アイス
エ、今日って休み？まさか！
　　 11月29日（木） 0:03:59　　 　　31215
長野　美光
△ＡＣＤをＣを中心にＡＣがＢＣに重なるまで回転します。
移動先の三角形を△Ａ'ＣＤ' また、ＱはＱ' にうつるとすると、
ＣＱ'はＣＰに重なるのですが、
(Ｄ'Ｑ'/Ｑ'Ａ')(Ａ'Ｂ/ＢＣ)(ＣＡ/ＡＤ')＝１　メネラウスの定理
より、Ｄ'Ｑ'：Ｑ'Ａ'＝３：１６　を出しました。
じゃかるた　　 11月29日（木） 0:17:59　　 HomePage:ヨッシーの算数・数学の部屋　　31216
Taro
単純すぎと思い9/4を送り、少しして間違いに気づきました(汗)
結局手がなく三角関数の連発でした。
　　 11月29日（木） 0:19:35　　 　　31217
吉川　マサル
　スミマセン、ちょっとした凡ミスをしてしまい、更新が遅れました。（0:03〜0:04くらいの更新になりました）申し訳ありません..。m(__)m
iMac　　 11月29日（木） 0:22:21　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　31218
kasama
#31217 私も同じく9/4を送りましたσ(^_^;)
和歌山　　 11月29日（木） 0:31:26　　 　　31219
きょろ文
うぅっ

また思い違いを・・・
√2の隣　　 11月29日（木） 0:36:31　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　31220
sugitakukun
一応算数で解けました。

とっかかりは、∠PCA=∠QCDと、∠PCB=∠QCAです。

とりあえず、△ACDをACに沿って折り返します。
んで、ACと平行でBを通る直線も引いておきます。

ここで、CPを延長してBを通りACと平行な直線との交点をRとすると、
△PAC∽△PRB（ちょうちょ相似型）で相似比1:3より、BR=12
さらに、∠CRB=∠PCA=∠Q'CB（折り返し）なので、CQ'の延長線とBRの交点をSとすると、今度は△CRB∽△SCB（裏返し相似型）となります。
するとBR:BC=12:3=4:1より、この相似の相似比が4:1なので、BS=BC×1/4=3/4となります。
最後に△BSQ'∽△ACQ'（ちょうちょ相似型）に着目すれば、BQ':Q'A=BS:CA=3/4:4=3:16と出てきます。

よって、AQ=AQ'=3×16/19=48/19　…（解）

（余談）
今期のランキングのほうがえらい事になってきました。
まさかの大逆転が起こってしまうのか……？
K府K市S区　　 11月29日（木） 0:38:58　　 MAIL:sugitakuunikun@msn.com HomePage:White Shadow　　31221
しんちゃん
CPの延長とDAの延長の交点をR、CQの延長とDを通り、ACと平行な直線との交点をSとすると、
　△PAR∽△PBC　から　AR=1cm
△CAR∽△CDS　から　DS=3/4cm
△QAC∽△QDS　で　相似比は、4：3/4=16：3
よって、AQ：QD も 16：3 になるから、AQ=3×16/19=48/19cm

