吉川　マサル
もしかして何か超簡単な方法がありましたでしょうか？オリジナル問題なので不安です...。（過去に出題してたかも...という不安もあります。一応、チェックしましたが）
PowerBook　　 8月23日（木） 0:08:01　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30529
banyanyan
9/8では入れないのですね。
京都市　　 8月23日（木） 0:13:02　　 MAIL:banyanyanmi@yahoo.co.jp HomePage:明るい家族計画−算数　　30530
長野　美光
#30530
同じく

８月２７日より、約７ヶ月。インドネシアに赴任します。
向こうでも、ネットつながればいいのですが。
はままつし　　 8月23日（木） 0:14:50　　 HomePage:ヨッシーの算数・数学の部屋　　30531
吉川　マサル
#30530
　スミマセン、パスワード登録をミスして上書き（最初に9/8を登録→続けて1.125を登録して..）していました。申し訳ありません。

　正解者一覧のほうは、両方とも受け付けているハズです。m(__)m
PowerBook　　 8月23日（木） 0:15:49　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30532
ちゃーみー
tan ● = 1/2 に相当することを導いてあとは面積比などで。
算チャレの図形にしては易しめですね。
自宅　　 8月23日（木） 0:16:20　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　30533
Holly
BからEDに下ろした垂線の足をHとして、
△BHF∽△DHB∽△ADF。
後はBH:DC=1:3 とかを利用しふつうに計算しました。

