英ちゃん
2位なんて初めてです！
新年度から良いスタートを切れて良かった・・・！
居間　　 4月2日（木） 0:06:12　　 HomePage:ブログ　　34225
君の船
こんばんは。
只管数えたまでです。
海王星　　 4月2日（木） 0:06:23　　 　　34226
はなう
やりかたをまったく忘れてた・・・

9点から、４つを選んで四角形を書いてその対角線で分割される４つの三角形が必要十分条件なので、

9C4×4＝504です
わりと得意な分野なのに・・ つД｀)・。゜・*:.。
　　 4月2日（木） 0:06:51　　 　　34227
Taro
ABが21　ACが15　ADが10+1　AEが6＋3
よって(1＋3＋6+10+15+21)×9=504　

地味なとき方しか浮かびませんでしたorz
市のはずれ　　 4月2日（木） 0:10:42　　 　　34228
ｇｇ
私も同じ解き方です。
（1+1+2+1+2+3+・・・+5+6）*9
　　 4月2日（木） 0:14:55　　 　　34229
3号機バル
下と全く一緒です

２つってのを1辺だと勘違いしたり、8角形だと思ってたり、間違えまくりましたｗ
　　 4月2日（木） 0:15:17　　 　　34230
スモークマン
4*9C4=4*126=504
金光＠岡山　　 4月2日（木） 0:16:06　　 　　34232
ちゃーみー
#34227 と同じです。
中学生のときに同じ問題を解いたことがあるようなないような……。
とうきょうとせたがやく　　 4月2日（木） 0:18:04　　 MAIL:kakuromaster@star.cims.jp 　　34233
むらい
交点の数を４倍するのは分かったけど、交点の数を数えるのに時間が・・・

解答フォームから送信したけどうまく送れなかったので
２・３回送信押してしまいました。
もし重複していたら、お手数ですが削除願えれば幸いです＞管理人様。
サイタマ　　 4月2日（木） 0:22:39　　 　　34234
なかくん
単に正９角形というと、いくつかあるし・・・たとえば、答えは５２２になったりしませんでしょうか？
　　 4月2日（木） 0:29:34　　 　　34235
「数学」小旅行
#34228 と同じです。
最初は１辺を共有していると勘違いしたり、つぎは３つ共有も２つ共有に含まれるのかと考えたり、右往左往して・・・やっとでした（＾＾；
　　 4月2日（木） 0:31:48　　 　　34236
Mr.ダンディ
#34227と同じです。
また、私も「数学」小旅行さんと同様、(ろくに問題文を読まず)例図をみて「１辺を共有している」
場合と早合点をして,大きく時間ロスをしました。

ちなみに、「１辺だけを共有している」場合なら、189個でいいのかな　？

大阪　　 4月2日（木） 2:18:43　　 　　34237
オールバック教頭
#34228と同じよ。
旅のお方より早く辿り着けて良かったわ。うふ。
　　 4月2日（木） 0:59:57　　 　　34238
みかん
#31228と同じやり方です。
画面上で数えていたら訳が分からなくなったので、図を印刷して
書き込みしつつ数え上げ。
図なしだと#34227のようなやり方を思いつかないときついでしょう。
　　 4月2日（木） 1:03:08　　 　　34239
ゼロスターよりの使者
やーっと入れた。
ず〜っと、一辺を共有する場合と思い込んでいました。
それで、せっせと数え上げて…。
何回やっても１８９個。

そこで、問題を見直してみると、「２点を共有する」と…。

「なーんだ、対角線の交わった個数の４倍じゃぁないか」と、やっと気がつきました。トホホ…。
交点の数はすでに何回も数えあげていたので。

でも、書き込みを見て、ボクと同じような方がいらしたので、ちょっと安心です（ごめんなさい）。
しかし、ボクと違って、随分早くにお気付きです。
さすがですね。
zerostar　　 4月2日（木） 3:08:24　　 　　34240
圭太
189個・・・おいらもはまってました＾＾；
　　 4月2日（木） 3:27:43　　 　　34241
とまぴょん
9C4 X 4 で入りました。