　　 11月29日（木） 1:02:24　　 　　31222
CRYING DOLPHIN
灘高校の名作問題のリメイクVer？
まずは△APCをACで折り返して△ARCを作り、さらに平行四辺形ACDEを作成。
その平行四辺形の辺とCR・CQの延長線との交点をそれぞれS・Tとする。
あとは相似の使いまくり。
△ARSと△DRCは相似。AR：RD＝AS：DCよりAS＝1cm
△CASと△CDTは相似。CA：AS＝CD：DTよりDT＝3/4cm
△ACQと△DTQは相似。AQ：DT＝AC：DT＝4：3/4＝16：3
よってAQ＝3×16/19＝48/19cm
ラクガキ王国　　 11月29日（木） 0:52:03　　 HomePage:算数とか隧道とか　　31223
アイス
反則技を使った解法を1つ・・・。
1/2∠BCD=∠BCA=∠PCQより、∠BCP=∠CAQ,∠PCA=∠CQDとわかります。
ここで、∠BCP=∠a,∠PCA=∠bとおくと、三角形の面積公式より、
1/2*4*ＣＰ*sin∠a:1/2*3*CP*sin∠b=1:3より、sin∠a:sin∠b=1:4となります。
よって、AQ:QD=△ACQ:△DCQより
AQ:QD=1/2*4*CQ*sin∠b:1/2*3*CQ*sin∠a=16:3となります。
よって、AQ=3*16/19=48/19となります。
しかし、算数を使った方法は、気づくのに大変そうです・・・。
　　 11月29日（木） 1:14:17　　 　　31224
アイス
訂正。1行目の∠CAQは∠ACQ,∠CQDは∠QCDの誤りです。
　　 11月29日（木） 1:17:22　　 　　31225
はなう
1時半に遅くなり帰宅し、ぱっと見で9/4を送り、16/9を送り、まったく勘違いしてたので真剣にかんがえました。ＡからＱＣに平行な線を引くと相似ができまくるのであとは流れで。
　　 11月29日（木） 2:06:48　　 　　31226
banyanyan
とりあえず面積比を使って解きました。図をかくのに手間取ったあ。

http://banyanyan.up.seesaa.net/image/sanchalle-576-48_19.jpg
　　 11月29日（木） 2:35:00　　 HomePage:明るい家族計画−算数　　31227
ダンディ海野
またもや数学（メネラウスの定理、三平方の定理、余弦定理）でねじ伏せてしまった。
これからが本番。
　　 11月29日（木） 10:25:20　　 MAIL:cacrh525@hcn.zaq.ne.jp 　　31228
水田ｘ
よいこの算数で解けました。結構補助線はひきまくったけど。
　　 11月29日（木） 11:41:09　　 　　31229
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
う〜む，最初見たときは全く頭が働かず，思わず，座標＋三角関数でやってしまいました。
再考して，次のようになりました。

CP を P の方に，DA を A の方に，それぞれ延長して，交点を E とします。
また，CQ を Q の方に延長し，D より AC に平行な線を引いて，交点を F とします。
まず，ED//BC なので，△PAE ∽ △PBC で，AE：BC = PA：PB = 1：3 より AE = BC/3 = 3/3 = 1 cm です。
次に，∠EAC = ∠EAB + ∠CAB = ∠ABC + ∠CAD = ∠CDA + ∠FDA = ∠FDC，∠ACE = ∠QCP - ∠QCA = ∠DCA - ∠QCA = ∠DCF なので，
△AEC ∽ △DFC で，DF：DC = AE：AC = 1：4 より DF = DC/4 = 3/4 cm です。
さらに，FD//AC なので，△QAC ∽ △QDF で，QA：QD = AC：DF = 4：3/4 = 16：3 です。
そこで，AQ = 16/(16+3) * AD = 16/19 * 3 = 48/19 cm になります。
ネコの住む家　　 11月29日（木） 12:35:43　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　31230
uchinyan
掲示板を読みました。若干の出題遅れがあったようですね。

#31216
＞△ＡＣＤをＣを中心にＡＣがＢＣに重なるまで回転します。
＋メネラウスという解法ですが，ごめんなさい，今ひとつ分からず．．．
(少し追加)
＞移動先の三角形を△Ａ'ＣＤ' また、ＱはＱ' にうつるとすると、
＞ＣＱ'はＣＰに重なるのですが、
確かに Q' は CP 上に来ますが，P = Q' ではないですね。
＞(Ｄ'Ｑ'/Ｑ'Ａ')(Ａ'Ｂ/ＢＣ)(ＣＡ/ＡＤ')＝１　メネラウスの定理
この式はおかしいです。ここからは，例えば．．．
A と Q' とを結び BC との交点を E とすると，
D'Q'/Q'A' * A'E/EC * CA/AD' = 1　…　(1)
AP/PB * BC/CE * EQ'/Q'A = 1　…　(2)
AQ'/Q'E * EA'/A'C * CD'/D'A = 1　…　(3)
(2)と(3)を辺々かけて，
AP/PB * BC/CE * EA'/A'C * CD'/D'A = 1
CE = x として，
1/3 * 3/x * (1 + 3 - x)/4 * 3/1 = 1
CE = x = 12/7 cm, BE = 3 - 12/7 = 9/7 cm, A'E = 1 + 9/7 = 16/7 cm
なので，(1)より
D'Q'/Q'A' * (16/7)/(12/7) * 4/1 = 1
D'Q'/Q'A' = 3/16
＞より、Ｄ'Ｑ'：Ｑ'Ａ'＝３：１６　を出しました。
ですね。
AQ：QD = A'Q'：Q'D' = 16：3 なので，これで AQ が求まります。
(追加終わり)

