あ〜く＠ジューク
108・36・36の二等辺三角形を最後まで忘れていた・・・

ただただ二等辺三角形と二等辺三角形をくっつけて考えられるパターンを確かめただけだから合理的ではないなぁ・・・
未完成の蜜柑星　　 9月22日（木） 0:15:05　　 MAIL:ishizaki@qa.so-net.ne.jp 　　25837
吉川　マサル
ちょっと不安なのが問題の文章です。私の想定する題意がちゃんと伝わっているだろうか...。
PowerBook G4　　 9月22日（木） 0:19:49　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25838
ミキティ
意味は通じると思います、多分……。場合分けがちょっと大変でした。
(1)　分断線が、どちらかの底角を通る場合：
　36°と 180/7°
(2)　分断線が、頂角を通る場合：
　90°と 108°
　　 9月22日（木） 0:23:58　　 HomePage:みきこむ　　25839
どっかに
あった。　　長野さん、ありがとう。
　　 9月22日（木） 0:24:14　　 　　25840
むらい
頂角Ａの△ＡＢＣとしまして
頂角が�￣坡僉´�直角　�Ｆ潦僉　，脳豺臺�けしました
�。贈弔魄�くとして　ＢＣ＝ＢＤ ＢＤ＝ＡＤの場合（図の場合）　３６度
　ＢＣ＝ＣＤ　ＢＤ＝ＡＤの場合　180/7度
��直角二等辺のみで　９０度
��ＡＤを引くとして　ＡＤ＝ＤＣ（ＤＢ）の場合のみで　１０８度
全部足して　1818/7度となりました。
クーラーの効きすぎた部屋　　 9月22日（木） 0:32:30　　 HomePage:問題　　25842
トトロ＠Ｎ
うーん、やっとできた。
#25837　同じ三角形が最後に見つかりました。
兵庫県明石市　　 9月22日（木） 0:39:34　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　25843
ちゃーみー
ミキティさんと同じ方針でした。
第一感では3種類だったのですが、計算した結果、直角二等辺を考え落としていることに気付きました(笑)。
　　 9月22日（木） 0:43:03　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　25844
トトロ＠Ｎ
問題の図に角度が表示されている角を頂角から反時計周りに表したとき
x,x,x,2x,2xが36°　x,x,x,x,2xが90°　x,x,2x,3x,2xが180/7°　x,x,2x,x,2xが108°
兵庫県明石市　　 9月22日（木） 0:49:09　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　25845
アヒーのおじさん

かなり苦労しました（＾＾；
最後に見つけたのは180/7でした（ぉ）

余談

なぜだか正解者の覧の名前が「アヒーのおじさ」になってしまいました
最初何も考えずに360°とか180°とかおくりつけた天罰でしょうか（笑）
9点円の中心　　 9月22日（木） 0:49:24　　 HomePage:正体不明　　25846
taku
私も最後に180/7が見つかりました。
分数計算は苦手です。
　　 9月22日（木） 0:54:55　　 MAIL:takuo@kcv.ne.jp 　　25847
ゴンとも
これは一見して見たことがあったので見ると
『めざせ、数学オリンピック』(現代数学社)の42ページの問題
と同じでした。しかし手を伸ばした所にあったのにかかわらず
他の部屋までいってたのと寝過ごして遅れて残念でした。
豊川市　　 9月22日（木） 1:07:36　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　25848
ｎ厨
久しぶりに愚直な解答書いてみる。
頂角180/7の三角形は敷き詰め問題で有名ですね
勘で最初に３つは検討がついていましたがそれ以外の存在しないことを証明してみました。
△ABCについて
BC上の点をDとし、ADを結ぶ。
∠BAD=a,∠ABD=b,∠DAC=eとおけば
∠ADB=pi-a-b,∠ADC=a+b,∠DAC=a,∠ACD=pi-a-b-e
以下問題文の条件満たす二等辺三角形について場合分け
条件を整理すると
1, b=pi-a-b,a+b=c-e
2, b=pi-a-b,a+b=e
3, b=pi-a-b,e=pi-a-b-e
4, a=b,a+b=pi-a-b-e
5, a=b,a+b=e
6, a=b,e=pi-a-b-e
7, a=pi-a-b,a+b=e
8, a=pi-a-b,a+b=pi-a-b-e
9, a=pi-a-b,e=pi-a-b-e
に分けられる。このうち1~3と7~9は同じことなので1~6を調べればよい
また△ABCが二等辺三角形になる条件は
AB=AC即ちb=pi-a-b-e,CA=CB即ちb=a+e,BA=BC即ちa+e=pi-a-b-e
これら３つの条件を@とすると
1,a=-eにより不適
2,b=pi-e,a=2e-pi
@を満たすものは存在しない。
3,b=e,a=pi-2e,しかしb=2eだから存在しない
4,a=b=(pi-e)/4
BA=BCのとき@を満たしこのとき、a=b=e=pi/5
5,a=b=2e
AB=ACのとき@を満たしa=b=pi/5,e=2pi/5
BC=BAのとき@を満たしa=b=pi/7,e=2pi/7
6,a+e=b+e=(pi/2)
AB=ACのとき@を満たしa=b=pi/4,e=pi/2
以上より
頂角の合計=36+90+108+(180/7)=1818/7