あえて、対角線を全部図示してあるのは、正９角形では、３本以上の対角線が一点で交わることは無いよというメッセージ？　例えば、正１８角形とすると、えらいことになりそうです。
　　 4月2日（木） 7:11:06　　 　　34243
鯨鯢(Keigei)
#34227,#34232,#34243と同じで、9C4×4 です。頂点を４個選んで四角形を作り、対角線を書くと題意の三角形が４つ得られるからです。
これは、３本以上の対角線が一点で交わるときも同じで、(#34243)正18角形の場合は、18C4×4＝12240 です。
　　 4月2日（木） 8:47:04　　 　　34244
Mr.ダンディ
こういう問題に関連して「できる交点の数」「何個の図形に分割されるか」という問題がありますね。
オリジナルではないではないのですが、初めての人にとっては暇つぶし及び新情報になると思います
ので、次の問題を書き込んでみます。

[関連問題] どの３本の対角線も１点で交わらない 凸型11角形において、すべての対角線を引くとき
(イ) 対角線の交点の数はいくらでしょう。
(ロ) この11角形は何個の図形に分割されるでしょう。

※正11角形としても良いのでしょうが、まだ上の条件を満たすことを確証していないので上記の表記に
しました。（また、正９角形なら正確な図があり数えられるので角数を増やしてみました）

大阪　　 4月2日（木） 15:44:09　　 　　34246
abcba@jugglermoka
今回の問題で、正2N+1角形に(N-1)(2N+1)本の対角線を引いて２つの頂点が正2N+1角形の頂点と共有するときの三角形は(2N+1)×2N_C_3通りになる。

(ここで、_C_は２項係数を表す。)
　　 4月2日（木） 9:55:12　　 　　34247
abc
今回の問題では、正多角形である条件をはずして、一般の凸多角形としても答えはかわりませんね。
　　 4月2日（木） 10:14:31　　 　　34248
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
えと，どこかで解いたことがあるような気がします。少なくとも，類題，対角線の交点の個数を求める問題，は，算チャレにありましたよね。
というわけで？，取り敢えず，二つほど。

(解法1)
まず，三角形の一点を A に固定します。二点目が，
B の場合：三点目が，AC 上は 6 個，AD 上は 5 個，AE 上は 4 個，AF 上は 3 個，AG 上は 2 個，AH 上は 1 個，なので，
　6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 個。
以下同様に，
C の場合：5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 個。
D の場合：4 + 3 + 2 + 1 = 10 個。
E の場合：3 + 2 + 1 = 6 個。
F の場合：2 + 1 = 3 個。
G の場合：1 個。
H の場合：0 個。
となり，一点目を A にした場合は，21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 + 0 = 56 個。
一点目を，B，C，D，E，F，G，H，I にした場合も同様で，しかも，これらには重複はないので，
答えは，56 * 9 = 504 個，になります。

(解法2)
正９角形の頂点から４点を選ぶと四角形が一つでき，その対角線の交点は元の正９角形の対角線の交点なので，
出来上がる四角形ごとに四つの題意を満たす三角形ができます。
この方法によって出来る三角形には重複はなくすべてを尽くしているので，
答えは，9C4 * 4 = (9 * 8 * 7 * 6)/(4 * 3 * 2 * 1) * 4 = 9 * 8 * 7 = 504 個，になります。

実は最初，問題文をよく読まずに図から一辺を共有するのかと思い，(解法1)の方法で，21 * 9 = 189 個，として，首を傾げていました。
問題文を読み返し，「なぁーんだ」という感じで，すぐに(解法2)で解き，(解法1)で確認した，という感じです。
ネコの住む家　　 4月2日（木） 11:34:37　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　34249
だいこん
入れた・・・・・・　今日ある事を忘れていて気付いたときには大慌てしました　入る時にパスワードをうつのはドキドキしますね
　　 4月2日（木） 11:45:00　　 　　34250
uchinyan
掲示板を読みました。

#34226
＞只管数えたまでです。
という解法。#34228などと同じでしょうか。

#34227，#34232，#34233，？#34234，#34237，？#34240，#34240，#34244，#34249の(解法2)
正９角形の頂点から４点を選び，出来上がる四角形から，題意を満たす三角形が四つできる，とする解法。

#34228，#34229，#34236，#34238，？#34239，#34249の(解法1)
一点目を A に固定し，二点目を B に固定し，三点目を C, D, E, F, G, H などとして数えていく解法。