#31217
三角関数による解法。

#31221
＞とりあえず、△ACDをACに沿って折り返します。
＞んで、ACと平行でBを通る直線も引いておきます。
という解法。
補助線の引き方は違うのですが，三角形の相似を三回使う点は，私の#31230と同じです。

#31222
＞CPの延長とDAの延長の交点をR、CQの延長とDを通り、ACと平行な直線との交点をSとすると、
という解法。私の#31230と同じです。

#31223
＞まずは△APCをACで折り返して△ARCを作り、さらに平行四辺形ACDEを作成。
＞その平行四辺形の辺とCR・CQの延長線との交点をそれぞれS・Tとする。
という解法。
これも，補助線の引き方は違うのですが，三角形の相似を三回使う点は，私の#31230と同じです。

#31224＆#31225
三角関数による面積の公式を使った解法。
算数ではないですが，なかなか簡明でいい解法だと思いました。

#31226
＞ＡからＱＣに平行な線を引くと相似ができまくるのであとは流れで。
という解法。
詳細は不明ですが，相似を使いまくる点は，私の#31230と同じかな。

#31227
＞とりあえず面積比を使って解きました。
という解法。若干複雑そう，というのがパッと見た感想です．．．

#31228
＞数学（メネラウスの定理、三平方の定理、余弦定理）
という解法。

#31230
私の解法。
ネコの住む家　　 11月29日（木） 15:15:37　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　31231
ハラギャーテイ
定年後なんで暇なのでしょうが、ようやく解く時間を見つけました。

Mathematicaによる三角関数です。
山口　　 11月29日（木） 17:04:38　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　31232
長野　美光
#31231
長さが違っても、重なるという言い方は出来ると思いますが、
それはともかく、
確かに、メネラウスになってませんね(^^;
何で答えが出たんだろ？

#31232
あ、ハラギャーテイさん
ご無沙汰です。
じゃかるた　　 11月29日（木） 19:31:07　　 HomePage:ヨッシーの算数・数学の部屋　　31233
暁
いやあ、苦労してしまいました。
切って、重ねて、メネラウスを２回で何とかなりました。
メネラウスが使えるということは、補助線引いて、小学生にも何とかなるということなんですが、果たして正解できるんでしょうか？？
　　 11月29日（木） 20:46:49　　 　　31234
banyanyan
小学生の場合、平行線（補助線）をひくよりは、面積比で考える方がよいのではないかと思うのは私だけでしょうか。この場合、チェバの定理につながるのだと思いますが……。
三角形は面積比、四角形は相似、というのが私の考え方です。
　　 11月30日（金） 0:51:20　　 HomePage:明るい家族計画−算数　　31235
水田X
今回の問題をヒントにわたしが考えたこと。辺がa,b,cの三角形でもいけそうだということ。

