圭太
ABの距離が設定ないことより、同一点として考えました。
すると最大の中点の軌跡は、半径4cmの円。
最小の中点の軌跡は、半径1cmの円。
よって、(4*4-1*1)*3.14=47.1cm^2
天地人　　 7月29日（木） 0:15:32　　 　　36513
cyclone
半径4の円で間違いないと思ってました
真ん中の半径1の円の部分は除去されるんですね…
中央区　　 7月29日（木） 0:39:40　　 　　36514
Taro
#36513
先ほど起き、#36513と同様に考えたらあっという間に解けました。
おうち　　 7月29日（木） 0:58:20　　 　　36515
abcba@jugglermoka
#36514
自分も初めは半径4の円が答えだと思いました。

今回の問題で2つの円の半径がそれぞれA,A+2aである時、求める答えは
A(A+2a)×3.14になる。
2つの円の半径の積に3.14を掛け算したのが答えとはエレガントですね。
　　 7月29日（木） 1:14:50　　 　　36516
kasama
今回ばかりは落ちこぼれるかと思いました。でも、まぁ何とかε=(￣。￣;A　フゥ…
真中の半径１の円がくりぬかれていたのですね。やっと気付きました。
和歌山　　 7月29日（木） 1:33:52　　 　　36517
スモークマン
わたしも...さいしょは直径８の円だと...
直径3の円がそれに外接して動いてるわけですね...
でも...直径5の円が動くと考えると...すべてを動いちゃう...^^;
どこかおかしい...?
　　 7月29日（木） 1:42:53　　 　　36518
Ｍｒ.ダンディ
床に入って、半径4ｃｍの円からどれだけ引くのかを考えていたら、半径1ｃｍの円を引けばよいことが
頭に浮かび、のこのこ起きだして回答したしだいです。
これから寝直しだ！　Good night Zzzzzzz
　　 7月29日（木） 2:38:50　　 　　36519
im
半径４の円かと思ったら，穴が開いてた。
　　 7月29日（木） 4:37:18　　 　　36520
meiche
Qを固定したら半径3/2の円ができる。
こんどはQを動かすとその半径3/2の円の中心が半径5/2の円周を動く。
　　 7月29日（木） 5:01:06　　 　　36521
ぽっぽ
AとBを一致させて特殊化しました
玄界灘の奥　　 7月29日（木） 8:10:23　　 　　36522
ハラギャーテイ
みんな同じようか回答でしたようです。私も同心円にしました。
山口　　 7月29日（木） 10:31:12　　 HomePage:ハラギャーテイの制御工学　　36523
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，以前に類題を解いたような気がします。ただ，今回は AB が与えられていないので，特殊化して解くのが楽そうですね。
算数では，直感混じりはともかく，真面目に説明するのは，少し面倒な，若干算数の範囲を超える？，ような気がします。

P，Q の二点の両方を同時に動かすとややこしくなるので，まずは，P を固定し Q だけを動かします。
P と B を結び 直線PB と 円B との交点を P に近い方から C，D とします。
さらに，Q が C に一致したときの M を E，Q が D に一致したときの M を F とします。E は PC の中点，F は PD の中点です。
すると，任意の Q に対して，∠CQD = 90°で，
PM = QM，PE = EC より ME//QC，PM = QM，PF = FD より MF//QD，なので，
∠EMF = ∠CQD = 90°になり，M は EF を直径とする円を描きます。
このときの円の中心は EF の中点です。これを N とします。そして，
円の半径 = EN = FN = EF/2 = (PF - PE)/2 = (PD/2 - PC/2)/2 = (PD - PC)/4 = CD/4 = BC/2 = 5/2 cm
また，PN = PE + EN = PC/2 + EF/2 = PC/2 + BC/2 = PB/2 なので，N は PB の中点です。
ここまでで，P を固定した場合に，M は，中心を N，半径 5/2 cm，の円を描くことが分かりました。
次に，P を動かします。
A と B を結び 直線AB と 円A との交点を B から遠い方から G，H とします。
さらに，P が G に一致したときの N を I，P が H に一致したときの N を J とします。I は BG の中点，J は BH の中点です。
すると，先ほどと全く同じようにして，任意の P に対して，∠GPH = 90°で，
PN = BN，GI = BI より NI//PG，PN = BN，HJ = BJ より NJ//PH，なので，
∠INJ = ∠GPH = 90°になり，N は IJ を直径とする円を描きます。
このときの円の中心は IJ の中点です。これを O とします。そして，
円の半径 = IO = JO = IJ/2 = (BI - BJ)/2 = (BG/2 - BH/2)/2 = (BG - BH)/4 = GH/4 = AG/2 = 3/2 cm
そこで，円N の中心 N は，中心を O，半径 3/2 cm，の円を描くことが分かります。
以上で，結局，M の軌跡は，中心 O で半径 3/2 cm の円周上に中心 N がある半径 5/2 cm の円，と分かります。
後は，これを動かしてみればいいのですが，
O から一番遠いのは，半径 5/2 + 3/2 = 4 cm の円，O から一番近いのは，半径 5/2 - 3/2 = 1 cm の円，
なので，O を中心とした半径 4 cm の円から，O を中心とした半径 1 cm の円を引いたドーナツ形が，求める範囲です。
そこで，4 * 4 * 3.14 - 1 * 1 * 3.14 = 15 * 3.14 = 47.1 cm^2 になります。

