05:10　　 　　38488
しぶやん
AP=2、PC=5として計算しました。

Aから辺BCに垂線AH、Pから辺BCに垂線PIを下ろすことにより、
HI:IC=2:5
BH=CHより、BH:HI:IC=7:2:5
△PICは直角二等辺三角形だから、IC=IP
よって、△BIPにおいて、
BI:IP=(BH+HI):IP=(7+2):5=9:5
△BIP∽△QAPより、QA:AP=BI:IP=9:5となるので、QA=18/5と求まり、
BQ=7-(18/5)=17/5

よって、
△PQB=(17/5)×2×(1/2)=17/5
△ABC=7×7×(1/2)=49/2
だから、△PQB/△ABC=(17/5)×(2/49)=34/245…答え

という感じで解きました。
　　 10月20日（木） 0:24:44　　 　　38489
新参者
ＱＰとの平行線をＢからＡＣに引き、その交点をＲとし、ＡＲ：ＲＣ＝５：４を求め、ΔＡＰＱとΔＡＲＢは相似なのでＡＰ：ＡＱ＝５：９から解きました。
　　 10月20日（木） 0:40:14　　 　　38491
小学六年生
初めは△ＡＰＱと相似な図形を作ろうとして２０分以上頑張りましたが、途中であきらめてみなさんと同じ解法になんとかたどり着きました。
地底世界　　 10月20日（木） 0:45:06　　 　　38492
abcba@jugglermoka
今回の問題でAP:PC=N:Mの場合求める答えは
��PQBの面積は��ABCの(M^(2)−2N^(2))N/(M(M+N)^(2))倍になる。
　　 10月20日（木） 1:00:25　　 　　38493
スモークマン
やっと気づけましたぁ...^^;
上の方の三角形を底辺に置くと(Bにはめて)...高さが2となり...
あとは...比例計算...√2なんぞもやっとこ繰り出しながらのですけど...Orz...
金光＠岡山　　 10月20日（木） 1:00:51　　 　　38494
ゴンとも
#38487

>最初は、図を１３５度回転して、ＡＢ＝ＡＣ＝７として　座標計算して
>三平方と余弦定理でゴリゴリに求めました。

座標に置くにしても全く同じで驚きました。

座標にA(0,0),B(7,0),C(0,7),P(0,2),Q(a,0)と置くと
cos∠PQA=a/sqrt(a^2+4)
cos∠CBQ=((7*sqrt(2))^2+(sqrt(53))^2-5^2)/(2*7*sqrt(2)*sqrt(53))
この二角が問題文の赤丸の角で等しいから
a/sqrt(a^2+4)=((7*sqrt(2))^2+(sqrt(53))^2-5^2)/(2*7*sqrt(2)*sqrt(53))　変形して
2*7*sqrt(2)*sqrt(53)*a=(98+53-25)*sqrt(a^2+4)
2*7*sqrt(2)*sqrt(53)*a=126*sqrt(a^2+4)
2*7*sqrt(2)*sqrt(53)*a=2*7*9*sqrt(a^2+4)
sqrt(2)*sqrt(53)*a=9*sqrt(a^2+4)　　両辺正だから辺々2乗して
106*a^2=81*(a^2+4)　106*a^2=81*a^2+81*4
25*a^2=81*4　a^2=9^2*2^2/5^2　a=9*2/5=18/5　より
△PQB=(7-18/5)*2/2=35/5-18/5=17/5
△ABC=7*7/2=49/2　より　
△PQB/△ABC=(17/5)/(49/2)=17*2/(5*49)=34/245・・・・・・(答え)
豊川市　　 10月20日（木） 1:08:30　　 　　38495
きょろ文
垂線を下ろして相似な三角形を考えてあとは面積比でしょうか
　　 10月20日（木） 2:52:28　　 　　38496
aibo
△APQを△PBCと重ねて相似比で解きました。
ただ√が出てきましたが(笑)
先週のは解けずにいたので、解けてよかったです。
　　 10月20日（木） 3:07:30　　 HomePage:aibo　　38497
ぼふぼふ
解けました。
　　 10月20日（木） 11:00:48　　 　　38498
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，算チャレとしては，標準的か，やや易しめ，といった感じでしょうか。楽しい問題だと思います。こんな感じで。

