まるケン

昼間のV3の問題も「０から９」な問題だったので、ちょうどプログラムをいじってました。 なので、それをちょっとだけ修正して、、、 なので、算数で解いてません。 もうちょっと考えてみます。

11月23日（木） 0:14:11　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　28732

Ｓｈiｎ　Ｋoｂa

お身内にご不幸がおありだったとのこと。 謹んでお悔やみ申しあげます。

11月23日（木） 0:18:26　　 　　28733

議長

まず、最初のケタを０と仮定します。次のケタは２～８の７通り。 そのうち特殊なのは２と８。 まずは、０→２のパターンで考えます。２の次は４～９の６通りで、最後のケタは９以外は５通り、９は６通り。 つまり、０→２のパターンは５＊５＋６＝３１通り。０→８も合わせて６２通り。（Ａ） ０の次が特殊でないパターンを次に考えます。０→３のパターンでは、３の次は１と５～９の６通りで、最後のケタは１と９以外は５通り、１と９は６通り。 つまり、０→３のパターンは５＊４＋６＊２＝３２通り。０→４～８も考えると１６０通り。（Ｂ） （Ａ）と（Ｂ）の二つで最初のケタが０の全ての組み合わせだから、答えは、（６２＋１６０）＊１０＝２２２０通り。 十角形をかいて、各頂点ごとに０～９を振って考えるやり方がスマートなのかなとも思いましたが。

11月23日（木） 0:25:10　　 　　28734

2&6

はじめて書き込みさせていただきます。今後とも宜しくお願い致します。 まずはじめに謹んでお悔やみ申し上げます。 いつも楽しい出題本当にありがとうございます。普段指導する一方で自ら頭をひねって考えることが少なかったのでこのサイトがほんとによい刺激となっております。

11月23日（木） 0:42:24　　 　　28735

吉川　マサル

ただいま、帰宅しました。m(__)m 　今日の問題は、実は来年の2/22日用にとっておいたものを出題しちゃったものです。(^^;　いえ、友人が突然呑みたいと現れたもので...。 　実はこれは、某大学の入試問題（2000年のもの）を改題したものです。一応、10*7*6*5 + 10 *2*6 =2220、というのを想定していました。っていうか、私はそうやって解きました。(^^;

PowerBook　　 11月23日（木） 1:10:29　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　28736

吉川　マサル

その同じ大学の同じ年度の入試問題で、こんなのがありました。 O(0,0),C(5,0)とする。A,Bを第１象限にとって、四角形OABCをとる。OA=a,AB=2,BC=3であるとき、ベクトルOBとベクトルACの内積をaを用いて表せ。 これ、私は角度を２つ（∠AOBと∠BCO）文字でおいて計算したのですが、もっと簡単な方法はありませんでしょうか...？

PowerBook　　 11月23日（木） 1:15:07　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　28737

ゴンとも

30分前から寝てしまいましたが十進basicで一発正解! プログラムですぐにできる問題だけに残念でした。 FOR a=0 TO 9 FOR b=0 TO 9 IF ((b=a) OR (b=a+1) OR (a=b+1) OR (b=a+9) OR (a=b+9)) THEN GOTO 30 FOR c=0 TO 9 IF ((c=a) OR (c=b) OR (c=b+1) OR (b=c+1) OR (c=b+9) OR (b=c+9)) THEN GOTO 20 FOR d=0 TO 9 IF ((d=a) OR (d=b) OR (d=c) OR (d=c+1) OR (c=d+1) OR (d=c+9) OR (c=d+9)) THEN GOTO 10 LET x=1000*a+100*b+10*c+d print x 10 NEXT d 20 NEXT c 30 NEXT b 40 NEXT a END

豊川市　　 11月23日（木） 1:18:15　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　28738

ゴンとも

#28736 >某大学の入試問題（2000年のもの）を改題したものです。 東大理科前期5番の(1)だと思います。違ってたらすみません。 これだったらこっちの方が難しいと思います。 あといつも算数でなくてすみません。算数だと時間がかかるので・・・