この解法では，うっかりして，最後に半径 1 cm の円を引くのを忘れてしまうかもしれません。実は，私がそうでした (^^;
最初に Q を固定し，次に Q を動かすと考えると，M の軌跡は，半径 5/2 cm の円周上に中心がある半径 3/2 cm の円，となります。
一見，違って見えますが，実際に動かしてみれば，動く範囲はもちろん同じになります。
しかも，中心が同じ半径 4 cm の円から半径 1 cm の円を引いたドーナツ形が求める範囲になるのは，より分かりやすいようです。

なお，数学になりますが，座標を使うのも分かりやすそうですね。
ネコの住む家　　 7月29日（木） 21:27:38　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　36524
uchinyan
掲示板を読みました。

中心が同じ半径 4 cm の円から半径 1 cm の円を引いたドーナツ形が求める範囲
はもちろん同じですが，詳細の解法の書き込みが少ないので半ば想像ですが，次のようです。
このうち最初の三つは，うっかりすると，半径 1 cm の円を引くのを忘れてしまう可能性がありそうです。

#36514，#36516，#36517，#36518，#36519，#36520，#36523
解法不明。ただし，#36513などか，#36524などのどちらかと思われます。

#36513，#36515，#36522
A と B を一致させるなどの，何らかの特殊化による解法。
「特殊化」らしい記述がある場合に限り，この分類にしました。

#36524
まず P を固定し次に P を動かして，半径 3/2 cm の円周上に中心がある半径 5/2 cm の円，を得る解法。

#36521，#36524の最後の辺り
まず Q を固定し次に Q を動かして，半径 5/2 cm の円周上に中心がある半径 3/2 cm の円，を得る解法。

個人的には，数学解法がなかったのは，少し以外でした。

なお，

#36516
＞今回の問題で2つの円の半径がそれぞれA,A+2aである時、求める答えは
＞A(A+2a)×3.14になる。
えと，どうせなら，二つの円の半径を a，b としたら πab になる，の方がきれいかなぁ。
＞2つの円の半径の積に3.14を掛け算したのが答えとはエレガントですね。
確かにそうですね。
ネコの住む家　　 7月29日（木） 13:57:23　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　36525
meiche
Qを固定したら半径3/2の円ができる。
こんどはQを動かすとその半径3/2の円の中心が半径5/2の円周を動く。
　　 7月29日（木） 14:02:24　　 　　36526
meiche
すみません、更新をしたら二重投稿になってしまいました。
　　 7月29日（木） 14:03:53　　 　　36527
abc
数学解法になりますがベクトルによる解法を書いてみました。
　点A,B,P,Q,Mの各位置ベクトルをV(a),V(b),…のように表すことにします。
|V(m)-{V(a)+v(b)}/2|=|{v(p)+v(q)}/2-{v(a)+v(b)}/2|
=|{V(p)-V(a)}/2+{V(q)-V(b)}/2|…��
　　�，砲弔い銅，了鯵冑堙�式が成り立ちます。
|{V(q)-V(b)}/2|-|{V(p)-V(a)}/2|≦�　�|{V(p)-V(a)}/2|+|{V(q)-V(b)}/2|
(左辺と右辺の等号はそれぞれ、{V(q)-V(b)}と{V(p)-V(a)}の向きが
逆向き、同じ向きのとき成り立つ）
⇔5/2-3/2≦�　�3/2+5/2⇔1≦�　�4 (∵　条件より)
よって、Mの存在領域は、線分ABの中点を中心とする半径4の円板から、中心が同じで半径1の円板を除いたものになります。

　　
　　 7月29日（木） 15:32:18　　 　　36528
hide
ややずるい気がしないでもないですが、やっぱり特殊化が早いですね。
AとBを一致させて解きました。
　　 7月29日（木） 16:30:57　　 　　36530
鯨鯢(Keigei)
数学で解くと、次のが簡単と思います。
P(3cosα,3sinα), Q(2b＋5cosβ,5sinβ), M(x,y)とすると、
2x＝3cosα＋2b＋5cosβ, 2y＝3sinα＋5sinβ、
(2x−2b)^2＋(2y)^2＝34＋30cos(α−β)、
4≦(2x−2b)^2＋(2y)^2≦64、1≦(x−b)^2＋y^2≦16
　　 7月29日（木） 17:52:50　　 　　36531
ゴンとも
ネットで　円周上　軌跡　で検索して
2円の円周上の自由点の中点の軌跡
というサイトを発見！
2分程で以下の計算式で一発正解できました。

((3+5)/2)^2*3.14-((5-3)/2)^2*3.14=47.1・・・・・・(答え)
豊川市　　 7月29日（木） 20:40:36　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　36532
英ちゃん
ダーツのような４重円を描きました。
ワハハ　　 7月29日（木） 21:50:19　　 HomePage:ぶろっぐ　　36533
英ちゃん
#36518
「円周」の軌跡なので中心部に穴空きますよ。
私も最初穴を見落としました。
ワハハ　　 7月29日（木） 21:54:42　　 HomePage:ぶろっぐ　　36534
ヤドカリ
残念！シンプルに考えればできたのに！
　　 7月29日（木） 23:43:46　　 　　36535
水田X
（４−１）の二乗＊３．１４と勘違いしてました。
　　 7月30日（金） 6:10:36　　 　　36536
浮浪
特殊化すると簡単だけど・・・
　　 8月1日（日） 14:25:44　　 　　36537
どーもです
難しい。兄や友達（ど〜もどすさん）などに相談してやっと出来た。
小学生です　　 8月1日（日） 23:27:00　　 　　36538
ど〜もどす
やりー！！
　　 8月2日（月） 21:57:24　　 　　36539
どーもです
なにが「やりー！！」なんですか？
小学生です　　 8月3日（火） 22:17:08　　 　　36540