吉川　マサル
スミマセン、ちょっと設定をミスしていて、更新が遅れました。m(__)m

しかも、正解者が少なく、答えに自信が...。正解された方、「答えは５」で本当に大丈夫でしょうか...？m(__)m
PowerBook　　 1月10日（木） 0:14:25　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:Men @ Work　　31396
banyanyan
とりあえず入ることができて、ほっとしています。
　　 1月10日（木） 0:15:30　　 HomePage:明るい家族計画−算数　　31397
Taro
激疲れ状態ですのでまともに考えられません。

#31396
一応ソルバーで解きましたので大丈夫かと思います。
三角関数の扱いに慣れていないので不安ですが(^^;
　　 1月10日（木） 0:17:29　　 　　31398
Holly
ピタゴラスでゴリ押ししました...
頭の整理がついていませんが、取り敢えず式は｛5.5^2-(7^2/2+4^2)/2｝/2＝5 になりました。
　　 1月10日（木） 0:18:46　　 　　31399
はなう
÷２をわすれて１０をおくってからずーーーーーーーっと悩みました。ムネン
　　 1月10日（木） 0:21:07　　 　　31400
CRYING DOLPHIN
あー　間違えて６で割ってしまったorz

図の４つの三角形をすべて斜辺の中点を中心として回転させると、
対角線の長さが7cmの正方形と一辺4cmの正方形と合同な平行四辺形2個
となり、こいつを等積変形すると、対角線の長さが11cmの正方形になる。
なお、対角線の長さ11cmは中点連結定理より。
あとはいらん部分をぴっぴか引き{11×11÷2−(7×7÷2＋4×4)}÷4＝5
ラクガキ王国　　 1月10日（木） 0:28:19　　 HomePage:算数とか隧道とか　　31401
はなう
では一応ときかたをー

ぐるっと回転させればＡＰＤとＢＰＣが同じことはすぐわかりますから、問題は全体の四角形の面積になります

ＭをとおりＭＮと直行する線・ＮをとおりＭＮと直行する線を引いて、四角形と交わったところにしるしをつけて、はみ出た三角形をぐるっぐるっと回して、くっつけると、結局一辺5.5cmの正方形になりますー（このへん図がないと意味不明ですね）

なので、5.5cmの正方形から二等辺三角形２つひいて÷２ですねー。
　　 1月10日（木） 0:29:54　　 　　31402
吉川　マサル
　ふぅ、どうやら問題不成立ではなさそうなのでちょっと安心しました。この問題ですが、ネタ的には第400回とか第410回のものの焼き直しだったりします。出来は...個人的にはあまり気に入っていません。スミマセン...どうも良い問題が作れなくて。m(__)m
PowerBook　　 1月10日（木） 0:31:26　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:Men @ Work　　31403
はなう
#31402 なんかいまやってみたら違ってる気がしてきた。。。わすれてください。。

#31401　鮮やかですね！
　　 1月10日（木） 0:34:37　　 　　31404
ヤッコチャ
問題回数と実施日が前回のままになってます＾＾

対角線が5.5�僂寮喫�形の面積の2個分が四角形ABCDの面積。
そこから2個の直角二等辺三角形の面積を引いて2で割って出しました。
　　 1月10日（木） 0:47:16　　 　　31405
バルタン星人
難しかった。無理矢理、座標で解きました。
Ｐを原点、Ｃ（４，０）、Ｄ（０，４）、Ｂ（ｘ，ｙ）とすると
Ｃは（ｙ，−ｘ）、ここから７、５．５の条件を使うとｙ＝−５／２
となり高さが５／２となるので１／２×４×５／２＝５で求めました。
しかし、皆さん、ちゃんと算数で解いてますね。脱帽です。
　　 1月10日（木） 1:06:07　　 MAIL:barutanace@yahoo.co.jp 　　31406
banyanyan
http://banyanyan.up.seesaa.net/image/sanchalle-581-5.jpg

△ＡＰＣと△ＢＰＤは合同で、対角線ＡＣとＢＤは垂直　…��
ＡＢの中点をＱ、ＣＤの中点をＲとすると、相似を利用して
△ＡＱＭ＋△ＣＲＮ＝１／４（△ＡＢＤ＋△ＣＢＤ）＝１／４□ＡＢＣＤ
△ＢＱＮ＋△ＤＲＭ＝１／４（△ＢＡＣ＋△ＤＣＡ）＝１／４□ＡＢＣＤ
より、
□ＭＱＮＲ＝（１−１／４−１／４）□ＡＢＣＤ＝１／２□ＡＢＣＤ
�，茲蝣■唯傳裡劼論喫�形ですから、
□ＭＱＮＲ＝１１／２×１１／２×１／２＝１２１／８
□ＡＢＣＤ＝１２１／８×２＝１２１／４