△DEB∽△ABC を利用した場合は...?
-----
#30535
たしかに、案外使えなそうですね。。
　　 8月23日（木） 0:23:43　　 　　30534
ちゃーみー
#30534 △DEB∽△ABC は最初に気付いたのですが，使えなさそうだったので
使いませんでした。
私は B から CD に垂線を下ろしましたが本質的には同じですね。
自宅　　 8月23日（木） 0:21:58　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　30535
英ちゃん
ＤからＣＥに垂線を下ろし、ＣＥと交わったところをＧとすると、
ＤＧ＝3/2、なので△ＤＥＢ＝3/4。
また、△ＤＥＢとＡＣＢは面積比1:4である相似の図形なので、△ＡＣＢ＝３
ＡからＣＥに垂線を下ろし、ＣＥと交わったところをＨとすると、
面積よりＡＨ＝３となったので、△ＡＥＣが直角二等辺三角形ということに気付き、面積比で9/8と求めました。
居間　　 8月23日（木） 0:22:36　　 HomePage:虚数なページ　　30536
吉川　マサル
一応、私は「折り返し」を想定していました。
PowerBook　　 8月23日（木） 0:23:55　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30537
ヤッコチャ
BCの中点をMとして、DとMを結ぶ。
△DEBと△DCMが合同。∠DAB＝∠CDMより、DM//AB
よって、AD：DC＝1：1 , DF：FE＝1：1
よって、△AFDの面積は、△DECの1/2倍
　　 8月23日（木） 0:26:49　　 　　30538
ＳＥＭＴＥＸ
あまりにも簡単でした
　　 8月23日（木） 0:30:17　　 　　30539
volxa
△DEB∽△ABCからAD+AC=2DEでAD=DC
△EFD∽△CDBからDF=1/2DE
で、△CDEの半分としました。
補助線とか引けない私・・・
　　 8月23日（木） 0:32:08　　 　　30540
おかひで博士
△ＡＢＣと△ＤＢＥが相似なのでＤＥ：ＡＣ＝２：１
ＤＥ＝ＤＣ＝ＡＤとなり、△ＡＥＤも直角二等辺三角形（△ＤＥＣと合同）
メネラウスでＤＦ：ＦＥ＝１：１
３×１.５÷２×１／２＝９／８
兵庫県　　 8月23日（木） 0:33:37　　 　　30541
きょろ文
わすれてた〜〜
相似を二つ使って解きました
√2の隣　　 8月23日（木） 0:37:20　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　30542
アルミニウム
△ＤＥＣが直角二等辺三角形なので、三角比を使ってＤＣの長さを出し、ＦがＤＥの中点だからＤＦの長さを出しました。
また、ＡＤ＝ＤＣだから、ＡＤ×ＤＦ×1/2＝9/8と求めました。
算数の問題に三角比を用いるのは反則ですね。
　　 8月23日（木） 0:39:21　　 　　30543
スモークマン
直角二等辺三角形=3^2/2 の 1/4
3^2/8=9/8
金光＠岡山　　 8月23日（木） 0:42:50　　 　　30544
呑ちゃん
#30529
フォフォフォ。その不安の原因はいつもとんでもない答えを送りつける私が一発正解だったからで酒ね。
ご心配なく。今日こちら関西は夜中の嵐。ピカピカと稲光も・・・。
実は落雷を受け、酔っぱらいの頭にも一瞬閃いたのでした。
では、また。ごきげんよう。
酔っぱらい天国　　 8月23日（木） 0:49:42　　 MAIL:hopes@mba.ocn.ne.jp HomePage:HOPESよいとこ一度はおいで　　30545
ayaka
今回はあきらめたんですが、相似形になることがわかって解いたら簡単でした。
△BCDと△BEFが相似形だということに気づけば、面積比は4:1
△CDEが直角二等辺三角形であることに着目すれば、△BCD、△BEF、△DBEの面積も出ますね。
△BCD=3^2×(1/4)×(2/3)=3/2
△BEF=3/2×(1/4)=3/8
△DBE=3^2×(1/4)-(3/2)=3/4
から、△BDFも求まり、△BDF=3/4-(3/8)=3/8
あとは、△ABCと△DBEが相似であることを利用して、
△ABC=3/4×4=3
∴△ADF=3-(3/2)-(3/8)=9/8
が答え
地上の楽園　　 8月23日（木） 0:52:48　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　30546
ダンディ海野
次の手順で出しました。
(1)BCの中点をGとすると、△DBE≡△DGC 、∠CDG＝∠EDB＝∠A　となり
　　　AD＝DC　、DGとABは平行
(2)DからBCに下ろした垂線の長さは3/2cmだから,△DBC＝(1/2)*2*3/2＝3/2(cm^2)
(3)AD=DCより、△ADB＝△DBC＝3/2　BからEDに垂線BHを下ろすと、
BF:AF＝BH:AD＝BH:CD＝EB:EC＝1:3
(4)よって、△ADF＝△ADB*(3/4)＝(3/2)*(3/4)＝9/8　(cm^2)
　　 8月23日（木） 1:06:51　　 MAIL:cacrh525@hcn.zaq.ne.jp 　　30547
ma-mu-ta
BCの中点をGとし、DGを結ぶと、
△DCG≡△DEBで、∠CDG＝∠EDB＝∠CABより、DG//AB
すると、AD：DC＝BG：GC＝1：1 より、AD＝DCだから、
FCを結ぶと、△AFD≡△CFD
また、EF：FD＝EB：BG＝1：1なので、
△AFD＝△CFD＝△DEC×1/2＝3×3×1/4×1/2＝9/8c��
　　 8月23日（木） 1:52:42　　 　　30548
香取巻男
今回の割とさくさく解けました。どなたか第552回の面積を求める問題の正解のみを教えてください。すっかり迷路にはまり込んでしまいました。
　　 8月23日（木） 11:06:51　　 　　30549
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これはやさしかったのではないかなぁ。どなたかとかぶるとは思いますが一応。