なお，
#34235
＞単に正９角形というと、いくつかあるし・・・たとえば、答えは５２２になったりしませんでしょうか？
済みません，意味が分からず．．．

#34237
＞ちなみに、「１辺だけを共有している」場合なら、189個でいいのかな　？
そうだと思います。

#34244
＞これは、３本以上の対角線が一点で交わるときも同じで、(#34243)正18角形の場合は、18C4×4＝12240 です。
対角線の交点は３本以上が一点で交わると重複しますが，
今回の三角形の個数は，多角形の頂点の選び方が変わるので，重複しないのかな。重複しなければこれでいいわけですが。
うーむ，P，Q を共有する頂点として R を対角線の交点とすると，PR，QR は一意に決まって四角形も一意に決まるので，大丈夫そうですね。
(ちょっと自信なし．．．)

#34246
敢えて答えないでおきましょう (^^;

#34247
＞今回の問題で、正2N+1角形に(N-1)(2N+1)本の対角線を引いて２つの頂点が正2N+1角形の頂点と共有するときの三角形は(2N+1)×2N_C_3通りになる。
多角形の頂点で四角形を作る際に，一点を A に固定し残り３点を選ぶ，と考えると，A に対して 2N_C_3 * 4 通りですが，
A を他の点に動かしたときに四角形の４頂点分だけ重複するので，2N_C_3 * 4 * (2N+1) * 1/4 = (2N+1) * 2N_C_3 通りですね。
ちなみにナイーブには (2N+1)_C_4 * 4 ですが，公式 nCr = n/r * (n-1)C(r-1) より，
(2N+1)_C_4 * 4 = (2N+1)/4 * 2N_C_3 * 4 = (2N+1) * 2N_C_3 となり，一致します。

#34248
＞今回の問題では、正多角形である条件をはずして、一般の凸多角形としても答えはかわりませんね。
#34244へのコメントで気にしたことをクリアできればそうですね。
ネコの住む家　　 4月2日（木） 13:30:34　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　34251
反車
鯨鯢(Keigei)さん(お父さん)に少しヒントをもらいました
大阪府　　 4月2日（木） 17:04:16　　 　　34252
algebra
(1＋3＋6＋10＋15＋21)×9＝504

今、１泊２日の出張から帰ってきました。ちょっぴり手ごわかったです。
　　 4月2日（木） 18:17:33　　 　　34253
たけとんぼ
数えました。
毎度毎度、よくこういう
手強い問題を思いつくものだなあと
おそれいります。
　　 4月2日（木） 19:47:36　　 　　34254
鯨鯢(Keigei)
[辺と対角線で作られる三角形の個数について]
凸ｎ角形の辺と対角線すべてで作られる三角形の中で、
３つの頂点のうち２つが凸ｎ角形の頂点になっているものは nＣ4×4 個ですが、
３つの頂点のうち１つが凸ｎ角形の頂点になっているものは nＣ5×5 個で、
３つの頂点のうち３つが凸ｎ角形の頂点になっているものは nＣ3 個です。
また、３本以上の対角線が一点で交わらないものとすると、
３つの頂点のどれもが凸ｎ角形の頂点になっていないものは nＣ6 個です。
三角形の個数は全部で ｎ(ｎ−1)(ｎ−2)(ｎ^3＋18ｎ^2−43ｎ＋60)/720個です。
いろいろ考えさせてくれる問題を提供してくれる管理人さんに感謝してます。
大阪府　　 4月2日（木） 20:45:06　　 　　34255
黒アイス
かー、頭の中はパニックだー。

ある2頂点を固定して、その2頂点からの対角線の交点の個数を数えればよい。
(ただし3つとも9角形の頂点という物は除外する）
ここでは、１頂点をAに固定する。
��A-Bの場合・・・21個　��A-Cの場合・・・15個
��A-Dの場合・・・11個　��A-Eの場合・・・9個
あとは対称性からAを含む三角形の個数は
(21+15+11+9)＊2＝112(個)となる。
よって、求める三角形の総数は、
112＊9／2＝504(個)となる。

　　 4月2日（木） 23:27:42　　 　　34256
文理学院下吉田小澤
いつも楽しませていただいております。

すいません、ちょっと書き込ませていただきますが
九角形ABCDEFGHIの辺を使うのであれば「27本の対角線で作られる」の表現は混乱しません？
それと「正九角形の頂点になっているもの」って、九角形ABCDEFGHIの内側にも正九角形が出来上がっていますよね？

