cyclone
わからないのでBASIC使いました‥
　　 10月13日（木） 0:14:52　　 　　38451
CRYING DOLPHIN
たぶんカタラン数がらみだろうなあ〜と思いつつ、数え上げました。
誰もいない市街地　　 10月13日（木） 0:18:43　　 HomePage:算数＆隧道　　38452
Ｍさん
左下の１　と右上の９　は固定して
ど真ん中は４or５or６になるので
ひたすら数えました。
真ん中が４で12通り
５で18通り
対称性で６も12通り　計42通り
第２グループ　　 10月13日（木） 0:22:33　　 HomePage:受付中　　38453
小学六年生
初めは道順かと思ったのですが、混乱してしまってできませんでした・・・結局は２，３，７，８の場所で場合分け。道順はどんな立体なのだろう。
地底世界　　 10月13日（木） 0:23:53　　 　　38454
英ちゃん
・1と9は確定。
・2の位置は２通り
・３，４の位置は　A:１２３４が２×２になる→１通り　B:１２３４が　「　の形になる→３通り
・５，６の位置は　C:１２３４５６がピラミッド　D:１２３４５６が２×３
としたときA-C、A-D、B-C→２通り　B-D→１通り
・７，８の位置は　C→２通り　D→１通り

と順に数えました。あとはそれぞれで足しました。
綱島　　 10月13日（木） 0:26:36　　 HomePage:つぃったー　　38455
かかか！
中央の数が4の場合、5の場合、6の場合に分けました。
最初に一番上の真ん中の数を固定したところ
15分もかけた挙句3つもカウントミスしてました…

それとこのサイトのおかげで
苦手だった確立や場合の数の単元が大得意になりました
ありがとうございます！！
　　 10月13日（木） 0:26:45　　 　　38456
masa
右列上段と左列下段は9,1。中列上段と右列中段をペアにして考えると8,7又は8,6の場合があり、左列中段と中列下段ををペアにすると3,2又は4,2の場合がある。これらの組み合わせ4通りを考え、8,6の場合、4,2の場合は残り3マスのうち1つが決まってしまうことから計算しました。
　　 10月13日（木） 0:38:22　　 　　38457
ゴンとも
abc
def
ghiと置いて

十進basicで羅列させました。

for a=1 to 9
for b=a+1 to 9
if b=a then goto 80
for c=b+1 to 9
if c=a or c=b then goto 70
for d=1 to 9
if d=a or d=b or d=c then goto 60
if d>a then goto 60
for e=d+1 to 9
if e=a or e=b or e=c or e=d then goto 50
if e>b then goto 50
for f=e+1 to 9
if f=a or f=b or f=c or f=d or f=e then goto 40
if f>c then goto 40
for g=1 to 9
if g=a or g=b or g=c or g=d or g=e or g=f then goto 30
if g>d then goto 30
for h=g+1 to 9
if h=a or h=b or h=c or h=d or h=e or h=f or h=g then goto 20
if h>e then goto 20
for i=h+1 to 9
if i=a or i=b or i=c or i=d or i=e or i=f or i=g or i=h then goto 10
if i>f then goto 10
print a;b;c;d;e;f;g;h;i
10 next i
20 next h
30 next g
40 next f
50 next e
60 next d
70 next c
80 next b
90 next a
end