∠BAC = ∠BDE，△DEC は直角二等辺三角形で ∠ACB = 45°= ∠DEB より，△ABC ∽ △DBE で，AC：DE = BC：BE = 2：1 です。
DE = DC なので，AC：DC = 2：1 で，D は AC の中点です。
そこで，C と F を結ぶと，△AFD ≡ △CFD です。これから，△CFD の面積を求めればいいです。
D より AB に平行に線を引いて BC との交点を P とすると，BP：PC = AD：DC = 1：1，BP = 1cm，EF：FD = EB：BP = 1：1 です。
そこで，△CFD = 1/2 * △DEC = 1/2 * 1/2 * 3 * 3/2 = 9/8 cm^2，△AFD = △CFD = 9/8 cm^2 になります。
ネコの住む家　　 8月23日（木） 11:33:37　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30550
香取巻男
先ほどの件ですか、過去ログ見ればわかるだろうとのブーイングを浴びそうですが、その過去ログが見えないのでお願いしました。
　　 8月23日（木） 11:45:47　　 　　30551
uchinyan
掲示板を読みました。う〜む，いろいろな解法があるようです。

#30533
三角関数？

#30534
＞BからEDに下ろした垂線の足をHとして、
＞△BHF∽△DHB∽△ADF。
＞後はBH:DC=1:3 とかを利用しふつうに計算しました。
「ふつう」って何だろう？　
私だったら，面積比とかから AF：FB = 3：1，EF：FD = 1：1 とか出して計算しそうだけど．．．

#30535
＞私は B から CD に垂線を下ろしましたが本質的には同じですね。
これも具体的にはどうやったのかな？　#30533と合わせて考えると，1：2 をうまく使った相似でしょうか。
なお，#30534もそうですが，△DEB ∽ △ABC を利用した場合は，
#30536，#30540，#30541，#30546，私の#30550などのようにやればできます。

#30536
△DEB ∽ △ABC を利用した解法。ただ，私の#30550とは，大分違うようです。
＞△ＡＥＣが直角二等辺三角形ということに気付き、
が，ポイントでしょうか。

#30537
＞一応、私は「折り返し」を想定していました。
皆さんの解法の中にはないようです。どう折り返すのかな？　#30538っぽくやるのでしょうか？

#30538
＞BCの中点をMとして、DとMを結ぶ。
一見違うのですが，実は，私の#30550と似ています。しかし，この方が簡単ですね。

#30540
△DEB ∽ △ABC を利用した解法。
＞△DEB∽△ABCからAD+AC=2DEでAD=DC
AD + DC = 2 * DE の間違いですね。
＞△EFD∽△CDBからDF=1/2DE
△EFB ∽ △CDB の間違いですね。
＞で、△CDEの半分としました。
なるほど。これも，実質，私の#30550と似ていますが，これも簡単かなぁ。
＞補助線とか引けない私・・・
書かないで済むならば，その方がいいのでは ^^

#30541
△DEB ∽ △ABC を利用した解法。
ほぼ私の#30550と同じですが，△AED が直角二等辺三角形であることを使っている点が違っています。

#30542
＞相似を二つ使って解きました
これだけでは分かりませんが，#30540と同じかな？

#30543
三角比を使った解法。

#30544
＞直角二等辺三角形=3^2/2 の 1/4
直角二等辺三角形AEC = 3^2/2 の 1/4，ですね。
具体的にどうやったのかは，さすがに，この式だけでは分からず (^^;

