die neue Frau
久々に入ってこれました
素数の積を考えました
2×3×5×7=210で
それに対して、2、3、5、7を掛けたものがア、イ、ウ、エになる
だから210×2=420が答え
地上の楽園でもないな　　 11月12日（木） 0:11:38　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　35316
英ちゃん
最近掲示板の書き込み失敗が多い気がします・・・。
いぇい　　 11月12日（木） 0:17:12　　 MAIL:eityans@gmail.com HomePage:ブログ　　35317
むらい
題意より、ア・イ・ウ・エは少なくとも４種類の同じ素数を因数に持つので
なるべく小さくするには２・３・５・７を因数にもちます。
あとは、便宜上ア＜イ＜ウ＜エ　とすると（同じ数は題意に反するので）

ア…２×２×３×５×７
イ…２×３×３×５×７
ウ…２×３×５×５×７
エ…２×３×５×７×７　としました。

蛇足ですが、１１月１５日（日）夜９時からＮＨＫにて、リーマン予想〜〜
が放送されるそうです。　素数マニアな方は必見です。

サイタマ　　 11月12日（木） 0:18:09　　 　　35318
仮面ランナー サブスリー
「アが最も小さくなるようなものについて」では不十分(一意に決まらず)で、
「かつ、アとイとウとエの公倍数も最も小さくなるようなもの」という条件
記載が足りないような気が・・・
　　 11月12日（木） 0:24:10　　 　　35319
仮面ランナー サブスリー
#35319
勘違いでした、すみません。
　　 11月12日（木） 0:26:59　　 　　35320
Mr.ダンディ
4つの素数をｐ,ｑ,ｒ,ｓとしたとき、p^qrs ,pq^2rs ,pqr^2s ,pqrs^2 の4つの値の組は、（条件2）（条件3）を満たす。
よって、アが最小になるには、p,q,r,s を 2,3,5,7 としたときの p^qrs であればよい、と考えました。
大阪　　 11月12日（木） 0:28:50　　 　　35321
CRYING DOLPHIN
素因数を2個のみ持つものから考えて遠回りした…
(2^6)×(3^3)　(2^5)×(3^4)　(2^4)×(3^5)　(2^3)×(3^6)
から、意外に大きい数だなあと疑問に思いつつ、1728を送り撃沈。

のちに思い直し、ならば素因数が4つならどうだろう？となり…
あとは、2×3×5×7に既存の素因数をかけて4数を作るという、
恐らく皆さんと同じ解き方です。

しっかし、新型I○Eの変換は、馬鹿すぎる...orz
誰もいない市街地　　 11月12日（木） 0:30:48　　 HomePage:算数と隧道　　35322
スモークマン
やっと気付けました...^^;;
最初...
2^4*3^3 でいいはずと思ってた...^^;
2^3*3^4
2^2*3^5
2*3^6
でもこれは...2^4*3^3=432 > 2^2*3*5*7=420 だったんですね...
金光＠岡山　　 11月12日（木） 1:39:55　　 　　35323
スモークマン
こりゃ駄目ですね...
2乗したとき条件満たしてなかった...
すくなくとも...#35322 CRYING DOLPHINさんの、2^6*3^3 じゃないと駄目でした...^^;
↓
金光＠岡山　　 11月12日（木） 1:43:23　　 　　35324
doba
マサルさま

2^4 * 3^1 * 5^1 = 240
2^3 * 3^2 * 5^1 = 360
2^3 * 3^1 * 5^2 = 600
2^2 * 3^2 * 5^2 = 900
を見落としておられるのではないでしょうか？

たぶん想定解は
2^2 * 3^1 * 5^1 * 7^1 = 420
2^1 * 3^2 * 5^1 * 7^1 = 630
2^1 * 3^1 * 5^2 * 7^1 = 1050
2^1 * 3^1 * 5^1 * 7^2 = 1470
なのでしょうが．．．
　　 11月12日（木） 9:19:55　　 　　35325
abcba@jugglermoka
今回は超簡単だと思い一瞬で420という答えにたどり着いて何のためらいもなく回答した後に掲示板に入れたという感じです。しかし、
>#35325 dobaさま
仰るとおり240でも問題の条件を満たしますね。
ちなみに、5つの整数の組では

2^4 * 3^1 * 5^1 * 7^1 = 1680
2^3 * 3^2 * 5^1 * 7^1 = 2520
2^3 * 3^1 * 5^2 * 7^1 = 4200
2^3 * 3^1 * 5^1 * 7^2 = 5880
2^2 * 3^2 * 5^2 * 7^1 = 6300

でアの最小値は1680でよいのかな?