　　 9月22日（木） 5:58:48　　 　　25849
ｎ厨
＞1~3と7~9は同じことなので1~6を調べればよい
言いすぎました。結果的に1~3と7~9は同じになりました。
　　 9月22日（木） 6:09:31　　 　　25850
長野　美光
#25840
ん？　なんでしょう？
　
はままつ　　 9月22日（木） 10:34:54　　 HomePage:ヨッシーの八方美人　　25851
kasama
おはようございます。

答えは整数と思ってやってましたが、どうもうまくいきません(^_^;。でも三角形の分割パターンを考えて、コツコツ方程式でやるほどの元気もなく(v_v;)．．．
で、プログラムで数値計算して、得た値を適当に有理化して答えに辿り着きました。あぁ疲れた〜
出先　　 9月22日（木） 11:10:41　　 　　25852
uchinyan
はい、こんにちは。上半期の締めの時期で何かと忙しく、トイレの個室の中(汚い話で申し訳ない)で暗算で解きました。
あまり解法らしいものはなく、勘と、後はしらみつぶしでした。
問題を見て、すぐに、36度、90度、108度に気付きました。
108度は、ちょっと前の算チャレでの正五角形が頭をよぎり、「あぁ、そうだよな。」という感じでした。
これで一回認証してアウト。問題は、180/7度でした。ここからが、個室の中での格闘です (^^;
仕方ないので、二等辺三角形の頂角を分ける場合と底角を分ける場合とに分類し、
できた二つの三角形の二つの角が等しい場合を調べ上げたところ、180/7度に思い至り、
「あー、なるほどぉ。」という感じでした。
後は、条件を満たす場合がないので、結局、36 + 90 + 108 + 180/7 = 1818/7 度。
何かうまい解法があるのかな？　後で、掲示板を読んで勉強します。
ネコの住む家　　 9月22日（木） 11:34:57　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25853
uchinyan
取り敢えず、掲示板読みました。少なくとも掲示板の書き込みの範囲では、あまりうまい方法はないようですね。
なお、私も含め、図にある36度を含め三つまでは勘で分かった、という人が多いようですが、
その気付くものが、言い換えればなかなか気付かなかったものが、人によって違うのは面白いと思いました。
なお、180/7 度が敷き詰め問題で有名(#25849)というのは始めて知りました。さすが、よく勉強していらっしゃるなぁ、と感心。
ネコの住む家　　 9月22日（木） 12:29:16　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25854
ハラギャーテイ
人がやったのを参考に正解に導けました。

