Taro
BQ=30&ΔCAB∽ΔABPって解き方でいきました
数学的思考は案外苦手だったりします(^^;
じたく　　 8月7日（木） 0:07:58　　 　　32680
あみー
ずいぶん素直な数値の解答でしたね…。
解法が１通りしか思いつかない。
　　 8月7日（木） 0:08:48　　 　　32681
吉川　マサル
ふぅ、ミスはなさそう...かな？　一応、（よくある問題のアレンジとは言え）オリジナルな部分の多い問題ではあるので、少々不安でして....。

ま、難易度はいずれにしてもそれほど高くないと思います。問題は「三角比組よりも算数組が早いか否か」なのですが、どうやら算数組に軍配があがった感じでしょうか。
iMac　　 8月7日（木） 0:09:11　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:ブログのほう　　32682
英ちゃん
私もTaroさんと一緒です。
焦って計算をミスり、最初１９と送ってしまいました。
居間　　 8月7日（木） 0:10:50　　 HomePage:日記自己日記　　32683
はなう
ああー気づくのが遅かった。
うーんアホ。

結果的に、ＡＱで折り返しました。すると、あら不思議。平行が見つかって相似が見つかってあっという間。発想スピードが衰えました。
　　 8月7日（木） 0:12:47　　 　　32684
だいすけ
なるほど！
変に折り返したりしなくても、そのまま解けたのですね。
△ＡＰＱをＡＱで折り返して解いてしまいました。
我が家　　 8月7日（木） 0:13:25　　 HomePage:だいすけの部屋　　32685
ayaka
今回は、私でも解けた。
AQで折り返すと、△PC'Qが二等辺三角形であることがわかります。
角度を比較すれば、△ABPと相似形
BCの長さを求めるため、
△ABQに着目
∠A=∠Qであることがわかります。
ここから、BQ=30、∴BC=36
△ABCと△ABPが相似であることに着目して
30×30/36=25
これが答え。
極楽浄土　　 8月7日（木） 0:14:52　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　32686
ayaka
よく考えたら、折り返さなくてもよかったのか。
やはり、まだまだか…
極楽浄土　　 8月7日（木） 0:17:03　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　32687
だいすけ
解法じゃないのですが、
ＡからＢＣに垂線ＡＨを下ろして、
△ＡＢＨは捨てて、
ＡＰ＝３０ｃｍで、
ＨＰの長さを求める問題の方が
難しいかもしれないですね。
分かりませんが。
我が家　　 8月7日（木） 0:21:03　　 HomePage:だいすけの部屋　　32688
ちゃーみー
この手の問題は図形で解くと補助線が必要で大変なので三角関数で
解いていますが，今回のは (簡単な計算のはずなのに) まだあいません。
何度やっても 5√119 になってしまう…。近いからまぁいいや (？)。
## 今回のは補助線いらないのか…。
とうきょうとせたがやく　　 8月7日（木） 0:21:14　　 MAIL:kakuromaster@star.cims.jp 　　32689
みかん
△ＡＰＱをＡＱで折返し、ＡＣ上に点Ｒをとる。
△ＣＲＱ、△ＡＢＰ、△ＣＡＢはいずれも相似になる。
あとは相似比をごちょごちょいじって出来上がり。