△ＡＢＰ＝７×７÷４＝４９／４
△ＣＤＰ＝４×４÷２＝８

△ＰＢＣと△ＰＡＤはＰＣ、ＰＤを底辺とすると高さが等しい（証明略）ので面積も等しい。

△ＰＢＣ＝（１２１／４−４９／４−８）÷２＝５
　　 1月10日（木） 1:11:52　　 HomePage:明るい家族計画−算数　　31407
馬
分かったけど、図が悪いです。

#31407 banyanyan様の図はとても分かりやすいですね。
　　 1月10日（木） 1:44:00　　 　　31408
banyanyan
間があいたせいか、ここも算チャレv.３もクッキーが消えてしまって一瞬あせってしまいました。
　　 1月10日（木） 1:58:54　　 HomePage:明るい家族計画−算数　　31409
ダンディ海野
次のように求めました。(細かい処は省略）
(1) △ＡＰＣ≡△ＢＰＤ　がいえるので、ＡＣ＝ＢＤ ,ＡＣ⊥ＢＤ がいえます。
(2) ＡＢ,ＤＣの中点をＥ,Ｆとすると中点連結定理より、□ＭＥＮＦは平行四辺形になるのだが、(1)の
　結果より、結局 正方形になります。
(3) □ＭＥＮＦ＝(ＭＮ)^2/２＝(11/2)^2/２＝121/8 だから
　 ＭＦ＝ａ　とおくと、ａ^2＝121/8
(4) ＡＣ＝ＢＤ＝2ａ,ＡＣ⊥ＢＤ より、□ＡＢＣＤ＝(2a)^2/2＝121/4
(5) △ＡＰＤ＝△ＰＢＣ（適当に高さを取ればいえます）より
　△ＰＢＣ＝{□ＡＢＣＤ−(△ＡＢＤ＋△ＤＰＣ)}＝５

初め ＭＮ＝5.5 の条件をどのように使うのかが分からず、かなり手間取りました。
(ＡＢ,ＤＣの中点をとると平行四辺形(正方形)ができるというのは、教科書の例題でよくあるやつなのにね〜)

　　 1月10日（木） 10:38:49　　 MAIL:cacrh525@hcn.zaq.ne.jp 　　31410
ハラギャーテイ
おはようございます。

よくわからないけど入れました。

今年もよろしくお願いします。
山口　　 1月10日（木） 11:06:36　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　31411
uchinyan
(少し追加修正)
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
う〜む，お正月ボケの私には難しかった．．．最初，算数が分からず，複素数で解いて，その結果から算数？を手繰り寄せました (^^;
結構面倒かつ，微妙に算数でないかもなぁ，とも思いますが，一応，解法です。

まず，△APC と △BPD を考えます。
PA = PB，PC = PD，∠APC = ∠APD + ∠DPC = ∠APD + 90 = ∠APD + ∠BPA = ∠BPD なので，
△APC ≡ △BPD で，AC = BD，しかも，90°回転した位置関係にあり，AC⊥BD です。
ここで，AB の中点を K，DC の中点を L とすると，中点連結定理より，KM = BD/2 = LN，KM//BD//LN，LM = AC/2 = KN，LM//AC//KN，
さらに，KM = LM，KM⊥LM で，□KMLN は正方形です。そこで，KL = MN = 5.5 cm です。
さて一方で，
△AKM + △CLN = 1/4 * △ABD + 1/4 * △CBD = 1/4 * □ABCD
△BKN + △DLM = 1/4 * △ABC + 1/4 * △ADC = 1/4 * □ABCD
□KLMN = □ABCD - (△AKM + △CLN + △BKN + △DLM) = □ABCD - 2 * 1/4 * □ABCD = 1/2 * □ABCD
□ABCD = 2 * □KLMN = 2 * 5.5 * 5.5 * 1/2 = 2 * 11/2 * 11/2 * 1/2 = 121/4 cm^2
ここで，△PAD を P を中心に 90°回転して A を B に重ねれば，C，P，D は一直線になり，PC = PD より，△PAD = △PBC です。
よって，
△PAB + △PBC + △PCD + △PAD = □ABCD = 121/4
2 * △PBC + 7 * 7 * 1/4 + 4 * 4 * 1/2 = 121/4
2 * △PBC = 121/4 - 49/4 - 8 = (121 - 49 - 32)/4 = 40/4 = 10
△PBC = 10/2 = 5 cm^2
になります。

なお，細かいことですが，問題の回数が前回のまま
＞第５８０回問題（ 12月27日〜 1月 9日）
になっています。
−−−−−＞　これは修正されましたね ^^
ネコの住む家　　 1月10日（木） 17:58:20　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　31412
uchinyan
掲示板を読みました。

