Taro
気づくのに時間かかりすぎ
類題３回目くらいだったのにorz
別世界☆　　 10月8日（木） 0:05:57　　 　　35152
風のひろぼう
正八面体の面を立方体の頂点に置き換えて，各秒の図の中に数字を書きこむ。
これで地道に解きました。
　　 10月8日（木） 0:11:33　　 　　35153
desyasupe
ラ・サール中の入試問題を(正四面体の頂点の移動)思い出します。古っ^^
　　 10月8日（木） 0:12:09　　 　　35154
Taro
(3^5-3)÷4=60
確かこうだったはず
別世界☆　　 10月8日（木） 0:14:58　　 　　35155
むらい
どっかでやったことある問題だと思ったら、自分のＨＰで５ヶ月前に
出題した問題の類題でしたorz　寝ぼけてて気づくの遅すぎた・・・

http://www.shutoku.org/mondai/q15.htm

#35153の風のひろぼうさん御指摘の立方体の問題です。
サイタマ　　 10月8日（木） 0:15:04　　 　　35156
fumio
こんばんは、外は風が荒れ狂っちゃっています。ははは。
　　 10月8日（木） 0:24:04　　 　　35157
風のひろぼう
そうか！
n秒後のときは，(3^n−3)÷4で求められますね。
Taroさん，ありがとうございます。
　　 10月8日（木） 0:27:07　　 　　35158
圭太
樹形図です。＾0＾；；
3秒後まで書いてあとはわかるかな。
詳しく書くと、手前の面から、Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄとして、下も手前からＥ,Ｆ,Ｇ,Ｈ（Ｇが目的地）とすると、
1秒後・・・Ａ→[Ｂ,Ｄ,Ｅ]
2秒後・・・Ｂ→[Ａ,Ｃ,Ｆ]、Ｄ→[Ａ,Ｃ,Ｈ]、Ｅ→[Ａ,Ｆ,Ｈ]
3秒後・・・Ａ→[Ｂ,Ｄ,Ｅ]*3、Ｃ→[Ｂ,Ｄ,Ｇ]*2、Ｆ→[Ｂ,Ｅ,Ｇ]*2、Ｈ→[Ｄ,Ｅ,Ｇ］*2
となり、あとは、Ｇに行くパターンを見ればいいので、
Ｂ→2通り、Ｄ→2通り、Ｅ→2通り、Ｇ→3通りなので、
3*(2+2+2)=18、2*(2*2+2*2+2*2)=24、2*(3*3)=18
よって、合計60通り。
天地人　　 10月8日（木） 11:09:50　　 　　35159
スモークマン
サイコロを斜めから見た図の真ん中から、結ばれてない角までに2秒と4秒で到達する場合を考える・・・
角に2秒でくる場合：2
　最後の面から往復する角は 3 選べ、元の角は3ヶ所なので・・・3*2*3=18
角に4秒でくる場合：14
　3ヶ所あるので・・・3*14=42
合計：42+18=60　♪
ま...数え上げたようなものです...^^;
金光＠岡山　　 10月8日（木） 0:49:57　　 　　35160
Mr.ダンディ
台風が近畿地方に接近中！　たいした被害がなければよいが・・・

全角になっているのに気づかず、ここに入れなく、また回答も遅れてしまった。
せっかくリアルタイムで参加したのに（泣）

[解法] 面PABを(イ)、(イ)と接する面を●
面QCDを(ロ)、(ロ)と接する面を○と表すとき
(イ)→●-(イ)-●-○→(ロ)　　・・のコースは　3*3*2＝18（通り）
(イ)→●-○-(ロ)-○→(ロ)　　・・のコースは　3*2*3＝18（通り）
(イ)→●-○-●-○→(ロ)　　　・・のコースは　3*2*2*2＝24（通り）
よって、18＋18＋24＝60（通り）とだしました。
大阪　　 10月8日（木） 1:16:45　　 　　35161
鯨鯢(Keigei)
移動の仕方は、前後・左右・上下。
前後といってもアリのいる位置によって前か後がどちらか一方。
左右・上下についても同様。
問題では、前後３回・左右１回・上下１回の並べ方は、5!/3!＝20通り。
前後１回・左右３回・上下１回、前後１回・左右１回・上下３回についても同様。
よって、20×3＝60通り。
　　 10月8日（木） 6:54:29　　 　　35162
英ちゃん
最近深夜の時間帯に起きていません、登校前に一問。
正直大雨なのでだるいです。