#30546
△EFB ∽ △CDB，△DEB ∽ △ABC を利用した解法。
一つずつ面積を出していく，素直な解法だと思います。

#30547
#30538と#30534を合わせたような解法。

#30548
#30538と同じだと思います。やはり，これが一番簡単かなぁ．．．

なお，今回の問題には関係ないですが，
#30549，#30551
＞どなたか第552回の面積を求める問題の正解のみを教えてください。
答えだけ，ということでしょうか。7/2 cm^2 です。
＞すっかり迷路にはまり込んでしまいました。
確かにこれは難しかった．．．
＞その過去ログが見えないのでお願いしました。
あれ，ホントだ。見えないですね。
マサルさん，どうなっているのでしょうか？
ネコの住む家　　 8月23日（木） 23:42:49　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30552
むらかみ
#30551
3.5です。
ＣＰを延長してＡＢとの交点を点Ｄとすると、ＤＰ：ＰＣ＝1：7
ＰＲの延長線上にＰＡ＝ＰＣ＝ＰＥとなるような点Ｅをとると、△ＡＣＥ≡△ＡＢＰ
以上より、ＢＰ：ＰＲ＝7：6
　　 8月23日（木） 13:43:20　　 　　30553
香取巻男
uchinyanさん　村上さん　早速のフォロー感謝申し上げます。たかが算数、されど算数・・・。解けないと悔しいです。お二方のの詳説参考にさせていただきます。しかし、この手の問題をいとも簡単に解ける小学生は実在するのでしょうか？いや世の中広いですから、かみそりのごとく切れ味鋭い頭脳を持った坊やは実在するのでせう！！　
　　 8月23日（木） 14:08:30　　 　　30554
むらかみ
いるかいないかで言えば、います。
私の教室(小さい個人塾)ですら私より切れ味のある子が毎年います。
　　 8月23日（木） 14:26:59　　 　　30555
小西孝一
相似と余弦定理を使ってしまった。
算数で考えるのは、時間に余裕があるときにします。
今日もログ読んでません。m(_)m
ど田舎　　 8月23日（木） 20:04:50　　 　　30556
馬
#30554

今回の程度の問題でしたら、灘・開成など偏差値70レベルの
私立中学を目指す小学生なら瞬殺でしょう。

灘の一日目の図形問題の方が全然難しいです。

　　 8月24日（金） 1:09:59　　 　　30557
さとけん
#30537
△ADFをDFで折り返し、△CDFとしました。
かいしゃ　　 8月24日（金） 16:38:36　　 MAIL:k-sato@sansu.org 　　30558
スモークマン
#30544
具体的には、、、
△ABC∽△DBE(2:1) から、AD=DC　また、DC=DE から、△DAE は、直角二等辺三角形
つまり、∠DEA=45°, また、∠DEC=45°　から、△AEC は直角二等辺三角形
Dから、ECに平行線を引いて、AB と交わる点をB' とすると、
DB'=1 から、△FDB'≡△FEB なので、FE=FD
結局、△AFD=△AEC*(1/4)=3^2/2*(1/4)=3^2/2^3=9/8
ややこしいか。。。^^;
金光＠岡山　　 8月25日（土） 8:00:23　　 　　30559
吉川　マサル
#30552
　えと、△DECをECを軸に折り返して正方形を作る、という解法を想定していました。

　掲示板の件は少々お待ちを..。m(__)m
iMac　　 8月25日（土） 23:59:29　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30560
2709
かなり久しぶりにきました

＞
　　 8月27日（月） 0:06:54　　 　　30561
2709
下はミスですすみません

＞小学生にも云々
解けると思いますよ
実際私は小学生受験の時期にこのサイトで
リアルタイムで問題といてましたしね

実際ここで算数の実力磨いたようなものですから
私は
　　 8月27日（月） 0:11:29　　 　　30562
def
初めまして。
この場をお借りしてすみません。わたくしごとで申し訳ないのですが今、私が考えている問題(数学です)が高校の範囲で求まるのか、大学以上の範囲になるのか
がわかりません。

xyz空間に4点A(1,1,0)B(-1,1,0)C(-1,-1,0)D(1,-1,0) がある。
点Pが正方形ABCDの周上にありPの原点に関する対称点をQとする。
線分PQを一辺としxy平面に垂直な正方形(内部を含める)Tを作る。
Pが正方形ABCDの周上を一周する時正方形Tが通過する領域の体積を求めよ。
ただし、正方形Tはz≧0の部分にあるとする。

