kasama
慌てて80を送信、文章をよく読むと『３つの数の積』でした。
　　 1月27日（木） 0:07:23　　 　　37285
ちゃーみー
約数の和の公式みたいに「展開すると各項が一度ずつ出てくる」形が
できるんだろうなーと予想はできましたが，この見せ方は初めて見ました。
『大学への数学』　　 1月27日（木） 0:12:49　　 MAIL:xlogx-x@eco.ocn.ne.jp 　　37286
むらい
気合で全通り調べました。　疲れた・・・
1*2*(3+4+5+6+7+8)=66
1*3*(4+5+6+7+9)=93
・・・
8*9*10=720
あとは全部足しました（ここだけ電卓使用）

エレガントな解法を考えるより手が先に動いてしまいました。
サイタマ　　 1月27日（木） 0:15:33　　 HomePage:出題中　　37287
3.5
僕も書き出しです。
家　　 1月27日（木） 0:17:09　　 　　37288
英ちゃん
55^3-(55*385*3-3025*2)-110*44*6

これを６で割りました。計算ミスいっぱいしました・・・。
うつくしまふくしま　　 1月27日（木） 0:25:39　　 HomePage:つぃったー　　37289
ぽっぽ
この問題に関して次のことが成り立つようです

1からnまでの数から3つを選び、それらの積の和は
((n+3)C2)*(n+3)C4)になる

言ってみれば当たり前の話ですが
　　 1月27日（木） 0:25:40　　 　　37290
ちゃーみー
A : 1,10 / B : 2,9 / C : 3,8 / D : 4,7 / E : 5,6
とグループ分けする。
1 つのグループから 2 つとも選んでしまうと 11 ができてしまい不適。

A, B, C から 1 つずつ選ぶときの積は，
(1+10)(2+9)(3+8) を展開したときの各項として表せるので，
それらの和は上に等しく 11^3。

グループの組合せは 5C3 通りあるが，どの場合も同様に和は 11^3
となるので，答えは 11^3 x 5C3 = 13310。
『大学への数学』　　 1月27日（木） 0:25:46　　 MAIL:xlogx-x@eco.ocn.ne.jp 　　37291
英ちゃん
#37291
簡単に求められたのですね！
(1+2+3+・・・+10)(1+2+3+・・・+10)(1+2+3+・・・+10)
をベースに考えてました。
うつくしまふくしま　　 1月27日（木） 0:30:51　　 HomePage:つぃったー　　37292
ぽっぽ
#37291

純粋に感動!
　　 1月27日（木） 0:33:29　　 　　37293
むらかみ
#37291
美しいとき方ですね！
感動しました。
昨日の川島並に感動しました。
　　 1月27日（木） 0:38:07　　 　　37294
ちゃーみー
ちなみに，「3 つ」を「1 つ以上」に変えると，
(1+1+10)(1+2+9)(1+3+8)(1+4+7)(1+5+6)-1 = 12^5-1
…でよいのかな？
(そのグループから何も選ばないときは "1" を選んでかける)
『大学への数学』　　 1月27日（木） 0:46:14　　 MAIL:xlogx-x@eco.ocn.ne.jp 　　37295
スモークマン
やっと...^^;
11=1+10
=2+9
=3+8
=4+7
=5+6
これらのグループから３個の数字を選べば良い...
xyz
x=(1,10) or (2,9) or (3,8) or (4,7) or (5,6)...11*5
y...11*4
z...11*3
xyz...11^3*5*4*3/3!=11^3*10=13310
最後に3! で割ることになかなか気づけず...^^;;...
　　 1月27日（木） 1:00:08　　 　　37296
おいら＠NY
まず※の条件（２つの数の和が１１にならないように・・・）を無視して全ケースについて３つの数の積の合計を求めて、そこから※の条件に当てはまる場合ケースについての３つの数の積の合計をひいてみました。