豊川市　　 11月23日（木） 1:42:14　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　28740

まるケン

おはようございます。 昨夜は、昼間のVer3で使ったプログラムをいじって、珍しく上位入賞！ （６位に入るなんて、何年ぶりかなぁ、、、） でも、悔しいので今朝、算数で解きなおしました。 #28736 > 10*7*6*5 + 10 *2*6 =2220 うぅむ、さっぱりわからん、、、 私のは、芸の無い数え上げです。 ４カード：　１０通り×　２通り＝　　２０通り。 ３カード：　５０通り×　４通り＝　２００通り。 ２ペア　：　２５通り×　８通り＝　２００通り。 １ペア　：１００通り×１２通り＝１２００通り。 バラ　　；　２５通り×２４通り＝　６００通り。 計２２２０通り。 夕べのプログラムはこんな感じ。 require 'perm' n = 0 perm((0..9).to_a, 4) do |a| 　next if((a[0] - a[1]) == 1) 　next if((a[1] - a[0]) == 1) 　next if((a[1] - a[2]) == 1) 　next if((a[2] - a[1]) == 1) 　next if((a[2] - a[3]) == 1) 　next if((a[3] - a[2]) == 1) 　next if((a[0] - a[1]) == 9) 　next if((a[1] - a[0]) == 9) 　next if((a[1] - a[2]) == 9) 　next if((a[2] - a[1]) == 9) 　next if((a[2] - a[3]) == 9) 　next if((a[3] - a[2]) == 9) 　n += 1 end p n 'perm'は別ファイルの、順列を吐き出すイテレータです。

11月23日（木） 6:43:36　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　28741

uchinyan

はい、こんにちは。今回の問題ですが．．．難しい．．． いくつかの方法でトライしたのですが一致せず、最終的にはプログラムでチェックして、一致したものを自分の中で正解としました。 取り敢えず、正解にたどり着いた解法です。実は最初に思いついた地道な解法。 まず、最上位の桁、四桁目、は何でもいいので 10 通り。 三桁目は、四桁目と続いてはならないので、10 - 1 - 2 = 7 通り。しかし、この後の状況で場合分けが発生します。 説明の都合上、四桁目が 0 の場合を考えます。これを考えて、後で 10 倍すればOKです。 すると、二桁目は、10 - 2 - 2 = 6 通りですが．．． (1) 三桁目が 2 の場合 (1-a) 二桁目が 9 の場合 一桁目は、0 は既に使われているので 10 - 3 - 1 = 6 通りが可能です。 (1-b) 二桁目がそれ以外の場合 一桁目は、10 - 3 - 2 = 5 通りが可能です。 (2) 三桁目が 8 の場合 (2-a) 二桁目が 1 の場合 一桁目は、0 は既に使われているので 10 - 3 - 1 = 6 通りが可能です。 (2-b) 二桁目がそれ以外の場合 一桁目は、10 - 3 - 2 = 5 通りが可能です。 (3) 三桁目がそれ以外、3, 4, 5, 6, 7 の場合 (3-a) 二桁目が 1 又は 9 の場合 一桁目は、0 は既に使われているので 10 - 3 - 1 = 6 通りが可能です。 (3-b) 二桁目がそれ以外の場合 一桁目は、10 - 3 - 2 = 5 通りが可能です。 これですべてです。ちょっと分かりづらいかな、と思いますが、結局、 10 * (2 * (1 * 6 + 5 * 5) + 5 * (2 * 6 + 4 * 5)) = 10 * (2 * 31 + 5 * 32) = 10 * 222 = 2220 通り になります。 要は、二桁目で四桁目と連続する数字が取れると、一桁目の選び方が一つ増える、というのがポイントですね。 これ以外の解法は、数え違いをしているようで合わないのですが、もう少し検討して、うまくいったら報告致します。