ホントすいません、気になった事を書かせていただいたまでで・・・
不快な思いをさせてしまったらごめんなさい。

今後も楽しませていただきたく思いますので、よろしくお願いします。
　　 4月3日（金） 0:33:30　　 　　34257
Mr.ダンディ
> #34255 鯨鯢(Keigei)さん
なるほど、本題では四角形をもとにするが他の場合は五角形などをもとにするのですね。納得です。（勉強になりました）

> #34251 uchinyanさん
「ちなみに、「１辺だけを共有している」場合なら、189個でいいのかな　？」
・・についての確認有難うございます。

> 皆さん、#34246の[関連問題]もよろしく。
大阪　　 4月3日（金） 9:25:10　　 　　34258
なか
#34275 文理学院下吉田小澤さん

ご指摘のとおりですね。
よく読むと「２７本の対角線で作られる三角形」とありますから、
正９角形の辺を使う三角形は含まれず、答は５０４より少なくなります。
図に惑わされていました。
あわてて、答案を出ししなおしてきました。
　　 4月3日（金） 9:26:25　　 MAIL:naka@sansu.org 　　34259
はなう
#34275
なんという急転直下

たしかに「27本の対角線で」できる三角形は504ではないですね。
要するに図の例が実は違うという・・・・

金曜日になるまで誰も気づかないとは（笑
　　 4月3日（金） 10:38:55　　 　　34260
uchinyan
#34255
はるほど。役に立つ考察をありがとうございます。勉強になりました。
ネコの住む家　　 4月3日（金） 11:02:46　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　34261
吉川　マサル
#34275 文理学院下吉田小澤さん
　うぉ、確かに問題文は「対角線で」となっていました。そうなると、辺を含むものを引かないとダメということになってしまいます..ううむ。

#34260 はなうさん
>要するに図の例が実は違うという・・・・
私も「図で示したような題意」のつもりで問題文を作成したので、全く気付きませんでした。（金曜日にミス発覚というのは、過去になかったと思います）

　一応調べてみましたが、どうやら今回はほとんどの方が「図を見て問題文を解釈した」ようです。おそらく、図が辺を含まない三角形を示していれば、多くの方は問題文通りの題意でとらえてくださったのではないかと。
　というわけで、これから問題文を修正しますが、順位については少々考えさえてください。m(__)m（ちなみに問題文通りの場合の答えは、文理学院下吉田小澤さんの当掲示板での指摘後に送信されたと思われる、なかさんのものが最速となっています..。）
PowerBook　　 4月3日（金） 11:34:46　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:Men @ Work　　34262
なか
#34262　マサルさん

ほとんどの方が問題文を（出題者の意図どおり）誤解したというのがすごいです。
「図」の説得力は絶大なのですね。

３１５というの解答が他になかったということですので、
順位はそのまま活かした上で、問題文を修正されてはいかがでしょうか。
　　 4月3日（金） 11:56:30　　 MAIL:naka@sansu.org 　　34263
鯨鯢(Keigei)
問題文の訂正は#34257の指摘の通りだと思いますが、問題文にカッコ付きで「図の太い赤線の三角形はその１例です」とあり、「２７本の対角線(を加えることみより)作られる三角形」と善意に解釈するのが自然だと思います。
大阪府　　 4月3日（金） 13:19:10　　 　　34264
はなう
#34262　まあ、みんな誤解したんで順位もこのままで、よいのではないでしょうか。だれも気づかない偽はむしろ真になるというか・・世の中の真実への認識もそんなものなのかもしれません。（地球温暖化と二酸化炭素の関係とか・・）

せっかくなので記念に３１５送信してきました（笑
　　 4月3日（金） 16:14:13　　 　　34265
uchinyan
皆さんのご指摘はもっともなので，問題文の訂正は必要かな，とは思いますが，
個人的には，例が題意を見事に表現していたわけで，鯨鯢(Keigei)さんのお考えに賛成です。