全ケース（条件なし）

Σ（Σ（ｋ−１）ｋ＝１ to ｋ＝ｎ−１）×ｎ×（５５−Σ（ｋ）ｋ＝１ to ｋ＝ｎ）　ｎ＝２ to ９
　→　１８１５０

次に和が１１になる２つの数が入るケース

（１×１０＋２×９＋３×８＋４×７＋５×６）×（５５−１１）
＝４８４０

よって、１８１５０−４８４０＝１３３１０

でも、結局は気合で全通りを調べるほうが早く解けました。
　　 1月27日（木） 1:09:32　　 　　37297
おいら＠NY
37291の解法はわかりやすくて美しいですね。
自分が恥ずかしい・・・
　　 1月27日（木） 1:22:30　　 　　37298
スモークマン
#37291
そっか...ちゃーみーさんの考え方がわかりやすかったですね♪
　　 1月27日（木） 9:02:51　　 　　37299
???
Option Explicit
Sub Macro1()
Cells(1, 1).Value = 0
Cells(2, 1).Value = 0
Dim a As Integer
Dim b As Integer
Dim c As Integer
For a = 1 To 10 - 2
For b = a + 1 To 10 - 1
If a + b <> 11 Then
For c = b + 1 To 10
If a + c <> 11 And b + c <> 11 Then
Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = a
Cells(Cells(1, 1).Value, 3).Value = b
Cells(Cells(1, 1).Value, 4).Value = c
Cells(2, 1).Value = Cells(2, 1).Value + (a * b * c)
Range("B" & Cells(1, 1).Value).Select
End If
Next c
End If
Next b
Next a
Range("A2").Select
End Sub
　　 1月27日（木） 9:08:11　　 　　37300
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
う〜む，なかなか気付きませんでしたが，結局こんな感じで。

1 〜 10 の数を，和が 11 になる二つずつの五つのペア (1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6) に分けます。
題意を満たすには，各ペアから二つ選んではダメなので，三つのペアを選んで各ペアから一つずつ選ぶことになります。
このとき，例えば，(1,10)，(2,9)，(3,8) を選んだ場合，
(1 + 10) * (2 + 9) * (3 + 8)
= 1 * 2 * 3 + 1 * 2 * 8 + 1 * 9 * 3 + 1 * 9 * 8 + 10 * 2 * 3 + 10 * 2 * 8 + 10 * 9 * 3 + 10 * 9 * 8
なので，(1 + 10) * (2 + 9) * (3 + 8) は，この三つの各ペアから一つずつ三つの数を選んだ場合の数の積の和になっています。
そして，(1 + 10) * (2 + 9) * (3 + 8) = 11 * 11 * 11 = 1331 です。
他の三つのペアから選んでも全く同様で，積の和は，やはり，1331 です。
そこで，三つのペアを選ぶのは 5C3 = 10 通り，なので，積の総和は 1331 * 10 = 13310 になります。

最初はなかなか思い付かなかったので，具体的に積の和を書き出していって，
「さて，これって簡単に計算できないのかな．．．」と式をしばしながめていたのですが，
(1 + 10) * (2 + 9) * (3 + 8) などに変形できることに気付いて「Aha!」という感じでした (^^;
ネコの住む家　　 1月27日（木） 16:25:29　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　37301
hide
和が11のケースは組み合わせで考えていたのに、全てのケースを順列で考えていたという謎
ラダトーム　　 1月27日（木） 11:52:54　　 　　37302
uchinyan
掲示板を読みました。

#37286，#37291，#37296，#37301，？#37302
1 〜 10 の数を，和が 11 になる二つずつの五つのグループ (1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6) に分けて考える解法。

#37287，#37288
地道に調べる解法。

#37289，#37292，#37297
まず，和が 11 という条件を除いて考え，それから和が 11 になるのを除く解法。
ただし，計算の仕方の詳細には，若干のバリエーションがあるようです。

#37300，#37305
プログラムによる解法。

#37304
＞とりあえず選び方は80通りなのは容易。
＞で，平均が5.5の３乗だから…と考えました。
という解法。5.5 = 11/2，(11/2)^3 * 80 = 11^3 * 10 = 13310，という感じでしょうか。
厳密にはもう少し議論が必要かな，とも思いますが，なかなか面白い考え方だと思いました。