ネコの住む家　　 11月23日（木） 12:26:17　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28742

uchinyan

他の解法、やっと、正解と一致しました (^^; #28742の解法を(解法1)としておきます。 (解法2) まず、0 ～ 9 の数字が続く組み合わせは、 二つの場合 01, 34 など、三つの場合 234, 789 など、四つの場合 1234, 7890 など、いずれも 10 通りです。 さて、すべての可能な四桁の数 abcd は 0 ～ 9 を並べればいいので、10 * 9 * 8 * 7 = 5040 通り。 次に、abcd で数字が二つ続く場合は、ab, bc, cd の三箇所に数字が増える方向又は減る方向に現れて、 それ以外は何でもいいので、10 * 3 * 2 * 8 * 7 = 3360 通り。 しかし、これには、数字が三つ続く場合、数字が四つ続く場合、1287 のように続きがペアになる場合が重複しています。 数字が三つ続く場合は、abc, bcd となる場合で、数字が二つ続く場合の中に二つずつ重複しています。 これは、一回分で 10 * 2 * 2 * 7 = 280 通り なので、これを引きます。 また、続きがペアになる場合 ab cd も、数字が二つ続く場合の中に二つずつ重複しています。 これは、ab を選ぶと cd に a, b が入れないことに注意して、一回分で 10 * 2 * 7 * 2 = 280 通り で、これも引きます。 しかし今度は、数字が四つ続く場合 abcd が、数字が二つ続く場合の中に三つずつ入っていたのですが、 数字が三つ続く場合で二つずつ、続きがペアになる場合で一つずつ入っているので、相殺されてしまい、 引きすぎているので、これの一回分 10 * 2 = 20 通りを足します。 したがって、結局、数字が二つ以上続く場合は、3360 - 280 - 280 + 20 = 2820 通りで、 求めるものは、これを全体から引いて、5040 - 2820 = 2220 通り、になります。 (解法3) これは、(解法2)の方向ですが、数字が二つ以上続く場合を、数字が二つだけ続く場合などに分けて、(解法1)風に数える方法です。 面倒なので、結果だけを示します。 全体：10 * 9 * 8 * 7 = 5040 数字が四つ続く場合：10 * 2 = 20 数字が三つだけ続く場合：10 * 2 * 2 * 6 = 240 数字が二つだけ続く場合： 12xx 型：：10 * 2 * (1 * 6 + 6 * 5) = 720 xx12 型：：10 * 2 * (1 * 6 + 6 * 5) = 720 x12x 型：：10 * 2 * (1 * 7 + 6 * 6) = 860 1278 型：：10 * 2 * (1 * 1 + 6 * 2) = 260 合計：：720 + 720 + 860 + 260 = 2560 数字が二つ以上続く場合：2560 + 240 + 20 = 2820 求める場合：5040 - 2820 = 2220 通り 帳尻が合ったのはうれしいですが、いずれにせよ、あまりうまい解法ではないですね。

ネコの住む家　　 11月23日（木） 13:59:08　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28743

スモークマン

やっと入れた。。。(^^; 0～9 までを円上におき、１個目を0 を選び、２個目を、08,07,06,05 とした場合で数え上げました。。。 08 のとき、32 通り。・・・円の対称性より、2通り。 07 のとき、32通り。・・・2通り。 06 のとき、31通り。・・・2通り。 05 のとき、32通り。・・・1通り。 最初の数の選び方は、10通りなので、 合計=10*(2*(32+32+31)+32)=2220 うまい方法は掲示板で勉強します～(^^)