　　 11月12日（木） 10:42:26　　 　　35327
doba
#35327 abcba@jugglermokaさま
５個の場合、

2^4 * 3^2 * 5^1 = 720
2^3 * 3^2 * 5^2 = 1800
2^3 * 3^3 * 5^1 = 1080
2^2 * 3^3 * 5^2 = 2700
2^2 * 3^4 * 5^1 = 1620

というパターンを見つけてしまいました。
この720が最小かどうかは定かではありませんが．．．。
なかなか奥深い問題ですね。
　　 11月12日（木） 11:04:54　　 　　35328
ちゃーみー
素因数 4 個の方が作りやすいからそっちで作っておいて，
もし正解にならなかったら 3 個以下の場合を深く考えてみようと
思っていたのですが，3 個以下の方に最小値があったのですね．

時間ができたら個数を増やしたときにどうなるか真剣に考えてみたいと思います．
とうきょうとせたがやく　　 11月12日（木） 11:40:05　　 MAIL:kakuromaster@star.cims.jp 　　35329
baka
これぞまさに誤認…
　　 11月12日（木） 11:59:12　　 　　35330
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
う〜む，こういう問題も，解いていて何となくスッキリしないので苦手です。
論理的には厳密でないので，抜けがあるとは思いますが，まぁ，こんな感じで。

題意より，ア < イ < ウ < エ としてよく，ア，イ，ウ，エを素因数分解したものを考えます。
すると，アが最小になるには，できるだけ現れる素因数が小さくなることは当然として，
(1) 異なる素因数の個数が，できるだけ少なくなる。
(2) 各素因数の個数，つまり，素因数の肩に乗る指数，が，できるだけ少なくなる。
がいえる必要があります。そこで，まずは，それらの極端な場合を考えてみます。
(1)は，素因数が一個ではダメなので，二個で，2 と 3 の場合です。
細かい議論は省略しますが，いろいろやってみると，最小は，
(ア，イ，ウ，エ) = (2^6 * 3^3，2^5 * 3^4，2^4 * 3^5，2^3 * 3^6)
のようで，このとき，ア = 2^6 * 3^3 = 1728 です。
(2)は，指数が 1 だけではダメなので，1 と 2 の場合を考えると，素因数を 2，3，5，7 として，最小は，
(ア，イ，ウ，エ) = (2^2 * 3 * 5 * 7，2 * 3^2 * 5 * 7，2 * 3 * 5^2 * 7，2 * 3 * 5 * 7^2)
のようで，このとき，ア = 2^2 * 3 * 5 * 7 = 420 です。
これ以外に，(1)と(2)が混じり合ったものも検討する必要がありますが，可能性があるとすると素因数が 2，3，5 の場合で，
これもいろいろやってみると，どうやら，最小は，
(ア，イ，ウ，エ) = (2^4 * 3^2 * 5，2^2 * 3^2 * 5^2，2^3 * 3^3 * 5，2 * 3^3 * 5^2)
のようで，このとき，ア = 2^4 * 3^2 * 5 = 720 です。(ちょっと，自信なし．．．)
そこで，アの最小は 420 だろう，と思って認証したら，正解でした。

皆さんはどう考えたのかな？

ここまで書いて，見直してみたのですが，
(ア，イ，ウ，エ) = (2^4 * 3 * 5，2^3 * 3^2 * 5，2^3 * 3 * 5^2，2^2 * 3^2 * 5^2)
ア = 2^4 * 3 * 5 = 240
という解を見つけてしまいました．．．？

どこかおかしいのかな？
ネコの住む家　　 11月12日（木） 12:03:28　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35331
uchinyan
掲示板を読みました。
う〜む，やはりというか，dobaさんも#35325でご指摘のように，どうやら，240 が最小の可能性があるようですね。
ネコの住む家　　 11月12日（木） 12:12:05　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35332
吉川　マサル
す、スミマセン、どうやら完全に見落としてしまったようです...。一応、素因数３個の場合も考えたのですが、「ま、たぶんないだろう」という気持ちが少しあったかも知れません。