こちらの問題なのですが、z=hで切って計算をしてみたらどうやっても大学の範囲(arcsinの積分)になるようなのですが。因みに答えは4√2+4log(1+√2)になるそうです。(ネットでの拾い問題です)。
　　 8月27日（月） 14:31:11　　 　　30563
uchinyan
#30563
xy平面上で原点 O と P を結んだ OP と x軸 とのなす角をθとします。すると，得られる立体は 0 <= θ <= π/4 の範囲の 8 倍です。
今，θで積分することを考えます。これが，高校の範囲を超えているのかどうか，私には分からないです。
受験に詳しい方，どうなのでしょうか？
立体は，OP を含み xy平面 に垂直な平面，これはθが動く方向に垂直，で切ると，
横 OP = 1/cosθ，縦(z) 2 * OP = 2/cosθ の長方形になります。
積分する断片は，この長方形二つにはさまれたもので，dθの範囲の微小な扇形に縦(z)方向をかけた微小立体になるので，
その体積は，1/2 * OP^2 * dθ * (2 * OP) = OP^3 * dθ = 1/(cosθ)^3 * dθ です。
これを，θ が 0 〜 π/4 で積分したものが，求める立体の体積 V の 1/8 です。
V/8 = ∫[0 〜 π/4] 1/(cosθ)^3 dθ
この積分自体は，高校の範囲でできるのではないのでしょうか。
x = sinθ とおくと，dx/dθ = cosθ，dθ/dx = 1/cosθ，(cosθ)^2 = 1 - (sinθ)^2 = 1 - x^2 なので，
V/8 = ∫[0 〜 1/√2] 1/(1 - x^2)^2 dx
1/(1 - x^2)^2 = 1/4 * {1/(1+x) + 1/(1-x) + 1/(1+x)^2 + 1/(1-x)^2} なので，
V/8 = ∫[0 〜 1/√2] 1/4 * {1/(1+x) + 1/(1-x) + 1/(1+x)^2 + 1/(1-x)^2} dx
V/2 = ∫[0 〜 1/√2] {1/(1+x) + 1/(1-x) + 1/(1+x)^2 + 1/(1-x)^2} dx
= {log(1+x) - log(1-x) - 1/(1+x) + 1/(1-x)} [0 〜 1/√2]
= log(1 + 1/√2) - log(1 - 1/√2) - 1/(1 + 1/√2) + 1/(1 - 1/√2)
= log{(√2 + 1)/(√2 - 1)} - √2/(√2 + 1) + √2/(√2 - 1)
= log{(√2 + 1)^2} + {- √2 * (√2 - 1) + √2 * (√2 + 1)}
= 2log(1 + √2) + 2√2
V = 4√2 + 4log(1 + √2)
ネコの住む家　　 8月27日（月） 17:48:03　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30564
マリナ
簡単すぎですね＾＾；
　　 8月27日（月） 20:57:52　　 　　30565
def
>30564　ushinyan氏
解答ありがとうございます。極座標ですね。因みに高２です。
非常に申し上げにくいのですがPQが正方形の対角線のときと誤読して解いてました。このケースだと
＞dθの範囲の微小な扇形に縦(z)方向をかけた微小立体になるので
で近似はできないですよね。
　　 8月27日（月） 21:40:39　　 　　30566
def
追記です。>30666で言ったこのケースで解くとは
z軸上にOP=ORとなる点Rをとり点Pをx=1,0≦y≦1上を動くように定めれば求める体積は△OPRの通る体積×8。
>dθの範囲の微小な扇形に縦(z)方向をかけた微小立体になるので，
で考えると三角柱(?)となる。実際この近似は直感的すぎて三角錐なのか三角柱なのかよくわかりませんが、これで計算して求めるということです。
　　 8月27日（月） 21:54:24　　 　　30567
def
>30564　ushinyan氏
解答ありがとうございます。極座標ですね。因みに高２です。
非常に申し上げにくいのですがPQが正方形の対角線のときと誤読して解いてました。このケースだと
＞dθの範囲の微小な扇形に縦(z)方向をかけた微小立体になるので
で近似はできないですよね。
　　 8月27日（月） 22:45:26　　 　　30568
大岡　敏幸
久しぶりに来ました（＾＾）　やはり仕事疲れの一服には算チャレが一番ですね（個人的には解けない時の方が多いのですが・・・。）△ＤＥＣ＝３　
△ＡＢＣ∽△ＤＥＢ　　△ＤＢＣ∽△ＦＥＢ　後は面積比１：４を使って
３＋３／８−９／４＝９／８　今回は解きやすくて助かりました（＾＾）
Ｐ．Ｓ　たまに「ア○○○○○！」は良いですね（＾＾）Ｖ
石川県　　 8月27日（月） 23:20:15　　 　　30569
小西孝一
携帯かいました。ｐａｓｓｗｏｒｄが＊で表示されて何入れてるのか
よくわかりませんでした。
ただそれだけ。すまそ。m(_)M
ど田舎　　 8月28日（火） 5:59:37　　 　　30570
uchinyan
#30563，#30566，#30567他
なるほど。#30566，#30567のような場合は，また異なってきますね。