今回の問題は隣り合う二面を白黒に塗り分けて考えました。
いぇい　　 10月8日（木） 7:55:57　　 MAIL:eityans@gmail.com HomePage:ブログ　　35163
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは類題を見たことがあります。算チャレでも出題されていたように思います。
つまり．．．

正八面体の各面の中心を，上から見て，△PAB から反時計回りに 1，2，3，4，△QAB から反時計回りに 5，6，7，8 とします。
すると，問題は，最初 1 にいるアリが 1 秒ごとに立方体 1234-5678 の辺上を移動するとき，
5 秒後に 7 にいる場合の数を求める問題になります。
これはよく見る問題です。このことを念頭において，というか，これに置き換えて，解きました。

(解法1)
漸化式風に考える解法です。
1 秒ごとに立方体の各頂点にアリが来る場合の数は，1 秒前の隣り合う頂点の場合の数の和になります。
これより表を書くと，
各頂点 01 02 03 04 05 06 07 08
00秒後 01 00 00 00 00 00 00 00
01秒後 00 01 00 01 01 00 00 00
02秒後 03 00 02 00 00 02 00 02
03秒後 00 07 00 07 07 00 06 00
04秒後 21 00 20 00 00 20 00 20
05秒後 00 61 00 61 61 00 60 00
そこで，5 秒後の頂点 7 は 60 なので，60 通り，になります。

(解法2)
立方体の 1-2 方向の移動を a，1-4 方向の移動を b，1-5 方向の移動を c とすると，
5 秒後の移動は a，b，c を重複を許して 5 個並べるのと同じです。
ただし，同じ方向の移動は，必ず，行って戻ってしかないので，例えば，a が 2 回ある場合は移動がないのと同じになります。
頂点 7 に至るには，この行って戻ってを含めて a，b，c が 1 回ずつになります。
実際には，5 秒後なので，一回だけ行って戻ってをする，a，a，a，b，c か，a，b，b，b，c か，a，b，c，c，c か，
のいずれかを並べることになります。
明らかにそれぞれの場合の数は同じで，そのうちの，例えば，a，a，a，b，c は，5!/3!1!1! = 20 通り，なので，
求める場合の数は，20 * 3 = 60 通り，になります。
なお，a，a，a，b，c の並べ方は，五つの場所から a を並べる三つを選ぶと考えて，5C3 = 30 通り，でもいいですね。

(解法3)
(解法1)の表を書いてみれば分かりますが，一般に，n 秒後において，次のことが分かります。
全体の移動の場合の数は，各秒ごとに 3 通りで 3^n 通り。
・n が偶数の場合
頂点 2，4，5，7 は，0 通り。
頂点 3，6，8 は，対称性より，同じ。
頂点 1 は，頂点 3，6，8 のぞれぞれより 1 だけ多い。
・n が奇数の場合
頂点 1，3，6，8 は，0 通り。
頂点 2，4，5 は，対称性より，同じ。
頂点 7 は，頂点 2，4，5 のぞれぞれより 1 だけ少ない。
そこで，5 秒後の 7 は，(3^5 - 3)/4 = 240/4 = 60 通り，になります。
より厳密には，数学的帰納法を使うか，漸化式を立てて解けばいいですが，数学になってしまうので，省略します。
ネコの住む家　　 10月8日（木） 13:22:14　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35164
uchinyan
掲示板を読みました。やはり，類題に触れられている方がいましたね。