f9押して以下の42通りを羅列！

369258147 379258146 379268145 389257146 389267145 469258137 469358127
479258136 479268135 479358126 479368125 489257136 489267135 489357126
489367125 569248137 569348127 579248136 579268134 579348126 579368124
579468123 589247136 589267134 589347126 589367124 589467123 679248135
679258134 679348125 679358124 679458123 689247135 689257134 689347125
689357124 689457123 789246135 789256134 789346125 789356124 789456123
豊川市　　 10月13日（木） 0:57:36　　 　　38458
スモークマン
場合分けでやっと...^^;
数えたのと同じ...^^;...
斜め...2*3!*2=24
123 が塊のとき...8...2^3...789がないとき
789が塊のとき...8...2^3...123がないとき
123&789の塊のとき...2
全部で...42
ぱっとしない...^^;
みなさんので勉強〜0rz
金光＠岡山　　 10月13日（木） 0:44:49　　 　　38459
abcba@jugglermoka
１と9はユニークに決まりますね。後は1〜4の配置を決めれば直ぐに答えが出る。
　　 10月13日（木） 0:56:51　　 　　38460
新参者
兵庫県H中学平成21年度➃⑷ですね。
　　 10月13日（木） 1:07:48　　 　　38461
疑問
ふっと思ったのですが・・・
樹形図みたいなものだから、
ひっくり返して同じ並びのものは一通り、と考えなくていいのかなぁ。
（数珠順列のような）
　　 10月13日（木） 2:31:16　　 　　38462
ma-mu-ta
左列下段は1、右列上段は9、中央は4，5，6のどれか、2は1の隣（左列中段か中列下段）となります。
中央を決め、斜めを境として左上側3つと右下側3つのどちらかを決めれば残りは自動的に決まります。
左上側で考えると、2の位置を左列中段として、
中央が4のとき、左列上段は 3，5，6、中列上段は7，8 になるので、3×2＝6通り
中央が5のとき、左列上段は 3，4，6，7、中列上段は6，7，8 になるので、3＋3＋2＋1＝9通り
中央が6のとき、左列上段は 3，4，5、中列上段は7，8 になるので、3×2＝6通り
対称性により、2の位置が中列下段の場合も同じだけあるので、（6＋9＋6）×2＝42通り
　　 10月13日（木） 3:17:49　　 　　38463
あめい
１，９は両端、上または右に進むのを１手として、１手２コマ、２手３コマ、３手２コマなので、１手（２，３）、２手（４，５，６）、３手（７，８）の場合が２＊６＊２＝２４通り。１手（２，４）、２手（３，５，６）３手（７，８）の場合が２＊２＊２＝８通り、１手（２，３）２手（４，５，７）３手（６，８）の場合も８通り、１手（２，４）２手（３，５，７）３手（６，８）の場合が２通りで２４＋８＊２＋２＝４２通りとしましたが、これくらいの量なら、場合分けしなくても求める方法がありそうで・・・・何かすっきりしません。みなさんの考えを参考にさせてもらいます。
　　 10月13日（木） 9:35:01　　 　　38464
せ
場合の数は苦手です
　　　＞□＞
　＞□＞　＞□＞
９　　　□　　　１
　＞□＞　＞□＞
　　　＞□＞
こんな感じに図を書きなおして、２列目が８，７で３列目６，５，４のパターンが２×３！×２＝２４通り
６が左に来て２列目が８，６で３列目７，５，４のパターンが２×２×２（上下反転）＝８通り
３が左に来て２列目が８，７で３列目が６，５，３のパターンも２×２×２＝８通り
６も３も左に来て２列目８，６　３列目７，５，３が１×１×２＝２通り
合計で４２通り。
これは計算したといえるのだろうか？数え上げと変わらない気が・・・・・
　　 10月13日（木） 9:59:52　　 　　38465
ハラギャーテイ
おはようございます。組み合わせを利用したプログラムです。MATLBにsetdiffという
要素から要素を引く関数があって助かりました。
山口市　　 10月13日（木） 10:31:50　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　38466
次郎長
ぱっと見たときは２＾７くらいはあるのかなと思いましたが、書き出してみると意外と少なかった。１から１６だったら、私はギブアップ
　　 10月13日（木） 11:16:03　　 　　38467
ゴンとも
#38467

>１から１６だったら

24024通りになりました。
豊川市　　 10月13日（木） 12:14:40　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　38468
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
う〜む，これは算数というよりパズルでしょうか。申し訳ないのですが，個人的にはどうにも面白みが感じられなくて．．．
と，最初は思ったのですが，以下の(解法1)で解き終わった後，何かカタラン数っぽいなぁ，と気付きました。
それを使ったのが(解法2)です。しかし，却って分かりづらいかも知れませんね。

