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マサル |
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そろそろ正解者も出そろって来たようで...少し安心しつつあります。
これ、風呂に入っているときに「ふと」思い浮かんだ完全にオリジナルな問題です。「どこを求める問題にするか」で少々悩みましたが、基本的なアイデアは風呂で出来ました。(^^; とりあえず、ミスがなければ良いのですが...。 |
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4月22日（木） 0:31:51
36125 |
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Ｍｒ.ダンディ |
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条件より、ＤＱ//ＡＣ//ＳＢ，ＲＡ//ＤＢ//ＣＰ がいえ
ＤＢとＡＣの交点をＧとすると ＡＧ：ＧＣＰＤ：ＤＣ＝＝ＡＢ：ＢＰ＝1：1 ＤＧ：ＧＢ＝1：2、□ＡＢＧＲが平行四辺形になることを使って ＲＨ：ＨＢ＝2：3 △ＲＴＤ＝△ＲＢＣ・(1/2)・(2/5)＝(1/5）△ＲＢＣ＝(1/5）□ＡＢＣＤ と求めました。 |
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4月22日（木） 1:08:34
36126 |
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ζ |
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似たような解法ですが…
△APQ＝Sとおくと△ABC＋△ACQ＝□ABCD＝S/2 条件よりSB//AC//DQでQC：CB＝1:2なのでDA：AS＝1:2 これより△DAC＝S/6 △ASC＝S/3 条件よりAR//BD//PCでPB：BA＝1:1なのでCD：DR＝1:1 △ART∽△DBTで△RDB＝△DCB＝S/4 △RDA＝△DAC＝S/6 なので相似比は2:3 よってAT：TD＝2:3 △RTD＝△RDA*3/5＝S/6*3/5＝S/10＝1/5*S/2＝1/5*□ABCD |
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4月22日（木） 1:48:46
36127 |
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abc |
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同じような解法です。
四角形ABCD=△BCR=△DAPより DB〃RA〃CP…� �RD:DC=AB:BP=1:1…�� また、△ACQ:△ABC=1:2 で△ACQ=△DAC(∵四角形ABCD=△ABQ) よりBDとACの交点をEとすると DE:EB=1:2…�� � ↓◆↓�よりDT:AT=BD:RA=3:2…�� �◆↓い茲蝣�RDT=△DAC*3/5=(四角形ABCD*1/3)*3/5(∵��より) =四角形ABCD*1/5…(答) 面白い問題でした。（なお、四角形ABCD=△CDSの条件は必要ないのでは…) |
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4月22日（木） 11:45:06
36128 |
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マサル |
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#36128 （abc さん）
> （なお、四角形ABCD=△CDSの条件は必要ないのでは…) はい、その通りでした。実は当初、「四角形PQRSの面積を求めよ」という問題設定にしていたのですが、しかしそれだと平行線を経由せずに解けることに直前に気付きまして、今回の設問に変更したという経緯がありまして..。その名残として残ってしまいました。m(__)m |
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4月22日（木） 11:04:13
36129 |
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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
なかなか面白い問題だと思いました。一応，こんな感じで。 AC と BD の交点を O とします。 □ABCD = △DAP より DB//CP で，AO：OC = AB：BP = 1：1 です。 □ABCD = △ABQ より AC//DQ で，BO：OD = BC：CQ = 2：1 です。 □ABCD = △BCR より DB//RA で，CD：DR = CO：OA = 1：1，DO：RA = 1：2 です。 そこで，RA：BD = RA：(BO + OD) = 2：(2 + 1) = 2：3 です。 また，DB//RA より △TRA ∽ △TBD なので，AT：TD = RA：BD = 2：3 です。 そこで， △RDT = △BCR - □TBCD = □ABCD - □TBCD = △TAB = △DAB * 2/5 = □ABCD * 1/2 * 2/5 = □ABCD * 1/5 になります。 |
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ネコの住む家
4月22日（木） 12:08:59
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 36130 |
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スモークマン |
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やっと...^^;
勘違いしてた... 9t^2-4t^2=5 から...4t^2-t^2=3 3-2=1 1*((1+3)/(1+3+1))=4/5 4/5 : 4 = 1 : 5 バカでした...Orz... |