金光　　 11月23日（木） 14:23:43　　 　　28744

uchinyan

掲示板を読みました。 #28734 私の#28742の解法と同じ。 ＞十角形をかいて、各頂点ごとに０～９を振って考えるやり方がスマートなのかなとも思いましたが。 なるほど。こう考えるとうまくいくのかな？ #28736 ＞一応、10*7*6*5 + 10 *2*6 =2220、というのを想定していました。っていうか、私はそうやって解きました。(^^; ふむ。これもどうやるんだろう。一項目はナイーブな計算っぽいから、二項目がミソなのかな。 あ、そうか！　私の#28742の解法で指摘した ＞要は、二桁目で四桁目と連続する数字が取れると、一桁目の選び方が一つ増える、というのがポイントですね。 これそのもののような．．． まずは、こうした状況を考えないと、明らかに、10 * 7 * 6 * 5 通り。 二桁目で四桁目と連続する数字が取れる場合は、一桁目が 1 通りずつ増えます。 そしてこれが可能なのは、mod 10 で、 「三桁目 = 四桁目 + 2 かつ 二桁目 = 四桁目 - 1」又は「三桁目 = 四桁目 - 2 かつ 二桁目 = 四桁目 + 1」の場合の 2 通り 三桁目 = それ以外(10 - 1 - 2 - 2 = 5 通り) かつ　二桁目 = 四桁目 + 1 or 二桁目 = 四桁目 - 1 の場合の 5 * 2 通り で、まとめると、10 * (2 + 2 * 5) = 10 * 2 * 6 通り。 これらを合わせて、10 * 7 * 6 * 5 + 10 * 2 * 6 通り。 でも、ちょっと、式の導出が苦しいか．．． 多分、これをもっとうまくやるのでしょう ^^; #28738, #28741 プログラム。まぁ、プログラム組めば簡単ですね。 #28741 計算は追えてませんが、数え上げたとのこと。私の#28743の(解法3)の裏返しのような解法かな。

ネコの住む家　　 11月23日（木） 16:34:39　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28745

uchinyan

#28744 この解法って、 #28734 ＞十角形をかいて、各頂点ごとに０～９を振って考えるやり方がスマートなのかなとも思いましたが。 と同じなのかな？

ネコの住む家　　 11月23日（木） 14:52:06　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28746

uchinyan

#28737 よく分かりませんが、ナイーブに計算したらこんなになりましたが．．． ベクトルXX = vXX などと書くことにします。 vOA = va, vOB = vb, vOC = vc とすると、vAB = vb - va, vBC = vc - vb, vAC = vc - va なので、 vAB・vAB = (vb - va)・(vb - va) = vb・vb - 2(va・vb) + va・va = vb・vb - 2(va・vb) + a^2 vBC・vBC = (vc - vb)・(vc - vb) = vc・vc - 2(vc・vb) + vb・vb = 25 - 2(vc・vb) + vb・vb 一方で、 vAB・vAB = |vAB|^2 = AB^2 = 4 vBC・vBC = |vBC|^2 = BC^2 = 9 なので、 vb・vb - 2(va・vb) + a^2 = 4 25 - 2(vc・vb) + vb・vb = 9 これらの式の両辺を引いて - 25 + 2(vc・vb) - 2(va・vb) + a^2 = - 5 2(vc - va)・vb = 20 - a^2 (vc - va)・vb = 10 - a^2/2 vc - va = vAC, vb = vOB だったので、 ｖAC・vOB = 10 - a^2/2 何か勘違いしてるのかな？ ＞もっと簡単な方法はありませんでしょうか...？ 算数で、少なくとも初等幾何で、ということでしょうか？

ネコの住む家　　 11月23日（木） 16:25:43　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28747

吉川　マサル

#28747 　なるほど、普通に連立方程式チックに解くことも可能でしたか。私の方法と計算量はさほど変わらない感じですね。 　いえ、この問題は某私大の入試問題だったんですが、大問の(1)で、しかもさらっと書いてあるもので、「小手調べ」的な感じで配置されていたので、もっとラクショーに解く方法があるのではないかと思いまして....。お騒がせいたしました。m(__)m

PowerBook　　 11月23日（木） 16:34:44　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　28748

ハラギャーテイ

プログラムです。MATLABです。 ミスばかりです。

山口　　 11月23日（木） 16:48:58　　 HomePage:制御工学に挑戦　　28749

uchinyan

#28748 ＞私の方法と計算量はさほど変わらない感じですね。 マサルさんの解法はどんな感じなのですか？　座標かな？ なお、今回の問題の、 ＞一応、10*7*6*5 + 10 *2*6 =2220、というのを想定していました。っていうか、私はそうやって解きました。(^^; もご教示頂けるとうれしいです m(__)m 私の拙い類推だけでは、皆さん納得しないでしょうし (^^;