えと，#30563に戻って。誤読なされていたとのことなのでそのせいだと思いますが．．．
z では arcsin の積分が出てくるとのことでしたのでθでの積分を考えましたが，z で考えてもそうはならないようです。

まず，得られる立体は，P が 正方形の辺の (1,0,0) と A(1,1,0) とにある場合の 8 倍です。
PQ でできる正方形の縦(z)の長さは，P = A のとき最大で 2√2，P = (1,0,0) のとき最小で 2 です。
これを踏まえて，z軸に垂直な平面で切って考えます。
・0 <= z <= 2 のとき
明らかに断面は 2 * 2 の正方形で，体積 v1 は v1 = 2 * 2 * 2 = 8 になります。
・2 <= z <= 2√2 のとき
P が A(1,1,0) と (1,0,0) の範囲で考えて，後で 8 倍します。
すると断面は，△PAO と合同な三角形です。
OP = z/2，cosθ= 1/OP = 2/z，OA = √2 なので，
△PAO = 1/2 * OP * OA * sin(45-θ) = 1/2 * z/2 * √2 * (1/√2 * cosθ - 1/√2 * sinθ)
= 1/2 - 1/2 * z/2 * √(1 - (2/z)^2) = 1/2 - 1/4 * √(z^2 - 4)
そこでこの範囲の 1/8 した体積 v2 は，
v2/8 = ∫[2 〜 2√2]{1/2 - 1/4 * √(z^2 - 4)}dz = (√2 - 1) - 1/4 * ∫[2 〜 2√2] √(z^2 - 4)}dz
ここで，第二項の積分ですが．．．これは，ぎりぎり高校の範囲かな。
幾つか方法があります。まぁ，知らないと厳しいですが，一番簡単な方法で。
I = ∫√(z^2 - 4)dz
部分積分で
I = ∫√(z^2 - 4)dz = z * √(z^2 - 4) - ∫z^2/√(z^2 - 4)dz = z * √(z^2 - 4) - ∫4/√(z^2 - 4)dz - I
I = 1/2 * {z * √(z^2 - 4) - 4 * ∫1/√(z^2 - 4)dz}
最後の積分は，t = z + √(z^2 - 4) とおくと，dt/dz = 1 + z/√(z^2 - 4) = t/(t-z), dz/dt = (t-z)/z なので，
∫1/√(z^2 - 4)dz = ∫1/(t-z) * (t-z)/t dt = ∫1/t dt = log(t) = log(z + √(z^2 - 4))
そこで，
I = 1/2 * {z * √(z^2 - 4) - 4 * log(z + √(z^2 - 4))}
これより，
v2/8 = (√2 - 1) - 1/4 * [1/2 * {z * √(z^2 - 4) - 4 * log(z + √(z^2 - 4))}][2 〜 2√2]
= (√2 - 1)
- 1/4 * [1/2 * {2√2 * √(4) - 4 * log(2√2 + √(4))} - 1/2 * {2 * √(0) - 4 * log(2 + √(0))}]
= (√2 - 1) - 1/4 * {2√2 - 2 * log(2√2 + 2) + 2 * log(2)}
= 1/2 * √2 - 1 + 1/2 * log(√2 + 1)
そこで 8 倍して
v2 = 4√2 - 8 + 4log(√2 + 1)
以上より，二つの場合を足して，
V = v1 + v2 = 4√2 + 4log(√2 + 1)
になります。