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4月22日（木） 12:43:14
36131 |
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uchinyan |
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掲示板を読みました。
面積が等しい条件から， AC//QD(//SB)，BD//PC//RA を使うことと，AT：TD = 2：3 を示すこと， は皆さん同じようです。 その間は．．． #36126 AC と BD の交点を G として AG：GC = 1：1，DG：GB = 1：2 を導き，□ABGR が平行四辺形になることを使う解法。 #36126 △APQ を基にした面積比を中心に考える解法。 #36128(多分)，#36130 AC と BD の交点を O として AO：OC = 1：1，DO：OB = 1：2 を導き，△TRA ∽ △TBD を使う解法。 #36131 数学による解法？，のようですが，詳細は不明。 今思ったのですが，少し回りくどいですが，O は △CRB の重心なので，RB と AC の交点を E としたときに AE：EC = 1：3 で， これから，メネラウスか何かで AT：TD = 2：3 を出す，なんて解法もありますね。 |
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ネコの住む家
4月22日（木） 13:03:02
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 36132 |
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スモークマン |
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#36131
CRの延長と、PAの延長でできる三角で考えました。 RA//DB//CP □DBPC=5 □RABD=3 DT:TA=4:1 △DRA=1 △DRT=1*(4/5) □DABC=4 からだしました...^^;v |
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4月22日（木） 14:03:17
36133 |
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金があればいい |
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693回より、
3/(6+9)ですね。(笑） |
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ガマ星雲第58番惑星
4月22日（木） 18:03:50
HomePage:Youtubeですが＾＾； 36134 |
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wowka |
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1:4の比率で解としていたのですが、違うようでした＾＾；
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4月22日（木） 19:59:33
MAIL:takatu@iris.ocn.ne.jp 36135 |
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fumio |
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いやー、おもしろかったです。等積変形を利用しました。
ゴンともさんすごい！ ではまたね。 |
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4月23日（金） 5:59:31
36136 |
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fumio |
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今年の大阪オフミは算チャレ問題「第700回記念」も兼ねていますね。
楽しみにしています。 |
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4月23日（金） 6:06:20
36137 |
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マサル |
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#36137
え？そうなんですか？次回お休みにして良かったのか...な？（確認してない あ、一応もう一度アナウンス。6/20（日）に大阪でオフミを実施予定ですー。夕方スタートになります。もう行きの航空券は取りました。 |
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4月23日（金） 11:31:08
36138 |
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hide |
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せっかくリアルタイムで参加したのに
今更認証で正解してもなぁ… |
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4月23日（金） 13:14:52
36139 |
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R.K. |
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等積変形って素晴らしいですね。
答えを出した瞬間感動しました。 |
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4月25日（日） 11:16:00