(解法1)
条件より，明らかに，
□□９　□８９　□８９　□□９
□□８　□□□　２□□　２□８
１２□　１２□　１□□　１□□
で，１番目と３番目，２番目と４番目，の場合の数は同じです。
さらに，１番目は，明らかに，５×２＝１０通り。
一方，２番目は，
□８９　□８９　□８９
□４□　□５□　□６□
１２□　１２□　１２□
のいずれかで，１番目と３番目の場合の数は同じです。
そして，この１番目は，
□８９
３４□
１２□
だけで，３通り。したがって，３番目も３通り。２番目は，
□８９　□８９　４８９
４５□　３５□　３６□
１２３　１２４　１２□
のいずれかで，それぞれ，２通り，２通り，１通り，で，５通り，結局，
最初の２番目は，３＋５＋３＝１１通り。
したがって，全部で，（１１＋１０）×２＝４２通り。

２×２で場合分けする方法もあるかも，ですが，まぁ，いいでしょう。

(解法2)
要するに数の小さい順に，下下下中中中上上上，などと並べることになります。この場合は，
７８９
４５６
１２３
で，例えば，下下中上下中上中上，だったら，
４７９
３６８
１２５
です。そこで，題意を満たす数の並びと，
下，中，上の文字を，
下が中よりも左側に多いか同じだけあり，中が上よりも左側に多いか同じだけある，
ように並べたものとが１：１に対応します。
これは，３次元の格子を考えて，横方向に下，縦方向に中，高さ方向に上，を対応させると，
３×３×３の立方体のうち，
立方体の辺三つ，立方体の面の正方形の対角線二つ，立方体の対角線，を辺とする三角すいでの経路の数え上げになります。
いわば，３次元カタラン数？　それと，図が描けないので，描けてもかな，分かりづらいかも．．．
そこで，この三角すい一番下の面から
１段目
01 01 01 00
03 02 01　<-----　01 + 02，01 + 01，01
05 02　<-----　03 + 02，02
05　<-----　05
２段目（１段目の２行目以下の１段上）
06 03 01　<-----　03(１段目から) + 03(２段目の右から)，02(１段目から) + 01(２段目の右から)，01(１段目から)
16 05　<-----　05(１段目から) + 06(２段目の上から) + 05(２段目の右から)，02(１段目から) + 03(２段目の上から)
21　<-----　05(１段目から) + 16(２段目の上から)
３段目（２段目の２行目以下の１段上）
21 05　<-----　16(２段目から) + 05(２段目の右から)，05(１段目から)
42　<-----　21(２段目から) + 21(２段目の上から)
４段目（３段目の２行目以下の１段上）
42　<-----　42(３段目から)
そこで，４２通り，になります。
ネコの住む家　　 10月13日（木） 12:45:08　　 　　38469
uchinyan
掲示板を読みました。
今回は，皆さん，結局は数え上げのようです。
私の#38469の(解法2)のようなカタラン数もどきの解法はないので，ちょっと不安になってきました。
確かに，却って面倒，ではありますが，考え方として正しそうに思うのですが，どうでしょうか？
ネコの住む家　　 10月13日（木） 12:55:18　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　38470
???
Option Explicit
'abc
'def
'ghi
Sub Macro1()
Dim a As Integer
Dim b As Integer
Dim c As Integer
Dim d As Integer
Dim e As Integer
Dim f As Integer
Dim g As Integer
Dim h As Integer
Dim i As Integer
Dim gyou As Integer
Cells(1, 1).Value = 0
For a = 1 To 9
For b = a + 1 To 9
For c = b + 1 To 9
For d = 1 To a - 1
For e = d + 1 To 9
If a <> e And b > e And c <> e Then
For f = e + 1 To 9
If a <> f And b <> f And c > f Then
For g = 1 To d - 1
For h = g + 1 To 9
If a <> h And c <> h And d <> h And e > h And f <> h Then
i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 - a - b - c - d - e - f - g - h
If f > i And h < i Then
Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
gyou = Cells(1, 1).Value * 4 - 3
Cells(gyou, 2).Value = a
Cells(gyou, 3).Value = b
Cells(gyou, 4).Value = c
Cells(gyou + 1, 2).Value = d
Cells(gyou + 1, 3).Value = e
Cells(gyou + 1, 4).Value = f
Cells(gyou + 2, 2).Value = g
Cells(gyou + 2, 3).Value = h
Cells(gyou + 2, 4).Value = i
Range("B" & gyou).Select
End If
End If
Next h
Next g
End If
Next f
End If
Next e
Next d
Next c
Next b
Next a
Range("A1").Select
End Sub
　　 10月13日（木） 13:30:01　　 　　38471
ぽっぽ
某数列サイトにn*nの場合の公式が載ってました。