わかる人にしかわからん解法ですみません（汗）。
　　 8月7日（木） 0:22:24　　 　　32690
おいら＠NY
△ABPと△CBAが相似
△ABQがBを頂点とする二等辺三角形
ということから、BQ＝３０で、
３０：３６＝ｘ：３０を解きました。
　　 8月7日（木） 0:33:58　　 　　32691
SUPER SPECIAL SEMTEX
折り返すやり方です
もっと勉強が必要ですね
神戸市　　 8月7日（木） 0:50:26　　 　　32692
ゼロスターよりの使者
外角の定理より計算していくと、△ＡＢＱは
ＡＢ＝ＢＱの二等辺三角形となり、
さらに△ＡＢＰ∽△ＣＡＢで
△ＣＡＢはＣＡ＝ＣＢ＝３６cmの二等辺三角形
ＣＡ：ＣＢ:ＡＢ＝３６cm:３６cm：３０cm
　　　　　　　 ＝６：６：５
　　　　　　　 ＝ＡＢ：ＡＰ：ＢＰなので
　　　　　 ＢＰ＝３０ｘ５/６＝２５
今回は、算数で解けて、嬉しい。
zerostar　　 8月7日（木） 1:02:01　　 　　32693
ゼロスターよりの使者
前回の分数の問題は０を入れるとは思いもよらず、
ず〜っと考え続けて、ひたすら考えて、夢の中でも考えて、
いつもは夢の中で「あっ！」とひらめくこともあるのに、
今回ばかりはついに時間切れ…。
プクプク…、と沈没してしまいました。
・・・。
zerostar　　 8月7日（木） 1:21:15　　 　　32694
Ｍｒ．ダンディ
[私は折り返し派]
△ＡＱＣをＡＱで折り返したものを△ＡＱＣ'とすると
△Ｃ'ＰＱはＣ'Ｑ＝Ｃ'Ｐ＝6 で △Ｃ'ＰＱ∽△ＡＢＰ・・・(1)
ＡＣ＝ＡＣ'＝ＡＰ+Ｃ'Ｐ＝36
ＡＰ：ＡＣ＝ＰＱ：ＱＣ　よりＰＱ＝5
(1)をつかって　ＢＰ＝30*(5/6)＝25

と解きました。
（私にゃ　△ABP∽△CBA や △BQA が２等辺三角形であることは思いもよりませんでした）
　　 8月7日（木） 1:45:40　　 　　32695
ゴンとも
三角比でもなく算数でもなく二等分線と相似での解法です。

先ず、題意の図で赤,青の点をそれぞれa,bとすると
△APQにおいてa+3*b=180 a=180-3*b・・・・・・(1)
また△ABPにおいて∠APB=∠ABP=180-2*b・・・・・・(2) より　
∠BAP=180-2*(180-2*b)=4*b-180
これと(1)とより∠BAC=4*b-180+180-3*b+180-3*b=180-2*b
これと(2)とより△CABは△ABPと相似な二等辺三角形　より
BP=x,PQ=yとしてBC=AC=6+x+yとすると
30:x=x+y+6:30 より　x*(x+y+6)=900・・・・・・(3)
また△PACにおいて二等分線の性質より
30:x+y+6=y:6 より　y*(x+y+6)=180・・・・・・(4)
(%i1) e1:x*(x+y+6)=900$
e2:y*(x+y+6)=180$
fortran(solve([e1,e2],[x,y]));
(%i2)
(%i3) [[x=25・・・・・・(答え),y=5],[x=-30,y=-6]]
(%o3) done
豊川市　　 8月7日（木） 3:11:21　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　32696
君の船
折り返し〜〜〜
↑これしか思いつかず・・・
海王星　　 8月7日（木） 8:50:51　　 　　32697
夏休み
(?-_・)ン? 来週も出題があるのでしょうか？算チャレの夏休みはいつですか？
　　 8月7日（木） 8:53:52　　 　　32698
ハラギャーテイ
おはようございます。

Mathematicaによる三角関数です。
山口　　 8月7日（木） 9:03:23　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　32699
abcba@moka
#32688　だいすけさん
△ABHをAHで折り返せば今回の問題と同じになるわけですね。折り返しを考えるなら
面白いかも知れませんね。
　　 8月7日（木） 9:13:00　　 　　32700
だいすけ
#32700
はい。そうです。
どこかを折り返さないと解けなくなるのではないでしょうか。

問題にケチを付けているようですみません(_ _)
我が家　　 8月7日（木） 11:59:59　　 HomePage:だいすけの部屋　　32701
やっと
25/2でおくった
　　 8月7日（木） 16:27:02　　 　　32705
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
今日は朝から忙しく，掲示板に書き込む，読むなどが，なかなかできませんでした。
そのお陰？か，二つほど，解法を思いつきました。