9月10月は連休が多いので遊びまくります。
北九州　　 9月22日（木） 12:55:06　　 HomePage:信号処理に挑戦　　25855
uchinyan
ｎ厨さんへ：
＞一辺aの正四面体のそれぞれの頂点を中心とする半径aの球をかくとき,
＞それら4つの球の共通な部分の体積を求めよ。
仕事の合間に、何となく考えてみましたが、立体図形の座標を正四面体の中心を原点にして、正四面体の一つの頂点をz軸上に置き、
z軸に垂直な平面での断面図の面積を求めて z で積分すればできる「ハズ」です。
「ハズ」と書いたのは、そうやったら、ものすごい積分になり、沈没しました (^^;
ただ、ナイーブなこの方法では、少なくとも、三角関数の逆関数が出てきますね。
東大実戦模試の問題だとすると、何か対称性をうまく使った方法を考えつかないと、とても、制限時間内には解けそうにないです。
感じとしては、スモークマンさんの2次元の解の3次元版だろうと思いますが、
正四面体の頂点、辺のあたりの形状が微妙で、うまく立体を想像できず、対称性を使いきるのが難しいです。
ネコの住む家　　 9月22日（木） 18:30:54　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25856
吉川　マサル
#25856
　私も同様にしてみましたが、まったく同じように撃沈しました。昨年の東大の６の問題のように対称性を利用して楽にできるのでは？という感はやはりあるのですが、uchiyanさんのおっしゃる通り、辺あたりの体積を出すのが難しいですよね...ううむ。
PowerBook G4　　 9月22日（木） 22:08:01　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25857
ｎ厨
#25856-25857　ありがとうございます
>uchinyanさん、吉川マサルさん
えぇ、その方法でやると球欠部分(辺の部分)を求めることになります。
しかし積分計算の途中で有名角が出なくてarc(〜)でめちゃめちゃに出そうかとしましたが断念しました。
　　 9月22日（木） 23:38:52　　 　　25858
御節介男
#25840
多分、　　数学の部屋の　図形問題シリーズ　二等辺三角形の分割における
　ヨッシ-さんの回答のことでしょう
　　 9月23日（金） 0:13:30　　 　　25859
どっかに
#25859
Exactly, you are correct.
　　 9月23日（金） 11:44:29　　 　　25860
ちず
まさか、分数の回答になるとは・・・。
　　 9月24日（土） 14:59:48　　 　　25861
まるケン
今週＝４６９回？
　　 9月24日（土） 15:37:27　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　25862
吉川　マサル
#25862
　ご指摘ありがとうございましたー。たった今、訂正いたしました。m(__)m
PowerBook G4　　 9月24日（土） 20:46:54　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25863
スモークマン
やっと入れた。
最後に見つけたのが108°のやつ・・・
超角を通る線分でできるのは直角二等辺三角形だけだという先入観あり、半ば諦めてたんですが、粘ってよかった〜
金光＠岡山　　 9月24日（土） 21:46:40　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　25864
姉小路
こん＊＊は、お久しぶりです、姉小路です。
分数なんて……、分数なんて……orz
時間がかかってしまいました。
ブランクの長さを感じます。
であであ。
　　 9月24日（土） 22:18:55　　 　　25865
はくｘ
久しぶりにやりました。
正解者だけが入れるシステムっていい感じです。
　　 9月25日（日） 0:11:40　　 　　25866
uchinyan
ｎ厨さん、マサルさんへ：
ｎ厨さんの問題
＞一辺aの正四面体のそれぞれの頂点を中心とする半径aの球をかくとき,
＞それら4つの球の共通な部分の体積を求めよ。
ですが、連休でまとまった時間が取れたので再考してみました。自信はないのですが、
V/(a^3) = (32 - 81c)π/12 + sqrt(2)/4
ただし、c は、cos(cπ) = 1/3, 0< cπ < π/2 を満たすもの。
という結果が得られました。
c という変なものが入っているので、間違っている可能性大ですが．．．
ただ、実は、cπ は、正四面体の二つの面がなす角度です。その意味では、ひょっとして．．．？ ^^;
ちなみに、正解は、いくつなのでしょうか？
解法は、図を描かないと、いや、図を描いてもなかなか難しいのですが、ポイントだけ。
正四面体の頂点を A, B, C, D とします。なお、AB = a = 1 としておきます。
まず、A 及び B を中心とする球の共通部分の体積を求めます。これは、容易な積分で、V1 = 5π/12 になります。
そして、今求めた領域のうち、さらに、平面ABC と 平面ABD に囲まれた部分の体積を求めます。
これは、角度の比から、V2 = V1 * cπ/2π = 5cπ/24 です。
次に、A を中心にした球のうち、平面ABC、平面ABD、平面ACD で囲まれた部分の体積を求めます。
これは、z軸に垂直な平面で切って、とやると沈没しますが、極座標をうまく使うと容易にできて、V3 = (3c - 1)π/3 になります。
(もっとも、ここの積分は、多重積分を使わないと説明しづらいので、高校レベルでは厳しいかな。でも、東大を受けるくらいの子なら．．．)
さて、ここで「う〜む」と考えると、面倒な辺CDの回りを含む部分 V4 は、V2 と V3 で表されるように思われます。
実は、ここらがちょっと自信がないです (^^; が、多分．．．
正確には、正四面体の中心を O として、V2 を平面OCD で切って半分にした立体と、正四面体の体積 v = sqrt(2)/12 を考えると、
V4 = 1/2 * (V2 - v) - 2/3 * (V3 - v) = 1/2 * V2 - 2/3 * V3 + 1/6 * v
この根拠は、平面OCD などの中心 O と各辺を通る六つの平面が、正四面体を、したがって、求める立体を 1/4 にするということですね。
これを使うと、対称性より、求める体積 V は、a = 1 として、
V = 4 * 3 * V4 + v = 6 * V2 - 8 * V3 + 3 * v = 6 * 5cπ/24 - 8 * (3c - 1)π/3 + 3 * sqrt(2)/12 = (32 - 81c)π/12 + sqrt(2)/4
なお、V2、V3 で積分を使っていますが、この間の球面三角形の面積の期待値のときに使った球面上の幾何学の定理・公式を使うと、
積分なしで、それこそ算数っぽく、求められます。
もちろん、球面上の幾何学は高校でも習わないので、考え方は算数でも、実際には大学レベルになってしまいますが。
ネコの住む家　　 9月25日（日） 16:02:44　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25867
ｎ厨
＞uchinyanさん　ありがとうございます。
図書館に今日行っていたのですが、幾何学関係の書物を調べていたらこの問題を発見しました。
幾何学大辞典５巻の空間分野だったと思いますが、たしかにありました。
答えは僕が勘違いして出していたものでした。ダブルカウントしているからこれは誤植だとは思うのですが。。
以下本の内容をざっと書きます。