なお，個人的にはそこまではいいんじゃない，とは思うものの，#34257の
＞それと「正九角形の頂点になっているもの」って、九角形ABCDEFGHIの内側にも正九角形が出来上がっていますよね？
の方はいいんですか？
確かに内部中央に小さな正９角形があり，対角線で大騒ぎしたのならば，それと同じレベルで，
正９角形ABCDEFGHIではなく，この小さな正９角形の２頂点を共有してもいいのかな，とはならないんですか？
問題文は「３つの頂点のうち２つが正９角形の頂点になっているもの」としか書かれていないので。
ネコの住む家　　 4月3日（金） 18:08:58　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　34266
スモークマン
#34246 Mr.ダンディさんの問題
[関連問題] どの３本の対角線も１点で交わらない 凸型11角形において、すべての対角線を引くとき
(イ) 対角線の交点の数はいくらでしょう。

これは今回の問題にも使われているように、11C4=11*10*9*8/4*3*2=330本

(ロ) この11角形は何個の図形に分割されるでしょう。

n-1角形に、もう1点を加えたとき増える点＋増える対角線の数＋1 だけ増えることがわかるので、
f(n)=nC4-(n-1)C4+(n-3)+f(n-1)

f(4)=4
f(5)=5C4-4C4+(5-3)+1+f(4)=4+2+1+4=11
f(6)=6C4-5C4+(6-3)+1+f(5)=10+3+1+11=25
f(7)=7C4-6C4+(7-3)+1+f(6)=35-15+4+1+25=50
f(8)=8C4-7C4+(8-3)+1+f(7)=70-35+5+1+50=91
f(9)=9C4-8C4+(9-3)+1+f(8)=126-70+6+1+91=154
f(10)=10C4-9C4+(10-3)+1+f(9)=210-126+7+1+154=246
f(11)=11C4-10c4+(11-3)+1+f(10)=330-210+8+1+246=375

でいいのかな・・・？
金光＠岡山　　 4月3日（金） 20:06:45　　 　　34267
なか
# 34267

（ロ）はこう数えることもできます
順に線を引いていく過程をみると、
最初は図形１個
対角線１本につき図形は１個増える
対角線の交点が１個できるたびに図形は１個増える
よって、１１角形の場合　１　＋　１１×８÷２　＋　１１Ｃ４　＝３７５

北国　　 4月3日（金） 22:06:18　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　34268
algebra
言われてみれば、問題文に違和感があった感じがしたが、図を見て、結局気にしないで解きました。みなさんよく気がつきますね。
　　 4月4日（土） 0:05:57　　 　　34269
スモークマン
#34268
なるほど...
なかさんのがシンプルでいいですね♪ ^^;v
金光＠岡山　　 4月4日（土） 0:33:31　　 　　34270
Mr.ダンディ
> スモークマンさん,なかさん、[関連問題]に取り組んでいただき有難うございます。お二人ともお見事ですね。
(イ)は(ロ)で使うから付け足した付録で、もちろん 11Ｃ4(個)ですね。

(ロ)については
スモークマンさんの#34267は、頂点が１つ増えた場合を考えて漸化式を作られた解法ですね。納得です。

なかさんの #34268の解法は、凸型ｎ角形において対角線を１本引くごとにいくつ増加するかを考えて
いく方法で、想定していた解法も同じものでした。
結局、１＋(交点の個数)＋(対角線の数)＝１＋nＣ4＋n(n-3)/2 ・・・・(ハ)ですね。

また、スモークマンさんの漸化式でも、f(3)+f(4)+f(5)+・・・としていくと交点の個数と対角線の
個数が累積されていって結局は(ハ)の式に行き着くものと思えます。

本題の文章表記については、文理学院下吉田小澤さんのご指摘がなければ、そのままで終わったで
あろうと思われるので、順位はそのままにして文理学院下吉田小澤さんにみんなで「拍手！」いた
しましょう。
大阪　　 4月4日（土） 9:24:54　　 　　34271
BossF
中の正9角形どうするのか悩んでました（＾＾；；
とりあえず、認証したら、OK　中は無関係だったんですね、って問題文変わってるし
辺のほうは、図を見て『誤解』してました

root of isle　　 4月4日（土） 13:59:00　　 HomePage:fv2f-ftk@asahi-net.or.jp　　34272
吉川　マサル
順位表の件、対応が遅れていてスミマセン。

とりあえず、順位はそのまま.. ということにさせていただこうかと思っております。m(__)m
PowerBook　　 4月4日（土） 19:19:22　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:Men @ Work　　34273