ネコの住む家　　 11月23日（木） 17:30:13　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28750

吉川　マサル

#28750 > マサルさんの解法はどんな感じなのですか？　座標かな？ 　えと、A(s,t),B(u,v)とおいて、条件式を作る方法と、∠AOB = α、∠BCO = βなどとおいて、A(a cosα、a sinα）,B(5-cosβ、sinβ）とする方法です。まぁ、どちらも暗算で解けるわけではないけれど、激ムズというわけでもない..という感じでした。 >＞一応、10*7*6*5 + 10 *2*6 =2220、というのを想定していました。っていうか、私はそうやって解きました。(^^; > もご教示頂けるとうれしいです m(__)m 　基本的にはUchinyanさんとほぼ同じです。以下、４ケタの数をABCDとすると、 　前半は、「Aで使える数は10通り、BはAで使った数とその両隣をひいた7通り、CはA,Bで使った数とBの両隣をひいた6通り、同様にしてDは5通り」だから10*7*6*5=2100という感じです。 　ただ、これだと、5→1→4→(2,6,7,8,9,0)のように、CでAに隣接している数を選んだ場合、Dで使える数字が5通りではなく6通りとなります。というわけで、このような場合は、前半の計算では数え落としをしているので、その数を計算したのが後半です。 　具体的には、「Aは10通り、CはAに隣接している2通り、BはA,Cおよびそれらに隣接した数を除いた6通り」として、10*2*6=120通りとしています。 　で、合計が2220通り、という感じで考えました。

PowerBook　　 11月23日（木） 20:11:59　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　28751

スモークマン

#28746 10角形で、2番目の点を対称性を考え、半分だけ振った時になるのでしょうかしら？いずれにしてもわたしのは数え上げです・・・(^^;; 以前の考え方は間違ってるようで削除しました。。。Orz 補題：1～7 までの数を重複許さず3個並べるとき、隣りあう数にならないような場合の数は？ これもいい考え浮かばず・・・数え上げました。。。(^^; 2個並んでいる場合。6通り。 12・　と　・21　は対応。 12・・・4 23・・・4 34・・・4 45・・・4 56・・・4 67・・・5 ・12　と　21・　は対応。 ・12・・・5 ・23・・・4 ・34・・・4 ・45・・・4 ・56・・・4 ・67・・・4 つまり、(25+25)*2=100 3個連続する場合は、5＊2=10 合計：110 結局、バラの時は、7*6*5-110=210-110=100 通り。になりました。 #28751 マサルさんへ。 ＞一応、10*7*6*5 + 10 *2*6 =2220、というのを想定していました。っていうか、私はそうやって解きました。(^^; ほんの少しだけわかったような？ 10*7*6*5 は、最初の数の次に両隣を含んでない時で、 10*2*6 は、最初の数の次にその両隣の数を含む時なんでしょうけど、、、 いまいちピンときてません・・・(^^;; と、投稿しようとしたら、、、マサルさんの回答が！ >具体的には、「Aは10通り、CはAに隣接している2通り、BはA,Cおよびそれらに隣接した数を除いた6通り」として、10*2*6=120通りとしています。 D のところは考えなくていいのかな・・・？ まだ消化しきれてません。(^^;

金光　　 11月24日（金） 17:50:54　　 　　28752

uchinyan

#28751 解説ありがとうございます。 ＞えと、A(s,t),B(u,v)とおいて、条件式を作る方法と、∠AOB = α、∠BCO = βなどとおいて、A(a cosα、a sinα）,B(5-cosβ、sinβ）とする方法です。 私の想像していた解法と同じようです。確かにやればできるという範囲ですね。 今回の問題の方は、確かに、私の#28742や#28745の類推と考え方は同じようです。

ネコの住む家　　 11月23日（木） 21:15:27　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28753

uchinyan

#28752 解説ありがとうございます。 ふむ。十角形にしても、図として整理できる利点はあるものの、あまり簡単にはならないようですね．．． ＞D のところは考えなくていいのかな・・・？ D は、私の#28745の「一桁目」に当たりますが、マサルさんの第二項は、D が 1 通り追加される場合を考えており、常に 1 通りです。