(解法1)
問題を見て，すぐに思いついた解法です。よくやる折り返しです。
△ACQ を AQ に関して折り返します。∠PAQ = ∠CAQ なので，AC は AP に重なります。C の移動先を D とします。
すると，AD = AC，DQ = CQ = 6 cm，∠AQD = ∠AQC = 180 - ∠AQP です。
また，∠DQP = ∠AQD - ∠AQP = ∠AQC - ∠AQP = 180 - 2 * ∠AQP = 180 - ∠APQ = ∠DPQ になり，DP = DQ = 6 cm です。
そこで，AC = AD = AP + DP = 30 + 6 = 36 cm になります。
AQ は ∠PAC の二等分線なので，PQ：CQ = AP：AC，PQ：6 = 30：36，PQ = 6 * 30/36 = 5 cm です。
さらに，△ABP，△DPQ に注目すると，
これらは両方とも二等辺三角形で，∠ABP = ∠APB = ∠DPQ = ∠DQP なので，△ABP と △DPQ は相似です。
そこで，BP：PQ = AP：DP，BP：5 = 30：6，BP = 5 * 30/6 = 25 cm になります。

(解法2)
昼休みに改めて図を見ていて，△ABP と △CAB は相似では？，と思って，角度を調べたらできちゃった解法です。
まず，∠ABP = ∠APB = 180 - ∠APQ = 180 - 2 * ∠AQP です。
そこで，∠BAQ = 180 - ∠ABQ - ∠AQB = 180 - ∠ABP - ∠AQP = ∠AQP = ∠AQB になり，
BQ = BA = 30 cm，BC = BQ + CQ = 30 + 6 = 36 cm です。
次に，∠CAQ = ∠PAQ = 180 - ∠APQ - ∠AQP = 180 - 3 * ∠AQP，
∠BAC = ∠BAQ + ∠CAQ = 180 - 2 * ∠AQP = ∠ABP = ∠ABC になります。
そこで，AC = BC = 36 cm で，△ABP と △CAB は相似です。
これより，BP：AB = AB：BC，BP：30 = 30：36，BP = 30 * 30/36 = 25 cm になります。
ネコの住む家　　 8月7日（木） 17:35:24　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　32706
uchinyan
掲示板を読みました。

#32680，#32683，#32691，#32693，#32706の(解法2)
△BAQ は二等辺三角形，△ABP ∽ △CAB を使う解法。

#32684，#32685，#32686，#32690，#32692，#32695，#32697，#32706の(解法1)
AQ で △APQ 又は △ACQ を折り返す解法。
△APQ を折り返す方がよさそうですね。

#32689，#32699
三角関数。私ならこんな感じかな．．．
∠AQP = α とすると，角度の計算で，∠APQ = 2α，∠PAQ = ∠CAQ = 180 - 3α，∠BAP = ∠ACB = 4α - 180 と分かります。
△APQ に正弦定理を使って，AP/sinα = AQ/sin2α，AQ = 30 * sin2α/sinα
△ACQ に正弦定理を使って，CQ/sin(180 - 3α) = AQ/sin(4α - 180)，AQ = - 6 * sin4α/sin3α
30 * sin2α/sinα = AQ = - 6 * sin4α/sin3α
30 * sin2α * sin3α = - 6 * sinα * sin4α
30 * sin2α * (3 * sinα - 4 * (sinα)^3) = - 6 * sinα * 2 * sin2αcos2α
5 * (3 - 4 * (sinα)^2) = - 2 * (1 - 2 * (sinα)^2)
(sinα)^2 = 17/24
BP = 2 * AB * sin(∠BAP/2) = 2 * AB * sin(2α - 90) = - 2 * 30 * cos2α
= 60 * (2 * (sinα)^2 - 1)
= 60 * (2 * 17/24 - 1)
= 60 * 5/12
= 25 cm

#32696
＞三角比でもなく算数でもなく二等分線と相似での解法です。
数学解法ですが，一部，△ABP ∽ △CAB を使っています。
ネコの住む家　　 8月7日（木） 18:48:35　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　32707
中畑三乗
僕は三角形APQの内角が３緑＋赤なので外角で角APB＝角ABPは緑＋赤。
今ここで３緑＋赤が１８０度なので、角BAPは緑−赤。
以上より角CABは２赤＋緑−赤＝赤＋緑。
これより角CAB＝角CBA。よって三角形CABはAC＝BCの二等辺三角形。