とりあえずトップページのほうに告知してきます...。
PowerBook　　 11月12日（木） 13:41:58　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:Men @ Work　　35333
Mr.ダンディ
#35325
な〜るほど！　あるもんですね〜。
参った！
大阪　　 11月12日（木） 14:10:47　　 　　35334
abcba@jugglermoka
#35328 dobaさま
直感任せに解いて見事に撃沈です。やはりこのような問題は場合分けをめんどくさがらずに地道に解いていくのが近道なのかも知れませんね。

整数6個の場合(自信ないですが....)
2^4 * 3^3 * 5^1 = 2160
2^4 * 3^2 * 5^2 = 3600
2^3 * 3^4 * 5^1 = 3240
2^3 * 3^3 * 5^2 = 5400
2^2 * 3^5 * 5^1 = 4860
2^2 * 3^4 * 5^2 = 8100

で2160。エレガントなとき方を思いつかず、またしても直感です。間違ってたらここでやめておきます(^^:;
　　 11月12日（木） 14:38:48　　 　　35335
doba
#35335
６個の場合は、実は素数４種で結構キレイな答えがあるようです。
2^2 * 3^2 * 5^1 * 7^1 = 1260
2^2 * 3^1 * 5^2 * 7^1 = 2100
2^2 * 3^1 * 5^1 * 7^2 = 2940
2^1 * 3^2 * 5^2 * 7^1 = 3150
2^1 * 3^2 * 5^1 * 7^2 = 4410
2^1 * 3^1 * 5^2 * 7^2 = 7350

これを素数３種でやろうとすると、どうしても指数が大きくなってしまいます。
2^6 * 3^2 * 5^1 = 2880
2^5 * 3^3 * 5^1 = 4320
2^4 * 3^4 * 5^1 = 6480
2^5 * 3^2 * 5^2 = 7200
2^4 * 3^3 * 5^2 = 10800
2^3 * 3^4 * 5^2 = 16200

ちなみに、abcba@jugglermokaさんの例では、２番目の数の２乗が５番目の数の倍数にならないようです。その３の指数を全部１ずつ増やして、２と３を入れ替えると上記例になります。
　　 11月12日（木） 17:13:41　　 　　35336
die neue Frau
ひょっとして
考え方は同じで、
1×2×3×5=30を基準にして
1、2、3、5を掛けたものをア、イ、ウ、エとする？
そうすれば30×1=30が答え
確かに成り立つ
地上の楽園でもないな　　 11月13日（金） 1:42:49　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　35337
die neue Frau
30だと、イ、ウ、エはアの倍数になるか
無理
地上の楽園でもないな　　 11月13日（金） 1:50:26　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　35338
BossF
#35325 本当だ　私も見落とし（＾＾；；
root of isle　　 11月13日（金） 10:39:51　　 MAIL:fv2f-ftk@asahi-net.or.jp HomePage:BossF's Toy Box　　35339
清川　育男
1680=2^4*3^1*5^1*7^1
2520=2^3*3^2*5^1*7^1
4200=2^3*3^1*5^2*7^1
5880=2^3*3^1*5^1*7^2
6300=2^2*3^2*5^2*7^1
8820=2^2*3^2*5^1*7^2
14700=2^2*3^1*5^2*7^2

5040=2^4*3^2*5^1*7^1
7560=2^3*3^3*5^1*7^1
11340=2^2*3^4*5^1*7^1
12600=2^3*3^2*5^2*7^1
17640=2^3*3^2*5^1*7^2
18900=2^2*3^3*5^2*7^1
26460=2^2*3^3*5^1*7^2
44100=2^2*3^2*5^2*7^2


13860=2^2*3^2*5^1*7^1*11^1
23100=2^2*3^1*5^2*7^1*11^1
32340=2^2*3^1*5^1*7^2*11^1
34650=2^1*3^2*5^2*7^1*11^1
48510=2^1*3^2*5^1*7^2*11^1
50820=2^2*3^1*5^1*7^1*11^2
76230=2^1*3^2*5^1*7^1*11^2
80850=2^1*3^1*5^2*7^2*11^1
127050=2^1*3^1*5^2*7^1*11^2


広島市　　 11月14日（土） 19:17:30　　 　　35340
ハラギャーテイ
プログラムでは大変でした。もっと良い方法が思いつかなくては！
山口　　 11月15日（日） 18:41:56　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　35341
ｔ
厳密な解答どなたか書けませんか？
　　 11月15日（日） 20:28:16　　 　　35342
あみー
素因数２個…４種の区別は素数(２，３)が３０，２１，１２，０３個で，
問題文の条件より２の３乗と３の３乗をかけて６３，５４，４５，３６個
(＝1728，2592，3888，5832)