#35153，？#35156，#35164の(解法1)，#35166，#35167
＞正八面体の面を立方体の頂点に置き換えて，各秒の図の中に数字を書きこむ。
という解法。立方体に置き換えて考えるかどうかはともかく，漸化式風の解法です。

#35155，#35158，#35164の(解法3)
#35164の(解法3)で示した規則性から求める解法。

#35159
樹形図による解法。
とはいっても，実際には 3 秒後までを樹形図で調べ，後の 2 秒は，3 秒後の位置から目的の面まで行く場合の数を数えて，
掛けて足し上げているようです。

#35160
面QCD に隣り合う面に，2 秒で来る場合，4 秒で来る場合を数えて，足し上げる解法。
実は，下手にやると重複してしまいますが，うまくというか，微妙にというか，重複しないように数えているようです。
多分，面QCD とそれに隣り合う面とで，行き戻りするかしないかで場合分け，という方がより正確な気がします。

#35161
面PAB，それに隣り合う面，面QCD，それに隣り合う面，の移動状況を調べ，行き戻りの仕方で場合分けして数える解法。

#35162，#35164の(解法2)
各面からの移動が，前後・左右・上下のそれぞれにおいて一方ずつで，5 秒で目的の面にいるには一回行き戻りが必要，
ということから求める解法。

#35163
＞今回の問題は隣り合う二面を白黒に塗り分けて考えました。
という解法。
詳細は不明ですが，白黒＜−＞偶奇とすると，#35164の(解法3)で示した規則性を使う解法に近いのかもしれません。
ネコの住む家　　 10月9日（金） 11:04:01　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35165
apato
漸化式で、1秒ごとの面の場合の数を書き込みました。結構しんどいよ、これ。
　　 10月8日（木） 17:10:45　　 　　35166
apato
uchinyanさん、いつも詳しい解説をありがとうございます(#35164,#35165)。さて、#35166の追加をさせていただきます。まず、１秒後に初めの周りの面が各1通り。2秒後に初めの面が3通り、ゴールの面の周りの面が各2通り。3秒後に初めの面の周りの面が各7通り、ゴールの面が6通り。4秒後に初めの面が21通り、ゴールの面の周りの面が各20通り。最後に、ゴールの面の周りの面の場合の数を足し合わせ、20＋20＋20＝60となります。なお、#35146で、あみー様がご指摘のように、異常にアクセス数が多いですね。#35147のばち丸様のような理由でしたらとってもうれしいです。
恐竜の町　　 10月12日（月） 16:29:56　　 　　35167
uchinyan
#35167
apatoさん，詳しい解説をありがとうございます。

しかし，確かに，先週辺りから，アクセス数が今までと比べて異常に多くなりましたね。
算チャレサイトの人気が上がったと，純粋に喜びたいです ^^/
ただ，杞憂とは思いますが，ソフトウェアロボットとか，何らかのアタックだとしたら憂慮すべきことです．．．
ネコの住む家　　 10月9日（金） 11:16:10　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35169
hide
いまさら感があるけれど、自分の書いたことについて。

どこかの本で「正m/n角形」というのが使われていたので、それが公式のものかと勘違いしていました。
半径１の円に内接する正m/n角形とは
半径１の円に内接する正m角形の頂点に当たるm個の点をn個おきに結びできる図形のこと。
たとえば5/2角形なら星型のことです。
　　 10月9日（金） 15:53:52　　 　　35170
uchinyan
#35170
＞半径１の円に内接する正m/n角形とは
＞半径１の円に内接する正m角形の頂点に当たるm個の点をn個おきに結びできる図形のこと。
＞たとえば5/2角形なら星型のことです。
なるほど，知りませんでした。勉強になりました。
だとしたら，よく理解していないので勘違いしてるかもしれませんが (^^，
(正m/n角形の面積)
= 1/2 * 1 * sin((m - 2n)/2m * π)/sin((m + 2n - 2)/2m * π) * sin(1/m * π) * 2 * m
= ．．．
= m * sin(π/m)cos(nπ/m)/cos((n-1)π/m)
= (正m角形の面積) * cos(nπ/m)/cos(π/m)cos((n-1)π/m)
ではないのかなぁ．．．
ネコの住む家　　 10月9日（金） 17:31:49　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35171
hide
今その式を検証中です……
ただ、「m/n角形」というのは公式設定ではないかもしれないので要確認です。
　　 10月9日（金） 17:35:04　　 　　35172
R.UFO
面白かった。