ネコの住む家　　 11月23日（木） 21:33:13　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28754

圭太

600通りの呪縛からなかなか離れれなかった。＿|￣|○

アルビレックス　　 11月24日（金） 6:26:42　　 HomePage:圭太の研究所　　28755

25no12

四桁の数字をabcdとして、a⇒b⇒c⇒dの順に進んでいくイメージで、次に進むときに選べるのは0～9のうち、自分自身と両隣を除く7通り。 0と9も隣合っているから最初の数字が何であれbcdに選べる数字の組み合わせの数は同じ。 あとは、既に選んだ数字が両隣に入る場合を除外する必要があって、cがaの両隣の場合（dが7-1=6通り）とそうでない場合（dが7-2=5通り）で場合分けができて、これらを足して10倍してできあがり、って感じで解いてみました。 10x(1x(5x5+1x6)+1x(5x5+1x6)+5x(4x5+2x6))=2,220 地道ですね・・・(^-^; 吉川マサルさんの解答、スマート、さすがです！！

11月24日（金） 18:20:34　　 　　28756

uchinyan

#28752 ＞以前の考え方は間違ってるようで削除しました。。。Orz 実は、以前のお考えの方向での計算をやってみました。簡単ではないのですが、次のようになるようです。 十角形の頂点に反時計回りに 0 ～ 9 の数字を振ります。 題意を満たす四桁の数を abcd とします。 a は何でもいいので 10 通り。以下、a を 0 に固定して考え、その結果を 10 倍します。 ・c = 1, 9 となる場合 十角形では、c が a の左右どちらかの隣に来る場合です。 c = 1 の場合と c = 9 の場合は、対称性より同じです。 図をにらみながら考えると、b は a, c の隣には来れないので 6 通り。 さらに d は、c の空いてる隣に来れないだけなので、各 b に対して 6 通りずつあります。 そこで、2 * 6 * 6 = 72 通り。 ・d = 1, 9 となる場合 十角形では、d が a の左右どちらかの隣に来る場合です。 d = 1 の場合と d = 9 の場合は、対称性より同じです。 ただし、c = 9, 1 となる場合は既に数えているので除きます。 先ほどと同様に考えればいいのですが、今度は場合分けが発生し、あまり簡単ではなく、図をにらみながら数えると、 2 * (1 * 5 + 1 * 4 + 4 * 3 + 1 * 4) = 2 * 25 = 50 通り。 ・それ以外の場合 c, d が a の隣に来ない場合で、b も a の隣に来ないので、#28752の ＞補題：1～7 までの数を重複許さず3個並べるとき、隣りあう数にならないような場合の数は？ になります。もっとも、折角の十角形の図なので元の b, c, d = 2 ～ 8 で図を見ながら考えました。 しかし、私もあまりうまい方法を思いつかず、結局、図をにらみながら地道に数えたところ、 b = 2, 8 : 2 * (4 * 3 + 1 * 4) = 32 通り b = 3, 7 : 2 * (3 * 3 + 1 * 4) = 26 通り b = 4, 5, 6 : 3 * (2 * 3 + 2 * 4) = 42 通り 結局、32 + 26 + 42 = 100 通り。 これは、スモークマンさんの結果と一致しているようです。 以上で、場合分けはすべてです。結局、求めるものは、 10 * (72 + 50 + 100) = 10 * 222 = 2220 通り になります。 正解は出たものの、少なくともこの考え方では、かえって面倒です．．． なお、漸化式まがいの解法も考えてみましたが、やはりいまひとつかな。 ポイントは、マサルさんの考え方 or 私の#28742の解法で指摘したことです。 ただ、一般化は簡単ではなさそうなので、一般式ではなく、四桁までの単なる数え上げです。 計算結果だけ書いておきます。 n 桁、ただし n = 1, 2, 3, 4 の場合だけ！、の連続した数字が一つでも隣り合う場合の数を f(n)、一つも隣り合わない場合の数を g(n) とすると、 f(1) = 0 g(1) = 10 f(2) = f(1) * 9 + g(1) * 2 = 0 * 9 + 10 * 2 = 0 + 20 = 20 g(2) = 10 * 9 - f(2) = 90 - 20 = 70 f(3) = f(2) * 8 + g(2) * 2 = 20 * 8 + 70 * 2 = 160 + 140 = 300 g(3) = 10 * 9 * 8 - f(3) = 720 - 300 = 420 f(4) = f(3) * 7 + g(3) * 2 - 10 * (1 * 1 + 1 * 1 + 5 * 2) = 300 * 7 + 420 * 2 - 10 * 12 = 2100 + 840 - 120 = 2820 g(4) = 10 * 9 * 8 * 7 - f(4) = 5040 - 2820 = 2220 となり、答えは 2220 通りになります。 なお、f(4) の 10 * (1 * 1 + 1 * 1 + 5 * 2) を引くところが、最初に述べたポイントの部分です。