なお，

#37295
＞ちなみに，「3 つ」を「1 つ以上」に変えると，
＞(1+1+10)(1+2+9)(1+3+8)(1+4+7)(1+5+6)-1 = 12^5-1
＞…でよいのかな？
11 * 5C1 + 11^2 * 5C2 + 11^3 * 5C3 + 11^4 * 5C4 + 11^5 * 5C5
= (11 + 1)^5 -1
= 12^5 - 1
なので，正しいと思います。

#37290
＞この問題に関して次のことが成り立つようです
＞1からnまでの数から3つを選び、それらの積の和は
＞((n+3)C2)*(n+3)C4)になる
？　主張したいことが分からない。
例えば，1 〜 3 で三つ選んだときの積の和は 6 ですが，6C2 * 6C4 = 15 * 15 = 225 には一致しませんが．．．？
重複を許して三つ選ぶんだろうか？　それでも，90 だから一致しない．．．？
ネコの住む家　　 1月27日（木） 17:16:21　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　37303
あみー
とりあえず選び方は80通りなのは容易。
で，平均が5.5の３乗だから…と考えました。
　　 1月27日（木） 12:23:46　　 　　37304
ハラギャーテイ
プログラムです。それについても寒い日が続きます。
山口　　 1月27日（木） 14:45:59　　 HomePage:ハラギャーテイの制御工学　　37305
uchinyan
そうそう，JMOの予選のボーダーが 8 点だったとか。
今年は易しめかな，とは思ったものの，8 点とは驚き。こんな高得点はめったにない，初めて？，ではないのかな。
優秀な人が多かったのかなぁ．．．
ネコの住む家　　 1月27日（木） 17:23:06　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　37306
☆彡
ボーダー８は2002以来ですね。
といっても2002は12点11点もでてるんですけど今回は最高10の最低8なわけで

前半でミスをするとすごく厳しいセットになってますね。

　　 1月27日（木） 18:14:35　　 　　37307
ぽっぽ
＞＞この問題に関して次のことが成り立つようです
＞＞1からnまでの数から3つを選び、それらの積の和は
＞＞((n+3)C2)*(n+3)C4)になる
＞？　主張したいことが分からない。
＞例えば，1 〜 3 で三つ選んだときの積の和は 6 ですが，6C2 * 6C4 = 15 * 15 = 225 には一致しませんが．．．？
＞重複を許して三つ選ぶんだろうか？　それでも，90 だから一致しない．．．？

嘘つきました
((n+1)C2)*(n+1)C4)でした
　　 1月27日（木） 18:46:03　　 　　37308
スモークマン
#37304 理解に努めました...^^
２個ずつの５グループから３個の数字の選び方=2^3*5C3=80
どの数も平均的に出現するので..(1+2+...+10)/10=5.5=11/2
(11/2)^2*80...でいいのか♪
面白いですね Orz~v
　　 1月27日（木） 20:40:42　　 　　37309
ゼロスターよりの使者
とっても、とってもお久しぶりです。
久しぶりに来て、また、楽しさがよみがえってきました。
コツコツと計算すれば、いつかは解けて、その結果の不思議さに感動する。
ひたすら、手計算で、１３３１０とでました。これは、１１の倍数だ、と思い、素因数分解してみたら、１１ｘ１１ｘ１１ｘ１０となりました。
美しい…、そして、何故だろう？、
掲示板に入って皆さんの解き方を拝見して、何て素晴らしい…。
そっか、まず、和が１１になる場合を考えるのか…。
皆さんも、そして、こんなに人を感動に導いてくださる出題をなさるマサルさんに拍手です(パチパチ…）。
ありがとうございました。
ちょっと、リアルタイムは体力的に無理なので、チャンスがあったら、また寄らせてください。
後から、ずっと離れてでもエッチラ、オッチラついて参ります。
zerostar in Tokyo　　 1月28日（金） 7:29:13　　 　　37310
「数学」小旅行
ＢＡＳＩＣでしました。