三角形ABCで辺BC=a 以下略　とする。辺BCを1:xに内分する点をPとする。角BAP＝角CAQとなるように点QをBC上にとる時にCQ：QBはいくらか？

答えはなんとbによらず　ｘ:c^2 になりました。

やりかたとしてはBをとおる辺ACの平行線をひいて　APの延長との好転をR,AQとの延長との好転をSとしてSから辺ABに平行な線と辺ACの好転Tとして平行四辺形ABSTをつくるとあとは比でできるというやつ。
　　 11月30日（金） 12:11:12　　 　　31236
あすか銀
やっとにゃん
　　 11月30日（金） 15:08:28　　 　　31237
スモークマン
バカでした。。。交点は3/2 だとばかり思ってて、、、33/14 で入れないのはなぜなんだろとず〜っと思ってました ^^; 仕事帰りの新幹線の中で、、、∠の2等分線なんだから斜辺の比になることにやっと気付いた次第。。。3*4/7-3/4 : 3*3/4*1/4 = 27/28 : 9/16 = 108 : 63
3*3/7*108/171+3*4/7 = 336/133 = 48/19
金光＠岡山　　 11月30日（金） 17:01:08　　 　　31238
doba
#31236
＞答えはなんとbによらず　ｘ:c^2 になりました。
えっと、正しくはb^2:xc^2ですね。
恐らく計算の途中で、b/xとx/bを間違えたのでしょう。
△ＡＢＲと△ＡＴＳの相似を使うということですよね。
いずれにせよ、菱形というのはたしかに問題の本質ではなかったようですね。
ａの長さ（今回の出題に即して言えば、ＡＢの長さ）は答えには影響しないというのは
少し意外な結果です。
　　 11月30日（金） 18:26:23　　 　　31239
ばち丸
スモークマンさんの書き込みを、水田Xが教えてくれ、計算しなおしてやっと
入れました。感謝。（珍しい、全く同じ間違い〜思い込み）
それにしても、たいへんだったぜ。
　　 11月30日（金） 21:24:34　　 　　31240
水田X
バチ丸くんから３３／１４で入れないなぜなんだろってメールがきてたのでスモークマンさんのメッセージを途中まで送ってあげたしだいです。
　　 12月1日（土） 11:25:39　　 　　31241
スモークマン
#31240,#31241
状況がよく分かりました^^
ばち丸さんはわたしとまったく同じ方法でしかも同じトラップに嵌まってらっしゃったご様子・・・自分のワールドからの脱出はことほど左様に難しいってことが私以外でも証明されましたね ^^;v
金光＠岡山　　 12月1日（土） 11:37:22　　 　　31242
tl
ACで折り返したあと
http://ff.sansu.org/sansu/576.gif
で、AB^2：AC^2 ＝BD×BE：CE×CDを使いました。
スモークマンさんとばち丸さんの偶然の一致はおもしろいですね。orz...
　　 12月1日（土） 12:27:24　　 　　31243
だいすけ
友だちが△ＡＣＤを点Ｃを中心に回転させて、∠ＡＣＤと∠ＢＣＡを重ねて解いていました。
大阪府　　 12月1日（土） 16:50:45　　 MAIL:daisuke18@sb.dcns.ne.jp HomePage:だいすけの部屋　　31244
＜Melvy＞
△ABC を 4/3 に拡大して∠BCA を∠ACD に重ね，△A'AD と線分 CP' に対してメネラウスで．
今回は初等幾何では無理そうだからと高等数学を解禁し，∠DCQ = ∠ACP を複素平面で解いていたんですが何度やっても答が合わず，初等幾何まで戻ってきた次第 (^^;)
ちなみに，最初に 9/4 を送ったのもお約束 (^^)
　　 12月1日（土） 23:55:50　　 HomePage:そこには なにもありません　　31245
吉川　マサル
誰かと同じかも知れませんが、一応想定した解法を書いておきます。（遅

CPの延長とDAの延長の交点をR、BAの延長とCQの延長の交点をSとします。すると、△ARCと△ACSが相似になって、AR:AC=1:4より、AC:CS=1:4で、AS=16となります。よって、AS:CD=AQ:QD=16:3より、AQ=48/19、というわけですがいかがでしょう？
かいしゃ　　 12月2日（日） 18:51:32　　 HomePage:算チャレ　　31246
とまぴょん
AE=1なるEをAC上にとる。
∠ACP=∠BCRとなるRをAB上にとる。
CR,CPとBEとの交点をそれぞれS,Tとする。