ネコの住む家　　 11月25日（土） 0:01:03　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28757

スモークマン

#28757 uchinyanさん、OrZ～ やっぱり簡単じゃあなかったですね(^^; 10,70,420,2220, は例の数列サイトには載ってないようです・・・ 1～7 の、2，3，4個並べる時、バラになる場合の数をあとでチェックしてみます。 2個並べた時、7*6-6*2=30 3個並べた時、100 4個並べた時、挫折中・・・(^^; 5個・・・まだ考えてもいません。 6個・・・同じく。 7個の場合も可能なんですね！・・・まずこっちを考えてみることにします。 7個がすべてバラの時の場合の数も挫折・・・ で、n 個がすべてバラのときを考えてみることにしましたが、、、 3個以下ではバラにならない。 f(4)=2・・・2413,3142 f(5)=4*2+6*3=26 f(6)=100・・・数え上げなので自信なし。。。 になるよう。 2,26,100 で、例のサイトサーチすると、、、 2, 26, 100, 302, 762, 1790, 3848, ・・・というのが見つかりましたが、、、 f(7)=302 なんだろうか？

金光　　 11月25日（土） 19:26:49　　 　　28758

uchinyan

#28758 大変そうだったので、芸がないですが、プログラムで調べてみました。 ＞1～7 の、2，3，4個並べる時、バラになる場合の数をあとでチェックしてみます。 ＞2個並べた時、7*6-6*2=30 ＞3個並べた時、100 ＞4個並べた時、挫折中・・・(^^; ＞5個・・・まだ考えてもいません。 ＞6個・・・同じく。 ＞7個の場合も可能なんですね！・・・まずこっちを考えてみることにします。 30, 100, 272, 582, 860, 646 となるようです。 ＞で、n 個がすべてバラのときを考えてみることにしましたが、、、 ＞3個以下ではバラにならない。 ＞f(4)=2・・・2413,3142 ＞f(5)=4*2+6*3=26 ＞f(6)=100・・・数え上げなので自信なし。。。 ＞になるよう。 f(0) = 1 と定義しておいて、 1, 1, 0, 0, 2, 14, 90, 646, 5242, 47622, 479306, ... となるようです。f(5) 以降が一致しないのが気になるのですが．．． これは、例の数列サイトに、id:A002464 としてあるようです。 http://www.research.att.com/~njas/sequences/A002464 A002464 Hertzsprung's problem: ways to arrange n non-attacking kings on an n X n board, with 1 in each row and column. Also number of permutations of length n without rising or falling successions. A002464　Hertzsprung(ヘルツスプラング？)の問題： n X n の盤上に、各行及び各列に一つずつ、n 個の攻撃して／されていないキングを並べる方法。 増加又は減少する連続するもの(数)をもたない長さ n の順列の個数でもある。

ネコの住む家　　 11月26日（日） 14:06:11　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28761

