☆彡
http://pic.2ch.at/s/20mai00313593.jpg
ペイントなんで雑ですが…
　　 11月11日（木） 0:07:15　　 　　37007
むらい
算数的解法は全く思い浮かばず、ためらわず文字を。
しかも３つも。
ＡからＣＢの延長線上に垂線ＡＥを下ろし
AP=x　BE=a AB=5t AC=8t　とおきました。

あとは三平方と1:2:√3　で連立三元二次方程式（笑）で
a=5/3 x=40/3　と求まりました。
サイタマ　　 11月11日（木） 0:13:55　　 HomePage:出題中　　37008
げんさん
かなり久しぶりに０時にページを開いて解きました。書き込みもかなり久しぶりです。
で，解法ですが…。ＡＢ：ＡＣ＝５：８であり，△ＡＢＰをＡＰで折り返してＢがＡＣ上で重なった点をＢ’とすると，∠ＡＰＢ’＝∠ＣＰＢ’＝６０°，ＡＢ’：ＣＢ’＝５：３となるので，ＡＰ＝８ｃｍ＊（５／３）＝４０／３ｃｍと求めました。☆彡さんと同じようですね。
　　 11月11日（木） 0:17:08　　 　　37009
ぽっぽ
問題更新が４０秒ほど早かったですね
　　 11月11日（木） 0:21:27　　 　　37010
黒アイス
普通に余弦定理を使ってしまった。
そっか、折り返しかあ・・・。
昔は思いついてたんだけどなあ・・・。
　　 11月11日（木） 0:43:04　　 　　37011
mrkn
AP をそのまま下に延長し、点Cから線分APの延長線の方向へ線分ABの平行線を引く。
これら2線の交点をDとおくと△ACDは二等辺三角形になる。
△ACDの底辺の中点をMとおくと ∠PCM = 30度なのでPM=4。
よって、BP:PC=5:8=AP:(AP+8) より AP = 40/3。
　　 11月11日（木） 1:23:43　　 　　37012
ma-mu-ta
APを軸として△ABPを折り返してAC上のBの移動先をDとすると、
△ADP：△APC＝△ABP：△APC＝BP：PC＝5：8 だから、
△ADP：△DPC＝5：(8−5)＝5：3
DからAP，PCに垂線DH，DIを引くと、
∠APD＝∠DPC＝∠APB＝60°より　△DHP≡△DIPだから、DH＝DI
すると、高さが等しいので、AP：PC＝△ADP：△DPC＝5：3　
よって、AP＝PC×5/3＝8×5/3＝40/3

算数的には角の二等分線定理は避けたかったので、三角形の面積比と辺の比の関係を使いました。
　　 11月11日（木） 2:15:27　　 　　37013
ハラギャーテイ
おはようございます。三角関数です。すみません。
山口　　 11月11日（木） 6:20:23　　 HomePage:ハラギャーテイの制御工学　　37014
namba
僕もげんさんと同じく折り返しです。
結構はやく気づけました
　　 11月11日（木） 7:57:27　　 　　37015
スモークマン
菱形と相似比で...^^
x/(x+5)=5/8
x=25/3
AP=25/3+5=40/3
♪
算トラ...四苦八苦 ^^;;;v
　　 11月11日（木） 8:01:52　　 　　37016
スモークマン
#37007
そっか...簡明ね♪
　　 11月11日（木） 8:05:11　　 　　37017
abcba@jugglermoka
今回は早解きにはちょうどよい問題ですね。
角の2等分と出てきたら折り返し、60°と出てきたら60×3=180。
本質的に#37013と同じ解法です。

追伸：算トラは11月5日に学会発表があった事を含め多忙でしたのでエントリーしていません。しかし、問題は全部解きました。一瞬で解ける問題もあれば苦戦しまくった問題もあり、自分が題意が読み取れたかどうか微妙な問題もあり、と個人的に難易度はまちまちでした。来年は事前にエントリーをしてリアルタイム参加をしたいです。
　　 11月11日（木） 8:56:19　　 　　37018
ゴンとも
座標で一発ででました。