素因数３個…３種の区別は素数(２，３，５)が２００，１１０，１０１，０１１個で，問題文の条件より２の２乗と３の１乗と５の１乗をかけて４１１，３２１，３１２，２２２個(＝240，360，600，900)

素因数４個…想定解

雑ですまない
　　 11月15日（日） 21:15:01　　 　　35343
清川　育男
９個の整数の組、１０個の整数の組の場合はどうでしょうか。

広島市　　 11月15日（日） 23:25:08　　 　　35344
hide
全然違う問題出してスミマセン。
自作の問題です。
暇な人は解いてみてください。

いま、x,nを自然数、aを０以上の整数とし、
fn(x)=nx^n+(n-1)x^(n-1)+……3x^3+2x^2+x+1
とする。このとき、x,aがどのような値をとろうとも
2fn(x)+4x^2+a^2
が平方数とならないようなnを全て求めよ。

中学までの範囲でお願いします。
学校の先生も塾の先生も解けませんでした。
問題が成立することは確認済みです。
　　 11月16日（月） 1:00:24　　 　　35345
weapon
fn(x)が偶数のとき、平方数となるx,aがとれる。
fn(x)が奇数のとき、x,aがどのような値をとろうとも平方数とならない。
よって、n=4*m+3,4*m+4 (mは非負整数)。
　　 11月16日（月） 3:34:18　　 　　35346
hide
なんと、ここまであっさりと解かれてしまうとは……。
weaponさん正解です。
すごいですね。
ただできれば
＞fn(x)が偶数のとき、平方数となるx,aがとれる。
＞fn(x)が奇数のとき、x,aがどのような値をとろうとも平方数とならない。
この部分の証明か説明を頂きたいです。
　　 11月16日（月） 4:57:20　　 　　35347
???
Option Explicit
Const kizami As Long = 12 '3!
Const max As Long = 1000
Sub Macro2()
Sheets("Sheet1").Select
Range("A1").Select
Dim a As Long
Dim b As Long
Dim c As Long
Dim d As Long
Dim L As Long
Dim deta As Integer
Dim j As Integer
For j = 1 To 4
Cells(1, j).Value = ""
Next j
deta = 0
a = kizami
While deta = 0 And a < max
b = a + kizami
While deta = 0 And b < max
If b Mod a > 0 Then
c = b + kizami
While deta = 0 And c < max
If c Mod a > 0 And c Mod b > 0 Then
d = c + kizami
While deta = 0 And d <= max
If d Mod a > 0 And d Mod b > 0 And d Mod c > 0 Then
L = LCM(LCM(a, b), LCM(c, d))
If ((a * a) Mod L) + ((b * b) Mod L) + ((c * c) Mod L) + ((d * d) Mod L) = 0 Then
deta = 1
Cells(1, 1).Value = a
Cells(1, 2).Value = b
Cells(1, 3).Value = c
Cells(1, 4).Value = d
End If
End If
d = d + kizami
Wend
End If
c = c + kizami
Wend
End If
b = b + kizami
Wend
a = a + kizami
Wend
End Sub
Private Function GCM(ByVal a As Long, ByVal b As Long) As Long
If b = 0 Then
GCM = a
Else
GCM = GCM(b, a Mod b)
End If
End Function
Private Function LCM(ByVal a As Long, ByVal b As Long) As Long
LCM = a * b / GCM(a, b)
End Function
　　 11月16日（月） 8:51:59　　 　　35348
die neue Frau
やっぱり7が要素として入るのは間違ってたということか
2、3、5で作れないかな何て思ったけど…
算数の範囲だけど、解法が算数ではないような気がする
地上の楽園でもないな　　 11月16日（月） 15:09:10　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　35349
ハラギャーテイ
昨日のNHKスペシャルを見ましたか。リーマン予想とかは詳しくは知りませんでしたが、
素数の話は誰でも知っているので楽しめました。普通の人にもわかりやすく説明されていました。

それで次の式が出て来ました。

無限積（p：素数について）p^2/(p^2-1)

はπ^2/6であると。早速パソコンで確かめました。20項くらいで十分収束していました。素数と円周率が関係ある
とはビックリでしょうが、数学はそんなことはたくさんありますのでなんとなく納得します。
ポワンカレー予想より今回のほうがわかりやすかったです。式で説明されますので！