z でやってできるのだから，この方がいいでしょうね。
ネコの住む家　　 8月28日（火） 11:30:24　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30571
uchinyan
#30571
＞なるほど。#30566，#30567のような場合は，また異なってきますね。
と書きましたが，#30564風に考えると，縦(z)は半分で三角すいもどきで近似することになると思うので，単に 1/6 すればいいのかな。
ネコの住む家　　 8月28日（火） 14:19:58　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30572
def
何かと私は勘違いしてるのでしょうか
点Qは点Oに関する点のP(1,t,0) (0≦t≦1)の対称点だから点P、Q以外の他の点はZ軸上にある。その一点Rをz軸正上にOR=OQ=OP=√(1+t^2)なるR(0,0,√(1+t^2))とおく。
求める体積は点PがOからAまで動くとき△OPRの通る領域の体積の16倍である。
線分PR上の点をWとすると(ベクトルを→で表記)
OW→=OP→+kPR→=(1,t,0)+k(-1,-t,√(1+t^2)) (0≦k≦1,0≦t≦1)
z=hのときk√(1+t^2)=h⇔k=h/√(1+t^2)。0≦k=h/√(1+t^2)≦1より0≦h≦√(1+t^2)
このときOW→=(1-h/√(1+t^2),t(1-h/√(1+t^2)),h)
hを固定させて0≦Y≦XからWとx軸で囲まれる領域を取り除いた領域が切断面である。。
とくにz=hでのWのx,y座標をそれぞれX,Yとする。
X=1-h/√(1+t^2),Y=t(1-h/√(1-t^2))
前者から(1+t^2)(1-X)^2=h^2,X=1のときh=0。X≠1のとき0≦X＜1。*t=√(h^2-(1-X)^2/(1-X)。
*tの存在条件よりh^2-(1-X)^2≧0⇒1-h≦X＜1
Y=tX=X√(h^2-(1-X)^2/(1-X)・・・��
{0≦Y≦X 、0≦X<1}・・・��
��,�△鯔�たす領域が点Wの動く領域である。
Y=Xのときt=1ゆえY=X=1-h/√2
(i)0≦h≦1のとき1-h≦X≦1-h/√2
(ii)1≦h≦√2のとき0≦X≦1-h/√2

(i)のとき点WがX軸に囲まれる領域の面積をSとおくと
S=∫[1-h,1-h/√2]YdX
1-X=X’とおいて置換して-dX=dX’, X’ h → h/√2
S=∫[h/√2 ,h] (1-X)√(h^2-X^2)/X dX =∫[h/√2 ,h]√(1-X^2)/X - √(h^2-X^2) dX
以下計算を続けるとhで積分するときsinα=√(h^2-1)/hとするときαをhで積分する項があらわれたのですが。