ひとつずつやっていったのですごく大変だった。
　　 10月10日（土） 9:43:39　　 MAIL:keelzonker@yahoo.co.jp 　　35173
hide
#35171
その式を正5/2角形で確かめてみましたが微妙に違っていました。
（もし計算間違いをしているようであればすいません）
できれば
1/2 * 1 * sin((m - 2n)/2m * π)/sin((m + 2n - 2)/2m * π) * sin(1/m * π) * 2 * m
この式をどうやって立てたのか教えていただきたいです。

自分の計算式も途中で計算間違いをしていたようなので、訂正します。

今正m角形の隣り合う頂点をA,Bとし、正m/n角形(=凹2m角形)の頂点のうちAとBの間のものをCとする。
半径１の円の中心をOとするし、OCを延長しABとの交点をDとするとOD⊥ABとなる。
今正m角形と正m/n角形の面積比はOD:OCとなる。
ここで、∠OAD=(m-2)π/2m、∠COD=(n-1)π/mなので、
OD:OC=tan((m-2)π/2m):(1-tan((n-1)π/m)より
(正m/n角形の面積)=(正m角形の面積)*(1-tan((n-1)π/m)/tan((m-2)π/2m)
　　 10月10日（土） 12:43:31　　 　　35174
???
Option Explicit
'1:PAB,2:PBC,3:PCD,4:PDA,5:QAB,6:QBC,7:QCD,8:QDA
Dim a(5) As Integer
Sub Macro1()
Sheets("Sheet1").Select
Cells(1, 1).Value = 0
a(0) = 1
Call saiki(1)
Range("A1").Select
End Sub
Sub saiki(ByVal n As Integer)
Dim j As Integer
a(n) = 1
While a(n) <= 8
If QX(n) Then
If n < 5 Then
Call saiki(n + 1)
ElseIf a(5) = 7 Then
Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
For j = 0 To 5
Cells(Cells(1, 1).Value, j + 2).Value = a(j)
Next j
Range("B" & Cells(1, 1).Value).Select
End If
End If
a(n) = a(n) + 1
Wend
End Sub
Private Function QX(ByVal n As Integer) As Integer
' 1 2 3 4 5 6 7 8
'1 0 1 0 1 1 0 0 0
'2 1 0 1 0 0 1 0 0
'3 0 1 0 1 0 0 1 0
'4 1 0 1 0 0 0 0 1
'5 1 0 0 0 0 1 0 1
'6 0 1 0 0 1 0 1 0
'7 0 0 1 0 0 1 0 1
'8 0 0 0 1 1 0 1 0
Select Case a(n - 1)
Case 1
QX = -(a(n) = 2 Or a(n) = 4 Or a(n) = 5)
Case 2
QX = -(a(n) = 1 Or a(n) = 3 Or a(n) = 6)
Case 3
QX = -(a(n) = 2 Or a(n) = 4 Or a(n) = 7)
Case 4
QX = -(a(n) = 1 Or a(n) = 3 Or a(n) = 8)
Case 5
QX = -(a(n) = 1 Or a(n) = 6 Or a(n) = 8)
Case 6
QX = -(a(n) = 2 Or a(n) = 5 Or a(n) = 7)
Case 7
QX = -(a(n) = 3 Or a(n) = 6 Or a(n) = 8)
Case Else
QX = -(a(n) = 4 Or a(n) = 5 Or a(n) = 7)
End Select
End Function
　　 10月10日（土） 14:28:04　　 　　35175
みかん
こういう道順問題は１秒ごとに書き込んでいくのが定番ですね。
位置関係から面ＰＡＢと「辺で接する」「頂点のみで接する」「接しない」の
３つに計算しやすいようにしてから作業。

