Taro
四角錐＋三角錐×４ですね
三角錐の体積が四角錐の半分であることはあとで確かめました(^^；)
　　 10月18日（木） 0:08:10　　 　　30997
2709
一年ぶりぐらいのリアルタイム参加かあ

かなりのブランクを感じました、、、、
　　 10月18日（木） 0:09:59　　 　　30998
きょろ文
4分の1で考えました
三角推2つに分けましたけど、
上にあるトゲみたいな方はルート使っちゃいました＾＾；
√2の隣　　 10月18日（木） 0:13:45　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　30999
たけだ＆さとけん
図形ねぇ〜
　　 10月18日（木） 0:13:55　　 　　31000
SEMTEX
悔しい　なんか緊張してしまって考えられなかった・・・
　　 10月18日（木） 0:16:26　　 　　31001
CRYING DOLPHIN
超ひっさびさの展開図問題ですね。ごちそうさま。

8×8×3の直方体からえっちらおっちら切り出しました。
ラクガキ王国　　 10月18日（木） 0:19:59　　 HomePage:算数とか隧道とか　　31002
tl
踏んだら痛そうな形になりますよね。
　　 10月18日（木） 0:30:00　　 　　31003
圭太
立体作りに、大幅な時間かけた。＾＾；
確かに痛そうな・・。（
アルビレックス　　 10月18日（木） 0:31:57　　 HomePage:圭太の研究所　　31004
banyanyan
３：４：５を使ってしまいましたorz。
形はすぐにわかったのですが……、
使わずに出すにはどうしたらよいのかわかりませんでした。
現代視覚文化研究会　　 10月18日（木） 0:44:50　　 HomePage:明るい家族計画−算数　　31005
吉川　マサル
#31005
いえ、3:4:5は使う問題として作成しましたので..。m(__)m
iMac　　 10月18日（木） 0:41:56　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　31006
バルタン星人
Taroさんと同じく四角錐＋三角錐×４で解きました。
ただ三平方の定理とルートは使いまくりで高さを求めました。
四角錐の高さ３は良いとしても三角錐は算数ではどう解くのかな？
それｔも分け方が違う？
　　 10月18日（木） 0:55:28　　 　　31007
CRYING DOLPHIN
職場の算数資料作成のついでに、久々に動かしてみた
ttp://cdcdcd.sansu.org/pika/junkfoods/q570-shuriken.htm
ラクガキ王国　　 10月18日（木） 0:57:13　　 HomePage:算数とか隧道とか　　31008
banyanyan
#31008 ♪⌒ヽ(*゜O゜)ノ スゴイッ!!!

断頭三角柱２つを十字に組み合わせた形ですね。
重なった部分は底面が対角線８�僂寮喫�形（３２��^２）、高さが３�僂了由僂垢ぁ�
重なっていない部分４つはそれぞれ重なった部分の（�　燹吻　椨　法瓠烹院殖押�
３２×３×１／３×（１＋４×１／２）＝９６��^３

こんな感じでしょうか。
http://banyanyan.up.seesaa.net/image/sanchalle-570-96.jpg

現代視覚文化研究会　　 10月18日（木） 1:14:58　　 HomePage:明るい家族計画−算数　　31009
アイス
展開図書いて立体つくって、計算方法思いつくまで約1時間！
と言うことで現在朝の1時20分！
こんな時間まで算数するとは思わなかった。
しかし、立体問題ってすごく難しいですね。
　　 10月18日（木） 1:23:45　　 　　31010
ダンディ海野
立体のイメージがつかめず紙を切って折り曲げてみました。真上から見たときの正方形の対角線できった
１／４の立体を考えると、体積が８ｃｍ^3である３つの３角錐に分けられることがわかった。
よって、(８×３)×４＝９６(cm^3)。
（ただし、√を使ってしまいました。算数は苦手〜）
　　 10月18日（木） 1:28:37　　 MAIL:cacrh525@hcn.zaq.ne.jp 　　31011
すんだマレ太郎
マレーシアは時差が−１時間で、現地時間のＰＭ１１：００に問題が更新されるので、ちょっと有利かな？
　　 10月18日（木） 1:49:50　　 　　31012
ma-mu-ta
底面が8cm×8cmの正方形で高さが3cmの正四角柱から、
直角を挟む2辺が4cmの直角二等辺三角形を底面とする
高さが3cmの三角錐を12個(下側4個、上側8個)引きました。
8×8×3−4×4×1/2×3×1/3×12＝192−96＝96cm^3
　　 10月18日（木） 2:34:33　　 　　31013
カナ
カンです
四角錐とまわりの三角形で作った四つの四面体をくっつけて八面体を創造してみたのですが、そうすると、外側の8つの同じ長さの辺が6cmでないとうまく作れない気がしてなりません？
　　 10月18日（木） 5:15:40　　 　　31014
小西孝一
携帯からこんにちは
またです。
ど田舎　　 10月18日（木） 10:11:00　　 　　31015
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
う〜ん，立体の形状の決定に一部ルートを使ってしまいました。こんな感じでやりました。