36140 |
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hide |
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質問です
問 kを3以上の奇数とするとき 5^k-1または2*5^k-1が平方数となるようなkは存在するか？ 1週間ほど考えたのですが答えが出ません。 もしかしたら、出ないかもしれません… ちなみにこの問題はここから派生したものです。 問 1/7=0.14 56 224 896 28 112 448 0.142857142857… というように1/aが初項a*b/10^(n+c),項比b/10^cの無限項比級数の和として表せるようなaを全て求めよ。 (a,b,c,nは自然数)1/7はb=2,c=2,n=0の場合。 1/2(b=2,c=1,n=0),1/3(b=1,c=1,n=0)が条件を満たすのは分かったのですが… うまくやれば冒頭の問題を考えなくても解けるのかな？ |
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5月2日（日） 14:27:54
36141 |
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uchinyan |
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#36141
少し考えてみたのですが，なかなか難しいようです．．． ただ，次のようなつまらない解の系列があります。何か条件を付けないと，a はいくらでもありますね。 1/1 = (1 * 5)/10^(0 + 1) * (1 + 5/10^1 + (5/10^1)^2 + ...) 1/10 = (10 * 5)/10^(2 + 1) * (1 + 5/10^1 + (5/10^1)^2 + ...) ... 1/2 = (2 * 2)/10^(0 + 1) * (1 + 2/10^1 + (2/10^1)^2 + ...) 1/20 = (20 * 2)/10^(2 + 1) * (1 + 2/10^1 + (2/10^1)^2 + ...) ... 1/3 = (3 * 1)/10^(0 + 1) * (1 + 1/10^1 + (1/10^1)^2 + ...) 1/30 = (30 * 1)/10^(2 + 1) * (1 + 1/10^1 + (1/10^1)^2 + ...) ... 1/7 = (7 * 2)/10^(0 + 2) * (1 + 2/10^2 + (2/10^2)^2 + ...) 1/70 = (70 * 2)/10^(2 + 2) * (1 + 2/10^2 + (2/10^2)^2 + ...) ... これ以外にも，次のような解もあるようです。 1/5 = (5 * 8)/10^(2 + 1) * (1 + 8/10^1 + (8/10^1)^2 + ...) 1/55 = (55 * 32)/10^(2 + 3) * (1 + 32/10^3 + (32/10^3)^2 + ...) 先ほどと同じような系列ももちろん解になります。 他にあるかどうかは，よく分かりません (^^; |
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ネコの住む家
5月3日（月） 18:01:38
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 36142 |
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スモークマン |
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#36142
uchinyanさんへ ^^ わたしも考えてるんですが... 貴殿の提示された解の系列はいかような方法で見つけられたのでしょうか...♪ よろしければ...方針のご開陳をいただければありがたいのですが...~m(_ _)m~v |
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5月3日（月） 23:44:23
36143 |
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hide |
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#36142
uchinyanさんへ そうですね。何か条件が足りない気がします… 学校で友人に聞いた問題なのでGW明けてからでないと確認できませんが とりあえずは問題はこのままで考えます。 それと「nは自然数」ではなく、「０または自然数」でした。 ちなみに、自分が1週間近く考えた結果 無限項比級数の和から (10^n)/a=ca/(10^b-c)となりこれを a^2/10^n=(10^b)/c-1と変形する。…☆ 左辺を約分するとm^2か10*m^2か1となる。（mは自然数） ��10*m^2の場合 右辺が10の倍数になるには（右辺）＝０とならなければならない。 しかしこのときm=0となるので不適。 ��1なる場合 c=10^b/2とすることで、等式を満たせる。 ☆に代入しa^2=10^nとなる。 a=10^p(pは任意の非負整数） ��m^2の場合 m^2=(10^b)/c-1 4での剰余から右辺は2の因数を2つ以上持たない。 よって、右辺は5^k-1または2*5^k-1と変形できる（kは自然数） m^2=5^k-1または2*5^k-1…※ (1)kが偶数のとき 前者は5^kが平方数となるので5^k-1は平方数とならない。 後者はk=1つまりa=7*10^pのみであることが証明できる。（証明は下の方） (2)k=1のとき 各々※に代入し前者はa=2*10^p、後者はa=3*10^pとなる。 (3)kが3以上の奇数のとき ??? （証明）（あんまりきれいじゃないけど…） 5^k=2r+1とおく。 2(2r+1)^2-m^2=1となり4での剰余からmは奇数と分かる。 m=2s+1を代入し整理すると 2r(r+1)=s(s+1) となりr=2,s=3となり、これらはk=1,m=7と対応する。 |
