マサル
ふぅ、ミスがまだ心配ですが...。

正解者一覧の更新が遅れたのは、計算ミスや勘違いがちょっと恐くて、自分と同じ答えがいくつか送られてくるまで待っていた...ということでした。情けない...。
　　 9月23日（木） 0:20:21　　 　　36801
おいら
一度諦めました。図が想像できなくて、、、。
NY　　 9月23日（木） 0:23:46　　 　　36802
スモークマン
単純じゃなかったのね...^^;
さいしょ...5^2/4^2 だと思ってたり...^^;
ようは...上の面の影(二等辺三角形)だけを考えればいいので...
ウの底辺は...イの底辺の1/2
ウの高さは...イの高さの4/5
から...
イ/ウ=(2/1)*(5/4)=5/2
♪
　　 9月23日（木） 1:02:13　　 　　36803
巌窟王
やべえ、なんで正解に行けないんだ！！！とか思ってたら、問題文を読み忘れ、小さいほう÷大きいほうで計算してた・・・
　　 9月23日（木） 1:18:00　　 　　36804
CRYING DOLPHIN
適当にぐりぐり
ttp://cdcdcd.sansu.org/pika/junkfoods/q712_magiccube.htm
適当に作ったので作図ミスしてるかもですが

ACH3頂点の床からの高さは等しく、BEG3頂点の床からの高さも等しいことが
わかれば、あとは適当な面(例：3点PAGを通る平面)を作図すれば計算するのみ。
誰もいない市街地　　 9月23日（木） 1:23:14　　 HomePage:算数と隧道　　36805
abcba@jugglermoka
初めは勘違いから4倍と送信して撃沈。
今回の問題点Pを2倍でなくN倍に延長した場合、
(3N−1)(3N−2)/2N^(2)倍になる。
　　 9月23日（木） 8:57:57　　 　　36806
Ｍｒ.ダンディ
手近に立方体がないので、紙の上で考えていたら正解にいたらず、それではと、紙をきって立方体をつ
くってみたら、単純な勘違いをしていたことに気がつき氷解。
真上から見た図を描けば、ウは正三角形、イは六角形。分割して比較すれば、それぞれが　
(3/2)*3：(6/5)*(3/2)＝5：2　となり、全体としても　5：2　　→ 5/2 倍　とだしました。
　　 9月23日（木） 9:09:39　　 　　36807
ねねね
正三角形ＡＣＨがＦＤの２／３の高さにできる。
正三角形ＢＧＥがＦＤの１／３の高さにできる。
ふたつの三角形の影を考えて、その影の頂点ＡＢＣＧＨＥを結んだ６角形が実際にできる影である。
正三角形ＡＣＨはＦＰの２／６の高さになる。
正三角形ＥＢＧはＦＰの１／６の高さになる。
あとは相似を使って解きました。
　　 9月23日（木） 12:05:07　　 MAIL:QGB01113@nifty.com 　　36808
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
問題そのものは，頭の中だけで割とあっさり解けたんだけど，文字式＋三平方の定理もどきで，算数とは言い難い感じ．．．(^^;

まず，比を求めるので，結果は全体のスケールには依存せず，立方体の一辺を 1 として考えます。
さらに，後で使うのですが，面積の関係から，AF * AF = □AEFB * 2 = 1 * 2 = 2，がいえます。
さて，P のある上から下を見ると，対称性より，D (= F) を中心とした 正六角形ABCGHE が見え，
P，D から，床に投影した影は，この正六角形を投影したものになります。
今，A，B，G について，P から床に投影した点を Q，R，S とし，D から床に投影した点を I，J，K とします。
対称性より，FR = FS，FJ = FK で，
イ/ア = (△FIJ * 6)/(△FQR * 6) = (FI * FJ)/(FQ * FR) = FI/FQ * FK/FS
ここで，A，F，G，D を通る平面で切って，その断面で考えます。
明らかに，P，I，Q，S，K もこの断面上にあり，
(P，A，Q)，(P，G，S)，(D，A，I)，(D，G，K)，(P，D，F)，(I，Q，F，S，K) は，それぞれこの順に同一直線上にあり，
□DAFG は長方形，PF⊥IK です。
メネラウスの定理より，
IQ/QF * FP/PD * DA/AI = 1，IQ/QF * 2/1 * DA/AI = 1，IQ/QF = AI/DA * 1/2
KS/SF * FP/PD * DG/GK = 1，KS/SF * 2/1 * DG/GK = 1，KS/SF = GK/DG * 1/2
ここで，A，G から DF に垂線を下ろしその足を X，Y とすると，三角形の相似を使って，
DX：AX：FX = (AD * AD)：(AD * AF)：(AF * AF)
DY：GY：FY = (GD * GD)：(GD * GF)：(GF * GF) = (AF * AF)：(AF * AD)：(AD * AD)
AI/DA = XF/DX = (AF * AF)/(AD * AD) = 2
GK/DG = YF/DY = (AD * AD)/(AF * AF) = 1/2
なので，
IQ/QF = 1，FQ = IQ，FI = IQ * 2
KS/SF = 1/4，FS = KS * 4，FK = KS * 5
これより，
イ/ア = FI/FQ * FK/FS = 2/1 * 5/4 = 5/2
になります。