(解法1)
まず，比を求めるので全体のスケールは自由に取れて，AP = 2，PC = 5，単位は例えば cm，として考えます。
すると，AB = AC = 7，△ABC = 7 * 7 * 1/2 = 49/2，です。
A，P から BC に垂線を下ろしそれぞれの足を H，I とします。
すると，△ABC は直角二等辺三角形なので，AH = BH = CH，AH：PI = CA：CP = (5 + 2)：5 = 7：5 で，
△ICP も直角二等辺三角形なので，CI = PI，PI：IB = PI：(BC - CI) = 5：(7 * 2 - 5) = 5：9，になります。
一方で，△PAQ ∽ △PIB なので，PA：AQ = PI：IB = 5：9，2：AQ = 5：9，AQ = 18/5，BQ = AB - AQ = 7 - 18/5 = 17/5，となり，
△PQB = BQ * AP * 1/2 = 17/5 * 2 * 1/2 = 17/5，△PQB/△ABC = 17/5 * 2/49 = 34/245
つまり，△PQB は △ABC の 34/245 倍になります。

(解法2)
AH：PI = 7：5 までは(解法1)と同じです。これより，△PBC = △ABC * 5/7 = 49/2 * 5/7 = 35/2 です。
さらに，△PCI も直角二等辺三角形なので，△PCI = CP * CP/2 * 1/2 = 5 * 5/2 * 1/2 = 25/4，となり，
△PIB = △PBC - △PCI = 35/2 - 25/4 = 45/4 です。
ここで，P から BC に平行な線を引き AB との交点を R とすると，△ARP も直角二等辺三角形なので，
AR = AP = 2，△ARP = 2 * 2 * 1/2 = 2，△ARP ∽ △PCI，(AP * AP)：(IP * IP) = △ARP：△PCI = 2：(25/4) = 8：25 です。
一方で，△PAQ ∽ △PIB なので，△PAQ：△PIB = (AP * AP)：(IP * IP) = 8：25，△PAQ：(45/4) = 8：25，△PAQ = 18/5，となり，
△PQB = △ABC - △PAQ - △PBC = 49/2 - 18/5 - 35/2 = 17/5，△PQB/△ABC = 17/5 * 2/49 = 34/245
つまり，△PQB は △ABC の 34/245 倍になります。
ネコの住む家　　 10月20日（木） 12:06:47　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　38499
ハラギャーテイ
三角関数です。BPの長さに余弦定理を使いました。
山口市　　 10月20日（木） 12:46:08　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　38500
uchinyan
掲示板を読みました。ただ，詳細がよく分からないものもあります。

#38485
＞なんか適当に補助線などを入れているうちに、
＞おもに相似を使って解けましたね。
という解法。詳細は不明。

#38486，#38487，#38488の[追記]，#38489，？#38492，#38499の(解法1)
P から BC に垂線 PH を下ろし，BH：PH：CH = 9：5：5，△APQ ∽ △HPB，AQ：QB = 18：17 などから求める解法。
ただ，途中は若干のバリエーションがあるようです。

#38491
＞ＱＰとの平行線をＢからＡＣに引き、その交点をＲとし、ＡＲ：ＲＣ＝５：４を求め、
＞ΔＡＰＱとΔＡＲＢは相似なのでＡＰ：ＡＱ＝５：９から解きました。
という解法。ただ，「ＡＲ：ＲＣ＝５：４」の求め方は不明。

#38496
＞垂線を下ろして相似な三角形を考えてあとは面積比でしょうか
という解法。詳細は不明。

#38499の(解法2)
P から BC に垂線 PI を下ろし △APQ ∽ △IPB を使うのは同じですが，以降，面積比を中心に解く解法。
面積比を使うことで√を使わない工夫をしています。

#38487の後半，#38488の前半，#38494，#38495，#38497，#38500
数学による解法。
ネコの住む家　　 10月20日（木） 13:25:56　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　38501
imai
PからBCに垂線PHを引いて相似を使いました
　　 10月20日（木） 14:02:49　　 　　38502
せ
ＰからＢＣに垂線をおろして△ＡＰＱとの相似で解きました。
相似比に根号が出てきましたが、面積比にするときに消えるはず
と信じてゴリゴリ計算しました。
問題を解いている途中で根号が出てきたり、分母や分子に２〜３桁の素数が
出てきたりするとかなり不安になります。

　　 10月20日（木） 15:47:04　　 　　38503
あみー
とりあえず正方形にしてから相似でも探すか，と正方形にして。
ああ、この５：５：９の相似か，と気づいて。