座標にP(0,0),B(5/2,5*sqrt(3)/2),C(-4,-4*sqrt(3)),A(a,0)とおくと
角の二等分線の性質より　BA:CA=5:8　だから
BA^2:CA^2=25:64　より
expand((5/2-a)^2+(5*sqrt(3)/2)^2)$
expand((-4-a)^2+(-4*sqrt(3))^2)$
solve(25*%=64*%th(2));a=40/3・・・・・・（答え）
豊川市　　 11月11日（木） 9:01:49　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　37019
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
世の中的にはともかく，算チャレ的には易しめかなぁ。楽しく解きました。

(解法1)
△ABP を AP に関して折り返し B の移動先を D とします。∠BAP = ∠CAP なので D は AC 上にあります。
そして，DP = BP = 5 cm，∠APD = ∠APB = 60°，∠DPC = 180°- ∠APB - ∠APD = 180°- 60°- 60°= 60°です。
ここで，D から AP に平行な線を引いて BC との交点を Q とすると，∠QDP = ∠APD = 60°なので，△DPQ は正三角形です。
そこで，PQ = DQ = DP = 5 cm，CQ = CP - PQ = 8 - 5 = 3 cm です。
さらに，DQ//AP より △CDQ ∽ △CAP なので，DQ：AP = CQ：CP，5：AP = 3：8，AP = 40/3 cm，になります。

(解法2)
(解法1)と同じように D を取ります。このとき，AD = AB，∠APD = ∠CPD です。
∠BAP = ∠CAP より AB：AC = BP：CP = 5：8 なので，AD：CD = AD：(AC - AD) = AB：(AC - AB) = 5：(8 - 5) = 5：3 です。
そこで，∠APD = ∠CPD だったので，AP：CP = AD：CD，AP：8 = 5：3，AP = 40/3 cm，になります。

(解法3)
B，C から AP 及びその延長上に垂線を下ろしそれぞれの足を H，I とします。
∠CPI = ∠BPH = ∠APB = 60°より，△BPH ∽ △CPI，PH = BP/2 = 5/2 cm，PI = CP/2 = 8/2 = 4 cm です。
一方で，∠BAP = ∠CAP，∠BAH = ∠CAI なので，△BAH ∽ △CAI がいえます。
そこで，AH：AI = BH：CI = BP：CP，(AP - PH)：(AP + PI) = BP：CP，(AP - 5/2)：(AP + 4) = 5：8 がいえ，
これから，線分図を描くと，8 - 5 = 3 に当たるのが 5/2 + 4 = 13/2 cm なので，
AP = 13/2 * 5/3 + 5/2 = 80/6 = 40/3 cm，になります。

(解法4)
△ABP を P を中心に反時計回りに回転して B を CP 上にあるようにします。
このときの A，B の移動先をそれぞれ E，F とします。∠EPF = ∠APB = 60°より，A，P，E は一直線上にあります。
さらに，C から EF に平行に線を引き AE との交点を G とします。
∠CGA = ∠FEA = ∠FEP = ∠BAP = ∠CAP = ∠CAG なので，△CAG は CA = CG となる二等辺三角形です。
さらに，△PFE ∽ △PCG なので PE：PG = PF：PC = BP：CP = 5：8 で，PE = PA なので，AP：PG = 5：8 です。
ここで，AG の中点を M とすると，AP：AM = 5：((5 + 8)/2) = 5：(13/2) = 10：13，AP：PM = 10：(13 - 10) = 10：3 です。
一方で，△CAG は CA = CG だったので CM⊥AG で，∠CPM = ∠CPE = 60°より PM = CP/2 = 8/2 = 4 cm より，
AP：4 = 10：3，AP = 40/3 cm，になります。
ネコの住む家　　 11月11日（木） 12:32:00　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　37020
uchinyan
掲示板を読みました。

#37007，#37009，#37015，#37020の(解法2)
△ABP を AP に関して折り返し，AP が角の二等分線であることと，折り返した先の BP がやはり角の二等分線になることを使う解法。