P のある上から下を見たときに ABCGHE が正六角形に見えることから，もう少しうまくいえそうな気がしていますが，
掲示板を読んで勉強します (^^;
ネコの住む家　　 9月24日（金） 13:16:56　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　36809
( ‥) ン?
#36809
> 正六角形であることから・・・
違う気がしますが。。。
　　 9月23日（木） 13:31:47　　 　　36810
円周率大好き人間
上から見ても横から見ても正六角形に見えることで頂点ごとの高さがでるので正六角形は絶対使うと思いますよ。何で正六角形に見えるのかはよくわかりませんが・・・
ポッケ村　　 9月23日（木） 13:57:31　　 　　36811
uchinyan
えと，誤解を生じたようですが，私が，正六角形，といったのは，
上から見たときに，ABCGHE が正六角形に見える，ということで，投影した影のことではないです。
実際，D からの影は明らかに正三角形ですし，
P からの影は，私の#36809の記号で，AX = GY (= sqrt(3/2))で，中心 F から，FI = AX * 3/2 ≠ FS = 6/5 * GY ですから，
いずれも正六角形ではありません。

誤解しないように，修正しておきますね。
ネコの住む家　　 9月23日（木） 15:17:37　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　36813
uchinyan
掲示板を読みました。
一部，私の解法の#36809で誤解を生じる記述があったようで，済みませんでした。表現を変えました。

さて，皆さんの解法ですが，基本的には，相似を使ったというのは同じようで，
計算の仕方に若干の工夫はあるようですが，比較できるまで詳細な記述は少ないので，
私には，大きな違いはないように感じられました。

なお，

#36806
＞今回の問題点Pを2倍でなくN倍に延長した場合、
＞(3N−1)(3N−2)/2N^(2)倍になる。
これは，確かにいえますね。
ネコの住む家　　 9月23日（木） 15:25:06　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　36814
ハラギャーテイ
勘です。当たって申し訳ない。
山口　　 9月23日（木） 18:09:18　　 HomePage:ハラギャーテイの制御工学　　36815
algebra
9√3/2÷9√3/5＝5/2
　　 9月23日（木） 19:12:50　　 　　36816
円周率大好き人間
uchinyanさん　正六角形に見えるのは立方体のことですよ。影な訳ないじゃないですか。影が正六角形だとか思ってたらここには入れませんよ・・・
ポッケ村　　 9月23日（木） 22:34:14　　 　　36817
スモークマン
#36817 横からご免なさい...^^; uchinyanさんの説明は貴殿と同じことを言われてるはずですよ!!
#36805 のCRYING DOLPHINさんの作品をぐりぐりすればわかりやすいと思われます〜♪
ポチしたいくらい傑作 ^^v...
思うのですが...立体図形の解答をいつもこんな動かせるようなものでお示しいただければ...個人的には大変ありがたいのですが...自分じゃまったく作る術がないもので...^^; Orz~
　　 9月24日（金） 9:08:43　　 　　36818
みみずくはくず耳
真上から見て六角形の絵をしばらく眺めていたら、真横から見ても同じと気づきました。
後は比例関係で、辺の先（A点）の影とが2/1、面の対角線の先（B点）の影が5/4から、5/2ですね。
それよりも、絵を描いていて、大きいほうの影（イの影）が三角形になることが分かったときの方がびっくりしました。大きな立方体の先の切断だから当たり前ですが。
　　 9月24日（金） 18:44:21　　 MAIL:mae02130@nifty.com 　　36819
ねねね
#36819　確かに、大きいほうの影（イの影）は正三角形になりますね。はじめて気がつきました。それに気がつかなくて、この問題を解いていました。
#36806　Ｎ＝１のとき影は正三角形、Ｎ＝∞のとき影は正６角形。そして9/2倍。問題のＮ＝２のときというのは正三角形から正６角形に変化していくときの途中と考えたらいいのかな。
明石海峡大橋の見えるところ　　 9月25日（土） 7:24:49　　 MAIL:QGB01113@nifty.com HomePage:ねねね　　36820
水田X
京都先斗町の床料理を楽しみながら解きました
　　 9月25日（土） 21:15:14　　 　　36821
あみー
６頂点の影だけ考えました。
リアルタイム参加は難しい昨今です。
　　 9月25日（土） 21:35:47　　 　　36822
みかん
立方体を上から見た正六角形の部分も影になることを忘れ、しばらく放置。

立方体が正六角形に見える＋ＤＦの長さを１とすると、各頂点の床からの高さが
１／３または２／３ということに気づけるかがポイントですね。

立体図形の影の問題は時に出題されますが、こういうパターンは見たことないなぁ。
　　 9月26日（日） 1:15:47　　 　　36823
水田X
わたしは頭ではイメージできないんでサイコロキャラメルを買いましたよ。

無限遠の高さから光をあてると影は正六角形なんだなあとかまず考えながら。。。
　　 9月26日（日） 8:56:33　　 　　36824
im
正六角形にならないんですね
阿南　　 9月26日（日） 15:03:54　　 　　36825
どーもです
相似でやったら5/4×２になりました。難しい。
ハンバーガー　　 9月26日（日） 20:54:11　　 　　36826
fumio
ぎりぎり解けました。ははは。
では12時に！！
　　 9月29日（水） 23:16:59　　 　　36827