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5月4日（火） 1:53:02
36144 |
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uchinyan |
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#36144 hideさん
＞そうですね。何か条件が足りない気がします… えと，a に対して 10 のべき乗の不定性を認めるならば，今のままで問題ないですね。 ＞とりあえずは問題はこのままで考えます。 はい，それでいいと思います。 なお，次の解，とその 10 のべき乗の系列，も見つけました。 1/75 = (75 * 64)/10^(4 + 2) * (1 + 64/10^2 + (64/10^2)^2 + ...) ＞ちなみに、自分が1週間近く考えた結果 読んでみたのですが，よく分からない点があるので教えてください。 ＞無限項比級数の和から ＞(10^n)/a=ca/(10^b-c)となりこれを えーと，b と c が問題文と反対だと思いますが，まぁそれはいいとして。 ＞a^2/10^n=(10^b)/c-1と変形する。…☆ ＞左辺を約分するとm^2か10*m^2か1となる。（mは自然数） ここは分からないです。a^2/10^n を整数と仮定しているように思いますが，それはどうしてですか？ 多分こうすると，1/5，1/55，1/75 は出て来ないと思います。 ＞��10*m^2の場合 ＞右辺が10の倍数になるには（右辺）＝０とならなければならない。 ＞しかしこのときm=0となるので不適。 これはOK。 ＞��1なる場合 ＞c=10^b/2とすることで、等式を満たせる。 ＞☆に代入しa^2=10^nとなる。 ＞a=10^p(pは任意の非負整数） これもOK. ＞��m^2の場合 ＞m^2=(10^b)/c-1 ＞4での剰余から右辺は2の因数を2つ以上持たない。 ＞よって、右辺は5^k-1または2*5^k-1と変形できる（kは自然数） 「右辺」->「(10^b)/c」の間違い。 ＞m^2=5^k-1または2*5^k-1…※ これはOK。 ＞(1)kが偶数のとき ＞前者は5^kが平方数となるので5^k-1は平方数とならない。 これもOK。 ＞後者はk=1つまりa=7*10^pのみであることが証明できる。（証明は下の方） これは後で。 ＞(2)k=1のとき ＞各々※に代入し前者はa=2*10^p、後者はa=3*10^pとなる。 これもOK。 ＞(3)kが3以上の奇数のとき ＞??? ここは私もまだ分からないです。解はなさそうですが．．． ＞（証明）（あんまりきれいじゃないけど…） ＞5^k=2r+1とおく。 ＞2(2r+1)^2-m^2=1となり4での剰余からmは奇数と分かる。 これもOK。 ＞m=2s+1を代入し整理すると ＞2r(r+1)=s(s+1) ＞となりr=2,s=3となり、これらはk=1,m=7と対応する。 多分正しそうだとは思いますが，ここも分からないです。 少なくとも「r=2,s=3」以外に解がないことをちゃんと示さないと証明とはいえません。 もう少し詳細にお願い致します。 |
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ネコの住む家
5月4日（火） 13:21:32
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 36145 |
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uchinyan |
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#36143 スモークマンさん
hideさんの#36144と基本的には同じです。解けていませんが，一応書いておきますね。 等比数列の和より 1/a = ab/10^(n+c) * (1 + b/10^c + (b/10^c)^2 + ...) = ab/10^(n+c) * 1/(1 - b/10^c) = ab/(10^n * (10^c - b)) a^2 * b = 10^n * (10^c - b) a^2 = 10^(n+c)/b - 10^n a^2，10^n はともに自然数なので 10^(n+c)/b も自然数で，m，k を 0 以上の整数として， a^2 = 2^m * 5^k - 10^n b = 2^(n+c-m) * 5^(n+c-k) とおけます。実は，最初の式で決まる a，n，m，k に対して b を決める際に c には自由度があるのですが， b が最小の整数になるように c を選ぶことにします。 ここで，まず n = 0 の場合を考えてみました。 それは，n = 0 の場合の解 a^2 = 2^m * 5^k - 1 が見つかれば，p を 0 以上の整数として， (a * 10^p)^2 = 2^(m+2p) * 5^(k+2p) - 10^(2p) n = 2p の場合の解も見つかるからです。 ただ，話はそう単純ではなく，n が正の整数のこれ以外の解もあります。それは， b = 2^(n+c-m) * 5^(n+c-k) の m や k が n や c 単独よりも大きく n+c 以下の場合です。 それが，a = 5, 55, 75 の場合で，これらは試行錯誤で見つけました。まだあるかもしれません。 一方，n = 0 の場合ですが， a^2 = 2^m * 5^k - 1 b = 2^(c-m) * 5^(c-k) この場合は c = max(m,k) とすればいいですね。 ここで，a^2 + 1 は 4 で割って 1 又は 2 余る数なので m = 0 又は 1 です。そこで， (1) a^2 = 5^k - 1 の場合 m = 0, k = 0, a = 0 不可 m = 0, k = 1, a = 2, c = 1, b = 2 は，すぐに分かります。 また，k が 2 以上の偶数の場合に解がないのも明らかでしょう。 問題はそれ以外で，解はなさそうですが，分かっていません。 (2) a^2 = 2 * 5^k - 1 の場合 m = 1, k = 0, a = 1, c = 1, b = 5 m = 1, k = 1, a = 3, c = 1, b = 1 m = 1, k = 2, a = 7, c = 2, b = 2 は，すぐに分かります。問題は，それ以外です。 ただ，hideさんの最後部分の証明が詳細に示されれば，k が偶数の場合は解決されますね。 というわけで，現時点で私が分からないのは， ・a^2 = 5^k - 1，k は 3 以上の奇数 ・a^2 = 2 * 5^k - 1，k は 3 以上の整数 ・n が 1 以上の n = 0 からは導けない解 になります。 なお，最初の二つは，ペル方程式 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%83%AB%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F という有名な方程式の形をしているので，そちらからのアプローチでできそうな気もするのですが．．． |