(n^2)! / (product k=1, ..., 2n-1 k^(n - |n-k|))だそうです。

もっと単純な式かなと思ったんですが、面倒ですね…

最初に見たときにカタラン数的なことを思いつかれた方がいるようですが、自分はヤング図形が思い浮かびました。皆さんはいかがでしたか?
　　 10月13日（木） 16:37:02　　 　　38472
あみー
すいません，作った事のある問題だったのでパスしました。

解法は中央が４または６のとき，２×4c2
中央が５のとき，6c3−２

という手順です。

ある意味作りたくなる問題ですからねえ…。
ちなみにカタランでやろうとすると立体的になり苦しいはずです。
　　 10月13日（木） 17:12:45　　 　　38473
あみー
もう少し追加

中央４のとき，
●●９　　
Ａ４○
１Ｂ○
Ａ，Ｂは２と３の入れかえ。●●，○○は残りの４数から２数を選ぶ。

中央５のとき，
●●９　　
●５○
１○○
●●●，○○○は残りの６数から３数を選ぶ。
このとき６７８または２３４を選ぶときのみ，５との大小関係が狂う。

中央６のときは４のときと理屈が同じ。

…算数屋さんとしての解答はこんな感じです。
　　 10月13日（木） 17:17:41　　 　　38474
uchinyan
#38473
＞ちなみにカタランでやろうとすると立体的になり苦しいはずです。
私の#38469の(解法2)がそうです。確かに３次元になりました。ということは，却って面倒ですが合ってはいますね ^o^

#38472
＞最初に見たときにカタラン数的なことを思いつかれた方がいるようですが、自分はヤング図形が思い浮かびました。
ヤング図形を使う解法ってどうやるんですか？　

これですが，ちょっと調べてみました。
私には証明はできませんが，ヤング図形から作るヤング盤というのがあって，それが今回の問題に対応しているようです。
その個数の数え方にも「フック長の公式」というのがあり，それを使えば簡単に求まるようです。
#38472の式は，この公式の特殊な場合，n * n の正方形の場合，つまり今回の場合，のようですね。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%83%B3%E3%82%B0%E5%9B%B3%E5%BD%A2
ネコの住む家　　 10月13日（木） 21:09:29　　 　　38475
ぽっぽ
#38473
フック長の公式というのは、初めて知りました。

うろ覚えなんですが、ヤング図形では確か、こういう定理があったはず…

nこの四角形でできるヤング図形において、それぞれのヤング図形に対するヤング盤の数の二乗の総和はn!である。

例えば、n=4のとき
パターン1□□□□｜�´↓���

パターン2□　　│�　　　´◆　　´�　　　��
　　　　 □□□│�↓��ぁ´´��ぁ´´↓ぁ´´↓�

パターン3□□│�↓ぁ´���
　　　　 □□│�´�　�´�

パターン4□│�ぁ　´ぁ　´�
　　　　 □│��　　�◆　´�
　　　　 □□│�´◆´´�　�´�

パターン5□│��
　　　　 □│��
　　　　 □│��
　　　　□��
以上より1^2+3^2+2^2+3^2+2^2+1^2=4!=21
　　 10月13日（木） 23:18:33　　 　　38476
ぽっぽ
あれ…