#37012，#37020の(解法4)
AP の延長と C から AB に平行な線を引いた交点を考え，この交点，A，C が二等辺三角形になることを利用する解法。
#37020の(解法4)は着眼点が少し違いますが，実質同じです。

#37013，#37018
AP を軸として △ABP を折り返した後，面積比を使って AP：CP = 5：3 を示し解く解法。
面積比という点で別分類にしましたが，比の現れ方は，#37007などと実質同じです。

#37016
＞菱形と相似比で...^^
という解法。詳細はよく分からないのですが，このヒントから私が思いついた解法は．．．
△ABP を AP に関して折り返し B の移動先を D とします。∠BAP = ∠CAP なので D は AC 上にあります。
次に，D から BC に平行な線を引き AP との交点を S とします。
すると，∠DPS = ∠BPS = ∠APB = 60°，∠DSP = ∠SPB = ∠BPS = 60°なので，
△DSP は正三角形で DS = SP = PD = PB = BP = 5 cm になり，□SBPD はひし形です。
さらに，△ADS ∽ △ACP なので，AS：AP = DS：CP，AS：(AS + SP) = DS：CP，AS：(AS + 5) = 5：8，AS = 25/3 cm，
そこで，AP = AS + SP = 25/3 + 5 = 40/3 cm，になります。
先に AP 上に PS = 5 cm となる点 S を取り，正三角形 △SBP を作ってから，△ABP を AP に関して折り返してもいいし，
△ABP を AP に関して折り返してから，BS//PD となる点を AP 上に取る，でもいいですね。

#37020の(解法1)
△ABP を AP に関して折り返し，B の移動先から AP に平行な線を引き BC との交点を考えると正三角形ができることを利用する解法。

#37020の(解法3)
B，C から AP 及びその延長上に垂線を下ろし，そのときにできる三角形が相似になることを使う解法。

#37022
AP を一辺，∠APB = 60°を一つの角，とする正三角形を作り，それを AP に関して折り返して考える解法。
正三角形を作ることで少し考えやすくなっていますが，比の現れ方は，#37007などと実質同じです。

#37023
AC 上に A からの長さが AB と等しい点を取り，この点と B とを結んだ延長と A から BC に平行に引いた線との交点を取って考える解法。
B と結んだ延長ではなく P と結んだ延長を考えると正三角形ができて，#37022と同じ計算もできます。

#37008，#37011，#37014，#37019
数学による解法。
ネコの住む家　　 11月12日（金） 12:08:57　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　37021
apato
やっと時間がとれた・・・・・
忙しさにかまけて半年ほど見てませんでした。
今回の問題は、60°から正三角形を連想できるかがカギでしたね。
（解法）
ＡＰを一辺とする正三角形をＢ側に作り、△ＡＢＰをＣ側に折り返す。正三角形のもうひとつの点をＱとする。
角の二等分線なので、ぴったり重なる。
ＡＢ：ＡＣ＝5：8。Ｂが移る点をＢ´とすると、ＡＢ´：Ｂ´Ｃ＝5：（8−5）＝5：3。
∠Ｂ´ＰＣ：∠ＡＱＣは、共に60°。同位角により、Ｂ´ＰとＡＱは平行。
よって、△Ｂ´ＰＣと、△ＡＱＣは、相似。相似比は、3：8。
よって、Ｂ´Ｐ：ＡＱも3：8。5×8/3＝40/3。
恐竜の町　　 11月12日（金） 0:37:07　　 　　37022
aibo
角の2等分線から5：8の比を導いて頂角Aとする二等辺三角形ABDをつくる。このときAPとBDの交点をQとする。BDの延長線と頂点AをとおりBCに平行な線との交点をEとすると、△ADE∽△CDBで相似比は5：3、これからAE＝65/3を導く。次に△AQE∽△PQBの相似比は65/3：5＝13：3これよりAQ＝65/6、またPQは1：2より5/2であるから、AP＝AQ＋PQ＝65/6＋5/2＝40/3
　　 11月12日（金） 5:31:39　　 　　37023
巌窟王
ふう　頭の体操にとってもいい問題をいつもありがとうございます。
来週も期待してるZE!
　　 11月12日（金） 22:20:26　　 　　37024