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ネコの住む家
5月4日（火） 13:27:33
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 36146 |
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スモークマン |
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#36146
uchinyanさんへ ^^ 詳細な解説ありがとうございました m(_ _)m〜v 理解に努めたいと思います...^^;v 5^k-1=n^2 ...存在するかどうかを考えてみました...いつもながらアバウトですが...^^; 5^k-1=n^2 があるとすると... 5-1=2^2 なので... 5^k-5=n^2-4=(n+2)(n-2) 5(5^(k-1)-1)=5*(5^((k-1)/2)-1)(5^((k-1)/2)+1) n+2=5m n-2=m+2 4=4m-2 m=3/2...と整数にならない...ので矛盾 ではだめかなぁ...^^;? |
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5月4日（火） 13:51:45
36147 |
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スモークマン |
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#36147
嘘でした...^^; Orz... n+2=5m n-2=m+4 m=2 n=8 5^k-1=8^2 5^k=65 を満たすものはない... になりそう...? 因数分解のあたりが...安易すぎるかなぁ...^^;? |
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5月4日（火） 13:59:54
36148 |
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uchinyan |
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#36147，#36148
＞5^k-5=n^2-4=(n+2)(n-2) ＞5(5^(k-1)-1)=5*(5^((k-1)/2)-1)(5^((k-1)/2)+1) ここで，m = 5^((k-1)/2) - 1 とおいているのでしょうか？ そうならば， ＞n+2=5m ＞n-2=m+2 の可能性もありますが，一般には m は素数ではないので m を素因数分解した様々の可能性があり，これだけでは全く不十分です。 なお， ＞n+2=5m ＞n-2=m+4 これはむしろおかしいのでは？ |
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ネコの住む家
5月4日（火） 15:24:53
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 36149 |
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スモークマン |
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#36149
uchinyanさんへ ^^ まったく出鱈目になってしまってました...^^;;; Orz... n+2 と n-2 は差が 4 なので... しかも...5, (5^(k-1)/2)±1 は互いに素なので... n+2 or n-2 が 5 を素因数として持ち... それらの差は...最低でも 5>4 の差が生まれるので...矛盾する... と言えないかなぁ...^^;? |
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5月4日（火） 15:59:16
36150 |
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uchinyan |
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#36150
＞n+2 と n-2 は差が 4 なので... これはOK。 ＞しかも...5, (5^(k-1)/2)±1 は互いに素なので... 5 と 5^((k-1)/2) + 1，5 と 5^((k-1)/2) - 1，は，それぞれ互に素ですね。 ＞n+2 or n-2 が 5 を素因数として持ち... これもOK。5 の因数はどちらか一方しかもてませんね。しかし， ＞それらの差は...最低でも 5>4 の差が生まれるので...矛盾する... これは，両方とも 5 の倍数ならばいえますが，そうではないので，一般には，今までの仮定だけでは無理な気がします。 他の条件をうまく使えばいえるのかも知れませんが．．． |
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ネコの住む家
5月4日（火） 18:03:53
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 36151 |
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スモークマン |