展開図を組み立ててできる立体は，
面積が 32cm^2，対角線が 8cm，の正方形を底面にして辺が 5cm の正四角すいに，三角すいを四つくっつけた形です。
このとき，正四角すいの，底面の対角線の半分が 4cm で，高さは，3：4：5 の直角三角形を使って 3cm と分かります。
そして，三角すいの上部の赤丸の四つの辺は一点に集まりますが，それらは底面に平行な平面上にあります。
このことを確かめるのに，三平方の定理を使って三角すいの赤丸の二つの辺の距離を計算し 3cm を得て，高さの関係を調べました。
これが分かってしまえば後は簡単で，
求める立体は，底面の対角線が 16cm の正方形，上面の対角線が 8cm の正方形で，高さが 3cm の四角すい台から，
底面の対角線が 8cm の正方形で高さが 3cm の正四角すい四つを引いたものと分かります。

以上を踏まえて，算数的(ルートを使わない解法ということ。)には，天下り的ですが，
底面の対角線が 16cm の正方形で高さが 3 * 2 = 6cm の正四角すいから，
底面の対角線が 8cm の正方形で高さが 3cm の正四角すい五つ(四角すい台を作る一つと残りの四つ)を引いたものが，
展開図を組み立ててできる立体，と考えるのがいいでしょう。
四角すい台を作るのに引く正四角すいは元の大きな正四角すいの 1/8 の体積なので，結局，
1/3 * (1/2 * 16 * 16) * 6 * (1 - 5/8) = 256 * 3/8 = 96 cm^3
になります。
ネコの住む家　　 10月18日（木） 11:45:13　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　31016
abcba
面積32の正方形の対角線の長さが８になることから
３：（８／２）：５で高さが３になることをに気づけば、
４×３２×６÷３×（７／８）−（３２×３×（１／３））×４＝９６
　　 10月18日（木） 11:30:35　　 　　31017
uchinyan
掲示板を読みました。皆さん，いろいろ工夫しているようです。

#30997，#31007，#31009，#31021，#31022
＞四角錐＋三角錐×４ですね
とする解法。素直で好感のもてる良い解法だと思います。
#30997
＞三角錐の体積が四角錐の半分
#31009
＞重なっていない部分４つはそれぞれ重なった部分の（�　燹吻　椨　法瓠烹院殖押�
がポイントですね。
#31021
＞あと、５，５，５，５、√３２の三角錐（ここで√を使ってしまった。）
＞を４，４，３の直方体から切り抜いて４X４X３/３＝１６
これでもいけますね。

#30999
＞4分の1で考えました
#31011
＞真上から見たときの正方形の対角線できった１／４の立体を考えると、体積が８ｃｍ^3である３つの３角錐に分けられることがわかった。
などという解法。
ただし，ルートを使ったとのことなので，一部数学かな。

#31002，#31013
8×8×3の直方体から切り出すという解法。
一点に集まる赤丸の辺が水平になることは，多分，明らかとしているようですが，うまい解法だと思います。

#31016(私の解法)，#31017，#31019，#31024
＞底面の対角線が 16cm の正方形で高さが 3 * 2 = 6cm の正四角すいから，
＞底面の対角線が 8cm の正方形で高さが 3cm の正四角すい五つ(四角すい台を作る一つと残りの四つ)を引いたものが，
求める立体とする解法。

#31020
＞対角線8√2の正方形x高さ3の丁度半分なんですね ^^
という解法。表現が少し違いますが，結局，「8×8×3の直方体から切り出すという解法」と等価ですね。
ネコの住む家　　 10月19日（金） 11:22:30　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　31018
banyanyan

#31016,#31017
なるほど、こんな捉え方はできませんでしたorz。
http://banyanyan.up.seesaa.net/image/sanchalle-570-96-2.jpg