#31401
＞図の４つの三角形をすべて斜辺の中点を中心として回転させると、
実は私も同じことを考えたのですが，
＞となり、こいつを等積変形すると、対角線の長さが11cmの正方形になる。
という変形がよく分からなかったです。どうやるんだろうか？

#31405
＞対角線が5.5�僂寮喫�形の面積の2個分が四角形ABCDの面積。
その通りなのですが，それをどう導くかですね。

#31406
座標による解法。
私の複素数による解法も似たような設定でした。

#31407
私の#31412と同じだと思います。
なお，以前にこの掲示板で，中点連結定理は算数ではない，と言われたことがありましたが，
＞ＡＢの中点をＱ、ＣＤの中点をＲとすると、相似を利用して
と，うまくやってますね (^^;

#31408
＞分かったけど、図が悪いです。
確かに。あの図は違いますよね。

#31410
基本的には，#31407と同じだと思いますが，
＞(4) ＡＣ＝ＢＤ＝2ａ,ＡＣ⊥ＢＤ より、□ＡＢＣＤ＝(2a)^2/2＝121/4
ここらが少し違いますね。
式に頼っている感じはありますが，こっちの方が簡単ですね。
ネコの住む家　　 1月10日（木） 12:36:38　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　31413
水田X
本年もよろしくお願いします。今回の問題はABの中点、CDの中天をE,FとするとNFMEが正方形になるのを利用しました。とくまでにああだこうだ補助線ひきました。昔のクレージーキャッツの歌じゃないけど♪学校でてから十余年　中略　引いた補助線５万本〜
　　 1月10日（木） 16:41:49　　 　　31414
doba
今年も時々お邪魔させて頂きます。
よろしくお願いします。

#31413 uchinyanさん

#31401のCRYING DOLPHINさんの解法ですが、

△PDAをMを中心に180°回転してP→P1
△PABをABの中点を中心に180°回転してP→P2
△PBCをNを中心に180°回転してP→P3
△PCDをCDの中点を中心に180°回転してP→P4

とすると、
四角形APDP1，四角形BPAP2，四角形CPBP3，四角形DPCP4
がいずれも平行四辺形になるので、
△DP4P1≡△PCA≡△BP3P2
△AP1P2≡△PDB≡△CP4P3
となり、
△BP3P2を切り取って△DP4P1の位置にはめ込み
△CP4P3を切り取って△AP1P2の位置にはめ込むことで、
八角形P1AP2BP3CP4Dは、四角形P1P2P3P4に等積変換されます。

さらに、
P4P1,CA,P3P2の３つの線分はいずれも平行で長さが等しく、
P1P2,DB,P4P3の３つの線分もいずれも平行で長さが等しいことと、
CA⊥DB,CA=DBより
四角形P1P2P3P4は正方形となります。

最後に、△PP3P1で中線連結定理を使い、
P1P3はMNの２倍の11となる、

ということではないでしょうか。

ちなみに、私は、図形全体をNを中心に180°回転させて
A→A',D→D',M→M',P→P'(=P3)としたとき、
六角形ABD'A'CDを等積変換するとAD'を対角線とする正方形になる
ってのを考えました。
（△DACと△A'CD'を切り取って移動させるだけです。）
すると、AD'=MM'=11となります。
（私の解法１）

本当は、最初に考えたのは、
△APC≡△CP'D'であり、
△APCと△ABD'が相似で相似比が1:√2であることから、
△ABD'の面積＝△APCの面積＋△CP'D'の面積となり、
六角形ABD'P'CPの面積が直角二等辺三角形CAD'の面積と等しく、
平行四辺形PBCP'は六角形ABD'P'CPから２つの直角二等辺三角形を引いたもの
という奴ですが、これだと微妙に√2が出てくるので．．．。
（私の解法２）

　　 1月10日（木） 19:38:59　　 　　31415
鞍馬の天狗
新年明けましたおめでとうございます
本年もどうか宜しく御願い致します
大阪Ｓ市　　 1月10日（木） 19:32:39　　 　　31416
uchinyan
#31415
dobaさん，詳しい説明ありがとうございます。言われてみればそのとおりですね。
頭の中での図がゴチャゴチャしてうまくイメージできませんでした。
ネコの住む家　　 1月10日（木） 21:15:02　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　31417
ばち丸
中点を結んでできるのが正方形なのに気づくのに一苦労。でかい四角の面積がその２倍。両方の直角二等辺三角形を切り取って２等分して出来上がり。
でも、大変！。力任せではどうにもならないところとか名問と言えるでしょう。