同様に角QABも計算すると緑−赤＋赤＝緑。
よって角BAQ＝角BQAで、三角形QABもAB＝BQの二等辺三角形。以上からAB＝BQ=３０となり、BC＝３６．

あとは三角形ABPと三角形CABが相似なので、３０：？＝３６：３０
？＝２５．

ってときました。　めっちゃシンプルな算数でした。　どうでしょうか？
　　 8月8日（金） 0:05:33　　 　　32708
黒アイス
ややこしいですが・・・。
赤+3緑=180度が△APQからわかる。
すると、∠APB=赤+緑、∠BAP=緑−赤がわかる。
すると、∠CAB=赤+緑になり、CA=CBがわかる。
AC上に、CR=6�僂箸覆襪茲Δ陛�Rをとる。
△ABCと△RQCは相似なので、∠ARQ=2緑、∠AQR=緑とわかる。
よって、△APQと△ARQは合同で、ABとRQは平行なので、
RQ=PQ=5�僉�BP=25�僂箸覆襦�
　　 8月8日（金） 0:29:38　　 　　32709
次郎長の本家
やっと解けた。純粋に算数で解けた。
久しぶりの感激。有難う
　　 8月8日（金） 12:48:26　　 　　32710
康
簡単でした＾＾
　　 8月12日（火） 10:34:01　　 　　32711
まいける
△ＢＡＱでＢＡ＝ＢＱ＝３０
△ＣＡＢでＢＣ＝ＡＣ＝３６
△ＡＰＣでＡＰ：ＡＣ＝ＰＱ：ＣＱ＝５：６なのでＰＱ＝５
で、ＢＰ＝２５　と解きました。
　　 8月13日（水） 0:58:44　　 　　32712
ばち丸
力任せでやろうとしても行かないところが、頭の良さをはかるバロメーターみたいでいいね。
　　 8月13日（水） 7:23:10　　 　　32713
きょろ文
あー…

北島選手平泳ぎ優勝おめでとうございます。感動しました。
　　 8月14日（木） 0:02:44　　 MAIL:kyorofumi@msn.com 　　32714
Ｍｒ．ダンディ
今週は出題がないので、暇つぶし問題を１題

[問題]　箱の中に、１から30までの数を１つずつ書いた３０枚のカードがあります。ここから７枚のカード
を抜き出し、７枚の中で最も小さい数をａとします。

このとき、ａの値の平均値(期待値)はいくらでしょう。

オリンピックを見ながらでも暇をつぶしてください。
　　 8月14日（木） 2:10:31　　 　　32715
ayaka
更新されてなくてよかった。
14日更新と書かれていたのですが、体調が思わしくないから諦めたのです。
極楽浄土　　 8月14日（木） 7:40:35　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　32716
ayaka
あるサイトで、今日のコード・ブルー　−ドクターヘリ緊急救命−という番組に面白い内容があるって書き込みがありました。一体何だろ？
極楽浄土　　 8月14日（木） 18:54:21　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　32717
ばち丸
#32175
Mr．ダンディさん　答えは3.875でしょうか。
エクセルで計算させてしまいましたが手計算で出来る方法はあるのでしょうか。
　　 8月14日（木） 19:43:07　　 　　32718
Taro
#32175
#32178のばち丸さんと全く同じ結果になりました。
下の式をEXCELで計算しました。

24
Σk・(30-k)C6/30C7
k=1
じたく　　 8月14日（木） 21:51:14　　 　　32719
Ｍｒ．ダンディ
#32718,#32719
ぱち丸さん、Taro さん、早速考えて頂き有難う御座います。
3.875 は私の想定していた値と同じです。
Taro さんの式、なるほど！納得です。

私は、わりあい簡単な計算式で、手計算で求めました。
EXCELに頼らずにできる解法に再チャレンジを！
（想定解法はまた後ほど書かせてもらいます）
　　 8月15日（金） 2:07:29　　 　　32720
Taro
#32720
カードが1〜7なら期待値１、1〜8なら期待値1.125、1〜9なら期待値1.25
カード1枚増えるごとに期待値が1/8増えるようです。
帰納法or漸化式あたりで証明できそうな気がします。

#二項定理がらみかなと思い、しばらく考えていたがだめでしたorz
じたく　　 8月15日（金） 12:32:50　　 　　32721
fumio
こんばんは。今年のお盆は、暑いーですね。
　　 8月16日（土） 0:59:23　　 　　32722
Ｍｒ．ダンディ
> ぱち丸さん、Taro さん
#32715 の想定解法を書き込みます。（次のように置き換えて考えます）

黒石7個と白石23個の計30個を十分混ぜ合わせ適当に横１列に並べ、黒石が左から何番目を占めたかを考
えと、1〜30から7枚を取り出した場合と同じことになると考えられます。
（そして１番左の黒石の順番の期待値を求めることになります）