まだまだ修行がたりませんでした。
現代視覚文化研究会　　 10月18日（木） 12:48:44　　 HomePage:明るい家族計画−算数　　31019
スモークマン
やっと入れた。。。^^;
対角線8√2の正方形x高さ3の丁度半分なんですね ^^
展開図を組み立てて考えましたけど、気づくの遅過ぎ、、、^^;
上側が水平になるのを確認できてからも時間かかった。。。
中の四角錐と、隅の外側にできる物は同じ体積。
辺の真ん中にできる体積は隅の三角錐と同じ体積。
結局、(8√2)^2/2*3*(1/2)=96 cm^3
金光＠岡山　　 10月18日（木） 15:47:49　　 　　31020
小西孝一
ただ今です。
まず、３：４：５を使ってピラミッドみたいなのを３２X３/３＝３２
あと、５，５，５，５、√３２の三角錐（ここで√を使ってしまった。）
を４，４，３の直方体から切り抜いて４X４X３/３＝１６
四つあるので
１６X４＝６４
３２＋６４＝９６でした。
あ〜１箇所数学しました。残念・・・・
ど田舎　　 10月18日（木） 17:22:39　　 　　31021
なかくん
底面３２高さ３の４角錐１つと、４×４×３の直方体から、３角錐４つを切り取った３角錐４つで、３２×３÷３＋４×４×３÷３×４．
　　 10月18日（木） 21:35:05　　 　　31022
θ
最初二等辺三角形３つを組み合わせた等脚台形で、いわゆる錐台の体積を求めるのかと勘違いしてしまいました・・・
　　 10月18日（木） 22:41:14　　 　　31023
みかん
立体はどうせ解けないからパス！　ってあきらめてたけど、紙工作して
イメージがつかめたので解答。頭の中だけで図形が浮かぶ人もいらっしゃる
のでしょうか？　

解法は#31016（uchinyanさん）の算数的方法です。 正方形の面が上にくる
ように置くときれいに落ち着きます。
　　 10月19日（金） 0:24:00　　 　　31024
25no12
立体嫌い・・・ですが、重い腰を上げてやってみました。
とりあえず座標でやってみようと、座標を求めてみたのですが、その後の体積の計算が面倒そう・・・。
しかし、この過程で立体のイメージが掴めて、要するに四角錘の四つの側面に三角錐が四つ乗っていることだと分かったので、地道に三平方の定理を使って各部分の長さ、高さなどを求めました。
√17とかでてきて、最終的にはこれが消えるのですが、算数的じゃないですね−。

みなさんの解法を見ると、立体の引き算をすると算数でできるみたいですが・・・後でゆっくり読んで考えま−す。
　　 10月19日（金） 13:56:15　　 　　31025
長野　美光
#31012
インドネシアは−２時間なので、22:00 開始です。
でも、ネット遅いです。
じゃかるた　　 10月19日（金） 16:38:34　　 HomePage:ヨッシーの算数・数学の部屋　　31026
スモークマン
久方ぶりの友人問をば ^^;v

次の条件をみたす2以上の整数nの最小値は15であることを示せ。
1からnまでのn個の整数をうまく1列に並べて、隣り合う2つの数の和がすべて平方数になるようにできる。

最近考えてみたんですが、、、みなさんは次の等式をどのように証明されますか？
「φ(n) はオイラー関数とするとき、自然数 n, d で d が n を割り切るものとすると、1 から n までの自然数のうち n との最大公約数が 'n / d であるものの数は φ(d) 個である。特に、1 から n までの自然数は n との最大公約数によって類別されるから、d が n の正の約数全てをわたる和に関して等式 Σφ(d) = n ( d|n )
が成り立つ（d | n は d が n を割り切るの意）。」

*1 から n までの自然数のうち n と互いに素なものの個数を φ(n) として与えることによって定まる数論的関数 φ である。例えば、1, 2, 3, 4, 5, 6 のうち 6 と互いに素なのは 1, 5 の 2 個であるから、定義に拠れば φ(6) = 2 である。p を素数とすると、1 から p − 1 のうちに p の素因子である p を因子として含むものは存在しないから φ(p) = p − 1 が成り立ち、同様に p の冪は p の冪でしか割り切れないので k を自然数として
φ(p^k) = p^k - p^(k-1) =p^k (1-1/p)
が成立することが確かめられる。また、m, n を互いに素な自然数とすると、φ(mn) = φ(m)φ(n) が成り立つ。これをオイラーの関数は（互いに素な数の積に関して）乗法的であると言い表す。これらのことからさらに、任意の自然数 n における値を知ることができる。実際に、pk はどの二つも相異なる素因数であるとして、n の素因数分解が次のように
n = Πpk^ek ( k=1〜d )　と与えられているならば、
φ(n) = n Π(1-1/pk) ( k =1〜d )　によって φ(n) を計算することができる。・・・
(http://ja.wikipedia.org/wiki/オイラーのトーティエント関数 より)
金光＠岡山　　 10月19日（金） 18:45:09　　 　　31027
gonbe001
画面を見ながら立体をイメージしていると、三角錐を作る部分で閉じられる辺が、その長さから、正方形と平行な平面内で十字になると気付いた。
と同時に、その「十字」が「田の字」に見え、「田」底面とする大きな４角錐が浮かびました。
　求める体積　＝　[大きな四角錐]−５×[四角錐]
　　　　　　　＝　３×[四角錐]　　　　　　　　　とひらめいた。