求める体積/a^3
=正四面体の体積+4*pi∫(1-x^2)dxsqrt(2)/12)+4(18-7sqrt(6))pi/27
ただしsqrt(6)/3≦x≦1
Amer,Math.Monthly,Vol.16(1909)の課題274らしいです。

uchinyanさんの解答は今、図を描きながら見ています。
もう少し整理してから書きます。
　　 9月25日（日） 20:29:22　　 　　25868
ｎ厨
すみません
求める体積/a^3
=正四面体の体積+4*pi∫(1-x^2)dx=sqrt(2)/12)+4(18-7sqrt(6))pi/27
ただしsqrt(6)/3≦x≦1
Amer,Math.Monthly,Vol.16(1909)の課題Calculus 274
　　 9月25日（日） 20:32:21　　 　　25869
uchinyan
#25868＆#25869：
ｎ厨さん、ありがとうございます。
うーむ、やはり、私の解答は違っていましたね。自信のなかった辺の回りの評価が違っているのだろうと思います。
時間を見つけて、もう少し考えて見ます。

ちょっと追加。
正解と思われる値ですが、どこかで見たような気がするな、と思ったら、
z 軸に垂直な平面で切った場合の積分の、すぐに計算できる部分でした！
ということは、複雑でなかなか計算できそうにない部分が 0 になるのだろうか。
ホントかなぁ．．．？
でもそうすると、ｎ厨さんの言うとおり、ダブルカウントの部分がありそうな気がするのだけれど．．．
それとも、私が、基本的に大きな勘違いをしていて、複雑な部分の積分は出てこないのかな？
ネコの住む家　　 9月25日（日） 21:21:26　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25870
ｎ厨
＞uchinyanさん　ご返答ありがとうございます
一応コピーしていますが、この本には辺あたりの評価がありません。
ダブルカウントの可能性すら書いていませんので妙だと思います。
幾何学大辞典五巻/P463/【122】
　　 9月25日（日） 21:40:11　　 　　25871
uchinyan
ｎ厨さん、他の皆さんへ：
正四面体の球の共通部分の体積の問題ですが、現状では、何が正解かすら分からないし、どうにも気になって仕事が手につかないので、
まずは、芸がないですが、乱数を発生させたシミュレーションで体積の近似値を求めてみました。
今回は、いわゆる、モンテカルロシミュレーションで、円周率の計算などで使用される手法です。
一番単純な方法として、求める立体を覆いつくすような立方体を適当に設定し、その内部の各点をランダムに選んできて、
求める立体内にあるかどうか数えて、点が立体内にある確率を求めます。
求める立体の体積は、その確率に元の立方体の体積をかければ近似的に求まります。
以下がプログラムです。

REM 正四面体の一辺の長さ：
REM 1
REM 正四面体の四つの頂点の座標：
REM A(sqrt(2)/4, sqrt(2)/4, sqrt(4)/2)
REM B(-sqrt(2)/4, -sqrt(2)/4, sqrt(4)/2)
REM C(-sqrt(2)/4, sqrt(2)/4, -sqrt(4)/2)
REM D(sqrt(2)/4, -sqrt(2)/4, -sqrt(4)/2)
REM シミュレーションの領域：
REM 正四面体の各頂点を中心とした半径 1 の球が入る領域
REM 今は一辺の長さ 3 で各辺が座標軸に平行又は垂直で中心が原点にある立方体