そこで、先に黒石７個を並べて後から白石23個を挿入する考えると、挿入箇所は(左端,右端も含め)８箇所ある
から、１箇所あたりの挿入個数の期待値は 23/8 個となります。

したがって１番左の黒石の順番の期待値は 23/8＋1＝31/8＝3.875　となります。

この考え方でいくと、次のこともいえます。
(1) 7枚中の何番目の数の期待値でも簡単に求められます。
(2) 1〜ｎの数からａ枚抜き出したときの最小の数の期待値は (n+1)/(a+1)となります。
(3) (2)の式でｎが１増加するごと分子が１ずつ増え、期待値は 1/(a+1) ずつ増加し、 Taro さんが書かれ
ておられる「カード1枚増えるごとに期待値が1/8増えるようです」も確認されます。

以上でした。
　　 8月18日（月） 18:15:25　　 　　32723
スモークマン
#32723 Mr.ダンディさんへ。

これおもしろい発想（頭柔らかい）だけど、、、すぐピンとこなかった...^^;

7枚にどの数かが入るわけで、、、30個の中にばらけて入るのはわかるから、、、一番左端にくる位置が平均値ってわけですね...？
金光＠岡山　　 8月17日（日） 11:42:57　　 　　32724
Ｍｒ．ダンディ
#32724 スモークマンさん
> 一番左端にくる位置が平均値ってわけですね...？
そういうことになりますね。
最近知った問題および解法です。なかなか気に入った解法だったので紹介させてもらった次第です。
　　 8月18日（月） 0:05:27　　 MAIL: 　　32725
スモークマン
わたしも某ブログで仕入れたクイズをば ^^
楽しんでいただけたら幸いです♪

問題

次の（ ）にそれぞれ数字を入れなさい。

『この文には、
０が（　）個、
１が（　）個、
２が（　）個、
３が（　）個、
４が（　）個、
５が（　）個、
６が（　）個、
７が（　）個、
８が（　）個、
９が（　）個、
含まれています』
金光＠岡山　　 8月18日（月） 2:59:33　　 　　32726
Ｍｒ．ダンディ
#32726 スモークマンさん
『この文には、０が（１）個、１が（１１）個、２が（２）個、３が（１）個、 ４が（１）個、５が（１）個
、６が（１）個、７が（１）個、８が（１）個、９が（１）個 含まれています』
ですね？

括弧の中がすべて１桁なら、括弧の中の数の和は20でなければならない。
該当するものがないことが確かめられるので、どれかは２桁。
１の括弧内が「１★」、「１」を１,２の括弧以外に全て入れて・・・・
という手順で出しました。
　　 8月18日（月） 10:17:02　　 　　32727
abcba@jugglermoka
#32726,#32727 スモークマンさん、Ｍｒ．ダンディさん
私は『この文には、０が（１）個、１が（７）個、２が（３）個、３が（２）個、 ４が（１）個、５が（１）個
、６が（１）個、７が（２）個、８が（１）個、９が（１）個 含まれています』 と答えました。



　　 8月18日（月） 14:34:58　　 　　32728
Ｍｒ．ダンディ
#32728 abcba@jugglemokaさん
１桁の数だけでも解がありましたね。（１桁ではないと判断したのは早計だったようです）
　　 8月18日（月） 14:50:16　　 　　32729
スモークマン
#32727 Mr.ダンディさんへ。
考えて下さってありがとうございます Orz〜
想定外の解答でした・・・たしかに成り立ってますね ^^;
てことは、、、複数解存在するのか・・・
他にも成り立つものがあるんです...
金光＠岡山　　 8月18日（月） 16:50:40　　 　　32730
スモークマン
#32728 abcba@jugglermokaさんへ。
それでした♪
いや〜某ブログにも解は一桁のものしか載ってなかったです...
ここは文殊の知恵ワールドですね ^^v
金光＠岡山　　 8月18日（月） 16:53:42　　 　　32731
康
宣伝になったら申し訳ないんですけど、
http://www.geocities.jp/challenge_test/
この僕のサイトでも問題を今やっています。

ぜひ参加してください。

管理人さんにリンクのお願いをしたのですがいまだに・・・
　　 8月20日（水） 21:47:23　　 　　32732