紙も鉛筆も使わずに解けてしまって、この問題、とても気持ちよかったぁ〜。
　　 10月19日（金） 19:02:22　　 　　31028
ダンディ海野
#31027[スモークマンさんの友人問]
機械的な方法ですが・・
平方数が２つの異なった自然数に分けられるパターンをあげます。
４・・・{3,1}
９・・・{4,5} {3,6} {2,7} {1,8}
16・・・{7,9} {6,10} {5,11} {4,12} {3,13} {2,14} {1,15}
25・・・{12,13} {11,14} {10,15} {9,16} {8,17} {7,18} {6,19}・・・・・

条件を満たすようにｎ個の数を並べるには、隣同士が(n-1)箇所あるから、和が平方数になるパターンが(n-1)個必要です。
上記にあげたパターンで、各ｎに対してｎ以下の２数から作られるものが(n-1)個以上あるか順に見ていきます。
（ただし、１つの数は２回までしか使えないので、３回出てきたらパターン数を減らします）

すると、ｎが２から１３までは(n-1)個ないのはすぐに分かります。
ｎ＝14 の場合は、上の表では13個ありますが、1と3が３回でてきますので、やはり不足します。
ｎ＝15 の場合、ちょうど14パターンあり条件を満たし、並べることが可能です。
（配列例）8-１-15-10-6-3-13-12-4-5-11-14-2-7-9

これ位なら順に確かめていっても、そう手間はかからないですね。
　　 10月20日（土） 9:41:45　　 MAIL:cacrh525@hcn.zaq.ne.jp 　　31029
スモークマン
#31029
ダンディ海野さんへ。考えて下さってありがとうございます。Orz〜^^
わたしと同じでした。1回しかでない数が3個以上だとだめ。残りは2回以上でないとだめ。
で、15の次は、、、36=17+19=35+1,49=18+31=35+14 だから、、、35 ?
金光＠岡山　　 10月20日（土） 11:23:38　　 　　31030
ダンディ海野
#31030
スモークマンさん。いつも友人問を楽しませてもらっています。感謝！

「15 の次は、・・35 ?」ですが、15 の次は「16」ですね。(「17」もできますね)
　 1〜16の配列・・・16-9-7-2-14-11-5-4-12-13-3-6-10-15-1-8
　 1〜17の配列・・・17-8-1-15-10-6-3-13-12-4-5-11-14-2-7-9-16
以上 となりました。
　　 10月21日（日） 13:12:37　　 MAIL:cacrh525@hcn.zaq.ne.jp 　　31031
スモークマン
#31031
ダンディ海野さんへ。
あっ、、、そうか、、、16なら、次は25<16+15=31<36 だから、25 の列に、9がでて、
9<8+7=15<16 なので、8は、16の列にでず、しかも、25=8+17 だから、16までは、1回しかでない。16は、25の列しかでないので、8,16が端。
17は、25=17+8=16+9 だから、16,17 が両端になれるんだ。。。^^; Orz〜
金光＠岡山　　 10月21日（日） 14:55:36　　 　　31032
jun
検証できないのですが、折れ線逆折の立体はできないでしょうか。どっちに折っても凹凸がチャラになり底面積３２高さ３の直方体と同じになりはしませんか。
　　 10月23日（火） 0:42:21　　 MAIL:juun2000@hotmail.com 　　31033
fumio
あー、むつかしかった。ははは。
楽しめました。
　　 10月24日（水） 12:50:48　　 　　31034
nno
久しぶりの折り紙工作で、あれこれ考えました。
工作しないで頭の中で作れるようになりたいなぁ。
　　 10月24日（水） 21:28:09　　 　　31035
nno
まもなく次の問題発表という最悪のタイミングで…
x>=0,y>=0,に対し、√x+√y<=k√(x+y) が成り立つときの正の定数kの
最小値を求めよ。
相加相乗？判別式？出来そうで出来ないんです。
時間のある方お助け下さい。
　　 10月24日（水） 22:50:31　　 　　31036
すんだマレ太郎
#31026
他にも誰か海外から挑戦されている方はいませんか？
　　 10月24日（水） 23:29:39　　 　　31037
数楽者
まもなく次の問題発表という最悪のタイミングで…
#31035
x=yの場合を考えて、k=>√２
k=√２のとき、右辺の２乗−左辺の２乗＝（√ｘ−√ｙ）＾２＝＞０
となるので不等号が成立。
ではいかがでしょうか。
横浜　　 10月24日（水） 23:58:34　　 MAIL:iida@ae.keio.ac.jp 　　31038