…正方形に拡大した事を忘れ，17/245という答えを送信してしまいましたとさ。
どうも参加がとびとびだと，バカになっていく気がしています。
　　 10月20日（木） 18:26:27　　 　　38504
ちば けいすけ
この問題のように、うまい補助線を引くことによって解が導けるような図形問題が好きです。

計算用紙の都合でACが底辺になるような向きの図を描いて考えました。
そのせいか、PからBCに垂線を下ろすことを思いつくより前に、AB上に点D、BC上に点Eを、それぞれPD//CB、PE//ABとなるようにとり、△QPD∽△BQEからAQ:BQ=18:17を導きました。
でもPからBCに垂線を下ろすほうがスマートですね。
　　 10月20日（木） 23:24:35　　 　　38505
nora
#38486，#38487，#38488の[追記]，#38489，？#38492，#38499の(解法1)
と同じ解き方だったのですが、眠かったので、簡単にしか書かなかっただけですｗ

#38503 (toせさん)
確かに、ややこしい計算がでてきたら不安になりますよねｗ
　　 10月20日（木） 23:37:02　　 　　38506
ペルソナ
きったない答えでふいたｗｗ
　　 10月21日（金） 0:07:34　　 　　38507
つ(・ω・)つ
初挑戦で正解　幸先良い
∠ＰＱＡ＝∠ＣＢＰから面積比しか浮かばなかった
残念(´・ω・`)
　　 10月21日（金） 23:17:01　　 MAIL:jo3kcq789@yahoo.co.jp 　　38508
ばち丸
#38502　imaiさんに同じ。特にコメントすることもないです
　　 10月22日（土） 9:34:40　　 　　38509
ぽっぽ
そういえば、ずっと前から疑問に思っていた問題が今日、ついに解決しました。
面白かったので解いてみてください。

群論の基礎知識がないと解きにくいかもしれません。

立方体の辺を赤と青で塗り分ける方法は何通りあるか？回転して一致するものは同じものとし、使わない色があってもいいものとします。
　　 10月22日（土） 22:08:34　　 　　38510
雄輝
初めてこの部屋に入れたー！！ｗｗ

ＡからBCに線引いてBPとの交点とBCとの交点とＢ使って△AQPと相似を使いました。
あとは…メネとか。

うーん面倒だったね俺の方法orz
　　 10月23日（日） 15:57:45　　 　　38511
浮浪
いい問題ですね
　　 10月23日（日） 17:24:13　　 　　38512
ひらけん胆膵
７歳の子供が「今回まだやってないの、できないの？」と文句たれてきた。
風邪引いて頭使いたくないので、余弦定理で答えだけ出した・・。
　　 10月23日（日） 20:11:41　　 　　38513
uchinyan
#38510
＞立方体の辺を赤と青で塗り分ける方法は何通りあるか？
＞回転して一致するものは同じものとし、使わない色があってもいいものとします。
「塗り分ける」の意味があいまいですが，少なくとも，一つの辺には同じ色を塗る，のでしょう。この後ですが．．．

ナイーブに解釈すると，「塗り「分ける」」のだから，隣り合う辺には異なる色を塗る，のだろうと思います。
これだと，明らかに 0 通りです。
しかしこれでは問題にならないし，「使わない色があってもいい」がナンセンスです。
そこで，多分，隣り合う辺に同じ色を塗ってもよい，のだろうと思います。
これだと，かなり面倒な問題ですが，218 通り，になるようです。

一所懸命に数えても何とかなりますが，かなり面倒です。実は，私はこの方法ではまだうまくいっていません。
そこで，プログラムを組みました。その結果が 218 通り。
ところが，難しくなりますが，実は，群論の知識を使うと比較的容易に解けてしまい，一般に n 色以下の場合で，
(n^12 + 3 * n^6 + 6 * n^3 + 6 * n^7 + 8 * n^4)/24 通り
と計算できてしまいます。今は n = 2 で，218 通り，になります。キーワードは，ポリアの定理です。
ただ，この理解には群論の知識が必要で，私もまだ十分には理解できていません。

なお，この問題の類題が，CRYING DOLPHINさんのサイトでの没になった過去問にあり，掲示板で話題になって，ポリアの定理を知りました。
私は，群論は暇を見てボチボチ勉強中なので，その理解も道遠しです。
ネコの住む家　　 10月25日（火） 16:09:30　　 　　38514