題意はARを求めることと同じ。

三角形CBEは二等辺三角形であることに着目すると
BT:TE=ES:SB

以上の準備を元に、メネラウスの定理を２回使うと
AR:RBが求められる。

以下略

既出かもしれませんが、私が思いついた方法です。
　　 12月3日（月） 5:18:31　　 　　31248
uchinyan
少し見ない間に大分解法が書き込まれていますね。少し感想など。

#31232
三角関数による解法。

#31234
＞切って、重ねて、メネラウスを２回で何とかなりました。
よく分かりませんが，#31248のような解法なのでしょうか。

#31236＆#31239
＞＞三角形ABCで辺BC=a 以下略　とする。辺BCを1:xに内分する点をPとする。角BAP＝角CAQとなるように点QをBC上にとる時にCQ：QBはいくらか？
＞＞答えはなんとbによらず　ｘ:c^2 になりました。
私の計算でも，
＞えっと、正しくはb^2:xc^2ですね。
になりました (^^;

#31238，#31240など
これだけ多くの解法がある中で，全く同じ考え方で全く同じ間違い，というのは確かに珍しいかも。
もっとも，私には，お二人の解法がよく分からないのですが．．．(^^;
(どうやら，△ABC 回転バージョンのようです。#31251参照。)

#31243
＞で、AB^2：AC^2 ＝BD×BE：CE×CDを使いました。
ふむ，こんなきれいな関係があるとは知りませんでした。
なお，この式は，#31223風にやって証明できるので，今回の問題としては，この解法のバリエーションということになるのかな。

#31244
＞友だちが△ＡＣＤを点Ｃを中心に回転させて、∠ＡＣＤと∠ＢＣＡを重ねて解いていました。
これだけではよく分かりませんが，類似の解法は幾つか書き込まれていますね。

#31245
＞△ABC を 4/3 に拡大して∠BCA を∠ACD に重ね，△A'AD と線分 CP' に対してメネラウスで．
なるほど。4/3 倍するアイディアはうまいですね。これならば，メネラウスを一回でできます。

#31246
マサルさんの想定解法。
三角形の相似を三回使う解法のバリエーションですが，これが一番素直に思えてきました。

#31248
これは，△ACD の回転のバリエーションですね。
二等辺三角形をうまく使ってメネラウスを二回で済ませているようです。

こうやって見てくると，バリエーションはありますが，
・三角形の相似を三回使う解法
・△ABC を △ACD に(又はその逆に)回転し重ねる解法(メネラウスを使う)
が主流のようです。
ネコの住む家　　 12月4日（火） 9:24:16　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　31249
水田X
あ、dobaさんのメッセージ見落としてました。失礼！uchinyanさんも間違いの指摘ありがとうございました。
　　 12月3日（月） 18:12:40　　 　　31250
スモークマン
#31249
uchinyanさんへ。
図が描けないのでもどかしくかつ面倒なのですが、、、多分#31244 のだいすけさんのご友人の方とも同じかも？
∠ACP=∠DCQ なので、△ACB を C を中心に回転したら、△DCA に重なり、4cmと3cmの△が重なり、CP と CQ も重なります。AB とAD の交点が重なった△の∠の2等分線になってることを使って考えました。以下略・・・他の解法に比べたら普遍性に乏しいかななんて思ってます。。。Orz〜^^;
#31243 tlさんの AB^2：AC^2 ＝BD×BE：CE×CD っていう解法は素敵ですね♪
奇麗な式だから、、、これって定理なんですか・・・？
金光＠岡山　　 12月3日（月） 22:31:34　　 　　31251
テニス人
算数でも楽に解けますね。
　　 12月3日（月） 22:57:18　　 　　31252
tl
#31251
清宮著のモノグラフ本には補助定理として載っていました。コメントの図から、面積比を使ってあっけなく導けます。
　　 12月4日（火） 20:05:35　　 　　31253