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#36151
uchinyanさんへ ^^ おっしゃる意味が理解できました...Orz たしかに...そうですね...^^; 5,m,m-2 最小の場合...5,3,1 たしかに...5*1-3=2 それ以上は...偶数{(6,4)以上の)になるので... 5*(2m)-2g=4 になる(あるとすると...この形しかない)とすると... g=5m-2 5*2m*2*(5m-2) =(n+2)(n-2) なので... 10m と 2(5m-2) が満たしてる!!...当たり前かな...^^;?...わけわからないことに嵌ってるかなぁ... このとき… 10m*(10m-4)=5^k-5 4m(5m-1)=5^(k-1)-1 20m^2-4m+1=5^(k-1) m=5g-1 20(5g-1)^2-4(5g-1)+1=4(5g-1)^2-4g+1=5-4g g=5h m=25h-1 20(25h-1)^2-4(25h-1)+1=20(25^2*h^2-50h+1)-4*25h+5 =25(20*25h^2-44h+1) =5^(k-1) 20*25*h^2-44h+1=5^(k-3) h=5a-1 20*25(5a-1)^2-44(5a-1)+1=100(5a-1)^2-44a+9 a=5b-4 100(5(5b-4)-1)^2-44(5b-4)+9=20(25b-21)^2-44b+37 b=5c+3 ・・・ k-1 は有限で...いずれは0になる... この計算は無限に続く(これがいえればいいんでしょうね ^^;)ので...あり得ないってな感じになるのかな...? 降参/白旗...Orz...^^;v |
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5月4日（火） 19:52:11
36152 |
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hide |
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#36145
uchinyanさんへ ＞＞2r(r+1)=s(s+1) ＞＞となりr=2,s=3となり、これらはk=1,m=7と対応する。 ＞多分正しそうだとは思いますが，ここも分からないです。 ＞少なくとも「r=2,s=3」以外に解がないことをちゃんと示さないと証明とはいえません。 ＞もう少し詳細にお願い致します。 えーっと、これでは証明になっていないかもしれませんが、このように考えました。 連続する2数の積は 2,6,12,20,30… となり（6,12)の組以降だと差が2倍以上にならない。 よって条件を満たすのはこれのみであると言える。 これでいいのかなぁ。ちょっと不安。 ＞＞a^2/10^n=(10^b)/c-1と変形する。…☆ ＞＞左辺を約分するとm^2か10*m^2か1となる。（mは自然数） ＞ここは分からないです。a^2/10^n を整数と仮定しているように思いますが，それはどうしてですか？ ＞多分こうすると，1/5，1/55，1/75 は出て来ないと思います。 わ、やってしまった… すっかり勘違いしてた… 道理で1/5を満たす数が無いわけだ… あの式で整数じゃない場合を考えるよりはuchinyanさんの a^2 = 2^m * 5^k - 10^n b = 2^(n+c-m) * 5^(n+c-k) この式で考えたほうが良さそう。 |
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5月5日（水） 10:34:14
36153 |
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uchinyan |
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#36153
＞＞＞2r(r+1)=s(s+1) ＞＞＞となりr=2,s=3となり、これらはk=1,m=7と対応する。 ＞＞多分正しそうだとは思いますが，ここも分からないです。 ＞＞少なくとも「r=2,s=3」以外に解がないことをちゃんと示さないと証明とはいえません。 ＞＞もう少し詳細にお願い致します。 ＞ ＞えーっと、これでは証明になっていないかもしれませんが、このように考えました。 ＞連続する2数の積は ＞2,6,12,20,30… ＞となり（6,12)の組以降だと差が2倍以上にならない。 うーん，r, s は隣り合う自然数，とかがいえるのでしょうか？ そうしたことがいえれば正しいですが，少なくとも簡単には，いえそうにない気がします。 いえないとすると，r = 14, s = 20 などの解があります。(実は無数にあります。) 2 * 14 * (14 + 1) = 420 = 20 * (20 + 1) もちろん，5^k = 2 * 14 + 1 = 29 を満たす k は存在しないので，これは元の式の解にはなっていません。 いずれにせよ，証明としては不十分な気がするので，再考なさった方がいいように思います。 私の方も行き詰ってしまったので，取り敢えず，プログラムを組んで調べてみました。 その感じでは，少なくとも n = 0 では，他に解はなさそう，あったとしてもかなり大きな a になりそう，です。 n >= 1 の場合も，今のところ，今まで以外の解は見つかっていません。 少なくとも，n = 0 の場合は，何か証明できないのかなぁ．．． |
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ネコの住む家
5月5日（水） 13:25:05
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 36154 |
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明らかにミスっていたのでこっそり消しておこうと思ったのに、もう見られてた（笑
恥ずかしい… |
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5月5日（水） 13:29:40
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