山口　　 11月16日（月） 16:55:40　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　35350
パズル&ゲーム10種競技
>35340　清川様
答を検証し、その後、整数10組の場合を追従しようと試みましたが、
書き込み用紙がごちゃごちゃに、断念しました。
>35345 hide様
問題を読み、試みたのですが、問題についていけません。
これが中学生の出題とは恐ろしいです。
　　 11月16日（月） 17:13:33　　 HomePage:パズル&ゲーム10種競技　　35351
あみー
多種について検討
素数Ａ，Ｂ，Ｃが合計３個の場合の「互いに互いが割り切れない関係」
３００�　ぃ横隠悪◆ぃ隠横悪ぁぃ娃械悪ァ�
２０１��，１１１��，０２１�ぁ�
１０２�Αぃ娃隠沖Α�
００３��
このうち後に平方数条件で素数の最大個数に応じて個数が順次加算されることから，優先順位は丸数字順(４数の場合は合計２個で十分？)

とりあえず10個の区別の場合を考えて
素因数４個の場合の例
３０００，２１００，１２００，
２０１０，１１１０，０２１０，
２００１，１１０１，０２０１，
１０１１，
に各３２１１個を加算　最小は６２１１の20160

２，３，５の素数が
４００，３１０，２２０，１３０，
３０１，２１１，１２１，
２０２，１１２，０２２，
に各４３２個を加算　最小は８３２個で172800

個数が多くなると素因数が多い場合が良さそうですね…。
　　 11月16日（月） 18:56:34　　 　　35352
あみー
宇宙語みたいな解法ですいません
メモ書きの中身でした
　　 11月16日（月） 21:05:09　　 　　35353
清川　育男
2) 12 18

3) 60 90 150
4) 240 360 600 900
5) 720 1080 1620 1800 2700

6) 1260 2100 2940 3150 4410 7350
7) 1680 2520 4200 5880 6300 8820 14700
8) 5040 7560 11340 12600 17640 18900 26460 44100

9) 13860 23100 32340 34650 48510 50820 76230 80850 127050
10) 13860 23100 32340 34650 48510 50820 76230 80850 127050 177870
11) 18480 27720 46200 64680 69300 97020 101640 152460 161700 254100 355740
12) 55440 83160 124740 138600 194040 207900 291060 304920 457380 485100 762300 1067220
13) 55440 92400 129360 138600 194040 203280 304920 323400 485100 508200 711480 762300 1067220

広島市　　 11月26日（木） 20:31:46　　 　　35355
weapon
＞fn(x)が偶数のとき、平方数となるx,aがとれる。
4*(a+1)+a^2=(a+2)^2
＞fn(x)が奇数のとき、x,aがどのような値をとろうとも平方数とならない。
mod4
　　 11月17日（火） 2:30:13　　 　　35356
hide
＞＞fn(x)が奇数のとき、x,aがどのような値をとろうとも平方数とならない
＞mod4
これは分かりましたが、
＞＞fn(x)が偶数のとき、平方数となるx,aがとれる。
＞4*(a+1)+a^2=(a+2)^2
これがよく分かりません。
4*(a+1)というのは何を表しているのですか？
　　 11月17日（火） 13:20:41　　 　　35357
hide
分かりました。
fn(x)/2+x^2-1
をaとすると
2fn(x)+4x^2+a^2=(a+2)^2
になるという事ですね。
　　 11月17日（火） 21:47:02　　 　　35358
スモークマン
#35358,#35356
weaponさん、hideさんへ
fn(x) が偶数の時は見事ですね♪

fn(x) が奇数の時がよく分からないわたし...^^;
fn(x) が奇数の時、
2(2m+1)+4x^2+a^2 は、2 or 3 になるので...平方数 が mod 4 で 0 or 1に合わないからまではわかるのですが...
n=2m ではいけないのでしょうか...?
そのとき、fn(x) は必ず奇数になりますよね？
n=2m-1 では...x が奇数の時、fn(x) は偶数になっちゃうと思うんだけど...?
金光＠岡山　　 11月17日（火） 23:07:53　　 　　35359
スモークマン
#35359
自己レスです...^^;
わかりました...
n=2m のとき、m=2k+1 では駄目なんですね...だから...n=4m
n=2m+1 のとき、m+1 が奇数では駄目...だから...n=4m+3
お騒がせしました...Orz...
金光＠岡山　　 11月18日（水） 8:42:50　　 　　35360