色々おかしくなったのですが、パスワード登録してなかったので、間違えたところを指摘させてください。

最初のやつは38473じゃなくて、38476です。

図は、以下です。
パターン2□　　　│�　　　� �◆　� 　 ��　　　　 ��
　　　　 　 □□□│�↓��ぁ´´��ぁ´´↓ぁ´´↓�

パターン3□□│�↓ぁ´���
　　　　 　 □□│�´�　�´�

パターン4□ 　│�ぁ　´ぁ　´�
　　 　　 　□ 　│��　　�◆　´�
　　　　 　 □□ │�´◆´´�　�´�

パターン5□│��
　　　　 　 □│��
　　　　 　 □│��
　　　　 　 □│��
　　 10月13日（木） 23:35:53　　 　　38477
uchinyan
#38476，#38477
解説をありがとうございます。

ただ，パターン２の
�　　　�
�↓���
は，ありえないと思います。こんなヤング盤は作れないので。
したがってこれは削除で，パターン２は３個でしょう。このことは，後の計算式とも整合しています。
しかし，計算式
＞以上より1^2+3^2+2^2+3^2+2^2+1^2=4!=21
これは，
以上より1^2+3^2+2^2+3^2+1^2=4!=24
ですね，きっと (^^;

なお，
＞n個の四角形でできるヤング図形において、それぞれのヤング図形に対するヤング盤の数の二乗の総和はn!である。
これは，受け売りの知識で恐縮ですが，次の事実，定理，公式など，
・ヤング図形は，n 次の対称群の既約表現になっている(これは何となくそうかな，と思える。)。
・この既約表現の次元は，対応するヤング盤の個数に等しい(先のWikipediaのページより。)。
・群の位数(＝要素の個数)は，既約表現の次元の二乗の和に等しい(これは群の表現論？では有名なことらしいです。)。
・n 次の対称群の位数は，n! (これは定義(＝言葉の意味)が分かっていれば明らか。)。
があるそうで，これらを認めてしまえば明らかですね。

あー，やはり，群論を勉強したいなぁ．．．
ネコの住む家　　 10月14日（金） 13:18:18　　 　　38478
「数学」小旅行
総当たりで捜索してどのくらいの時間が掛かるのか？
興味が出てきたので，ＢＡＳＩＣで試してみました。（下のプログラム）
なお，左下が１，右上が９は自明なのでこれは最初から与えておきました。
機械は　ＸＰｓｐ３　Ｐｅｎ４（３ＧＨｚ）です。・・・・結果，10秒でした。

LET S=0
PRINT TIME$
FOR I1=1 TO 1
FOR I2=1 TO 9
FOR I3=1 TO 9
FOR I4=1 TO 9
FOR I5=1 TO 9
FOR I6=1 TO 9
FOR I7=1 TO 9
FOR I8=1 TO 9
FOR I9=9 TO 9
IF (I4<>I2 AND I4<>I3 AND I7<>I5 AND I3<>I5 AND I7<>I6 AND I7<>I2 AND I7<>I3 AND I8<>I3 AND I8<>I6 AND I1<I2 AND I2<I3 AND I4<I5 AND I5<I6 AND I7<I8 AND I8<I9 AND I1<I4 AND I4<I7 AND I2<I5 AND I5<I8 AND I3<I6 AND I6<I9) THEN
LET S=S+1
END IF
NEXT I9
NEXT I8
NEXT I7
NEXT I6
NEXT I5
NEXT I4
NEXT I3
NEXT I2
NEXT I1
PRINT TIME$
PRINT S
END
　　 10月14日（金） 15:37:05　　 　　38479
wonder
ヤング図形なんてはじめて聞きました。ネットで調べたけど難しすぎ。
フック長の公式 dimπλ= n！/ Πx∈λ hook(x) を使うと答えは出ます。
n=9 のとき　9!/5*(4^2)*(3^3)*(2^2)*1=42
n=16 のとき　16!/7*(6^2)*(5^3)*(4^4)*(3^3)*(2^2)*1=24024 (#38468合ってる。)
でも、なんでそうなのかわからない。いろんな説明見てもサッパリです。
だれかフツーの高校生レベルでもわかるような説明のサイトあったら教えてくれませんか。
　　 10月14日（金） 16:06:18　　 　　38480
abcba@jugglermoka
今回の問題のn×nの一般式についての議論はヤング図や群論についての話が挙がっているので自分の知識では追いつきませんが、直感的な理解として
#38472の一般式で分子の(n^2)!は明らかに不等式関係なくn×nの盤面に1〜n^2までの数字を一つずつ当てはめるパターン数。分母の2n-1個の積については証明していませんが、n×nで左下から右上まで辺に沿ったマスの個数は2n-1個で、分母の2n-1個の数字にある指数は各マスから斜め一列にあるマスの個数に一致しています。