立方体の頂点に置き換えて計算すると足し合わせを間違いにくくていいですね。
　　 10月10日（土） 17:13:52　　 　　35176
あみー
遅ればせながら。
立方体におきかえるのは当然として，
ｘｙｚ方向に動く事を考えます。
ｘｙｚｚｚ、ｘｙｙｙｚ，ｘｘｘｙｚの並びかえで20×３＝60ですね。

んでもって確かこれは，常に３通りの移動があり，
偶数秒目は出発点だけ他より１通り多く(３２２２とか，21202020とか)
奇数秒目は出発点の反対側だけ１通り少ない(１１１０とか，７７７６とか)
になります。

覚えておくといいかもですね。
てことは(３の５乗−３)÷４でよかったのか…。
　　 10月10日（土） 17:22:30　　 　　35177
uchinyan
#35174
えと，同じ記法で説明すると，正m/n角形の対称性より，
(正m/n角形の面積) = △OAC * 2 * m
そして，0 < n < m/2 で考えているので，
∠AOC = π/m，∠OAC = (m - 2n)π/2m，∠OCA = (m + 2n - 2)π/2m
OA = 1
△OAC における正弦定理より，
OA/sin(∠OCA) = OC/sin(∠OAC)
1/sin((m + 2n - 2)π/2m) = OC/sin((m - 2n)π/2m)
OC = sin((m - 2n)π/2m)/sin((m + 2n - 2)π/2m)
そこで，
△OAC = 1/2 * OA * OC * sin(∠AOC) = 1/2 * 1 * sin((m - 2n)π/2m)/sin((m + 2n - 2)π/2m) * sin(π/m)
後は，#35171のとおりです。
また，式の作り方は，正5/2角形でも同じなので，一致すると思います。
なお，n = 1 の場合は，正m角形に一致するはずですが，
私の式
(正m/n角形の面積) = (正m角形の面積) * cos(nπ/m)/cos(π/m)cos((n-1)π/m)
では，
cos(1 * π/m)/cos(π/m)cos((1-1)π/m) = cos(π/m)/cos(π/m)cos(0) = 1
で，OKですが，
hideさんの式，
＞今正m角形と正m/n角形の面積比はOD:OCとなる。
＞OD:OC=tan((m-2)π/2m):(1-tan((n-1)π/m)より
＞(正m/n角形の面積)=(正m角形の面積)*(1-tan((n-1)π/m)/tan((m-2)π/2m)
最後の式は括弧「)」が抜けていますが，これは，hideさんの論理が正しければ，
(正m/n角形の面積)=(正m角形の面積)*(1-tan((n-1)π/m))/tan((m-2)π/2m)
のハズで，これだと，
(1-tan((1-1)π/m))/tan((m-2)π/2m) = 1/tan((m-2)π/2m)
となり，明らかにおかしいです。
＞OD:OC=tan((m-2)π/2m):(1-tan((n-1)π/m)より
が，おかしいのではないかな，と思います。多分，
OD:OC=tan((m-2)π/2m):(tan((m-2)π/2m)-tan((n-1)π/m)より
で，
(正m/n角形の面積)=(正m角形の面積)*(1-tan((n-1)π/m)/tan((m-2)π/2m))
でしょう。
これならば，私の結果と一致します。
ネコの住む家　　 10月10日（土） 19:42:10　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35178
大岡　敏幸
久しぶりに来ました。正四面体の各頂点を移動するものとして考えました。
２秒後とそれから３秒後の２つに分けて計算し、２×７×３＋３×６＝６０
なかなか良い解法が出てこなくなりました（＾＾；
　　 10月11日（日） 17:43:54　　 　　35180
apato
#35178を、もう少し算数的に説明します。今掲示板で話題になっている正ｍ／ｎ角形ですが、5／２角形を考えます。正ｎ角形は、円周を３６０／ｎで刻んでいって、その点を順に結んだものです。円周を刻むときの中心角は、360÷５／２＝１４４です。点を取っていくと、2回転でぴったり重なります。というわけで、星型のピタゴラス紋章となります。同じように正3／2角形は正三角形となります。なお、ハリーポッターで、９と4分の3番線乗り場というのが出てきましたが、これは理解不可能です（笑）ハリーポッターも困惑したでしょうね・・・
恐竜の町　　 10月12日（月） 17:39:33　　 　　35181
hide
＞uchinyanさん
すいません。計算間違いをしてしまっていたようですね……。
私の言いたかった事はuchinyanさんと訂正した
＞OD:OC=tan((m-2)π/2m):(tan((m-2)π/2m)-tan((n-1)π/m)より
＞で，
＞(正m/n角形の面積)=(正m角形の面積)*(1-tan((n-1)π/m)/tan((m-2)π/2m))
この式で合っています。