スモークマン

#28759 uchinyanさんへ。確認までしていただき恐縮至極です。 ありがとうございました。OrZ～ プログラムの威力ですね！（どちらも7個の場合が、646 と一致してるようだし・・・） それにしてもf(5) で間違っちゃあダメですよね～ f(5) ： 13524,14253, 24135,24153,25314 35142,35241,31425,31524 41352,42513,42531 52413,53142 の14通りでした。(^^; 3で始まるところまで考えれば（最後の数字の逆のものは分かるから）いいわけですが。。。 というか、どんな n の場合でも、対称なはずだから、n/2 (nが偶) か (n-1)/2 (n が奇数) まで考えればいいわけか！ただ、実際には具体的な数（最初と最後の数）を出さないとダメですけど。。。

金光　　 11月26日（日） 22:22:21　　 　　28762

スモークマン

友人問。（よろしかったらお召し上がり下さい(^^) 問題 ある素数を十進法で表し、各桁の数字をどのように並び替えても、 得られた数が再び素数であるとき、この素数を絶対素数とよぶ ことにする。絶対素数を十進表示したとき、4個以上の 相違なる数字が各桁に現れないことを証明せよ。

金光　　 11月27日（月） 13:16:58　　 　　28763

uchinyan

#28763 ちょっと泥臭いですが．．． (少し追加) うっかりしていましたが、以下の最後の部分は 　　そこで、絶対素数は、1, 3, 7, 9 の 3 個以下の数字で構成されるか、一桁の 2 又は 5、になります。 の方が正しいかもしれません。 要は絶対素数の定義の解釈の問題です。以下では、一桁の場合を考えていませんでした。 したがって、以下の議論は、二桁以上の場合とお考えください。 いずれにせよ、問題の本質はこの場合なので、特に変更はありません。 (追加終わり) ある数 n が絶対素数であるためには、その各桁の数字は、1, 3, 7, 9 でなければなりません。 これは、0, 2, 4, 5, 6, 8 がある場合には、それらが下一桁に来た場合には素数にならないことから明らかです。 さて、n が 1, 3, 7, 9 を少なくとも一つずつ含んでいるとします。 これが絶対素数であるとすると、数字を並べ替えた、次のような abc…dxyzu がすべて素数であるはずです。 abc…d は、1, 3, 7, 9 を並べたもの、ただし含まない数字があってもよい、又は 存在しない とします。 13311997, 1133777, 99111, 3333 など、又はそもそも n は四桁の数でこの部分は存在しない、ということです。 xyzu は 1, 3, 7, 9 を並べたもの、つまり、1, 3, 7, 9 の順列、とします。 1, 3, 7, 9 は少なくとも一つずつあるとしたので、これは可能です。 すると、mod 7 で、 1379 ≡ 0, 1397 ≡ 4, 1739 ≡ 3, 1793 ≡ 1, 1937 ≡ 5, 1973 ≡ 6, 3179 ≡ 1, 3197 ≡ 5, 3719 ≡ 2, 3791 ≡ 4, 3917 ≡ 4, 3971 ≡ 2, 7139 ≡ 6, 7193 ≡ 4, 7319 ≡ 4, 7391 ≡ 6, 7913 ≡ 3, 7931 ≡ 0, 9137 ≡ 2, 9173 ≡ 3, 9317 ≡ 0, 9371 ≡ 5, 9713 ≡ 4, 9731 ≡ 1 つまり、xyzu は、7 で割った余りをすべて表現できます。そこで、 abc…dxyzu ≡ abc…d0000 + xyzu なので、abc…d0000 を 7 で割った余りに対して xyzu をうまく取れば、必ず、abc…dxyzu を 7 の倍数にすることができます。 これは、abc…dxyzu がすべて素数であったことに矛盾します。 そこで、絶対素数は、1, 3, 7, 9 の 3 個以下の数字で構成されることになります。

ネコの住む家　　 11月29日（水） 7:47:01　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28764

スモークマン

#28764 uchinyanさん、正解！！ 泥臭くなくって、スマートだと思います(^^) 友人からは難問として出題されました、、、さすがです。 ちなみにわたしは、、、それこそ泥沼にはまってもがいてました・・・(^^;

金光　　 11月28日（火） 0:38:47　　 　　28765