水田Xのまねで、書き直しすること５万回〜！
　　 1月10日（木） 22:26:58　　 　　31418
水田X
おそいぞ〜ばち丸！（おそいぞ武蔵のまね）　どうやらまったくおんなじやり方じゃ。
　　 1月10日（木） 23:18:15　　 　　31419
スモークマン
難し〜〜〜やっと入れた。。。^^;
(11*5.5/2-49/4-16/2)/2=5
実はよく分からず、、、
AC=BD
AD+BC=11
から、あとは雰囲気で、、、Orz〜^^;
金光＠岡山　　 1月11日（金） 1:45:49　　 　　31420
banyanyan
#31401，#31415，#31417
こんなんですかね。すごすぎますねえ。
http://banyanyan.up.seesaa.net/image/sanchalle-581-5-2.jpg
　　 1月11日（金） 2:25:56　　 HomePage:明るい家族計画−算数　　31421
banyanyan
#31415
これは平行と合同だけで、今回いちばんすごいんじゃないでしょうか。
http://banyanyan.up.seesaa.net/image/sanchalle-581-5-3.jpg

　　 1月11日（金） 2:53:38　　 HomePage:明るい家族計画−算数　　31422
スモークマン
#31415
この図もどきをイメージしてましたが、、、わたしの AD+BC=11 はうそでしたね。。。^^;
わたしは #31407 banyanyanさんの図がいちばんスマートだと思えました♪ Orz〜
金光＠岡山　　 1月11日（金） 9:13:37　　 　　31423
uchinyan
#31421，#31422
分かりやすい図をありがとうございます。これらの図があれば一目瞭然ですね。
これらの解法は，個人的には，一つずつ論理的に書き出していくと面倒そうな気もしますが，
図があれば直感的には分かりやすく，算数らしいかもしれませんね。
ネコの住む家　　 1月11日（金） 11:55:46　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　31424
鞍馬の天狗
#31421　
凄いです!
大阪Ｓ市　　 1月11日（金） 17:41:43　　 　　31425
rubic
#31421 banyanyanさんの図は何のソフトで書いたのですか？？

もしよろしければ教えてください。
僕も書いてみたいです。
　　 1月11日（金） 23:58:35　　 　　31426
doba
#31421，#31422　banyanyanさん
この図を見て気がついたのですが、
基本的にどんな四角形でも、#31421の図のように、その内部に任意の点をとり、
その点の、４辺の中点から見て対称の位置にとった４点を結ぶと
平行四辺形になるのですね。（今回はそれが正方形だったことになります。）

同様に、どんな四角形でも、#31422の図のように、もとの図形と
その１辺の中点を中心に180°回転した図形とをつなげた図形は、
等積変換で同様の平行四辺形にできます。

それでもって、それらの平行四辺形は、元の四角形で平面を敷き詰めた時の
繰り返しの単位になっているみたいですね。

合同な四角形で平面を敷き詰めて、それらの中点を結ぶと
平面の平行四辺形での敷き詰めになり、その平行四辺形と上記平行四辺形は
相似なので、結局中点を結ぶ話も倍の面積の平行四辺形に等積変換する話も
全部ひとつながりの話のようです。

なんとなくそれっぽい図を置いておきます。
#31424のuchinyanさんの「直感的に」という話にも通じるかもしれません。

http://www.tranzas.ne.jp/~gaf04242/work/repeat1.jpg
http://www.tranzas.ne.jp/~gaf04242/work/repeat2.jpg
http://www.tranzas.ne.jp/~gaf04242/work/repeat3.jpg
　　 1月12日（土） 0:16:42　　 　　31427
CRYING DOLPHIN
#31421
あ、これですこれ。
ラクガキ王国　　 1月12日（土） 0:53:31　　 HomePage:算数とか隧道とか　　31428
banyanyan
#31426
私はMSに買収されてofficeに組み込まれたVisioを使っています。
illustratorには劣りますが、vbaが使えるという利点があります（visual basicでプログラムできる）。
花子は関数の式を入力するとそのグラフを自動で作成してくれるみたいですが、私にはちょっと使いづらかったです。
VisioはMSに買収される前から使っていてステンシルというテンプレートを作っているので、使い慣れています。

corel draw essentialや花子は１万円以下ですね。
visio 2003 standardは２万円くらいかなあ。
illustratorは８万円くらいするみたいですね。
フリーソフトであればinkscapeでしょうか。

#31427
dobaさん、なるほど、勉強になりました。ありがとうございます。

#31425
すごいのは、鞍馬の天狗さんです。中学生になったばっかりでこれをあっさり解いてくるとはさすがですね。
やはりただものではないですね。これから楽しみな少年です、というか恐るべき強敵だ！！
負けないように精進します。
　　 1月12日（土） 1:20:33　　 HomePage:明るい家族計画−算数　　31429
uchinyan
#31427
dobaさん，面白い考察をありがとうございます。言われてみれば確かにそうですね。勉強になりました。
ネコの住む家　　 1月12日（土） 11:49:56　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　31430
あすか銀
やっと
　　 1月16日（水） 22:35:57　　 　　31431