＞apatoさん
ありがとうございます。
確かにm/1角形と、m/(m-1)角形はm角形になります。
　　 10月12日（月） 8:29:32　　 　　35182
パズル&ゲーム10種競技
#35181 　　9と4分の3プラットホームの絵合わせパズル有り。
java applet使用です。javaが制限をされていると開きません。

http://www.geocities.jp/tsuyoshik1942/eawase.html の03問題を取り込んでください。
ただそれだけ、本質的に関係ないことでごめんなさい！
　　 10月12日（月） 13:11:14　　 HomePage:パズル&ゲーム10種競技　　35184
apato
#35184絵合わせパズル、やってみました。この手の問題は、コンピューターに解かせることができると甘えて自分で考えず、すべてコンピューターにやらせる始末。すいません！！パズル＆ゲーム10種競技さん！！ｍ（--）ｍこういうタイプのものは、自分で考えることが大切だと思うので（人のこと言ってる場合じゃないが・・・）いつか、じっくり考えてみたいと思います。改めてすいません・・・
恐竜の町　　 10月12日（月） 17:33:39　　 　　35185
apato
今回、666回とぞろ目ですね。おめでとうございます。この調子で1000回まで続けてくださいね！＾＾／
恐竜の町　　 10月12日（月） 17:36:16　　 　　35186
uchinyan
#35182
＞確かにm/1角形と、m/(m-1)角形はm角形になります。
一般に，正m/n角形と正m/(m-n)角形は同じものになるようですね。
なお，m > n > m/2 の場合は，2nπ/m > π に注意して，同様の計算をすると，
∠AOC = π/m，∠OAC = (2n - m)π/2m，∠OCA = (3m - 2n - 2)π/2m
△OAC = 1/2 * OA * OC * sin(∠AOC) = 1/2 * 1 * sin((2n - m)π/2m)/sin((3m - 2n - 2)π/2m) * sin(π/m)
(正m/n角形の面積) = (正m角形の面積) * cos(nπ/m)/cos(π/m)cos((n+1)π/m)
となります。これは一見違って見えますが，
cos(nπ/m) = cos((m - (m - n))π/m) = - cos((m - n)π/m)
cos((n+1)π/m) = cos((m - ((m - n) - 1))π/m) = - cos(((m - n) - 1)π/m)
より，
(正m/n角形の面積) = (正m角形の面積) * cos((m - n)π/m)/cos(π/m)cos(((m - n) - 1)π/m) = (正m/(m-n)角形の面積)
となって，つじつまは合っているようです。
ネコの住む家　　 10月13日（火） 11:10:53　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　35187
だいすけ
６６６回で答えが６０なのかな？
大阪府吹田市　　 10月14日（水） 18:55:07　　 MAIL:dice-k[at]onyx.ocn.ne.jp HomePage:だいすけの部屋　　35188
apato
4分後に出される問題の難易度が楽しみです。2回連続正解したので、今回はどうだろう・・・
恐竜の町　　 10月14日（水） 23:57:35　　 　　35189
apato
#35188きっとそうでしょう！
恐竜の町　　 10月14日（水） 23:58:59　　 　　35190