RANDOMIZE
LET n = 100000000

FUNCTION S1(x,y,z)
　LET S1 = (x - SQR(2)/4)^2 + (y - SQR(2)/4)^2 + (z - SQR(2)/4)^2 - 1
END FUNCTION
FUNCTION S2(x,y,z)
　LET S2 = (x + SQR(2)/4)^2 + (y + SQR(2)/4)^2 + (z - SQR(2)/4)^2 - 1
END FUNCTION
FUNCTION S3(x,y,z)
　LET S3 = (x + SQR(2)/4)^2 + (y - SQR(2)/4)^2 + (z + SQR(2)/4)^2 - 1
END FUNCTION
FUNCTION S4(x,y,z)
　LET S4 = (x - SQR(2)/4)^2 + (y + SQR(2)/4)^2 + (z + SQR(2)/4)^2 - 1
END FUNCTION

LET L = 3
LET V = L^3
LET c = 0
FOR i = 1 TO n
　LET x = L * RND - L/2
　LET y = L * RND - L/2
　LET z = L * RND - L/2
　IF (S1(x,y,z) <= 0) AND (S2(x,y,z) <= 0) AND (S3(x,y,z) <= 0) AND (S4(x,y,z) <= 0) THEN
　　LET c = c + 1
　END IF
　IF MOD(i,100000) = 0 THEN
　　PRINT i; ":"; c/i * V
　END IF
NEXT i
PRINT "シミュレーション："; c/n * V
PRINT "幾何学大辞典の値："; SQR(2)/12 + 4 * (18 - 7 * SQR(6))/27 * PI
PRINT "uchinyanの解答値："; (32 - 81 * ACOS(1/3)/PI)/12 * PI + SQR(2)/4
END

計算結果は、正四面体の一辺を 1 とした場合、"回数 : 体積" で、

100000 : .44145
200000 : .43389
300000 : .43335
400000 : .4292325
500000 : .430218
600000 : .42633
700000 : .424902857142857
800000 : .4249125
900000 : .42507
1000000 : .426222
.......... (途中省略。以下同様。)
10000000 : .4230414
..........
20000000 : .42205455
..........
30000000 : .4221234
..........
40000000 : .422310375
..........
50000000 : .42228216
..........
60000000 : .4220946
..........
70000000 : .421936714285714
..........
80000000 : .421904025
..........
90000000 : .4219551
..........
100000000 : .42205563
シミュレーション： .42205563
幾何学大辞典の値： .515121485430053
uchinyanの解答値： .422157733115827

これによると、手前味噌で恐縮ですが、私の#25867は、正しそうな感じです。
ネコの住む家　　 9月26日（月） 15:51:00　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25872
いちたすには
「頂角が１０８度の時だけは分割の仕方が２通りある。
その他の時は１通りである」でいいんでしょうか？
　　 9月27日（火） 19:23:41　　 　　25873
いちたすには
対称性を考えると（考えるまでもなく）
馬鹿な質問でした　取り消します
　　 9月27日（火） 19:34:37　　 　　25874
スモークマン
今回の問題は簡単だとおもいきや正解率悪いみたいですね。。。？

関係ないですが息抜きに友人からの問題をば、

A={0、1、2、3、4、5、6、7、8、9}　とするとき、
次の条件（1）（2）を満たすAの部分集合Sは何個あるか。
（1）Sの要素は５個
（2）Sから相違なる2つの要素を取り出して和を作り、
その1の位を考えると、0から9までの数がすべて現れる。

金光＠岡山　　 9月27日（火） 22:56:33　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　25875
２７０９　6年生
３６，７２，７２を忘れてました。問題にのっているとわ自分のあほさにビックリです。
　　 9月28日（水） 0:16:12　　 　　25876
２７０９　6年生
３６，７２，７２を忘れてました。問題にのっているとわ自分のあほさにビックリです。
　　 9月28日（水） 0:16:17　　 　　25877
weapon
>>25875
0
　　 9月28日（水） 12:00:08　　 　　25878
スモークマン
#25878
weapon さん、お見事！正解！
友人はこのような意地悪な問題も送ってくるんですよね。。。
金光＠岡山　　 9月28日（水） 23:48:06　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　25879