LET n=0
LET s=0
FOR i=1 TO 8
FOR j=i+1 TO 9
FOR k=j+1 TO 10
IF(i+j<>11) THEN
IF(i+k<>11) THEN
IF(j+k<>11) THEN
LET s=s+i*j*k
LET n=n+1
END IF
END IF
END IF
NEXT k
NEXT j
NEXT i
PRINT s,n
END
　　 1月28日（金） 12:21:39　　 　　37311
uchinyan
#37308
＞((n+1)C2)*(n+1)C4)でした
なるほど。それならば正しいですね。こんなきれいな形になるのか。
ネコの住む家　　 1月28日（金） 12:26:09　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　37313
「数学」小旅行
#37308
> ((n+1)C2)*(n+1)C4)でした
考えてみましたが、わかりません。
すみません、教えて下さい。m(__)m
　　 1月28日（金） 12:27:51　　 　　37314
abcba@jugglermoka
求める値は3つの数字で同じ数字が1つの場合(互いに異なる)と考えられる。
(1＋2＋.....＋N)^(3)から同じ数字が3つの場合と同じ数字が2つの場合の3倍を引いた数を6で割ればよい。ここで、同じ数字が2つの場合3倍は3C2(並べ替え)からの影響である。同じ数字が3つの場合は3C3=1なので1倍。同じ数字が１つの場合は3!=6倍。

同じ数字が3つの場合→(1^(3)＋2^(3)＋....＋N^(3))
同じ数字が2つの場合→(1^(2)＋2^(2)＋....＋N^(2))(1＋2＋....＋N)−(1^(3)＋2^(3)＋....＋N^(3))
なので、
〔(1＋2＋.....＋N)^(3)−(1^(3)＋2^(3)＋....＋N^(3))×1−{(1^(2)＋2^(2)＋....＋N^(2))(1＋2＋....＋N)−(1^(3)＋2^(3)＋....＋N^(3))}×3〕÷6
=〔(N(N＋1)/2)^(3)−(N(N＋1)/2)^(2)×1−{(N(N＋1)(2N＋1)/6)×(N(N＋1)/2)−(N(N＋1)/2)^(2))}×3〕÷6
=(N^(2)(N＋1)^(2)/48)×(N(N＋1)＋4−2(2N＋1))
=(N^(2)(N＋1)^(2)/48)×(N−1)(N−2)
=(N(N＋1)/2)×(N(N＋1)(N−1)(N−2)/24)
=((n+1)C2)*(n+1)C4)

これよりもっとエレガントな求め方がありそうですが.....
　　 1月28日（金） 18:33:41　　 　　37315
「数学」小旅行
ありがとうございました。なるほどです。

> これよりもっとエレガントな求め方がありそうですが.....

あるといいですね。完全順列のときみたいに、うまく考えると、なんか漸化式ができて！・・・とか？
　　 1月28日（金） 19:01:52　　 　　37316
げんさん
#37315
なるほどねぇ。
式に意味づけできるのかもしれませんが，私にはよく分かりません。
(n+1)C2*(n+1)C4
=n(n＋1)/2 * n(n＋1)(n−1)(n−2)/24
=(Σn)^2 * (1+2+3+...+(n-2))/3!
と考えた方がいいのかなぁ。
　　 1月28日（金） 19:38:07　　 　　37317
「数学」小旅行
フリーの数式処理ソフトですが、
「xmaxima」って、すごいです。

(%i3) nusum( nusum( nusum(i*j*k,k,j+1,n),j,i+1,n-1),i,1,n-2);

2 2
(n - 2) (n - 1) n (n + 1)
(%o3) ---------------------------
48
って、すぐに計算してくれました。
しかし、式の意味づけはさっぱりわかりません。
　　 1月29日（土） 10:02:30　　 　　37318
cyclone
新幹線の席で必死に数え上げて正解（この書き込みも車内にて）
皆さんの解き方を見て勉強します…
中央区　　 1月29日（土） 18:23:08　　 　　37319
大岡　敏幸
今回もズバリプログラムです（＾＾；　最近はパソコンに触る時間が増えましたが、算数的解法で解くことが出来なくなってきました。（数学的解法もですが・・・）
石川県　　 1月31日（月） 19:16:18　　 　　37320