ルートやら分数がいっぱいあるのでtexでまとめてみます。
　　 8月28日（火） 16:50:25　　 　　30573
def
訂正　３行目
求める体積は点Pが(1,0,0)からA(1,1,0)まで動くとき
　　 8月28日（火） 17:05:37　　 　　30574
uchinyan
#30573
う〜ん，何か基本的に違った問題を解かれているような気がします。
これは，#30563ではなく，#30566や#30567による別な問題を考えている，と思っていいのでしょうか？
それならば，私も少し考えてみましたが，z の積分で arcsin 又は arccos が出そうというのも分かります。
それとも，#30563と，#30566や#30567が同じだとお考えでしょうか？
それは違うと思います。
特に，
＞点Qは点Oに関する点のP(1,t,0) (0≦t≦1)の対称点だから点P、Q以外の他の点はZ軸上にある。
とか
＞求める体積は点Pが(1,0,0)からA(1,1,0)まで動くとき△OPRの通る領域の体積の16倍である。
とかが，どうしてなのか，よく分からないです。
ネコの住む家　　 8月28日（火） 21:21:03　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30575
def
はい、えーと恥ずかしながら結局質問したかった問題はPQが正方形Ｔの対角線になるときという>30563とは違った問題のことになります。
＞それとも，#30563と，#30566や#30567が同じだとお考えでしょうか？
はい、30563のPQが一辺となる場合と対角線となる場合ではまったく別な問題になりますね。申し訳ありません。
　　 8月28日（火） 22:44:22　　 　　30576
def
>特に，
＞点Qは点Oに関する点のP(1,t,0) (0≦t≦1)の対称点だから点P、Q以外の他の点
はZ軸上にある。
とか
＞求める体積は点Pが(1,0,0)からA(1,1,0)まで動くとき△OPRの通る領域の体積の16倍である。
とかが，どうしてなのか，よく分からないです。

>uhinyan氏
メール添付で画像を送りました。
　　 8月28日（火） 23:18:14　　 　　30577
uchinyan
#30576，#30577
了解です。メールは後で見ますね。

結局，異なる問題でいいならば，#30575で書いたように，z での積分で arcsin 又は arccos が出てくるのは正しいと思います。
その意味では，高校の範囲を超えていると思います。

ただし，#30572で書いたように，
#30564風に考えると，縦(z)は半分の三角すいもどきで近似することになり，最初の問題の答えを単に 1/6 倍すればいいようです。
これは，ぎりぎり高校の範囲かなという考え方ですが，若干，議論があいまいかもしれません。
より厳密には，大学レベルになってしまいますが，円筒座標，多重積分による領域の積分などの業を使えば，同じになるようです。
ネコの住む家　　 8月29日（水） 7:43:29　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30578
def
>30578 uchinyan氏
xy平面からの高さが1以下のときPQがTの対角線となる場合は高校範囲内ということですかね。
http://www.kent-web.com/pubc/book/test/uploader/uploader.cgi?mode=downld&no=237

1≦z=h≦√2のとき∫[1→√2]h^2arccos(1/h)dhは避けられないようなので
　　 8月29日（水） 13:53:22　　 　　30579
uchinyan
#30579
詳しい計算，ありがとうございます。
(i)は私の計算と同じです。しかし，(ii)が α = arccos(1/h) が出るのは同じですが，全体として少し違うようです。
S' が h = 1 で不連続になっています。これは明らかにおかしいです。積分範囲がおかしくないかなぁ．．．？
ネコの住む家　　 8月29日（水） 21:55:04　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30580
uchinyan
#30578，#30579，#30580
#30580で指摘した修正を施して得られる
0 <= z <= 1, S' = 1/2 - z * log(√2 + 1) + π/8 * z^2
1 <= z <= √2, S' = 1/2 - 1/2 * √(z^2 - 1) - z * log(√2 + 1) + z * log(z + √(z^2 - 1)) + π/8 * z^2 - 1/2 * z^2 * arccos(1/z)
を使って，z の積分を z >= 0 の範囲，def さん想定の半分かな，で，ゴチャゴチャやってみました。
arccos の部分も部分積分をうまく使うと，ギリギリ高校の範囲かな，という感じできるようです。
結果は，(2√2 + 2log(1 + √2))/3 になりました。
やはり，最初の#30563の答え，4√2 + 4log(1 + √2)，の 1/6 倍のようです。
ネコの住む家　　 8月29日（水） 23:41:29　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30581