例n=4の時、16!/(7^1)*(6^2)*(5^3)*(4^4)*(3^3)*(2^2)*(1^1)=24024では
1,7は左下または右上のどちらかに相当して右下がりの斜め一列にあるマスの個数は1個、2,6は左端の下から２段目又は最上段の右から２番目に相当して右下がりの斜め一列にあるマスの個数は2個、3,5は左端の下から3段目又は最上段の右から3番目に相当して右下がりの斜め一列にあるマスの個数は3個、4は最上段の左端に相当して右下がりの斜め一列にあるマスの個数は4個。
　　 10月14日（金） 18:10:17　　 　　38481
ゴンとも
#38480

>#38468合ってる。

十進basicで
#38458　の変数を増やして答えだけでるようにして

LET s=0
PRINT TIME$
for a=1 to 16
for b=a+1 to 16
if b=a then goto 150
for c=b+1 to 16
if c=a or c=b then goto 140
for d=16 to 16
if d=a or d=b or d=c then goto 130
for e=1 to 16
if e=a or e=b or e=c or e=d then goto 120
if e>a then goto 120
for f=e+1 to 16
if f=a or f=b or f=c or f=d or f=e then goto 110
if f>b then goto 110
for g=f+1 to 16
if g=a or g=b or g=c or g=d or g=e or g=f then goto 100
if g>c then goto 100
for h=g+1 to 16
if h=a or h=b or h=c or h=d or h=e or h=f or h=g then goto 90
if h>d then goto 90
for i=1 to 16
if i=a or i=b or i=c or i=d or i=e or i=f or i=g or i=h then goto 80
if i>e then goto 80
for j=i+1 to 16
if j=a or j=b or j=c or j=d or j=e or j=f or j=g or j=h or j=i then goto 70
if j>f then goto 70
for k=j+1 to 16
if k=a or k=b or k=c or k=d or k=e or k=f or k=g or k=h or k=i or k=j then goto 60
if k>g then goto 60
for l=k+1 to 16
if l=a or l=b or l=c or l=d or l=e or l=f or l=g or l=h or l=i or l=j or l=k then goto 50
if l>h then goto 50
for m=1 to 1
if m=>i then goto 40
for n=m+1 to 16
if n=a or n=b or n=c or n=d or n=e or n=f or n=g or n=h or n=i or n=j or n=k or n=l or n=m then goto 30
if n>j then goto 30
for o=n+1 to 16
if o=a or o=b or o=c or o=d or o=e or o=f or o=g or o=h or o=i or o=j or o=k or o=l or o=m or o=n then goto 20
if o>k then goto 20
for p=o+1 to 16
if p=a or p=b or p=c or p=d or p=e or p=f or p=g or p=h or p=i or p=j or p=k or p=l or p=m or p=n or p=o then goto 10
if p>l then goto 10
LET s=s+1
10 next p
20 next o
30 next n
40 next m
50 next l
60 next k
70 next j
80 next i
90 next h
100 next g
110 next f
120 next e
130 next d
140 next c
150 next b
160 next a
PRINT TIME$
PRINT s
end

f9押して
05:31:39
05:31:58
24024

windows vista core2duo 1.80Ghz　で19秒でした。
豊川市　　 10月15日（土） 5:32:13　　 　　38482
浮浪
カタラン数で数えました。
　　 10月16日（日） 21:35:41　　 　　38483
ぼふぼふ
やっと解けました。
　　 10月18日（火） 23:40:50　　 　　38484